傅里叶分析教程(完整版)
傅里叶分析报告教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
数学分析傅里叶章节课件
定理 2( R n点列收敛与数列收敛的关系)
设 R n中点列X i = ( xi 1 , xi 2 , ..... xin ) 和向量A = ( a1 , a2 , .....an )
m →∞ m →∞
则 lim X m = A ⇔ lim xml = al , l = 1, 2, ....., n
m =1 ∞
因此A = B .
定 理 7 ( H eine-B orel, 有 限 覆 盖 定 理 )
则 {w α , α ∈ I } 一 定 有 有 限 个 集 合 覆 盖 E .
设 E ⊂ R n 为 紧 集 ,{ w α , α ∈ I } 为 E 的 开 覆 盖 ,
Cauchy收敛定理, Bolzano-Weierstrass定理 定理, Cauchy收敛定理, Bolzano-Weierstrass定理, 收敛定理 Cantor 闭区域套定理 , Heine-Borel 定理称为 HeineEuclid空间的基本定理 它们相互等价. 空间的基本定理, Euclid空间的基本定理, 它们相互等价. 思考相互等价的证明方法. 思考相互等价的证明方法
引理2 引理 2 A为集合 E ⊂ R n 聚点的充分必要条件 E 中存在 收敛到 A的点列.
下面给出定理5的证明. 下面给出定理5的证明.
首先证明必要性 为紧集. 证明 : 首先证明必要性 设E ⊂ R n为紧集. 根据引理1 得到E 为闭集.如果E无界 ,则 根据引理1, ∀m ∈ N ⋅ , ∃X m ∈ E ,: X m > m , 没有任何收敛的子列 可见 { X m } 没有任何收敛的子列, 矛盾 !
k =1
∀ε > 0, ∃N ∈ N , ∀k > N , ∀m > 0 : ∑ X l +1 − X k + l −1 < ε ,
傅里叶分析之掐死教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）投递人itwriter发布于2014-06-07 10:50 评论(24)有34667人阅读原文链接[收藏]«»作者：韩昊知乎：Heinrich微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗会死吗）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…….本文无论是cos 还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
傅里叶教程
（2-1）
根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))
整理上式后，可得
2 1 d i ( t ) d i ( t ) di ( t) d i ( t) S L L L ( i t) i ( t) )R ( )L 2 R S( L 1 2 C d t d t d t d t
2
2
(2)求系统的完全响应
完全解＝齐次解＋特解 齐次解
特征方程为：
特征根为： 齐次解为：
7 10 0
2
2 , 5 1 1
i ( t ) A e A e h 1 2
2 t 5 t
特解： 由于t 0+时,e(t)=4V 右端为4X4，令特解为I p（t）＝B 即
系统分析的任务：给定系统模型和输 入信号求系统的输出响应。
f T[.] y
求响应系统分析方法很多，系统时 域分析法不通过任何变换，直接求 解微分、积分方程； 时域分析方法，直观、物理概念清建立和求解
2.1.1 系统的描述 描述线性非时变连续系统的数学模 型是线性常系数微分方程。 对于电系统，列写数学模型的基本依 据有如下两方面:元件约束、结构约束。 1. 元件约束VAR (1)电阻R uR(t)=R· iR(t)；
傅立叶分析_图文
脉搏、语音及图像信号的傅里叶分析一、实验简介任何波形的周期信号均可用傅里叶级数来表示。
傅里叶级数的各项代表了不同频率的正弦或余弦信号，即任何波形的周期信号都可以看作是这些信号（谐波）的叠加。
利用不同的方法，可以从周期信号中分解出它的各次谐波的幅值和相位。
也可依据信号的傅里叶级数表达式，将各次谐波按表达式的要求叠加得到所期望的信号。
二、实验目的1、了解常用周期信号的傅里叶级数表示。
2、了解周期脉搏信号、语音信号及图像信号的傅里叶分析过程3、理解体会傅里叶分析的理论及现实意义三、实验仪器脉搏语音实验仪器，数字信号发生器，示波器四、实验原理1、周期信号傅里叶分析的数学基础任意一个周期为T 的函数f(t)都可以表示为傅里叶级数： 00010000000001()(cos sin )21()()1()cos()()1()sin()()n n n n n f t a a n t b n t a f t d t a f t n t d t b f t n t d t ππππππωωωωπωωωπωωωπ∞=---=++===∑⎰⎰⎰ 其中0ω为角频率，称为基频，0a 为常数，n a 和n b 称为第n 次谐波的幅值。
任何周期性非简谐交变信号均可用上述傅里叶级数进行展开，即分解为一系列不同次谐波的叠加。
对于如图1所示的方波，一个周期内的函数表达式为:(0t<)2() (-t 0)2h f t h ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：0100041()()sin(21)21411(sin sin 3sin 5)35n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞==--=+++∑ 同理：对于如图2所示的三角波，函数表达式为：4t (-t <)44()232(1) (t )44h T T f t t T T h T π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩ 其傅里叶级数展开为：1202100022281()(1)()sin(21)21811(sin sin 3sin 5)35n n h f t n t n h t t t ωπωωωπ∞-==---=-++∑图1 方波 图2 三角波从以上各式可知，任何周期信号都可以表示为无限多次谐波的叠加，谐波次数越高，振幅越小，它对叠加波的贡献就越小，当小至一定程度时(谐波振幅小于基波振幅的5%)，则高次的谐波就可以忽略而变成有限次数谐波的叠加，这对设计仪器电路是很有意义的。
