稳健优化设计的研究现状及发展趋势

方法， 已经在电子、 机械等诸多领域得到重视和应用 I 5 J 。目前 的稳健设计方法大体上可分成两类：第一类以经验或半经验设 计为基础， 如田口方法、 响应面法、 双响应面法、 广义模型法等， 属传统的稳健设计方法；第二类与优化技术相结合，主要有容 差模型法、 容差多面体法、 随机模型法、 灵敏度法、 基于成本 " 质量模型的混合稳健设计等， 称现代稳健优化设计方法 I 7 J 。
【摘要】 稳健设计是提高产品质量的有效方法。 介绍了稳健优化设计的基本概念和方法， 综述了它的 研究现状， 分析了各种稳健设计方法的特点， 指出了稳健优化设计的发展趋势。 关键词：稳健设计； 稳健优化设计；产品质量；发展趋势 【!"#$%&’$】!"# $%&’() *#(+,- +( .- #//#0)+1# 2#)"%* )% +23$%1# 3$%*’0)( 4’.5+)67 !"# &.(+0 0%-0#3)( .-* 2#)"%*%5%,6 %/ )"# $%&’() %3)+2.5 *#(+,- +( +-)$%*’0#* .-* $#(#.$0" ().)’( %/ 8"+0" +( *+(0’((#*7 !"# 0".$.09 )#$+()+0 %/ (%2# 2#)"%*%5%,6 %/ )"# $%&’() *#(+,- +( .-.56:#*7 ;- )"# #-*< )"# *#1#5%3+-, )$#-* %/ $%&’() %3)+2.5 *#(+,- +( 3$#(#-)#* ()* +,%-#. /,"0#$ -)#1234 /,"0#$ ,5$16&7 -)#1234 8%,-0’$ 90&71$*4 :);)7,5132 $%)3中图分类号：P=#55 文献标识码：Q
图 & 确定性最优和稳健最优
的实际值会有差异，这种差异称为变差。变量的变差会传递给 目标函数和约束函数， 引起质量指标和约束的变差。 如图 & 显示了一个设计变量变化对目标函数的影响。 * 点 当设计变量 $, 变化 和 + 点分别为确定性最优点和稳健最优点。 目标函数随之也发生变化。* 点引起的变化为 ! # 1 $* 2 - ! $, H & ， 从图中可看出， < + 点引起的变化为 ! # 1 $+ 2 。 ! # 1 $* 2 I ! # 1 $+ 2 。 所以目标函数对稳健最优点 * 的灵敏度低。因此稳健优化的目 的是要使当可控变量和不可控变量发生变差时，其设计解是稳 健的， 即一方面使质量特性对这些变差的灵敏度低， 另一方面要 求设计结果是最优可行解。 （# ） 目标函数的稳健性 一般在复杂系统设计中， 目标函数
5 现代稳健设计方法
容差多面体法是由 %)’(&+D 等于 #8!# 年提出。其基本思想 是通过调整设计变量及其容差的大小来提高产品对一些干扰变 量的不灵敏性。其核心是寻找一个能嵌入设计空间内的由设计 “中心 ” 变量及其最大容差所定义的多面体， 多面体的 就是所求 的稳健设计解。此法不考虑噪声因素的变差影响，可以求解约 束问题， 因此比较适用于容差设计问题。 容差模型法是 M&,O)*/C* 等于 #887 年提出的，又称变差传 递法。其指导思想是考虑设计变量和噪声变量的变差引起约束
与可控 H 不可控变量之间呈非线性关系， 可表示为： # " # 1 $% ! 2 G # 1 $# < $& < … < $.% !# < … < !/ 2 1&2 因可控变量变差 ! $ 和不可控变量变差 ! ! 值很小， 且变量 随 $ 和 ! 连续变化， 因此可将非线性函数 # 1 $% ! 2 用线性化方法 来计算， 也就是说， 把非线性函数在可控变量和不可控变量的均 值 !$ 和 !! 的微小邻域内展开成泰勒级数，并取一阶项作为一 次近似， 而略去高阶项的误差。于是， 式 1 & 2 变为
