高三数学-函数的单调性复习课件

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对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做 f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。
新课引入
y 1
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？
2.在x＝1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角
为
(锐角/钝角)?他的斜率有什么特征？
3.由导数的几何意义，你可以得到什么结论？
∴x∈(-∞,2)时， f (x) 是减函数
y
2
o
x
例2 确定函数f (x) 2x3 6x2 7 ，在哪个区间 是增函数，那个区间是减函数。
解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)
y
f '(x) 6x2 12 x
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0
∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数
画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y1 x
y x2 2x 1 y 3x
y
y
y
o
x
1
o
x
1
o
x
在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞） 在（－ ∞ ，1）上是
上分别是减函数。但在定义域 减函数，在（1, ＋∞）
上不是减函数。
上是增函数。
在(－ ∞,＋∞) 上是增函数
复习：单调性的概念
解: (1)求函数的定义域
函数f (x)的定义域是(－ ∞,＋∞) （2）求函数的导数
f ' (x) 2x 4 （3）令 f '(x) 0 以及 f '(x) 0
求自变量x的取值范围，也即函数的单调 区间。令2x－4>0,解得x>2
∴x∈(2,＋∞)时， f (x) 是增函数
令2x－4<0,解得x<2
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 如果恒有 如果恒有
，则 f(x)在是增函数。
f’(，x)则>0f(x)是减函数。 f’(，x)则<0f(x)是常数。 f’(x)＝0
步骤：
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x 的取值范围，即函数的单调区间。
2
2
令y' 4x2 1 0解得x 1 或0 x 1
x
2
2
在(, 1 )和(0, 1 )上，f (x)是减函数。
2
2
例4.已知函数f (x) x3 ax 6的一个单调区间为(1,) 求a的值及函数的其他单调区间
解：f ' ( x) 3x 2 a
因为函数的一个单调区间是(1， ） 1是3x2 a 0的根312 a 0 a 3. y 3x2 3,由3x2 3 0得x 1, x 1 ( ,1)是函数的一个递增区间 由3x2 3 0得 1 x 1 (1,1)是函数的一个递减区间
4.在x＝1的右边时，同时回答上述问题。
x 定理：
一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：
如果恒有 f '(x) 0 ，则 f (x) 是增函数。 如果恒有 f ' (x) 0 ，则 f (x) 是减函数。 如果恒有 f ' (x) 0 ，则 f (x) 是常数。
例1.确定函数 f (x) x2 4x 5 在哪个区间是减 函数？在哪个区间上是增函数？
o
x
令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
例3求函数 y 2x2 ln x 的单调区间。
解： y' 4x 1 4x2 1
x
x
令y' 4x2 1 0
x
x(4x2 1) 0解得x 1 或 1 x 0
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在( 1 ,0)和( 1 ,)上，f (x)是增函数。
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数（或单调递增函数）
2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数（或单调递减函数）
变式训练：若函数f (x) ax3 x2x 5 在（ ， ）上单调递增，求a的取值范围
解：f (x) 3ax2 2x 1 函数在R上时单调递增， f (x) 0 即3ax2 2x 1 0在R上恒成立 即a 0, 0.即a 0,4 12a 0 所以a 1
3
知识点：
定理：