傅里叶分析教程
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：昊知乎：Heinrich微博：花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及晶泊老师。
的同学请保留上面这句话，。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
第一章 傅里叶分析
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
1.傅里叶分析P1-P3-ENGLISH
Because some of articles are from English Internet station, I can't give the titles, and you will understand me.因为某些文章来自英文网站，所以我无法给出标题，这一点你们会理解我的。
Basic mission：reading the article 1，everyone.基本任务：每个人都要阅读文章1。
The number '1' in begin of the next double line is a code of mission for some students. We called your mission 'article 1', or A1.在双线前面的数字“1”是某些学生任务开始的代码，我们把你的任务成为“文章1”，或者A1。
=1==============================================================这篇文章的核心思想就是：The main idea of this article is:要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
To allow readers to understand Fourier analysis without looking at any mathematical formulas.傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所will you die for writing a funny textbook以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
傅里叶分析1
A y st
例1
1 1 2 / 2
3.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。
求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知
0.5
P
24 EI P sin t 解. k 11 l3 l P Pl 3 y st k 11 24 EI 1 4 1 2 / 2 3
l
=1
11
解: y st
1 1 Pl l 5 5 Pl l EI 2 2 2 6 48 EI 1 4 1 2 / 2 3 3 5 Pl A y st 36 EI
l
=1
11
I mA
5 P 48
2
mA
1 2 A 4 4 11
Q 35 kN , P 10 kN , n 500 转 / 分 .
m
l 0 . 722 10 7 m/N 48 EI 1 重力引起的弯矩 M Q Ql 35 kN 4 3 重力引起的位移 Q Q 11 2 .53 10 m
解.
11
3
(t ) m y y (t ) P sin t
2
例2：图示机器与基础总重量W=60kN，体系自振周期44.27s， 基 础 下 土 壤 的 抗 压 刚 度 系 数 为 cz=0.6N/cm3 ， 基 础 底 面 积 A=20m2 。当机器运转产生 P0sinθt， P0=20kN ，转速为 400r/min ，求振幅及地基最大压力。
3
29 Pl 48
P
5 P 48
5 Pl 96 动弯矩幅值图
例:求图示体系右端的质点振幅
P sin t
P m o
第5章傅里叶分析
ck
1 2
(a k
ib k ),
(5 .5)
c k
1 2
(a k
ib
k
)
则其复数形式为：
其中：
f ( t ) c k e ik t k
c k
1 T
T
2 f ( t ) e ik t
T 2
(5 .6 ) (5 .7 )
三、傅里叶变换
为了得到傅里叶变换的
具体形式，
首先考虑定义在－ l x l上的傅里叶
5 n 阶导数的傅里叶逆变换
为：
F － 1 f ( n ) (t ) ( it ) n F 1 f (t )
6 平移的傅里叶变换为：
F f (t a )( ) e ia F f ( )
7 傅里叶变换的比例性质 为：
F f (bt )( ) 1 F f ( )
b
b
8若t0时有f (t) 0,则：
由下式给出：
F t n f ( t ) ( ) i n d n F f ( ) dn
3 f与 n 乘积的傅里叶逆变换
由下式给出：
F 1 n f ( ) (t ) ( i ) n d n F 1 f (t ) dn
4 n 阶导数的傅里叶变换为
：
F f ( n ) ( ) (i ) n F f ( )
(5.2)
上式为一三角级数，当
n 时，即
f (t ) a 0 2 ( a k cos k t b k sin k t ) k 1
称为傅里叶级数。其中
a k , b k 为傅里叶系数，
可按最小二乘原理解出
为：
a 0
2 T
a k
2 T
T
傅里叶分析
感谢观看
这是哈代空间在高维度的推广 。
A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed.,Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.
