高等数学B资料：数e与Euler常数

r {zn} 4•P• γ §¡•Euler~ê§=
11
1
lim (1 + + + · · · + − ln n) = γ
n→∞
23
n
Œ±OŽ
γ = 0.5772156649...
êe
•ê
1n
1 n+1
xn =
1+ n
,
yn =
1+ n
, n≥1
Äky² {xn} î‚üN4O§ {yn} î‚üN4~§…ü ê k."
y d²þŠØ ª
√ n a1a2
· · · an
≤
a1
+
a2
+··· n
+
an ,
(ak
>
0, k
=
1, 2, · · ·
, n)
xn = <
1n 1+ ·1
e ≈ 2.718281828459045
3Ø
ª(1):
1
+
1 n
n<e<
1
+
1 n
n+1 ü>
éê
1
1
n ln(1 + ) < 1, (n + 1) ln(1 + ) > 1
n
n
¤±
1
11
< ln(1 + ) < , (n = 1, 2, · · · )
(2)
n+1
nn
Euler~ê γ
dØ ª
n
1
n+1
n(1 + ) + 1
n =
n+1
1 1+
n+1
n+1
= xn+1
1 =
yn <
n n+1 ·1
n+1
n
n+2
(n + 1)( ) + 1
n+1 =
n+2
n + 1 n+2
1
=
n+2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
yn+1
{xn} î‚üN4O§ {yn} î‚üN4~"… 2 = x1 < xn < xn+1 < yn+1 < yn < y1 = 4
1
11
< ln(1 + ) < , (n = 1, 2, · · · )
n+1
nn
1/2 < ln 2 − ln 1 < 1 1/3 < ln 3 − ln 2 < 1/2
1/4 < ln 4 − ln 3 < 1/3
...
1
1
< ln(1 + n) − ln n <
n+1
n
11
1
11
1
+ +···+
düNk. n§üê {xn} {yn} öÑÂñ. ·‚ò {xn} 4•P• e §=
lim (1 + 1 )n = e
n→∞
n
qϕ
1
lim
n→∞
yn
=
lim
n→∞
xn
·
lim (1
n→∞
+
) n
=
e
¤±
1n
1 n+1
1+ <e< 1+
(1)
n
n
ê e † π ˜ §´êÆ¥ ˜‡-‡ Ãnêi§±§• . éê¡•g,éê§P• ln x . ê e CqŠy3®² Œ±°( ê: AZ §
< ln(n + 1) < 1 + + + · · · +
23
n+1
23
n
e-
11
1
zn = 1 + 2 + 3 + · · · + n − ln n
K
1
1
zn+1 − zn = n + 1 − ln 1 + n < 1
zn > ln(n + 1) − ln n > 0
{zn} üN4~ke.§ Âñ"