直线与平面垂直的判定定理

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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)

直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直,则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中,直线与平面垂直的应用非常重要, 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中,直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中,直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直,则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直,则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直,那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直,所以它们之间的夹角为90°,即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直,那么这

直线、平面垂直的判定及其性质

直线、平面垂直的判定及其性质
答案:B
5.如图,在三棱锥DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是 AC的中点,则下列命题中正确的有________(填序号).
①平面ABC⊥平面ABD; ②平面ABD⊥平面BCD; ③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE; ④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理 有DE⊥AC,DE∩BE=E,于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面 ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平 面ACD⊥平面BDE.故只有③正确.
解析:由正方体的性质,得A1B1⊥BC1,B1C⊥BC1,所以 BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1.故选C.
答案:C
2.(必修2P69练习题)如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别 是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,现在沿SE,SF及EF把这 个正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3三点重合,重合后的 点记为G,则在四面体SEFG中必有( )
垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的
角叫做二面角的平面角.
2.平面与平面垂直的判定定理
4.(2017· 浙江卷)如图,已知正四面体DABC(所有棱长均相 等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB, BQ CR = =2.分别记二面角DPRQ,DPQR,DQRP的平面角 QC RA 为α,β,γ,则( A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α )
A.SG⊥平面EFG C.GF⊥平面SEF
B.SD⊥平面EFG D.GD⊥平面SEF
解析:解法1:在正方形SG1G2G3中,SG1⊥G1E,SG3⊥ G3F,在四面体SEFG中,SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,所 以SG⊥平面EFG. 解法2:GF即G3F不垂直于SF,所以可以排除 C;在△GSD 中,GS=a(正方形边长),GD= 2 4 a,SD= 3 2 4 a,所以

平面与直线垂直的判定定理

平面与直线垂直的判定定理

平面与直线垂直的判定定理平面与直线垂直的判定定理是几何学中的一个重要定理,它用于判断一个平面与一条直线是否垂直。

在本文中,我们将详细介绍这个定理的证明过程,并给出一些相关的例子和应用。

1. 定义和背景知识在讨论平面与直线垂直的判定定理之前,我们先来回顾一些基本概念和定义。

1.1 平面平面是由无数个点组成的一个二维空间。

我们可以通过三个不共线的点来确定一个平面,这三个点称为该平面上的非共线点。

另外,我们也可以通过一条直线和一个不在该直线上的点来确定一个平面。

1.2 直线直线是由无数个点组成的一个一维空间。

一条直线可以由两个不重合的点唯一确定,也可以通过一个点和该直线上的一个向量来确定。

1.3 垂直两个几何对象(如平面、直线等)之间的垂直关系表示它们之间存在着90度(或π/2弧度)角度。

如果两个对象相交且相交处形成90度角,则称它们垂直。

2. 平面与直线垂直的判定定理平面与直线垂直的判定定理可以通过向量的内积来证明。

具体表述如下:定理:如果一个平面上的任意两个向量都与一条直线上的某个向量垂直,那么这个平面与这条直线垂直。

证明:假设平面上任意两个向量a和b都与一条直线上的向量c垂直。

我们需要证明a和b所在的平面与该条直线垂直。

考虑平面上任意一点P以及该点处的两个向量a和b。

我们可以将a和b表示为P到另外两个点A和B的向量,即a = PA,b = PB。

由于a和b与c均垂直,所以有以下关系式成立:a · c = 0b ·c = 0其中,·表示向量的内积运算。

我们可以将c表示为PA到PB的向量之差,即c = PB - PA。

将这个表达式代入以上两个关系式中,得到:(PB - PA) · PA = 0(PB - PA) · PB = 0展开以上两个关系式,并利用内积的性质进行化简,得到:PB · PA - PA · PA = 0PB · PB - PA · PB = 0再次化简,得到:PB · PA = PA · PAPB · PB = PA · PB由于PA和PB是平面上的向量,它们与自身的内积都是非负数。

