粗糙集理论方法及其应用

因为描述它们特征同性的信息相同，都是
黑色。
二、原理
• 如果再引入方、圆的属性，又可以将 物体进一步分割为四类：{黑色方物体}、 {黑色圆物体}、{白色方物体}、{白色圆物 体}。这时，如果两个同为黑色方物体，则 它们还是不可分辨的。
二、原理
• 一个知识库定义为一个关系系统 K=(U,R) 其中U是一个被称为全域或论域的所 有要讨论的个体的集合，R是U上等价关系 的一个族集。
一、简介
刘清. Rough Set及Rough推理. 北京: 科学 出版社, 2001 张文修等. Rough Set理论与方法. 北京: 科 学出版社, 2001 王国胤, Rough Set理论与知识获取. 西安: 西安交通大学出版社, 2001 曾黄麟. 粗集理论及其应用(修订版). 重庆: 重庆大学出版社
•
一、简介
• 1991年波兰Pawlak教授的第一本关于粗糙 集的专著《Rough Sets Theoretical Aspects of Reasoning about Data 》; • 1992年R.Slowinski主编的关于粗糙集应用 及其与相关方法比较研究的论文集; • 1992年在波兰Kiekrz召开了第1届国际粗糙 集讨论会。从此每年召开一次与粗糙集理 论为主题的国际研讨会。
Rough集理论方法及其应用
学生:朱 兵 导师:贺昌政
Content
• • • • • 一、 二、 三、 四、 五、 简 原 应 评 实 介 理 用 价 例
一、简介
在自然科学、社会科学和工程技术的 很多领域中，都不同程度地涉及到对不确定 因素和对不完备信息的处理。从实际系统中 采集到的数据常常包含着噪声，不精确甚至 不完整。采用纯数学上的假设来消除或回避 这种不确定性，效果往往不理想，反之，如 果正视它，对这些信息进行合适地处理，常 常有助于相关实际系统问题的解决。
二、原理
★预备知识:
• 定义: 设R是集合A上的二元关系，如果它 是自反、对称和传递的，则它是A上的等 价关系。 • 定义: 设R是A上的一个等价关系，与A中 的一个元素a相关的所有元素a的集合被称 做的一个等价类。 • 命题: R是集合S的一个等价关系，那么R的 等价类形成S的一个划分。
二、原理
二、原理
• 对于{R1, R2} ,它的基本范畴有 • {x1 ,x3 ,x7}∩{x3, x4 ,x7,x8 }={x3,x7} —红色三角 • {x2,x4 }∩{x2,x6 }= {x2} • —蓝色方形 • {x5, x6 ,x8 }∩{x3, x4 ,x7,x8 }={x8} • —黄色三角形
二、原理
U
RβX
RβX
setＸ
U/R
R : subset of attributes
二、原理
2.相似关系模型 在数据中存在缺失的属性值的时候，不分 明关系或等价关系无法处理这种情形。为扩展 粗糙集的能力，有许多作者提出了用相似关系 来代替不分明关系作为粗糙集的基础。
二、原理
• 另一个是来自于给定论域里粗糙近似的
边界,当边界为空集时知识是完全确定的,边 界越大知识就越粗糙或越模糊。这时处理知 识不确定性就用不分明对象类形成的上近似 和下近似来描述。
二、原理
粗糙集与模糊集
对象间关系的基础 不精确刻画方法 研究方法 对知识的近似描述
对象间关系 模糊集理论 概念边界的不分明性 隶属程度 隶属函数 隶属程度 集合边界的病态定义和 边界的不分明性 粗糙集理论 对象间不可分辨关系 粗糙度 对象的分类 上、下近似集 不可分辨关系
二、原理
• W = {x | Walk(x) = yes}.