,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.
基本简介
傅里叶分析（Fourier analysis）是分析学中逐渐形成的一个重要分支，它研究并扩展傅里叶级数和傅里叶 变换的概念，又称调和分析。在过去两个世纪中，它已成为一个广泛的主题，并在诸多领域得到广泛应用，如信 号处理、量子力学、神经科学等。
定义于R上的经典傅里叶变换仍然是一个十分活跃的研究领域，特别是在作用于更一般的对象（例如缓增广义 函数）上的傅里叶变换。例如，如果在函数或者信号上加上一个分布f，我们可以试图用f的傅里叶变换来表达这 些要求。Paley-Wiener定理就是这样的一个例子。Paley-Wiener定理直接蕴涵如果f是紧支撑的一个非零分布， （这包含紧支撑函数），则其傅里叶变换从不拥有紧支撑。这是在调和分析下的测不准原理的一个非常初等的形 式。参看经典调和分析 。
and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
E.Hewitt and,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2,Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.
傅里叶分析
分析学术语
第三章傅里叶分析教材
第3章傅里叶分析傅里叶分析是利用傅里叶变换来分析信号的一种通用工具，其实质是将信号分解成若 干个不同频率的正弦波之和。
它在信号处理的理论和应用中具有重要意义。
3.1傅里叶变换概述我们知道，傅里叶变换定义了以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱 函数”之间的某种变换关系，也就是说，傅里叶变换建立了时域和频域之间的联系。
所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就形成了各种不同形式的傅里叶变换对。
一、时间连续、频率连续的傅里叶变换( FT )其傅里叶变换公式为： 正变换 X(j 「」)=j-x(t)e jtdt反变换x(t)1"X(j.^e ji d^2兀J连续时间非周期信号 x(t)的傅里叶变换结果是连续的非周期的频谱密度函数X(j Q )，如图所示。
可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性， 而时域的非周期性造成频谱的连续性。
二、时间连续、频率离散的傅里叶变换一一傅里叶级数(FS )周期为T 的周期性连续时间函数x(t)可展开成傅里叶级数，其系数为X(jk Q 0), X(jk Q o )是离散频率的非周期函数。
x(t)和X(jk Q °)组成变换对，其变换公式为： 1 T/2正变换 X(jk ，S)=〒 _2X (t)e dt 反变换 x(t) = a X( j^10)e j^°tk =JO C I式中，k谐波序号；Q o =2 n /T ――两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔;x(t)和 X(jk Q °)之间的变换关系如图所示。
iztl)可见，时域函数的连续性造成频域函数的非周期性， 而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。
三、时间离散、频率连续的傅里叶变换一一序列的傅里叶变换( DTFT )1. DTFT 的定义序列的傅里叶变换公式为:X e (n)=1尹(n) 5]X °( n) 尹(叭xE]正变换O0X(e j')二 '、x(n)en 二 3反变换x(n)1X(e j)e j nd ‘2兀5注意:序列x( n )只有当n 为整数时才有意义，.否则没有定义。
傅里叶级数课程及习题讲解共14页word资料
第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数一 基本内容一、傅里叶级数 在幂级数讨论中1()nn n f x a x ∞==∑，可视为()f x 经函数系线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．1 三角函数系函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin ,x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．(1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为(),()()()d bn m n m au x u x u x u x x=⋅⎰，如果0 (),() 0 n m l m nu x u x m n ≠=⎧=⎨≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．由于1, sin 1sin d 1cos d 0nx nx x nx x ππππ--=⋅=⋅=⎰⎰；所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b 为常数2 以2π为周期的傅里叶级数定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积， 称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数 称为()f x 的傅里叶级数，记作这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x ．二、傅里叶级数收敛定理定理1 若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．定义2 如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若 [,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在；(,],(0)x a b f x ∀∈-，(0)f x '-存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．推论 如果()f x 是以2π为周期的连续函数，且在[,]ππ-上按 段光滑，则x R ∀∈，有()01()c o s s i n 2n nn a f x a nx b nx ∞==++∑．定义3 设()f x 在(,]ππ-上有定义，函数称()f x 为的周期延拓．二 习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) (),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<；解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 当1n ≥时，11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰所以11sin ()2(1)n n nxf x n ∞+==-∑，(,)x ππ∈-为所求． (ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 当1n ≥时， 所以1sin ()2n nxf x n π∞==-∑，(0,2)x π∈为所求． (2) 2()(i) (ii) 02f x =x , -π<x <π,<x <π；解：(i)、()2f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 当1n ≥时，所以221sin ()4(1)3nn nxf x n π∞==+-∑，(,)x ππ∈-为所求．