直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定[新知初探]1.直线与平面垂直的定义(1)自然语言:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们惟一的公共点P叫做垂足.(2)图形语言:如图.画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3)符号语言:任意a⊂α,都有l⊥a⇒l⊥α.[点睛](1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”.2.直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.(2)图形语言:如图所示.(3)符号语言:a⊂α,b⊂α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b⇒l⊥α.[点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语,此处强调“相交”,若两条直线平行,则直线与平面不一定垂直.3.直线与平面所成的角(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角.(2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围:0°≤θ≤90°.[点睛]把握定义应注意两点:①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的;②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行()(2)若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b()(3)若a⊥b,b⊥α,则a∥α()答案:(1)×(2)√(3)×2.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的位置关系是()A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定解析:选D3.如图,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________;(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________.答案:(1)AB,AC,BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解[典例]下列说法正确的有________(填序号).①垂直于同一条直线的两条直线平行;②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直;③如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线与这个平面垂直;④若l与平面α不垂直,则平面α内一定没有直线与l垂直.[答案]②(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜交.(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.[活学活用]1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于()A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC解析:选C2.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________(填序号).答案:①③④线面垂直的判定[典例]如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线;(3)根据判定定理得出结论.[活学活用]如图,AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.(1)求证:AN⊥平面PBM.(2)若AQ ⊥PB ,垂足为Q ,求证:NQ ⊥PB . 证明:(1)∵AB 为⊙O 的直径, ∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ,∴PA ⊥BM . 又∵PA ∩AM =A ,∴BM ⊥平面PAM . 又AN ⊂平面PAM ,∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ,且BM ∩PM =M , ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM , PB ⊂平面PBM ,∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ,AN ∩AQ =A , ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ,∴PB ⊥NQ .直线与平面所成角[典例] 三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等且为所成角的余弦值. [解] 如图,过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ,连接AO ,BO ,CO .则SO ⊥AO ,SO ⊥BO ,SO ⊥CO .∵SA =SB =SC =a , ∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC , ∴AO =BO =CO , ∴O 为△ABC 的外心. ∵△ABC 为正三角形, ∴O 为△ABC 的中心. ∵SO ⊥平面ABC ,∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角. 在Rt △SAO 中,SA =a ,AO =23×32a =33a ,∴cos ∠SAO =AO SA =33,∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角:作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角),作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________;(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________;(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________.解析:(1)由线面角定义知,∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角,∠A1BA=45°.(2)如图,连接A1D,设A1D∩AD1=O,连接BO,则易证A1D⊥平面ABC1D1,∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB,∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O=12A1B,∴∠A1BO=30°.(3)∵A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1,∴A1B⊥平面AB1C1D,即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.答案:(1)45°(2)30°(3)90°层级一学业水平达标1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中,一定能推出m⊥β的是()A.α∥β,且m⊂αB.m∥n,且n⊥βC.m⊥n,且n⊂βD.m⊥n,且n∥β解析:选B2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线()A.平行B.相交C.异面D.以上皆有可能解析:选D.3.下列四个命题中,正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;②若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;③若一条直线平行于一个平面,另一条直线垂直于这个平面,则这两条直线互相垂直;④若两条直线垂直,则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直.A.①②B.②③C.②④D.③④解析:选D①②不正确.4.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.不确定解析:选C5.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是()A.60°B.45°C.30°D.120°解析:选A6.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在条件a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b中另外添加的一个条件是________.答案:a,b相交7.如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于________.答案:45°8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD 一定是________.答案:菱形9.如图,在四面体A-BCD中,∠BDC=90°,AC=BD=2,E,F分别为AD,BC的中点,且EF= 2.求证:BD⊥平面ACD.证明:取CD的中点为G,连接EG,FG.又∵E,F分别为AD,BC的中点,∴FG∥BD,EG∥AC.∵AC =BD =2,则EG =FG =1.∵EF =2,∴EF 2=EG 2+FG 2,∴EG ⊥FG , ∴BD ⊥EG .∵∠BDC =90°,∴BD ⊥CD . 又EG ∩CD =G ,∴BD ⊥平面ACD .10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是A 1B 1的中点,求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值.解:如图,取CD 的中点F ,连接EF 交平面ABC 1D 1于O ,连接AO ,B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体,易得B 1C ⊥BC 1,B 1C ⊥D 1C 1,BC 1∩D 1C 1=C 1,BC 1⊂平面ABC 1D 1,D 1C 1⊂平面ABC 1D 1,∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ,F 分别为A 1B 1,CD 的中点,∴EF ∥B 1C ,∴EF ⊥平面AC 1,即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角.在Rt △EOA 中,EO =12EF =12B 1C =22,AE =A 1E 2+AA 21= ⎝⎛⎭⎫122+12=52, ∴sin ∠EAO =EO AE =105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二 应试能力达标1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,与AD 1垂直的平面是 ( ) A .平面DD 1C 1C B .平面A 1DB 1 C .平面A 1B 1C 1D 1 D .平面A 1DB答案:B2.下面四个命题:①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条; ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条; ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个; ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个. 其中正确的是( ) A .①④ B .②③ C .①②D .③④解析:选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条,故①不正确;过一点和一个平面垂直的平面有无数个,故④不正确;易知②③均正确.故选B.3.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m解析:选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面,知选项B正确.4.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析:选D选项A正确,因为SD垂直于平面ABCD,而AC在平面ABCD内,所以AC垂直于SD;再由ABCD为正方形,所以AC垂直于BD,而BD与SD相交,所以AC垂直于平面SBD,进而垂直于SB.选项B正确,因为AB平行于CD,而CD在平面SCD内,AB不在平面SCD内,所以AB平行于平面SCD.选项C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO,SC与平面SBD所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等.选项D错误,AB与SC所成的角等于∠SCD,而DC与SA所成的角是∠SAB,这两个角不相等.5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________.解析:连接EB,由BB1⊥平面ABCD,知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中,BF=1,BE=5,则tan∠FEB=55.答案:5 56.如图所示,将平面四边形ABCD 沿对角线AC 折成空间四边形,当平面四边形ABCD 满足________时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能情况)解析:在平面四边形中,设AC 与BD 交于E ,假设AC ⊥BD ,则AC ⊥DE ,AC ⊥BE . 折叠后,AC 与DE ,AC 与BE 依然垂直,所以AC ⊥平面BDE ,所以AC ⊥BD .若四边形ABCD 为菱形或正方形,因为它们的对角线互相垂直,同上可证AC ⊥BD .答案:AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)7.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =AC =AA 1. (1)求证:AB 1⊥平面A 1BC 1.(2)若D 为B 1C 1的中点,求AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值. 解:(1)证明:由题意知四边形AA 1B 1B 是正方形, ∴AB 1⊥BA 1.由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1. 又∵A 1C 1⊥A 1B 1,AA 1∩A 1B 1=A 1, ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B , 又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B , ∴A 1C 1⊥AB 1.又∵BA 1∩A 1C 1=A 1,∴AB 1⊥平面A 1BC 1. (2)连接A 1D .设AB =AC =AA 1=1, ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1,∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角. 在等腰直角三角形A 1B 1C 1中,D 为斜边的中点, ∴A 1D =12×B 1C 1=22.在Rt △A 1DA 中,AD =A 1D 2+A 1A 2=62. ∴sin ∠A 1DA =A 1A AD =63,即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA 1=2,D 是A 1B 1的中点.(1)求证C1D⊥平面AA1B1B;(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.证明:(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D,又A1B1∩C1D=D,∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求.∵C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1=A1B1=2,∴四边形AA1B1B为正方形.又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,∴F为BB1的中点,。

