直线与平面垂直的判定定理

V
K
C
E
F
B
⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC，
VB⊥EF， VB⊥平面ABC”，对吗？
小结
要证线面垂直（根据定理： 一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，则该直 线与此平面垂直。）
V
（2∵∴∴）V△A是AACVC=⊥哪A⊥VCDC一V与V，B个△所A面BAB在=CA？⊥的CB都CD面是B，等应腰该三角形 ∵D给V∩出DVBA==OVC，AB=BC可 A ∴∴AA以等CC⊥⊥知腰平V道三B面△角V形VDABC与△BAC都是
C D
B
变式：
⑴若E、F分别是AB、BC 的中 点 置关，系试判．断EF与平面VKB的位A
α
C1
C
定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
a
b a


b

P

l


la

l b
思想：线线垂直
线面垂直
例1 一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳 子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点 （与旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点与旗杆 脚距6m，那么旗杆就与地面垂直。为什么？
为OA∴、OOAB⊥、平O面C两OB两C垂直 B
C
OA⊥OB、OA⊥OC.
OA⊥OC，且OB∩OC=O.
（2）∵ OA⊥平面OBC
（2）OA⊥B平C 面O平B面C，OOBCA
垂直平面∴内OA任⊥意B一C条直线.
例2 如图，已知a∥b,a⊥α, 求证b⊥α.
证明：在平面内作两条
分析：相能交否直在线平m面，αn.
结论：AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，
有AD⊥α.
A1
A
思考：是否BBB1 1把平面D中1DD的1 直线一B 一找出，CC1D才能
证明直线与平面B 垂直D？
C
过 ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕ACD，将翻折后的
纸（ （片12竖））起折如放痕 何置A翻在D折C与桌1才桌B面1能面上使垂（折直B痕D吗，与？DD桌1C面与所桌B 在面的接平触面）α。垂D直？
内使因找得为出b直与两线它条a们⊥相垂α交直，直？根线， a 据直线与平面垂直的
定义知 a⊥m，a⊥n.
α
又因为 b∥a，
所以 b⊥m，b⊥n.
又 m α ， n α，
m， n是两条相交直线，
所以 b⊥α
b
n m
1、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，
求证VB⊥AC.
分析证：明（：1）取要AC证的线中线点垂D，直连，结首D先V证、线DB面垂直
解分（：析1因如）：为图两A，点，旗与O杆旗，P杆BO三脚=点8确m不定，共的两线平绳，面长就PA是=地PB面=1。0m，OA=OB=6m
（2又所）以因能A否为，在POO平，2面B+三O上点A找2确=出定P两A平条2，面相Pα交O（直2即+线O地，B面2使=所得PB旗在2，杆面与）它们垂直
所以OP⊥OA ，OP⊥OB.
直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
大桥的桥柱与水面垂直
一条直线与一个平面垂直的意义是什么？
A
α
B 直线垂直于平面
旗杆AB所在直线
内的任意一条直
与地面内任意一条过点B的线直．线垂直．
与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．
直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
线线垂直 性质定理 线面垂直
思考
（1）一条直线l与平面α内一条直线垂直可以判断
直线l与平面α垂直吗？
l
α
a
（2）一条直线l与平面α内无数条直线垂直呢？
AA1 A1
Baidu Nhomakorabea
A
实验AD：作如为下BC图边，上请的同高学时们，准A备D 一块α，三这角形的纸片。
时AD BC，即AD BD，AAD CD，BD∩CD=D.
我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
垂足

平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
概念辨析
1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（ ）
l
C

B
2. a ,b a b (✓ )
直线 l 垂直于平面α ，则直线 l 垂直于 平面α中的任意一条直线
P
又因为OA∩OB=O，
所以OP⊥α. 因此，旗杆OP与地面垂直.
O
A
B
例2 如图，已知OA、OB、OC两两垂直A （1）求证：OA⊥平面OBC （2）求证：OA⊥BC
分证析明：（1）要∵O证AO、AO⊥B平、面OCO两BC两，垂直
必须在∴平OA面⊥OOBBC，中O找A出⊥两O条C，
O
与OA又垂∵直O的B相∩O交C直=O线。因