平面向量题型归纳总结

平面向量题型归纳

一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】

1．向量的概念常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A （1,2），B （4,2）按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是

2.向量的模：向量的大小（或长度）

3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

4．：长度为1e (||

AB AB )；

5．

6．平行向量（也叫共线向量）：规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, ③平行向量无传递性（因为有0)

AB AC 、

如图，下列结论中正确的是 （ ）

A.AB CD = AB AD BD -=

7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 、AB BA =-。

例：下列命题：（若a b =，a b =。（2）若,b =（6）

则//a c 。3DC =，则ABCD 是平行四边形。（4_______

题型1、基本概念 1

①若|a |＝|b |，则a =b ；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；

a b ，b c a 其中正确的序号是 。

2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD

（5A、B、C、D四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7

（8（9

（10

（11（12

二、向量加减运算

8.三角形法则：

9.平行四边形法则：

题型2.向量的加减运算

1

2的最大值和最小值分别为、。

=，则必有( )

3AD AB AD

A. B.

题型3.向量的数乘运算

1、计算：（1 （2

题型4.作图法求向量的和

1

题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1

2

题型6.向量的坐标运算

1、已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则1

32

a b -

= 。 练习：若物体受三个力1(1

,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。 2、已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。 3、.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。

2、已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。

5

三．平面向量的基本定理：如果e1和e

一向量a a12。

基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1、已知

是平面的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12

练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（）

e

2、.）

3、知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于

4A 、B 、D 三点共线，求k 的值.

5、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足

α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为 （ ）

A ．3x +2y -11=0

B ．(x -1)2+(y -2)2=5

C ．2x -y =0

D ．x +2y -5=0 四．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角

实数与向量的积：实数λ与向量

()

,2a

a λ=当λ时，λa 的方向与

的方向相反，当λ＝0注意

例1、已知,AD BE 分别是,向量,a b 表示为_____

例2、已知ABC ∆中，

的值是

2．平面向量的数量积：，我们把数量|a

b 的数量积（或积或点积）cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 31．交换律：a b b a +=+，()

()a a λμλμ=，a b b a •=•；2．结合律：()

(

),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ•=•=•；

3．分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +•=•+•。

题型8：有关向量数量积的判断

1（1若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立； （3c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)；（4）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立；

（50,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =；（6）对任意向量a ，有2

2a a = (7)b a +）=m a +m b 其中正确的序号是 。 、下列命题中：① →

→→

→→

→

→

⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →

→

→→

→→

⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ )a b -2

||a =2

2||||||a b b →→→

-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→

b ；⑤若,

a b c b ⋅=⋅a c =；⑥2

2

a a =；⑦2

a b b a

a

⋅=

；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨22

2

()2a b a a b b -=-⋅+。其中

正确的是______

题型9、求单位向量 【与a 平行的单位向量：||

a e a =±

】

1.平行的单位向量是 。

2.1

1,)2

平行的单位向量是

题型10 ||||

a b

a b ⋅⋅

向量的模：2x y =

+2()a b =+

1中，3||=AB ，4||=AC ，5||=BC ，则=⋅BC AB _________

21

1(1,),(0,),,22a b c a kb d a ==-=+=-的夹角为

4

，则____

3|3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为601，（2） （31

)2

b b -⋅，（4）(2)(3)a b a b -⋅+