解：(ii)()2f x =x (0,2)x ∈当n ≥所以1n f =)为所求．(3) 0()(,0,0)0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得 当1n ≥时，所以21()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n xn ππ∞=--=+--∑11sin ()(1)n n nxa b n ∞+=++-∑，(,)x ππ∈-为所求．2 设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有证：因为()f x ，sin nx ，cos nx 都是以2π为周期的可积函数，所以令2t x π=+有 从而2 1()cos d c n ca f x nx xππ+=⎰同理可得3 把函数04()04x f x x ππππ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出(1)11114357π=-+-+；(2) 111111357111317π=+--+-+；(3)11111157111317=-+-+-+．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得 当1n ≥时， 故11()sin(21),(,0)(0,)21n f x n x x n ππ∞==-∈--∑为所求．(1) 取2x π=，则11114357π=-+-+； (2) 由11114357π=-+-+得于是111111341257111317πππ=+=+--+-+；(3) 取3x π=，则111111457111317π⎫=-+-+-+⎪⎝⎭，所以11111157111317=-+-+-+．4 设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-，所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=，即()f x 是以2π为周期的函数． 于是由系数公式得 当1n ≥时，故当()()f x f x π+=-时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =，20k b =．5 设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=，所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得 当1n ≥时，故当()()f x f x π+=时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=，210k b -=．6 试证函数系cos , 0,1,2,nx n =和sin , 1,2,nx n =都是[0, ]π上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系．证：就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx ，因为n ∀，1,1d x ππ==⎰， 又01,cos cos d 0nx nx x π==⎰；,m n ∀，m n ≠时， 所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系． 就函数系{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx ，因为n ∀，又,m n ∀，m n ≠时，所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系． 但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,,sin ,cos ,}x x x x nx nx 不是 [0, ]π上的正交系． 实因：1,sin sin d 10x x x π==≠⎰．7 求下列函数的傅里叶级数展开式(1)(),022xf x x ππ-=<<； 解：(),02x f x x ππ-=<<当n 所以1n n =，(0,2)x π∈为所求． (2) ()f x x ππ-≤≤；解：()f x x ππ=-≤≤作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．因为2()2xxf xxxππ-≤<=⎨⎪≤≤⎪⎩，所以由系数公式得当1n≥时，所以211()cos41nf x nxn∞==-，(,)xππ∈-．而xπ=±时，(0)(0)()2f ffπππ±-+±+±，故211()cos41nf x nxn∞==-，[,]xππ∈-为所求．(3) 2(), (i) 02, (ii)f x ax bx c x xπππ=++<<-<<；解：(i)由系数公式得当1n≥时，故224()3af x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin,(0,2)na a bnx nx xn nππ∞=++-∈∑为所求．(ii)由系数公式得当1n≥时，故222()3af x ax bx c cπ=++=+2142(1)cos(1)sin,(,)n nna bnx nx xn nππ∞=+---∈-∑为所求．(4) ()ch,f x x xππ=-<<；解：由系数公式得当1n≥时，所以22sh(1)(1)nnanππ=-+．所以0nb=，故21211()ch sh(1)cos21nnf x x nxnππ∞=⎡⎤==+-⎢⎥+⎣⎦∑，(,)xππ∈-为所求．(5) ()sh,f x x xππ=-<<．解：由系数公式得当1n≥时，1sh cos d0na x nx xπππ-==⎰．所以122sh(1)(1)nnn xbnπ+=-+，故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nxn ππ∞+===-+∑，(,)x ππ∈-为所求．8 求函数221()(362)12f x x x ππ=-+的傅里叶级数展开式并应用它推出22116n n π∞==∑．解：由224()3a f x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a b nx nx x n n ππ∞=++-∈∑得而2(00)(20)6f f ππ+=-=，故由收敛定理得9 设()f x 为[],ππ-上光滑函数，()()f f ππ-=．且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数，,n n a b ''为()f x 的导函数()f x '的傅里叶系数．证明00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-= ．证：因为()f x 为[],ππ-上光滑函数，所以()f x '为[],ππ-上的连续函数，故可积．由系数公式得 当1n ≥时，1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰故结论成立．