第9章组合变形作业参考解答

电阻片，当梁在 F、M 共同作用时，测得两点的应变值分别为 e A 、e B 。设截面为正方形，边
长为 a，材料的 E、n 为已知，试求 F 和 M 的大小。
解：梁发生双向弯曲，
A、B 两点处于单向应力状态，
eA
=
sA E
，eB
=
sB E
而s A
=-M Wz
- Fl Wy
= - M + Fl a3 6
F
sA
=
-
FN A
+
Mz Wz
+
M y × 0.07 Iy
= - F + 0.06F + 0.09F ´ 0.07 0.12 ´ 0.18 0.18´ 0.122 0.12´ 0.183
6
12
= 200.62F
My
Mz
A点处于单向应力状态，s A = Ee A = 5MPa 从而 F = 24.9kN
= -r gh + r¢gh3 / b2 = 0
得 b = h r水 = 5.81m r混
W
A
B
M
FN
9-15 短柱承载如图所示，现测得A 点的纵向正应变εA=500×10-6，试求F 力的大小。设 E=1.0×104MPa。 解：短柱发生偏心压缩变形，A点所在截面内力
FN = -F ， M Z = 0.06F ， M y = 0.09F
÷ö ÷ø
=0
弯扭组合时，第三强度理论和第四强度理论的强度条件分别为：
s r3 = s 2 + 4t 2 £ [s ] s r4 = s 2 + 3t 2 £ [s ]
9-3 矩形截面梁，跨度 l=4m，荷载及截面尺寸如图所示。设材料为杉木，容许应力［σ］=10MPa， 试校核该梁的强度。 解：梁发生斜弯曲（外力过形心， 但与形心主惯性平面不平行）
B My
A Mz z M合
y
解：（1）在 F1 和 F2 共同作用下梁固定端截面内侧上角点为危险点(拉应力最大)或外侧下角点 为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为
s max
= 2F1l Wy
+ F2l Wz
=
2F1l + F2l hb2 bh2
= 9.88MPa
66
（2）在 F1 和 F2 共同作用下梁固定端截面为危险截面，该截面合弯矩（如图）为
8Wy 8Wz
8Wy
8Wz
故该梁安全。
= 6´1.6´103 ×sin 20o ´16 + 6´1.6´103 × cos 20o ´16
8´ 0.16´ 0.112
8´ 0.11´ 0.162
= 9.8MPa<[s ]
9-5 图示悬臂梁长度中间截面前侧边的上、下两点分别设为 A、B。现在该两点沿轴线方向贴
qy = q cos 20o ， qz = q sin 20o
qy 作用下，下部拉上部压 qz 作用下，左部拉右部压 所以梁的左下角点拉应力最大； 右上角点压应力最大， 且最大值相同。
qx
下
左
qy
q
s max
=
My Wy
+
Mz Wz
= qzl2 + qyl 2 = q sin 20o l2 + q cos 20o l 2
第 9 章作业参考解答
本章主要公式：
梁双向弯曲（包括斜弯曲）中性轴方程：
- cosj Iz
y0
+
sin j Iy
z0
=0
偏心压缩时正应力计算公式：
s
=
-ççèæ
F A
+
FyF y Iz
+
FzF z ÷ö I y ÷ø
偏心压缩时中性轴方程：
s
=
-
F A
ççèæ1
+
yF y0
i
2 z
+
zF z0
i
2 y
危险截面为 A 截面，该截面内力
M Z = ql 2 + ql 2 / 2 = 3ql 2 / 2
M x = ql 2 / 2
该截面上顶点（或下底点）为危险点， 上顶点应力状态如图，大小为
s
=
Mz Wz
= 3ql2 / 2 p d 3 / 32
= 152.79MPa
t
=
Mx WP
=
ql 2 pd3
/2 / 16
M 合 = M z2 + M y2 = (F2l)2 + (2F1l)2
右侧 A 点为危险点(拉应力最大)或左侧 B 点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应 力大小数值相同，为
s max
=
M合 W
=
(F2l)2 + (2F1l)2 pd3
= 10.5MPa
32
9-8 图(a)和图(b)所示的混凝土坝，右边一侧受水压力作用。试求当混凝土不出现拉应力时， 所需的宽度 b。设混凝土的材料密度是 2.4×103kg/m3。 解：（a）如图，AB 面为危险截面
W
A M
B FN
（b）如图，AB 面为危险截面
B 点为危险点，取单位坝段（1m 长）分析
AB 面上内力
FN
=
r混 gbh 2
M
=
1 2
r水
gh
×
h
×
1 3
h
-
W
×b 6
=
1 6
r水 gh3
-
1 12
r混 gb2h
Leabharlann Baidu
令sB
= - FN A
+M W
= - r gbh + 2b
r ¢gh3 b2
-
r gb2h 2b2
= 25.46MPa
由第三强度理论强度条件
σ τ
s r3 = s 2 + 4t 2 = 161.05MPa<[s ]，曲拐安全
B 点为危险点，取单位坝段（1m 长）分析 AB 面上内力
FN = r混 gbh
M
=
1 2
r水
gh
×
h
×
1 3
h
=
1 6
r水 gh3
令sB
=
-
FN A
+
M W
3
= - r混 gbh + r水 gh3
b ×1
b2
= -r混 gh + r水 gh3 / b2
=0
得 b = h r水 = 5.81m r混
9-17 试确定图示各截面图形的截面核心（大致形状）。
4
解：
（a）
（b）
（c）
7-13 图示一水平面内的等截面直角曲拐，截面为圆形，受到垂直向下的均布荷载 q 作用。已 知：l=800mm，d=40mm，q=1kN/m，［σ］=170MPa。试按第三强度理论校核曲拐强度。
解：通过内力分析，曲拐 BC 段发生平面弯曲，最大弯矩 ql 2 / 2 ，AB 段发生弯扭组合变形，
sB
=M Wz
- Fl Wy
=
M - Fl a3 6
故
ìïïe A í ïïîe B
= =
- 6(M + Fl) Ea3
6(M - Fl) Ea3
，从而
ì ïïM í
ï ïî
F
= Ea3 (e B - e A 12
= - Ea3 (e B + e 12l
)
A
)
2
9-6 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力F1 和竖直力F2 的作用。若F1=800N， F2=1600N， l =1m，试求以下两种情况下，梁内最大正应力并指出其作用位置： (1)宽b=90mm，高h=180mm，截面为矩形，如图(a)所示。 (2)直径d=130mm 的圆截面，如图(b)所示。