2020-2021年高一数学弧度制一 人教试验修订本
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必修第一册精品教学PPT
由①得 l 10 2R ,
代入②得 R2 5R4 0
R1 1, R2 4
当R=1时,l=8cm时, l 8 2 舍去
R
当R=4时,l=2cm时, l 1
R2 ∴所求扇形的中心角的弧度数为 1
2
例3:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
{ | 2k , k Z}
4
（2）第Ⅱ象限角的集合
{ | 2k 2k , k Z}
2
5.弧度制-【新】人教A版高中数学必 修第一 册PPT全 文课件 (1)【 完美课 件】
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r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
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定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
问题2:平面几何中，1度的角是如何定义的？
规定把周角的 1 作为1度的角，
360
用度做单位来度量角的单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题3：由C 们分析式子
C22r，得的到意义Cr。
2，请同学
探究：
请回忆角度制下的弧长公式和扇形面积公式，并 尝试推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。
角度制： 弧长公式： 扇形面积公式：
2020-2021学年人教A版必修一课件5.1.2 弧度制
2．点P，Q第一次相遇时各自走过的弧长是多少？
提示：第一次相遇时，点P运动到角
4π 3
的终边与圆相交的位
置，点Q运动到角－23π的终边与圆相交的位置，
∴点P走过的弧长为43π·4＝163π，点Q走过的弧长为－23π×4 ＝83π.
3．若点Q也按逆时针方向转，则点P，Q第一次相遇时用了多 少秒？ 提示：设点P，Q第一次相遇的时间为t s，则t·π3－t·π6＝2π， 解得t＝12 s．所以第一次相遇时用了12 s.
∴k＝－1或k＝0. 当k＝－1时，α＝－116π；当k＝0时，α＝π6. ∴角α的值为－116π或π6.
扇形的弧长公式及面积公式 [例3] 已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为23π.求：
(1)这个圆心角所对的弧长；
(2)这个扇形的面积． [解] (1)因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为23π，
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝r|α|
＝1×30＝30(cm)．
()
(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，
弧长所对的扇形的面积不变．
()
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案：(1)× (2)×
2．已知扇形的半径r＝30，圆心角α＝
[跟踪训练]
若角α的终边与
π 3
角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－2π，
2π)，求角α的值．
解：如图，设π3角的终边为射线OA，
射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB，
则以射线OB为终边的一个角为π4－π3－π4＝π6，
∴以OB为终边的角的集合为αα＝2kπ＋π6，k∈Z
2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2弧度制教师用书新人教A版必修第一册(最新整理)
5．1.2 弧度制考点学习目标核心素养弧度制、角度制与弧度制的换算了解弧度制的概念能进行角度与弧度之间的互化数学抽象、数学运算用弧度制表示终边相同的角能用弧度制表示终边相同的角数学运算扇形的弧长与面积公式理解弧度制下扇形的弧长与面积公式数学运算问题导学预习教材P172－P175,并思考以下问题：1．1弧度的角是如何定义的？2．如何进行弧度与角度的换算？3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么?1．度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角1度的角等于周角的错误!，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
1弧度记作1 rad(rad可省略不写)（1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3。
5 rad可写成α＝－3.5。
而用角度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不可以省略。
（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．2．弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2）弧度与角度的互化3．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径,n为扇形的圆心角）公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝错误!S＝nπr2360弧度制l＝｜α｜·r(0＜｜α｜＜2π)S＝错误!lr＝错误!｜α|r2(0＜|α｜＜2π）（1）在应用扇形面积公式S＝错误!|α｜r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2）由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．判断正误(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）1 rad的角比1°的角要大．（)(2）用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．（)(3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( )（4）1°的角是周角的错误!，1 rad的角是周角的错误!。
2020学年新教材高中数学课时训练(三十二)弧度制新人教A版必修第一册(2021-2022学年)
课时跟踪检测(三十二) 弧度制A级——学考水平达标练1．下列命题中,正确的是( )A.1弧度是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径长的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角解析：选D 根据１弧度的定义可知D正确．2.半径为１,圆心角为错误!的扇形的面积为（ )A.错误!Ｂ．错误!未定义书签。
C．πﻩD。
错误!未定义书签。
解析:选Ａ由扇形面积公式得:S=错误!×ｒ2×|α｜＝错误!未定义书签。
×12×错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
,故选A．3.（2０18·湖南师大附中高一期中)在区间(0,2π)内与－＼ｆ(34π，5）终边相同的角是( ）A。
错误!ﻩＢ。
错误!未定义书签。
C．错误!ﻩ D.错误!解析：选D因为-错误!＝-8π+错误!，所以－错误!未定义书签。
与错误!终边相同，选D。
4.自行车的大链轮有8８齿，小链轮有2０齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是(）Ａ。
5π1１B。
＼ｆ（44π,5)C。
错误! D.错误!未定义书签。
解析：选Ｂ由题意,当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过错误!周,小链轮转过的弧度是错误!未定义书签。
×2π=错误!。
5．时钟的分针在从1时到3时20分这段时间里转过的弧度为（）A.错误!未定义书签。
πＢ.-错误!πC．＼f（7,18)πﻩＤ.-＼f(7,18)π解析:选B显然分针在从1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了错误!周,转过的弧度为错误!×２π=－错误!未定义书签。
π。
6.若角α的终边与错误!未定义书签。
角的终边关于直线ｙ=x对称，且α∈错误!未定义书签。
，则α=___＿＿___.解析：由题意知,角α与＼ｆ（π,３)角的终边相同，则错误!未定义书签。
＋2π=错误!未定义书签。
π，错误!未定义书签。
-2π＝-＼f(５,３）π，π3－4π＝-错误!未定义书签。
5.1.2 弧度制-2020-2021学年高一数学同步教学课件(人教A版必修第一册)
.这种
【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α.在旋 转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹 是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α. 设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为 ，由初中所学知识可知：
(
角度制、弧度制的概念
(
【探究】如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r，在旋转过程中，点Q 所形成的圆弧QQ1的长为 ， 与r的比值是多少?我们能得出什么结论？
一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是复数，零角的弧度数是0.