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质

空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。

推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。

2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。

推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆O的直径,C就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,E为垂足,F就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA 1 =2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ?并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。

直线与平面垂直判定完整版课件

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绘制图表,将实验数据 可视化展示,便于分析 和比较。
03
分析实验数据,总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果,评估实 验方法的准确性和可靠 性,并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直,那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上,然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系,将 异面直线的方向向量表示 出来,然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上,通过投影长度和 原长度之间的关系,利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件,只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时,未明 确说明平面内的两条相交直线, 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范,如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系,包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求,确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质,建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值,注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形,标注已知 量和未知量。

直线平面垂直的判定及其性质

直线平面垂直的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
温故知新
1.直线与平面垂直的判定方法:①定义;②判定定理即:a⊥b,a ⊥c,b⊂α,c⊂α,,则a⊥α.
2.两平面的位置关系:.
3.角的定义:从平面内一点出发的两条所成的图形.
4.线面角的定义:一条直线与它在平面内的所成的锐角或直角.新课引入
建筑物验收时是这样检测墙面垂直度的;拿一根长度为2m的直板或棍子,使其保持与地面垂直,如果板子与墙面贴合,则说明墙面与地面是垂直的,反之则说明墙面没有与地面垂直.你知道为什么吗?本节我们就一起来研究这个问题.
阅读教材P67~69,回答下列问题.
1.二面角
棱为l,面分别为α,β的二面角记为.如图所示,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角。

直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件

直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平 面ABC,PC=4,M是AB上的一个动点,则PM的最小值为________.
M
25
11. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC 所在平面外一点,且SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图,过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l,AO⊥l,则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角. ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ,则 θ∈_[_0_,__π_]__.
π ④当 θ=___2_____时,二面角叫做直二面角.
7
2.学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如 有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的 垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
8
1.(2015·高考浙江卷)设 α,β是两个不同的平面,l,m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__,
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直,则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD, CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

直线垂直于平面的判定定理

直线垂直于平面的判定定理

直线垂直于平面的判定定理直线垂直于平面的判定定理一、引言在几何学中,直线和平面是最基本的概念之一。

我们通常需要判断一个直线是否垂直于一个平面。

因此,本文将介绍如何判定一条直线是否垂直于一个平面。

二、定义在三维空间中,我们定义:- 直线:由两个不同的点所确定的一条无限长的线段。

- 平面:由三个不共线的点所确定的一个无限大的平面。

三、判定条件为了判断一条直线是否垂直于一个平面,我们需要以下两个条件:- 直线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该平面法向量的内积为零。

- 直线与该平面法向量相互垂直。

下面我们将详细解释这两个条件。

3.1 直线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该平面法向量的内积为零假设有一个平面P,其法向量为n=(a,b,c),其中a、b、c均为实数。

另外,假设有一条通过点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)两个点的直线L。

首先,我们需要计算出从A到P上任意一点M(x,y,z)的向量v=(x-x1,y-y1,z-z1)。

然后,我们需要计算出该向量与平面法向量n的内积,即:v·n = (x-x1)*a + (y-y1)*b + (z-z1)*c如果该内积为零,则直线L垂直于平面P。

为什么这个条件成立呢?因为对于一个平面P,其法向量n垂直于该平面上的所有向量。

因此,如果一条直线L垂直于该平面P,那么它上面任意一点到该平面上任意一点的向量都应该与法向量n相互垂直。

而两个向量相互垂直时,它们的内积为零。

3.2 直线与该平面法向量相互垂直假设有一个平面P,其法向量为n=(a,b,c),其中a、b、c均为实数。

另外,假设有一条通过点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)两个点的直线L。

我们可以用两种方法来判断这条直线是否与该平面法向量相互垂直:- 方法一:计算出从A到B的向量u=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),然后计算出u与n的内积,即:u·n = (x2-x1)*a + (y2-y1)*b + (z2-z1)*c如果该内积为零,则直线L垂直于平面P。