Age x１ x2 x3 x4 x5 x6 x7 16-30 16-30 31-45 31-45 46-60 16-30 46-60
LEMS Walk 50 0 1-25 1-25 26-49 26-49 26-49 yes no no yes no yes no
二、原理
•例: • 给定一玩具积木的集合 E＝{x1, x2, x3, x4,x5, x6, x7, x8} •按颜色分类： • x1 ,x3 ,x7—红;x2,x4—蓝;x5, x6 ,x8 —黄 •按形状分类： • x1 ,x5 —圆;x2 ,x6 —方;x3 ,x4 ,x7,x8—三角
二、原理
分类度，即有C(X, Y)100%的元素归类错误。
显然，C(X, Y)=0时有XY。如此，可事先给
定一错误分类率(0<0.5)，基于上述定义，
我们有XY，当且仅当C(X, Y)。 • 在此基础上，设U为论域且R为U上的等 价关系，U/R=A={X1, X2, …, Xk }
二、原理
二、原理
•(三)粗糙集与不确定性
•粗糙集理论中知识的不确定性有两方面: 一是来自来自于论域上的二元关系及其 产生的知识模块,即近似空间本身由于对象的 可得到的信息不一定足以划分其成员类别,换 句话说,这种不精确性导致了对象的不可分辨 性。论域上的二元关系及其产生的知识模块 越大,知识库中的知识越粗糙, 近似空间的概 念和知识就越不确定,这时处理知识的不确定 性的方法往往用香农信息熵来刻画。
• 如果我们定义颜色R1和形状R2 两个等价 关系,那么可以得到两个等价类： •U／R1 ＝ • {{x1 ,x3 ,x7},{x2,x4 },{x5, x6 ,x8 }} •U／R2 ＝ • {{x1 ,x5},{x2,x6 },{x3, x4 ,x7,x8 }} • 这些等价类是由知识库K＝(U,{R1,R2}) 中的初等概念(初等范畴)构成的。
二、原理
• 一般地，集合X包含于Y并未反映出集 合X的元素属于集合Y的“多少”。为此， VPRS定义了它的量度： • 当card(x)>0， C(X, Y)=1–card(XY)/card(X) • 当card(x)=0, C(X, Y)=0
二、原理
• C(X, Y)表示把集合X归类于集合Y的误
•
二、原理
X的下近似：
R*(X)={x:(xU) ([x]RX )}
X的上近似：
R*(X)={x:(xU) ([x]RX )}
下近似包含了所有使用知识R可确切分
类到X的元素;上近似则是包含了所有那些可
能是属于X的元素的最小集合。
二、原理
•X的边界区域： BNR(X)=R*(X)–R*(X) •X的R-正区域: POSR(X)=R*(X) •X的R-反区域: NEGR(X)=U–R*(X) 概念的边界区域由不能肯定分类到这个 概念或其补集中的所有元素组成。若BNR(X) ，则集合X就是一个粗糙概念。
先验知识
与普通集合的联系 计算方法
需要
λ截集 连续特征函数产生
不需要
上近似、下近似 知识表达和简约
二、原理
(四)粗糙集模型的扩展
基本粗糙集理论的主要存在的问题是： 1)对原始数据本身的模糊性缺乏相应处理能力； 2)对于粗糙集的边界区域的刻画过于简单； 3)粗糙集理论的方法的分类是确定的，但并未提 供数理统计中所常用的在一个给定错误率的条 件下将尽可能多的对象进行分类的方法，而实 际中常常遇到这类问题。
二、原理
现有一集合(概念)X={x2 , x5 , x6} 它是粗糙集
R1*(X)= ={x2 , x4 , x5 , x6 , x8}
R1*(X) ={x2 , x6}
BNR(X)=R*(X)–R*(X) ={x4 , x5 , x8 }
二、原理
Age x１ x2 x3 x4 x5 x6 x7 16-30 16-30 31-45 31-45 46-60 16-30 46-60
二、原理
1.可变精度粗糙集模型
传统的粗糙集理论处理的分类必须是完 全正确或肯定的,因为它是严格按照等价类来 分类的,因而它的分类是精确的,亦即“包含” 或“不包含”，而没有某种程度上的“包含” 或“属于”,这一定程度上限制了它的应用。 W.Ziarko在基本粗糙集模型的基础上引 入了β(0 ＜β ＜0.5)，即允许一定程度的错误 分类率存在．提出了一种称之为可变精度粗 糙集模型。
AW {x1, x6},
AW {x1, x3, x 4, x6}, BN A (W ) {x3, x 4}, U AW {x 2, x5, x7}.
