高中数学321 指数概念的扩充课件 北师大版必修1
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大家好
1
第三章 指数函数和对数函数
§2 指数扩充及其运算 性质
2．1 指数概念的扩充
1．问题导航 (1)分数指数幂是如何定义的？ (2)分数指数幂与根式有什么关系？ (3)若 a 为常数(a>0 且 a≠1)，a 2是一个确定的实数吗？ 2．例题导读 (1)P64 例 1.通过本例学习，体会根据定义表示分数指数幂． (2)P64 例 2.通过本例学习，体会分数指数幂的计算方法．
解析：因为 m10＝2，所以 m 是 2 的 10 次方根．
又因为 10 是偶数，所以 2 的 10 次方根有两个，且互为相反
数．所以 m＝±10 2.
3．化简3 （－64）2的结果为___1_6____． 解析：3 （－64）2＝3 84＝ 3 （24）3＝24＝16.
对分数指数幂概念的说明 (1)分数指数幂 amn不是mn 个相同因式 a 相乘，它实质上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
易错警示 因忽略分数指数幂中的限制条件条件而致误 化简： 3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4.
[解] 3 （1＋ 2）3＋ 4 （1－ 2）4＝(1＋ 2)＋|1－ 2|＝1 ＋ 2＋ 2－1＝2 2.
1．若 x5＝7，则 x＝( B )
A．－ 5 7
B.5 7
C．± 5 7
D．不确定
解析：由分数指数幂的定义
(1)a8＝3；(2)a3＝25；(3)a－2n＝e3m(m，n∈N＋)．
(链接教材 P64 例 1) [解] 由分数指数幂的概念知：
1
5
3m
－
(1)a＝38.(2)a＝23.(3)a＝e 2n (m，n∈N＋)．
A．2x2y
3.(1)化简 4 16x8y4(x<0，y<0)得( D ) B．2xy
3
－
对于 D，4 2
＝4132，12－3＝2113，
故不相等，所以选 C.
故选 A.
4．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( C )
1
2
A．a3与 a6
2
1
B．0 与 02
1
1
3
－
C．22和 44
D．4 2
解析：在 A 中，对 a 没有限制条件．
和12－3
1 2
在 B 中，0 与 02，虽然值相等，但不符合分数指数幂的定义．
1 1
对于 C，44＝4 22＝22 ，
(1)当 n∈N＋时，(n －3)n 都有意义．( × ) (2) （π－4）2＝4－π.( √ ) (3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( √ ) (4)0 的任何指数幂都等于 0.( × )
2．已知 m10＝2，则 m 等于( D )
A.10 2
B．－10 2
C. 210
D．±10 2
1
x＝75＝
5
7.
1
2．式子 92－70 的值等于( C )
A．－4
C．2
1
1
2×
解析：92－70＝3 2－1＝3－1＝2.
B．－10 D．3
3．若 a＝3 （3－π）3，b＝4 （2－π）4，则 a＋b 的值为
( A) A．1
B．5
C．－1
D．2π－5
解析：因为 a＝3－π，b＝|2－π|＝π－2，所以 a＋b＝1，
n (2)
an与( n
a)n
的区别：
①n an是实数 an 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受 n 的奇偶性限制：
当 n 为大于 1 的奇数时，n an＝a；当 n 为大于 1 的偶数时，
n an＝|a|.
探究点一 分数指数幂的概念
把下列各式中的 a(a>0)写成分数指数幂的形式：
＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿：
1
m
m
－
a
n
＝____a_n____
(a＞0，m，n∈N＋，且
n＞1)．
(3)0 的正分数指数幂等于__0__，0 的负分数指数幂__没__有__意__义__．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．分数指数幂
给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)，存在 唯一的正实数 b，使得 bn＝am，就把 b 叫作 _a_的__mn__次__幂____，
m
记作____b_＝__a_n _____．它就是分数指数幂．
(1)正分数指数幂也可写成根式的形式，即 amn＝___n__a_m___ (a
C．4x2y
D．－2x2y
(2)若 a2－2a＋1＝1－a，则实数 a 的取值范围是_(－__∞__，__1_]_． 解析：(1)因为 x<0，y<0，所以4 16x8y4＝4 16（－x）8（－y）4
Baidu Nhomakorabea
＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
(2)因为 a2－2a＋1＝|1－a|＝1－a，所以 1－a≥0，a≤1.