7.5直线平面垂直的判定和性质

7.5直线平面垂直的判定和性质

3
∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE, ∴MG∥平面ADE.
同理,GN∥平面ADE.又∵GN∩MG=G,பைடு நூலகம்
∴平面MGN∥平面ADE.
又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE. ∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.
4.如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°的 菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB;
(2)∵PA=AB=BC,∠ABC=60°,故PA=AC.
∵E是PC的中点,故AE⊥PC.
由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥平面PCD,
故AE⊥PD. 易知BA⊥PD,故PD⊥平面ABE.
下图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图.
(1)若F为PD的中点,求证:AF⊥面PCD; (2)证明BD∥面PEC;
∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
(2)解:连接CG,DE,且CG与DE相交于H点, 在△PGC中作HF∥PG交PC于F点,连接DF, ∴FH⊥平面ABCD, ∴平面DHF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点,∴F是PC的中点,
∴在PC上存在一点F,满足平面DEF⊥面ABCD.
对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:
• • • • • • •
考点一 直线与平面垂直的判定与性质 1.直线l与平面α内的两条直线都垂直,则直线l与平面α的 位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直 C.在平面α内 D.无法确定
m n a
解析:直线l与平面α内的两条直线都垂直,因为不知道 b c 这两条直线是否相交,所以无法确定直线l与平面α的 位置关系. 答案:D
4.如图所示,已知空间四边形ABCD中,BC=AC,AD=BD,E 是AB的中点.

直线与平面垂直的判定以及性质

直线与平面垂直的判定以及性质

直线与平面垂直的实例解析
解析1
在第一个实例中,如果墙壁不与 地面垂直,那么铅锤线上的点将 不会都与地面上的点构成一条直 线,这表明墙壁存在倾斜。
解析2
在第二个实例中,如果木材边缘 不与工作台面垂直,那么它们之 间的交线将不会是一条直线,这 表明木材的边缘存在倾斜。
直线与平面垂直的实例应用
应用1
在建筑设计中,确保建筑物结构中的 直线与地面垂直是非常重要的,这有 助于确保建筑物的稳定性和安全性。
直线与平面垂直的性质应用
应用1
判断直线与平面的位置关系。通 过测量直线上的两点到平面的距 离是否相等,可以判断这条直线
是否与平面垂直。
应用2
求解点到直线的距离。如果已知点 在直线上,可以通过测量该点到平 面的距离来求解点到直线的距离。
应用3
求解点到平面的距离。如果已知点 在平面上,可以通过测量该点到直 线的距离来求解点到平面的距离。

反证法
03
假设直线与平面不垂直,然后通过推理和证明来得出
矛盾,从而证明原假设不成立,即直线与平面垂直。
02
直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直的性质定理
如果一条直线与平面垂直,那么这条直线上的任意一点到平面的距离都相等。
证明
假设直线$l$与平面$alpha$垂直,那么任意取直线$l$上的两点$A$和$B$,分 别作垂线$AC$和$BD$垂直于平面$alpha$,由于$AC perp BD$,根据勾股定 理,有$|AC| = |BD|$,即直线上的任意一点到平面的距离都相等。
如果一条直线与平面垂直,那 么这条直线上任意两点的连线 与平面的交线平行。
设直线$l$与平面$alpha$垂直, 在直线$l$上取两点$A$和$B$, 作线段$AB$与平面$alpha$的 交点为$C$和$D$,由于$AC perp BD$,根据平行线的判定 定理,有 $overleftrightarrow{CD} parallel l$。

面面垂直→线线垂直判定定理

面面垂直→线线垂直判定定理

面面垂直→线线垂直判定定理
平面垂直的判定定理:
一个平面过另一平面的,则这两个平面相互垂直。

面面垂直性质定理:
定理1:如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

定理2:如果两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面。

平面垂直的判定定理和性质如下:
平面垂直的判定定理:
一个平面过另一平面的,则这两个平面相互垂直。

推论1:如果一个平面的垂线平行于另一个平面,那么这两个平面互相垂直。

推论2:如果两个平面的垂线互相垂直,那么这两个平面互相垂直。

(可理解为垂直的平面互相垂直)
面面垂直性质定理1:
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

定理2:如果两个平面相互垂直,那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面。

推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

定理4:如果两个平面互相垂直,那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

(判定定理推论1的逆定理)
推论:如果两个平面互相垂直,那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。

(判定定理推论2的逆定理)。

直线与平面垂直及判定定理

直线与平面垂直及判定定理

平面? 的距离
.A
a
d ? AB ? B
例: 如果两条平行线中的一 条 垂直于一个平面,那么 另 一条也垂直于这个平面
三、线面垂直的判定
判定定理: 如果一条直线和一个平 面内的两 条相交直线都垂直,那 么这条直 线垂直于这个平面
图形:
a A
?m n
符号:若a ? m,a ? n, m ? n ? A,
直线与平面垂直 及判定定理
一、直线与平面垂直
圆锥的形成
a
?
如果直线 a与一个平面 ? 内的任意
一条直线都垂直,我们 就说
直线a与平面? 垂直
记作:a ? ?
直线a叫做平面? 的垂线 平面? 叫做直线a的垂面
直线与平面的交点叫做垂足
线面垂直的重要性质:
若直线和平面垂直,则该直线垂 直于平面中的任何一条直线。
m ? a, n ? a,则a ? ?
判断题:
(1)l ? ? ? l与? 相交 (2)m ? ? ,n ? ? ,l ? m, l? n? l? ? (3)l // m,m // n,l ? ? ? n??
1.共点的三条线段 OA、OB、 OC两两垂直,则OA与BC 的位置关系?
A
B O
C
练2.正方体AC1中,
? l ? ? ? l ? a
a? ?
思考:
在平面中,过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直,那么,在空间 :
过一点有几条直线与已知平面垂直?
过一点有几个平面与已知直线垂直?
结论: 过一点有且只有一条直 线与已知 平面垂直,过一点有且 只有一个 平面与已知直线垂直。
二、点到平面的距离
过平面? 外一点向平面 ? 引垂线,则