• W是一个粗糙集合
二、原理
{{x2}, {x5,x7}}
AW
AW
{{x3,x4}}
yes {{x1},{x6}} yes/no
no
•可定义集合X的-下近似为： RX=Xi (C(Xi, X), i=1, 2, …, k) 并且RX称为集合X的-正区域 集合X的-上近似为 RβX =Xi (C(Xi, X)<1–, i=1, 2, …, k)， -边界区域就定义为： BNRX=Xi (<C(Xi, X)<1–)； -负区域为： NEGRX=Xi (C(Xi, X)1–)。
• (一)知识系统和不可区分关系
• 基本粗糙集理论认为知识就是人类对 对象进行分类的能力。例如,医生给病人诊 断,他的知识就在于辨别出病人得的是哪一 种病,一种分类可以用一个等价关系描述。
二、原理
• 分类过程中，相差不大的个体被归于 同一类，它们的关系就是不可分辨关系。 • 假定只用两种黑白颜色把空间中的物 体分割两类，{黑色物体}、{白色物体}， 那么同为黑色的两个物体就是不可分辨的，
二、原理
设PR，且P ，P中所有等价关系的交集 称为P上的一种难区分关系，记作IND(P)，即
[x] IND(p) = ∩ [x]R
RP
注意，IND(P)也是等价关系且是唯一的。
二、原理
给定近似空间K=(U, R)，子集XU称为U 上的一个概念；非空子族集PR所产生的不分 明关系IND(P)的所有等价类关系的集合即 U/IND(P)，称为基本知识，相应的等价类称为 基本概念.特别地，若关系QR，则关系Q就称 为初等知识，相应的等价类就称为初等概念。 根据上述定义可知，概念是对象的集合,分 类就是U上的知识，U上分类的族集可以认为 是U上的一个知识库，或说知识库即是分类方 法的集合。
二、原理
• (二)粗糙集与近似集
令XU ，R为U上的一个等价关系。 当X能表达成某些R基本范畴的并时,称X是 R可定义的,也称作R精确集；否则称X为R 不可定义的,也称为R非精确集或R粗糙集。 • 当存在等价关系RIND(K)且X为R精 确集时，集合X U称为K中的精确集；当 对于任何R IND(K)，X都为R粗糙集， 则X称为K中的粗糙集。
•
一、简介
• 1965年，Zadeh提出了模糊集的概念处
理不确定信息已应用于一些实际领域。
• 但模糊集理论采用隶属度函数来处理
模糊性，而基本的隶属度是凭经验或者由
领域专家给出，所以具有相当的主观性。
一、简介
• 1982年，波兰学者Z. Pawlak提出了粗 糙集理论,它是一种刻划不完整性和不确定
性的数学工具，能有效地分析不精确、不
一致、不完整等各种不完备的信息，还可
以对数据进行分析和推理，从中发现隐含
的知识，揭示潜在的规律。
一、简介
粗糙集理论的主要优势之一是它不需要 任何预备的或额外的有关数据信息。自提出 以来，许多计算机科学家和数学家对粗糙集 理论及其应用进行了坚持不懈的研究，使之 在理论上日趋完善，特别是由于20世纪80年 代末和90年代初在知识发现等领域得到了成 功的应用而越来越受到国际上的广泛关注。
二、原理
U
RX X
RX
setＸ U/R
R : subset of attributes
二、原理
近似精度
| B( X ) | B (X ) | B( X ) |
X Fra Baidu bibliotek.
αB (X) 表示了一个集合的粗糙程度, 显然 0 αB 1
当 αB (X) = 1 时,集合X相对于R是精确的 当 αB (X) < 1 时,集合X相对于R是粗糙的
LEMS Walk 50 0 1-25 1-25 26-49 26-49 26-49 yes no no yes no yes no
• IND({Age}) = {{x1,x2,x6}, {x3,x4}, {x5,x7}} • IND({LEMS}) = {{x1}, {x 2}, {x3,x4}, {x5,x6,x7}} • IND({Age,LEMS}) = {{x 1}, {x2}, {x3,x4}, {x5,x7}, {x6}}.