10 证明：若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中的系数,n n a b 满足关系{}33sup ,n n nn a n b M≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．证：设0()2a u x =，()cos sin n n n u x a nx b nx =+，1,2,n =．则0n ∀≥，()n u x 在R 上连续，且0()0u x '=，()sin cos nn n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续． 又x R ∀∈，()sin cos nn n u x n a nx n b nx '≤+ 而22Mn∑收敛，所以()()cos sin nn n u x nb nx na nx '=-∑∑在R 上一致收敛．故设01()(cos sin )2n n n a s x a nx b nx ∞==++∑，则且1()(cos sin )n n n s x na nx nb nx ∞='=-+∑在R 上连续．§15. 2 以2l 为周期的函数的展开一 基本内容一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数设()f x 是以2l 为周期的函数，作替换ltx π=，则()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是以2π为周期的函数，且()f x 在(, )l l -上可积()F t ⇔在(,)ππ-上可积． 于是 ()01()c o s s i n2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑， 其中 1()cos d ,n a F t nt t πππ-=⎰ 1()sin d n b F t nt tπππ-=⎰．令x t l π=得 从而 01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑．其中1()cos ,l n l n x a f x dx l l π-=⎰上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有 其只含余弦项，故称为余弦级数．同理，设()f x 是以2l 为周期的奇函数，则()cos f x nx 奇，()sin f x nx 偶．于是 1()cos d 0l n l n x a f x x l l π-==⎰， 从而01()sin2n n a n x f x a l π∞=+∑其只含正弦项，故称为由此可知，函数要展开为余弦级数必须作偶延拓．偶延拓() (0,)()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨-∈-⎩函数(),(0,)f x x l ∈要展开为正弦级数必须作奇延拓． 奇延拓二 习题解答1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1) ()cos f x x =(周期π)；解：函数()cos f x x =,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥由于()f x )是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得2222故121241()cos (1)cos241n n f x x nxn ππ∞+===+--∑，(,)x ∈-∞+∞为所求．(2) ()[]f x x x =-(周期1)；解：函数()[]f x x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．因12l =，所以由系数公式得 当1n ≥时，故1111()[]sin 22n f x x x n xn ππ∞==-=-∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． (3) 4()sin f x x =(周期π)；解：函数4()sin f x x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得 当1n ≥时，故4311()sin cos2cos4828f x x x x==-+，(,)x ∈-∞+∞为所求．(4) ()sgn(cos )f x x = (周期2π)．解：函数()sgn(cos )f x x =，(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l π=，所以由系数公式得当1n ≥时，2sgn(cos )cos d n a x nx xππ=⎰故14cos(21)()sgn(cos )(1)21nn n xf x x n π∞=+==-+∑，(,)x ∈-∞+∞． 2 求函数 01() 1 123 23x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩的傅里叶级数并讨论其收敛性．解：函数()f x ，(0,3)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因32l =，所以由系数公式得故2221231122()cos cos333n n n x f x n n πππ∞=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． 3 将函数()2f x xπ=-在[0,]π上展开成余弦级数．解：函数()2f x xπ=-，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得 当1n ≥时，故2141()cos(21),[0,]2(21)n f x x n x x n πππ∞==-=-∈-∑．4 将函数()cos2xf x =在[0,]π上展开成正弦级数． 解：函数()cos2xf x =，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图． 由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．故在[0, ]π上218()cos sin 241n x nf x nxn π∞===-∑为所求． 5 把函数102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩ 在(0, 4)上展开成余弦级数．解：函数()f x ，(0,4)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得当1n ≥时，402()cos d 44n n xa f x x π=⎰所以102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩22181(21)cos (21)2n n xn ππ∞=-=-∑为所求．6 把函数()2()1f x x =-在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出解：函数()f x ，(0,1)x ∈延拓为以2为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得当1n ≥时，1202(1)cos d n a x n x xπ=-⎰所以2221141(1)cos ,[0,1]3n x nx x n π∞=-=+∈∑．令0x =得22114113n n π∞==+∑，即22116n n π∞==∑． 