直线与平面垂直的判定定理符号语言

直线与平面垂直的判定定理符号语言

直线与平面垂直的判定定理符号语言
摘要:
1.直线与平面垂直的判定定理简介
2.符号语言的解释
3.判定定理的应用实例
4.总结与启示
正文:
【提纲】
1.直线与平面垂直的判定定理简介
在几何学中,直线与平面的关系是一个核心研究领域。

垂直性是其中一种重要的关系,而判定定理则是帮助我们判断直线与平面是否垂直的依据。

这个判定定理可以用如下符号语言来表示:
设直线L和平面α,若存在直线L"α,使得L"与L平行,则称直线L与平面α垂直。

记作:L⊥α。

【提纲】
2.符号语言的解释
在这个符号语言中,“⊥”表示垂直,“”表示包含关系,“∥”表示平行。

这个判定定理告诉我们,如果存在一条直线L"在平面α内,且与直线L平行,那么我们可以判断直线L与平面α是垂直的。

【提纲】
3.判定定理的应用实例
举个例子,假设有一根直线L位于平面α上,我们需要判断L与α的关系。

如果我们在α内找到一条直线L",使得L"与L平行,那么我们可以确定L 与α是垂直的。

反之,如果无论我们如何选择L",都无法使L"与L平行,那么我们可以推断出L与α不是垂直的。

【提纲】
4.总结与启示
直线与平面垂直的判定定理为我们提供了一种有效的方法来判断直线与平面的垂直关系。

通过运用符号语言和寻找平面内与直线平行的直线L",我们可以快速地确定直线与平面的垂直性。

这个判定定理在几何学和相关领域具有广泛的应用,是几何学基础中的重要知识。

线和面垂直的判定定理

线和面垂直的判定定理

线和面垂直的判定定理
具体来说,设直线上有一点P,平面上有一点Q,若直线上的任意一点P到平面上的点Q的连线与平面的法向量垂直(即点P到平面的距离与法向量的夹角为90度),则这条直线与该平面垂直。