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) 稳健优化设计研究内容及现状
稳健设计 =8>?;/@A/ 指出稳健设计的核心是一个优化问题， 的一个关键概念是变量和参数的变异传递给了设计函数，使目 标和约束都产生变异 5 #B 6 。稳健设计的目的是减小所诱发的变 异。优化设计是在约束可行域内寻找某种意义下最优方案的一 种工程方法。对于有约束的优化设计问题，在优化设计过程中 一般总是把最优点推向约束的边界上，但在实际中由于参数的 （准则函数 ） 变差而会使最优点变为不可行或质量性能指标 超界 成为废品， 这就是说， 一般的优化设计最优解是不稳健的。稳健 优化设计是稳健设计和优化设计两种方法的结合，就是通过调 整设计变量的名义值和控制其偏差来保证设计最优解的稳健 当设计参数产 性， 即一方面需要保证最优点 3% 的可行稳健性， （质量 生变差时仍能保持最优点是可行的； 另一方面使准则函数 指标性能函数 ） 具有较低的灵敏度， 即不灵敏性， 使设计参数的 微小变动仍能保证质量性能指标限在此所规定的容差之内。 一般地， 工程设计中传统的确定性优化设计的表达式为： C;/： # 1 $% ! 2 @D ED ’( 1 $% ! 2 (F ( G #< … < ) 1#2
第!期
程贤福： 稳健优化设计的研究现状及发展趋势
式中， $ 为设计变量 1 又称可控变量 2 ， ! 为状 态变量 1 又称不可控变 量 2 ，# 1 ・ 2 为目标函数，’( 1 $% ! 2 为第 ( 个约束。 实际 上，可控变量和不可控变 量的值与制造后或使用中
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条件的变差，在此新的可行域内寻找稳定性解。此法优点是初 始方案可以是不可行解， 寻优效率较高； 克服了田口方法中的信 噪比对均值和方差之间必须成比例变化的要求。缺点是要求数 学模型有连续可微性和不太高的非线性；只适用于当设计变量 和干扰变量变差较小的情况，一般为 &’ ( )’ ；同样要求变量 服从正态分布。 灵敏度法中较常用的是最小灵敏度法，最小灵敏度法由 其要点是： 对于 ! " # 1 $% & 2 而言， 在 *+,+-./0. 等于 #%%& 年提出。 不考虑设计变量容差的前提下， 通过选择合适 3 使得 # 1 $% & 2 对 于不可控因素 4 的灵敏度最小。此法优点是能够方便、 迅速地表 明需调节的变量的范围或方向。缺点是进行稳健设计时未计及 设计变量公差， 因此实际应用时常和其他方法联合运用。 随机模型法是将优化技术、 概率论和数理统计、 计算机技术 用于处理含有随机因素工程问题的方法 5 ## 6 。 对于随机模型的求 解， 一种方法是将其简化为确定模型求解， 但要求随机变量服从 正态分布且变量的离差系数较小， 实际上此时的随机模型就退化 为容差模型法； 另一种方法就是直接用随机方法求解。此法优点 是考虑到可控因素和不可控因素的随机性，故实际工程意义较 大。缺点是随机模型的建立和计算都较复杂， 在实际中往往不得 不采用近似的数据或算法， 从而降低了其计算结果的精度。 尽管 78-.9:; 的稳健设计方法的某些应用取得比较满意的 结果， 但是不能掩盖该方法的局限性， 特别是正交试验设计方法 以及把信噪比作为稳健设计的单一的性能准则，引起很大的争 如何对信噪比 议 5 #&< #) 6 。信噪比计算式在工程应用中的不足， 进行修正以使其更准确和具有一般性，目前有一些研究者提出 了不同的看法。稳健设计和优化算法或其他技术的相结合是研 究的一个热点。