7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) ()arcsin(sin )f x x =；解：函数()arcsin(sin )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得所以214(1)()arcsin(sin )sin(21)(21)nn f x x n x n π∞=-==--∑，x R ∈．(2) ()arcsin(cos )f x x =．解：函数()arcsin(cos )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于f 是偶函数，故其展开式为余弦级数．当n ≥所以2141()arcsin(cos )cos(21)(21)n f x x n xn π∞===--∑，x R ∈．8 试问如何把定义在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数()f x 延拓到区间(),ππ-内，使他们的傅里叶级数为如下的形式(1)211cos(21)n n an x∞-=-∑； (2) 211sin(21)n n bn x∞-=-∑．解：(1)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下：再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下：其图象如下．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得 当1n ≥时，201()sin d 0n b f x nx x ππ==⎰．所以211()cos(21)0,2n n f x a n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． (2) 先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下．再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下．)x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得 当1n ≥时，201()cos d 0n a f x nx x ππ==⎰所以211()sin(21)0,2n n f x b n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． §15. 3 收敛定理的证明一 基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则 其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．推论1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则推论2 设()f x 在[,]ππ-上可积，则定理2 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上可积，则此称为()f x 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理3 (收敛性定理) 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则定理4 如果()f x 在[,]ππ-上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则定理5 如果()f x 在[,]ππ-按段单调，则二 习题解答1 设()f x 以2π为周期且具有二阶连续的导函数，证明()f x 的傅里叶级数在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x ．证：由题目设知()f x 与()f x '是以2π为周期的函数，且光滑，故 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 且1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰于是2222111122n nn n nn a b a b a b nn n n ''⎛⎫⎛⎫''+=+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由贝塞尔不等式得221()nn n a b ∞=''+∑收敛，又211n n ∞=∑收敛，从而()012n n n a a b ∞=++∑收敛， 故01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑在(,)-∞+∞上一致收敛．2 设f 为[],ππ-上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则成立贝塞尔(Parseval)等式这里,n n a b 为f 的傅里叶系数．证：设()01cos sin 2mm n n n a S a nx b nx ==++∑，因为()f x 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于()f x ，所以0,0N ε∀>∃>，于是2(),()m m f x S f x S ε--<．而所以m N >时，故 ()2222011()d 2n n n a a b f x xπππ∞-=++=∑⎰．3 由于贝塞尔等式对于在[,]ππ-上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式．(1) 22118(21)n n π∞==-∑；(2) 22116n n π∞==∑； (3) 44190n π=∑． 解：(1) 取04()04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，由§1习题3得由贝塞尔等式得22111d 16(21)n x n ππππ∞-==-∑⎰， 即22118(21)n n π∞==-∑．(2) 取(),(,)f x x x ππ=∈-，由§1习题1 (1)得由贝塞尔等式得21211(1)2d n n x x n πππ+∞-=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑⎰，故22116n n π∞==∑．(3) 取2(),[,]f x x x ππ=∈-，由§1习题1 (2)得由贝塞尔等式得22242111(1)4d 23n n x x n ππππ∞-=⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰，故44190n π=∑． 4 证明：若,f g 均为[,]ππ-上可积函数，且他们的傅里叶级数在[,]ππ-上分别一致收敛于f 和g ，则其中,n n a b 为f 的傅里叶系数，,n n αβ为g 的傅里叶系数．证：由题设知01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，于是 1()()d (),()f xg x x f x g x πππ-=⎰而001(),cos sin ,222n n n a f x a nx b nx αα∞==++∑ 所以 00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．