另一种常用的判定方法是通过直线的方向向量和平面的法向量来判断。

如果直线的方向向量与平面的法向量的点积为0,则直线与平面垂直。

这是因为两个向量的点积为0意味着它们之间的夹角为90度,即垂直。

此外,还有一种常见的判定方法是利用向量的叉积。

如果直线的方向向量与平面的法向量进行叉积得到的结果为零向量,则直线与平面垂直。

总之,线和面垂直的判定定理可以通过以上几种方法来判断,这些方法都是基于向量的性质和几何关系的推导而来的。

在实际问题中,我们可以根据具体情况选择合适的方法来判断线和面是否垂直,从而解决相关的几何问题。

直线、平面垂直的判定与性质

直线、平面垂直的判定与性质

第五节 直线、平面垂直的判定与性质 一、基础知识1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义:直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直, 就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理[要求一平面只需过另一平面的垂线.] 二、常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中,∵P A⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,∴P A⊥CD,又∵AC⊥CD,且P A∩AC=A,∴CD⊥平面P AC.∵AE⊂平面P AC,∴CD⊥AE.(2)由P A=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=P A.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.∵PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD,AB⊂底面ABCD,∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD,且P A∩AD=A,∴AB⊥平面P AD,∵PD⊂平面P AD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.[解题技法] 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.(3)性质:①a∥b,b⊥α⇒a⊥α,②α∥β,a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l⇒l⊥γ.(客观题可用)[口诀归纳]线面垂直的关键,定义来证最常见,判定定理也常用,它的意义要记清.平面之内两直线,两线相交于一点,面外还有一直线,垂直两线是条件.[题组训练]1.(2019·安徽知名示范高中联考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,AB1∩A1B =E,D为AC上的点,B1C∥平面A1BD.(1)求证:BD⊥平面A1ACC1;(2)若AB=1,且AC·AD=1,求三棱锥A-BCB1的体积.解:(1)证明:如图,连接ED,∵平面AB1C∩平面A1BD=ED,B1C∥平面A1BD,∴B1C ∥ED , ∵E 为AB 1的中点, ∴D 为AC 的中点, ∵AB =BC ,∴BD ⊥AC .∵A 1A ⊥平面ABC ,BD ⊂平面ABC ,∴A 1A ⊥BD . 又∵A 1A ,AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线, ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.(2)由AB =1,得BC =BB 1=1,由(1)知AD =12AC ,又AC ·AD =1,∴AC 2=2,∴AC 2=2=AB 2+BC 2,∴AB ⊥BC , ∴S △ABC =12AB ·BC =12,∴V A -BCB 1=V B 1-ABC =13S △ABC ·BB 1=13×12×1=16. 2.如图,S 是Rt △ABC 所在平面外一点,且SA =SB =SC ,D 为斜边AC 的中点. (1)求证:SD ⊥平面ABC ;(2)若AB =BC ,求证:BD ⊥平面SAC .证明:(1)如图所示,取AB 的中点E ,连接SE ,DE , 在Rt △ABC 中,D ,E 分别为AC ,AB 的中点. ∴DE ∥BC ,∴DE ⊥AB , ∵SA =SB ,∴SE ⊥AB .又SE ∩DE =E ,∴AB ⊥平面SDE . 又SD ⊂平面SDE ,∴AB ⊥SD .在△SAC 中,∵SA =SC ,D 为AC 的中点,∴SD ⊥AC . 又AC ∩AB =A ,∴SD ⊥平面ABC . (2)∵AB =BC ,∴BD ⊥AC ,由(1)可知,SD ⊥平面ABC ,又BD ⊂平面ABC , ∴SD ⊥BD ,又SD ∩AC =D ,∴BD ⊥平面SAC .考点二 面面垂直的判定与性质[典例] (2018·江苏高考)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB ,AB 1⊥B 1C 1.求证:(1)AB ∥平面A 1B 1C ; (2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[证明] (1)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ∥A 1B 1.因为AB ⊄平面A 1B 1C ,A 1B 1⊂平面A 1B 1C ,所以AB ∥平面A 1B 1C . (2)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,四边形ABB 1A 1为平行四边形.又因为AA 1=AB ,所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B .因为AB 1⊥B 1C 1,BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC .因为A 1B ∩BC =B ,A 1B ⊂平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , 所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .[解题技法] 证明面面垂直的2种方法[题组训练]1.(2019·武汉调研)如图,三棱锥P -ABC 中,底面ABC 是边长为2的正三角形,P A ⊥PC ,PB =2.求证:平面P AC ⊥平面ABC .证明:取AC 的中点O ,连接BO ,PO . 因为△ABC 是边长为2的正三角形,所以BO ⊥AC ,BO = 3.因为P A ⊥PC ,所以PO =12AC =1.因为PB =2,所以OP 2+OB 2=PB 2,所以PO ⊥OB . 因为AC ∩OP =O , 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC , 所以平面P AC ⊥平面ABC .2.(2018·安徽淮北一中模拟)如图,四棱锥P -ABCD 的底面是矩形,P A ⊥平面ABCD ,E ,F 分别是AB ,PD 的中点,且P A =AD .求证:(1)AF ∥平面PEC ; (2)平面PEC ⊥平面PCD .证明:(1)取PC 的中点G ,连接FG ,EG ,∵F 为PD 的中点,G 为PC 的中点, ∴FG 为△CDP 的中位线, ∴FG ∥CD ,FG =12CD .∵四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点, ∴AE ∥CD ,AE =12CD .∴FG =AE ,FG ∥AE , ∴四边形AEGF 是平行四边形,∴AF ∥EG ,又EG ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC , ∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A =AD ,F 为PD 中点,∴AF ⊥PD , ∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , ∴P A ⊥CD ,又∵CD ⊥AD ,AD ∩P A =A , ∴CD ⊥平面P AD , ∵AF ⊂平面P AD , ∴CD ⊥AF . 又PD ∩CD =D , ∴AF ⊥平面PCD . 由(1)知EG ∥AF , ∴EG ⊥平面PCD , 又EG ⊂平面PEC , ∴平面PEC ⊥平面PCD .[课时跟踪检测]A 级1.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是() A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β解析:选C对于C项,由α∥β,a⊂α可得a∥β,又b⊥β,得a⊥b,故选C.2.(2019·湘东五校联考)已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l;②若α⊥β,则m∥l;③若m⊥l,则α⊥β;④若m∥l,则α⊥β.其中正确的命题是()A.①④B.③④C.①②D.①③解析:选A对于①,若α∥β,m⊥α,l⊂β,则m⊥l,故①正确,排除B.对于④,若m∥l,m⊥α,则l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β.故④正确.故选A.3.已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是()A.P A⊥BC B.BC⊥平面P ACC.AC⊥PB D.PC⊥BC解析:选C由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC,故A不符合题意;由BC⊥P A,BC⊥AC,P A∩AC=A,可得BC⊥平面P AC,所以BC⊥PC,故B、D不符合题意;AC⊥PB显然不成立,故C符合题意.4.