上式表明了目标函数与可控变量变差和不可控变量变差之 间的传递关系。根据上式可知， 为了使 # 值最小， 不仅要使实际 “瘦 值尽可能达到目标值， 而且还要使目标函数的随机分布变得 1 ! # 越小越好 2 。当目标函数的非线性程度不是很高且变量 小” 的变化不是很大时< 这种近似是合理的。 （& ） 约束函数的稳健性 由于可控和不可控变量不可避免 地存在偏差，约束条件也会随之变化< 按传统的约束条件求得 的最优解可能违反了一部分约束条件。为了保证设计解仍为可 “稳健调整 ” 行， 即设计解的可行稳健性， 需要对约束范围进行 ， 即给可行域的边界一个变异移动量，从而使可行域包容变异趋 “稳健 ” “保守 ” 于 与 。这种方法减少了可行域的范围， 随之也降 低了目标函数的优化值， 如图 ) 所示。最优解 2 点位于不可行 区域内 % 与之相反， + 点仍满足考虑约束条件变化后新的约束条 件。约束稳健性是指考虑变量的变化时 % 约束的可行性仍然能 够得到保证。因此需对最初的约束函数进行改进。 “调整 ” 对约束函数的 一般采用最坏情况分析方法% 因为它 不但计算简单 % 而且还适用于那些变量的分布类型没有给定的 情况。 最坏情况分析方法假定所有波动都可能以最坏的情况 同时出现 % 因此 % 变量的变化对约束函数的影响同样可以用一
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第!期 566$ 年 ! 月
稳健优化设计的研究现状及发展趋势
程贤福（华东交通大学机电工程学院，南昌 7766#7）
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% 来稿日期： 566K " #6 " 7# 图 # 产品质量的稳健设计图解
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近年来，稳健设计方法作为一种保证产品质量的有效设计
合则通过理论计算得出，从而克服了田口方法预先要知道解的 大致范围的不足。缺点是对试验中所缺失的数据非常敏感，所 得结果会出现较大误差；当参数维数较高或噪声因素之间出现 相关时， 模型的拟合将非常复杂和困难。 双响应面法 I $ J 是不使用田口方法中的信噪比和二步优化概 念， 直接将质量特性的均值和标准差各自用一个响应面拟合， 然 后化为约束最小问题。 此法的优点是数学上提法严格， 可以考虑误差的各种分布， 且可以考虑影响因素间相互作用； 求解精度较高 I L J 。不足是建 立响应模型时， 有部分关键参数需靠经验得出的， 为此会带来试 验和计算上的反复。这一方法如果遇到干扰变量相关或变量的 维数较高时， 将会使模型的拟和变得非常复杂和困难。 他建议用该 广义线性模型法是 M,+0)NC* 于 #8!K 年提出的， 方法处理参数设计中不满足回归模型的假定方差是齐次的要求 的情况。这种方法要确定方差的表达式，分别对均值和离散参 数建模，用所建立的模型来选择使波动达到最小而均值达到要 求的设计变量的实施条件。但是，该方法对于具体问题如何寻 找方差函数和联系函数尚无一般办法， 还需深入研究。
# 传统稳健设计方法
田口方法又称三次设计法或基于损失模型法。田口方法以 正交试验设计为基础，强调产品的设计都必须经过系统设计、 参数设计和容差设计三个阶段。为计算上的方便，田口将损失 函数模型转化为信噪比指标，然后再通过正交试验设计来确定 参数值的最佳水平组合。此法的优点是设计变量可以是连续变 量、离散变量甚至非数值型变量；优化过程对模型的连续性和 可微性等数学性态要求不高，从而可求解相当复杂的模型；通 过正交表的统计分析，可以定量地了解各设计参数对目标性能 的影响。缺点是事先必须要知道最优解的大致范围和水平，即 对优化时的初始点要求较高，否则就需要通过多轮的正交试验 求解， 从而明显降低效率。 响应面法 I K J 是用于处理多变量问题建模的统计处理的方 法。其参数设计的步骤一般 分为参数筛选、区域寻优和 优化三个阶段。 此法优点：由于其实验 目的是拟合响应面数学模 型，故试验次数较少且是半 试验性的，最佳参数水平组