行列式的计算方法及应用

本科生毕业论文

题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102

作者姓名: 李延雪

学号: 2007200676

单位: 2007 级 1 班

指导教师: 孙守斌

2011年5 月20 日

原创性声明

本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.

学位论文作者签名: 日期

指导教师签名: 日期

目录

前言 (1)

1.行列式的定义及其表示 (1)

1.1 行列式的定义 (1)

1.2 行列式的表示 (3)

2.行列式的性质 (4)

3.行列式的计算方法 (6)

3.1加边法 (6)

3.2利用已知公式 (7)

3.3数学归纳法 (10)

3.4递推法 (11)

3.5构造法 (12)

3.6拆项法 (13)

4.行列式的应用 (13)

4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13)

4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15)

4.3行列式在多项式理论中的应用 (15)

4.4 行列式在解析几何中的应用 (16)

结语 (17)

参考文献 (18)

致谢 (19)

摘要

行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用.

关键词：行列式；计算方法；行列式的应用

Abstract

Determinant calculation is an important tool in Higher algebra. Studying the definition and properties of the determinant and summarizing several methods which can solve the determinant calculation，such as add edge method，method of construction, triangle recursive method, demolition of method, mathematical induction etc. At the same time two linear determinant, "cross-strait" determinants, the upper (lower) triangular determinant, two line fork determinants and arrow type determinant of several kinds of special formula of calculating the determinant were summarized. Using determinant proof differential mid-value theorem.And through some specific examples in inverse matrix introduce determinant in solving inverse matrix，geometry equation calculation ,graphics area volume and many other aspects of actual applications.

Keywords: Determinant; Calculation method; Determinant application

行列式的计算方法

前 言

行列式不仅是研究高等代数的一个重要工具,它也是线性代数理论中极其重要的组成部分.在高等代数中,行列式的求解是非常重要的,但是直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显.根据这一情况,对行列式计算的常见方法进行了总结.计算行列式的常见方法有化三角形法,拆分法,降阶法,升阶法,待定系数法、数学归纳法,乘积法和加边法等.另外对行列式中存在的二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式等特殊构造的行列式的公式进行了归纳.

行列式的产生和最早的应用都是在解线性方程组中,现在的应用范围已拓展得较为广泛,成为数学、物理学以及工科许多课程的重要工具.对这些应用技巧进行探讨归纳,不仅有课程建设的现实意义,而且有深刻的理论意义.通过介绍一些具体的实例,说明行列式在证明明微分中值定理、求逆矩阵及矩阵特征值、求解线性方程组、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面中的实际应用.

1.行列式的定义及其表示

1.1行列式的定义]1[

行列式有各种各样的定义方法,本文以排列为工具来定义行列式.先来考察二、三阶行列式的共同规律,然后利用这些规律去定义n 阶行列式.

二阶行列式为

22

2112

11

a a a a 21122211a a a a -= . 于是二阶行列式可以简写成

∑-=2121,2,1)(22

21

1211)1(j j j j t a a a a a a .

其中 ∑2

1j j 表示所有二元排列求和.