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC内的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析:选A因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平央ABD,又AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上.5.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面P AEC.平面PDF⊥平面P AED.平面PDE⊥平面ABC解析:选D因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故选项A正确.在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,所以BC⊥平面P AE,又DF∥BC,则DF⊥平面P AE,从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B、C均正确.6.如图,已知∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△P AC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________个;与AP垂直的直线有________个.解析:∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC.∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,∴AB⊥平面P AC,又∵AP⊂平面P AC,∴AB⊥AP,与AP垂直的直线是AB.答案:3 17.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α∥β;②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行,则l∥α;③设α∩β=l,若α内有一条直线垂直于l,则α⊥β;④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直.其中所有的真命题的序号是________.解析:①正确;②正确;满足③的α与β不一定垂直,所以③错误;直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条相交直线垂直,所以④错误.故所有的真命题的序号是①②.答案:①②8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面α与棱AB,AC,A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1∥平面α.有下列三个命题:①四边形EFGH是平行四边形;②平面α∥平面BCC1B1;③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________.解析:如图所示,因为AA1∥平面α,平面α∩平面AA1B1B=EH,所以AA1∥EH.同理AA1∥GF,所以EH∥GF,又ABC-A1B1C1是直三棱柱,易知EH=GF=AA1,所以四边形EFGH是平行四边形,故①正确;若平面α∥平面BB1C1C,由平面α∩平面A1B1C1=GH,平面BCC1B1∩平面A1B1C1=B1C1,知GH∥B1C1,而GH∥B1C1不一定成立,故②错误;由AA1⊥平面BCFE,结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE,又EH⊂平面α,所以平面α⊥平面BCFE,故③正确.答案:①③9.(2019·太原模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD =60°,P A =PD =AD =2,点M 在线段PC 上,且PM =2MC ,N 为AD 的中点.(1)求证:AD ⊥平面PNB ;(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ,求三棱锥P -NBM 的体积. 解: (1)证明:连接BD . ∵P A =PD ,N 为AD 的中点, ∴PN ⊥AD .又底面ABCD 是菱形,∠BAD =60°,∴△ABD 为等边三角形, ∴BN ⊥AD ,又PN ∩BN =N ,∴AD ⊥平面PNB . (2)∵P A =PD =AD =2,∴PN =NB = 3.又平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD =AD ,PN ⊥AD ,∴PN ⊥平面ABCD , ∴PN ⊥NB ,∴S △PNB =12×3×3=32.∵AD ⊥平面PNB ,AD ∥BC , ∴BC ⊥平面PNB .又PM =2MC ,∴V P -NBM =V M -PNB =23V C -PNB =23×13×32×2=23. 10.如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1⊥A 1B 1.求证:(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ; (2)平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .证明:(1)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC ∥A 1C 1, 在△ABC 中,因为D ,E 分别为AB ,BC 的中点. 所以DE ∥AC ,于是DE ∥A 1C 1,又因为DE ⊄平面A 1C 1F ,A 1C 1⊂平面A 1C 1F , 所以直线DE ∥平面A 1C 1F .(2)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1, 因为A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1,所以AA 1⊥A 1C 1,又因为A 1C 1⊥A 1B 1,A 1B 1∩AA 1=A 1,AA 1⊂平面ABB 1A 1,A 1B 1⊂平面ABB 1A 1, 所以A 1C 1⊥平面ABB 1A 1, 因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1, 所以A 1C 1⊥B 1D ,又因为B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1∩A 1F =A 1,A 1C 1⊂平面A 1C 1F ,A 1F ⊂平面A 1C 1F ,所以B 1D ⊥平面A 1C 1F , 因为直线B 1D ⊂平面B 1DE , 所以平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .B 级1.(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥P -ABC 中,AB =BC =22,P A =PB =PC =AC =4,O 为AC 的中点.(1)证明:PO ⊥平面ABC ;(2)若点M 在棱BC 上,且MC =2MB ,求点C 到平面POM 的距离. 解:(1)证明:因为P A =PC =AC =4,O 为AC 的中点, 所以PO ⊥AC ,且PO =2 3. 连接OB , 因为AB =BC =22AC , 所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB =12AC =2.所以PO 2+OB 2=PB 2,所以PO ⊥OB . 又因为AC ∩OB =O ,所以PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ,垂足为H ,又由(1)可得OP ⊥CH , 所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC =12AC =2,CM =23BC =423,∠ACB =45°,所以OM =253,CH =OC ·MC ·sin ∠ACB OM =455.所以点C 到平面POM 的距离为455.2.(2019·河南中原名校质量考评)如图,在四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD =2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD ,E ,F 分别是CD ,PC 的中点.求证:(1)BE ∥平面P AD ; (2)平面BEF ⊥平面PCD .证明:(1)∵AB ∥CD ,CD =2AB ,E 是CD 的中点, ∴AB ∥DE 且AB =DE ,∴四边形ABED为平行四边形,∴AD∥BE,又BE⊄平面P AD,AD⊂平面P AD,∴BE∥平面P AD.(2)∵AB⊥AD,∴四边形ABED为矩形,∴BE⊥CD,AD⊥CD,∵平面P AD⊥底面ABCD,平面P AD∩底面ABCD=AD,P A⊥AD,∴P A⊥底面ABCD,∴P A⊥CD,又P A∩AD=A,∴CD⊥平面P AD,∴CD⊥PD,∵E,F分别是CD,PC的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF,又EF∩BE=E,∴CD⊥平面BEF,∵CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.。