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第三章 指数函数和对数函数
§2 指数扩充及其运算 性质
2．1 指数概念的扩充
1．问题导航 (1)分数指数幂是如何定义的？ (2)分数指数幂与根式有什么关系？ (3)若 a 为常数(a>0 且 a≠1)，a 2是一个确定的实数吗？ 2．例题导读 (1)P64 例 1.通过本例学习，体会根据定义表示分数指数幂． (2)P64 例 2.通过本例学习，体会分数指数幂的计算方法．
解析：因为 m10＝2，所以 m 是 2 的 10 次方根．
又因为 10 是偶数，所以 2 的 10 次方根有两个，且互为相反
数．所以 m＝±10 2.
3．化简3 （－64）2的结果为___1_6____． 解析：3 （－64）2＝3 84＝ 3 （24）3＝24＝16.
对分数指数幂概念的说明 (1)分数指数幂 amn不是mn 个相同因式 a 相乘，它实质上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
易错警示 因忽略分数指数幂中的限制条件条件而致误 化简： 3 （1＋ 2）3＋4 （1－ 2）4.
[解] 3 （1＋ 2）3＋ 4 （1－ 2）4＝(1＋ 2)＋|1－ 2|＝1 ＋ 2＋ 2－1＝2 2.
1．若 x5＝7，则 x＝( B )
A．－ 5 7
B.5 7
C．± 5 7
D．不确定
解析：由分数指数幂的定义
(1)a8＝3；(2)a3＝25；(3)a－2n＝e3m(m，n∈N＋)．
(链接教材 P64 例 1) [解] 由分数指数幂的概念知：
1
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3m
－
(1)a＝38.(2)a＝23.(3)a＝e 2n (m，n∈N＋)．
A．2x2y
3.(1)化简 4 16x8y4(x<0，y<0)得( D ) B．2xy
3
－
对于 D，4 2
＝4132，12－3＝2113，
故不相等，所以选 C.
故选 A.
4．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( C )
1
2
A．a3与 a6
2
1
B．0 与 02
1
1
3
－
C．22和 44
D．4 2
解析：在 A 中，对 a 没有限制条件．
和12－3
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在 B 中，0 与 02，虽然值相等，但不符合分数指数幂的定义．
1 1
对于 C，44＝4 22＝22 ，
(1)当 n∈N＋时，(n －3)n 都有意义．( × ) (2) （π－4）2＝4－π.( √ ) (3)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式．( √ ) (4)0 的任何指数幂都等于 0.( × )
2．已知 m10＝2，则 m 等于( D )
A.10 2
B．－10 2
C. 210
D．±10 2
1
x＝75＝
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7.
1
2．式子 92－70 的值等于( C )
A．－4
C．2
1
1
2×
解析：92－70＝3 2－1＝3－1＝2.
B．－10 D．3
3．若 a＝3 （3－π）3，b＝4 （2－π）4，则 a＋b 的值为
( A) A．1
B．5
C．－1
D．2π－5
解析：因为 a＝3－π，b＝|2－π|＝π－2，所以 a＋b＝1，
n (2)
an与( n
a)n
的区别：
①n an是实数 an 的 n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受 n 的奇偶性限制，a∈R，但这个式子的值受 n 的奇偶性限制：
当 n 为大于 1 的奇数时，n an＝a；当 n 为大于 1 的偶数时，
n an＝|a|.
探究点一 分数指数幂的概念
把下列各式中的 a(a>0)写成分数指数幂的形式：
＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)．
(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿：
1
m
m
－
a
n
＝____a_n____
(a＞0，m，n∈N＋，且
n＞1)．
(3)0 的正分数指数幂等于__0__，0 的负分数指数幂__没__有__意__义__．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．分数指数幂
给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)，存在 唯一的正实数 b，使得 bn＝am，就把 b 叫作 _a_的__mn__次__幂____，
m
记作____b_＝__a_n _____．它就是分数指数幂．
(1)正分数指数幂也可写成根式的形式，即 amn＝___n__a_m___ (a
C．4x2y
D．－2x2y
(2)若 a2－2a＋1＝1－a，则实数 a 的取值范围是_(－__∞__，__1_]_． 解析：(1)因为 x<0，y<0，所以4 16x8y4＝4 16（－x）8（－y）4
Baidu Nhomakorabea
＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
(2)因为 a2－2a＋1＝|1－a|＝1－a，所以 1－a≥0，a≤1.