5 证明若f 及其导函数f '均在[,]ππ-上可积,()d 0f x x ππ-=⎰, ()()f f ππ-=，且成立贝塞尔等式，则证：因为()f x 、()f x '在[],ππ-上可积，()d 0f x x ππ-=⎰，()()f f ππ-=，设01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，由系数公式得 当1n ≥时，1()cos d na f x nx xπππ-''=⎰于是由贝塞尔等式得 总练习题151 试求三角多项式的傅里叶级数展开式．解：因为01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑是以2π为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得 当1k ≥时，故在(,)-∞+∞，01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑的傅里叶级数就是其本身．2 设f 为[,]ππ-上可积函数，0,,(1,2,,)k k a a b k n =为f 的傅里叶系数，试证明，当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时，积分[]2()()d n f x T x x ππ--⎰取最小值，且最小值为上述()n T x 是第1题中的三角多项式,0,,k k A A B 为它的傅里叶系数．证：设()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，且00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====，因为[]2()()d n f x T x xππ--⎰而()001()()d 2nn k k k k k A a f x T x x A a B b ππππ-==++∑⎰，所以[]2()()d n f x T x x ππ--⎰故当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时，积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值，且最小值为3 设f 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数，若级数n b ''∑绝对收敛，则证：因为()f x 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数，所以1()sin d nb f x nx xπππ-''''=⎰即211,n nn b b n ''∀≥=⋅，从而2111,2n n b n ⎛⎫''∀≥+ ⎪⎝⎭又n b ''∑绝对收敛，21n ∑收敛，所以n ∞=故结论成立．4 设周期为2π的可积函数()x ϕ与()x ψ满足以下关系式(1) ()()x x ϕψ-=； (2) ()()x x ϕψ-=-． 试问ϕ的傅里叶系数,n n a b 与ψ的傅里叶系数,n n αβ有什么关系？解：设()01()cos sin 2n n n a x a nx b nx ϕ∞==++∑，(1) 则当()()x x ϕψ-=时， 0n ∀≥，(2) 当()()x x ϕψ-=-时，0n ∀≥，5 设定义在[,]a b 上的连续函数列{}()n x ϕ满足关系 对于在[,]a b 上的可积函数f ，定义 证明21nn a∞=∑收敛，且有不等式 22 1[()]d bn an a f x x∞=≤∑⎰．证：在[,]a b 上的所有可积函数构成的集合中定义内积为则函数列{}()n x ϕ为标准正交系．令1()(),1,2,mm n n n S x a x m ϕ===∑，则,(),()n n n a f x x ϕ∀=，又 2 [()()]d b m af x S x x-⎰而11(),()(),()(),()mmn n n n n n n f x S x f x a x a f x x ϕϕ====∑∑于是222 1()d [()()]d 0mbn m an f x x a f x S x x ππ-=-=-≥∑⎰⎰，所以22 11,[()]d mbn a n m a f x x=∀≥≤∑⎰，即{}()m S x 有上界．故21nn a∞=∑收敛，且22 1[()]d bn an a f x x∞=≤∑⎰．。
傅里叶分析教程(完整版)
傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06Heinrich · 6 个月前作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
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傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06
Heinrich · 6 个月前
作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事
谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。
如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……
这篇文章的核心思想就是：
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。
但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。
老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。
（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。
所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。
至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
——————————————以上是定场诗——————————————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。
但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。
这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。
无论如何，耐下心，读下去。
这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
p.s.本文无论是cos还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。
一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。
这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。
而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。
但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？。