直线与平面垂直判定定理证明

直线与平面垂直判定定理证明

直线与平面垂直判定定理证明直线与平面垂直判定定理是几何学中的一个重要定理,用来判断一条直线是否与一个平面垂直。

在几何学中,垂直是指两个物体或图形之间的角度为90度。

直线与平面垂直判定定理可以帮助我们解决很多与垂直有关的问题,如求解两个平面的交线、判断两个平面是否平行等。

我们来了解一下直线与平面的基本概念。

直线是由无数个点组成的,它在空间中没有宽度和厚度,可以看作是无限延伸的。

平面是由无数个点组成的,它在空间中有长度和宽度,但没有厚度,可以看作是无限大的。

直线与平面垂直判定定理的表述如下:如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,则该直线与该平面垂直。

为了证明这个定理,我们需要从几何学的基本定理出发,逐步推导出直线与平面垂直的条件。

我们先假设一条直线L与一个平面P相交于点A。

我们再在平面P 上任取两条不相交的直线BC和DE,并分别过点A作BC和DE的垂线,分别交于点F和G。

根据几何学的基本定理,如果两条直线互相垂直,则它们的斜率之积为-1。

我们可以计算直线L与直线BC和DE的斜率,分别为k1和k2。

由于直线L与平面P相交,所以直线L与平面P上的所有直线都垂直。

因此,直线L与直线BC和DE垂直,根据斜率之积为-1的条件,我们可以得出以下结论:k1 * k2 = -1接下来,我们需要证明直线L与平面P上的所有直线都垂直。

我们可以通过反证法来证明。

假设存在一条直线LM在平面P上,与直线BC不垂直。

根据几何学的基本定理,如果两条直线不垂直,则它们的斜率之积不为-1。

假设直线LM的斜率为k3,则有:k1 * k3 ≠ -1由于直线L与平面P上的所有直线都垂直,所以直线L与直线LM也应该垂直。

这与我们的假设相矛盾,因此假设不成立,即直线L与平面P上的所有直线都垂直。

我们可以得出直线与平面垂直判定定理:如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,则该直线与该平面垂直。

通过直线与平面垂直判定定理,我们可以解决很多与垂直有关的问题。

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内使因找得为出b直与两线它条a们⊥相垂α交直,直?根线, a 据直线与平面垂直的
定义知 a⊥m,a⊥n.
α
又因为 b∥a,
所以 b⊥m,b⊥n.
又 m α , n α,
m, n是两条相交直线,
所以 b⊥α
b
n m
1、如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,
求证VB⊥AC.
分析证:明(:1)取要AC证的线中线点垂D,直连,结首D先V证、线DB面垂直
V
K
C
E
F
B
⑵ 在⑴的条件下,有人说“VB⊥AC,
VB⊥EF, VB⊥平面ABC”,对吗?
小结
要证线面垂直(根据定理: 一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直,则该直 线与此平面垂直。)
V
(2∵∴∴)V△A是AACVC=⊥哪A⊥VCDC一V与V,B个△所A面BAB在=CA?⊥的CB都CD面是B,等应腰该三角形 ∵D给V∩出DVBA==OVC,AB=BC可 A ∴∴AA以等CC⊥⊥知腰平V道三B面△角V形VDABC与△BAC都是
C D
B
变式:
⑴若E、F分别是AB、BC 的中 点 置关,系试判.断EF与平面VKB的位A
直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
大桥的桥柱与水面垂直
一条直线与一个平面垂直的意义是什么?
A
α
B 直线垂直于内任意一条过点B的线直.线垂直.
与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直.
直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直,
α
C1
C
定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直,则该直线与此平面垂直。
符号语言:
a
b a


b

P

l


la

l b
思想:线线垂直
线面垂直
例1 一旗杆高8m,在它的顶点处系两条长10m的绳 子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 (与旗杆脚不在同一直线上)。如果这两点与旗杆 脚距6m,那么旗杆就与地面垂直。为什么?
线线垂直 性质定理 线面垂直
思考
(1)一条直线l与平面α内一条直线垂直可以判断
直线l与平面α垂直吗?
l
α
a
(2)一条直线l与平面α内无数条直线垂直呢?
AA1 A1
A
实验AD:作如为下BC图边,上请的同高学时们,准A备D 一块α,三这角形的纸片。
时AD BC,即AD BD,AAD CD,BD∩CD=D.
P
又因为OA∩OB=O,
所以OP⊥α. 因此,旗杆OP与地面垂直.
O
A
B
例2 如图,已知OA、OB、OC两两垂直A (1)求证:OA⊥平面OBC (2)求证:OA⊥BC
分证析明:(1)要∵O证AO、AO⊥B平、面OCO两BC两,垂直
必须在∴平OA面⊥OOBBC,中O找A出⊥两O条C,
O
与OA又垂∵直O的B相∩O交C直=O线。因
结论:AD⊥BD,AD⊥CD,BD∩CD=D,
有AD⊥α.
A1
A
思考:是否BBB1 1把平面D中1DD的1 直线一B 一找出,CC1D才能
证明直线与平面B 垂直D?
C
过 ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕ACD,将翻折后的
纸( (片12竖))起折如放痕 何置A翻在D折C与桌1才桌B面1能面上使垂(折直B痕D吗,与?DD桌1C面与所桌B 在面的接平触面)α。垂D直?
解分(:析1因如):为图两A,点,旗与O杆旗,P杆BO三脚=点8确m不定,共的两线平绳,面长就PA是=地PB面=1。0m,OA=OB=6m
(2又所)以因能A否为,在POO平,2面B+三O上点A找2确=出定P两A平条2,面相Pα交O(直2即+线O地,B面2使=所得PB旗在2,杆面与)它们垂直
所以OP⊥OA ,OP⊥OB.
为OA∴、OOAB⊥、平O面C两OB两C垂直 B
C
OA⊥OB、OA⊥OC.
OA⊥OC,且OB∩OC=O.
(2)∵ OA⊥平面OBC
(2)OA⊥B平C 面O平B面C,OOBCA
垂直平面∴内OA任⊥意B一C条直线.
例2 如图,已知a∥b,a⊥α, 求证b⊥α.
证明:在平面内作两条
分析:相能交否直在线平m面,αn.
我们说直线 l 与平面 互相垂直, 记作 l .
垂足

平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
概念辨析
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直,则直线 l 和平面 α互相垂直( )
l
C

B
2. a ,b a b (✓ )
直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线
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