角度制、弧度制的概念
不管以弧度还是以角度为单位的角的大小，都是一个与半 径AOB就是1弧度的角.
用角度作为单位来度量角的制度 用弧度作为单位来度量角的制度
角度与弧度的换算 一般地，只需根据
两边同除以180
两边同除以π 就可以进行角度和弧度的换算了.
弧度数=角度数×
角度数=弧度数×
【1】把67°30′化成弧度.
【解】因为67°30′=
，所以
67°30′=
【2】把1.5π化成角度. 【解】1.5π=
【注意】角度中含有分 (‘)秒(‘’)时，化成 弧度制之前，要先化成 度(°).
则有：
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还 将进一步看到弧度制带来的便利.
【1】把下列角度化成弧度.
（1）22°30′
（2）-210°
【解】（1）22°30′=
（3）1200°
（2）-210°=
（3）1200°=
【2】把下列弧度化成角度. 【解】
【3】用弧度表示： （1）终边在 （2）终边在
角度制、弧度制的概念 根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为 的的弧所对
弧度制【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
第五章 5.1.2弧度制-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共60张P PT) 第五章 5.1.2弧度制-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共60张P PT)
第五章 5.1.2弧度制-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共60张P PT) 第五章 5.1.2弧度制-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共60张P PT)
第 弧五 度章 制【新5.教1.材2弧】度人制教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版一（ 册20课19件） 高2优中秀数p 学pt必课修件 第一册 课件( 共60张P PT) 第 弧五 度章 制【新5.教1.材2弧】度人制教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版一（ 册20课19件） 高2优中秀数p 学pt必课修件 第一册 课件( 共60张P PT)
第五章 5.1.2弧度制-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共60张P PT) 第五章 5.1.2弧度制-【新教材】人教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共60张P PT)
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5.1.2 弧度制-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§5.1.2 弧度制导学目标:（1）掌握弧度制的定义;学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念、（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式、（预习教材P 130~ P 135,回答下列问题）复习1:平角 ;周角 ;1度= 分 复习2:规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制、 思考:还有没有其他度量角的单位制呢? 【知识点一】弧度制我们规定,长度等于 所对的圆心角称为1弧度的角、用弧度来度量角的单位制叫做弧度制、在弧度制下, 1弧度记做 ; 在实际运算中,常常将rad 单位省略,即1rad α=可简记为1α=、 自我检测1-1:如图:1AOB ∠=radAOC ∠=周角=思考:如图,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?则圆心角α= rad角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分:（1）正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） o rC2rad1rad r 2r o AAB第五章 三角函数- 2 -（3）用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;角度制与弧度制可以自由互换,但同一代数式中角度制与弧度制不可混用、 自我检测1-2:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合、交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格、AOB ∠的度数 弧AB 的长 OB 旋转的方向 AOB ∠的弧度数360 2r π逆时针方向 180 r π逆时针方向9090- 180- 360-1rad【知识点二】角度制与弧度制的换算从上表可知:3602π=rad , 所以180π= rad ,类比可以得到:yxAαOB自我检测2:常见角的角度和弧度的互化 120 150 180角度制下的扇形弧长公式为:180n rl π=;面积公式为:3602R n S π=扇 ;（n 是角度数）借助公式⇒=rlαl =扇 ;=S 扇 ;（α是弧度数）自我检测3:利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径、【知识点四】角和实数的对应关系今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad ; 应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系、 oR Sl第五章 三角函数- 4 -题型一 角度与弧度的换算【例1-1】将下列各角进行角度与弧度的互化: （1）67.5︒; （2）11230︒'; （3）94π; （4）－115π.【例1-2】已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+( k Z ∈,02βπ≤<)的形式,并指出角α是第几象限的角; （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角.题型二 用弧度制表示角的集合 【例2-1】用弧度制表示下列角的集合（1）终边落在x 正半轴上的角: （2）终边落在y 正半轴上的角: （3）终边落在x 负半轴上的角: （4）终边落在y 负半轴上的角: （5）终边落在y 轴上的角: （6）终边落在坐标轴上的角:（7）终边落在射线(),0y x x =≥上的角: （8）终边落在第一象限内的角:【例2-2】用弧度表示终边落在如图( 1)( 2)所示的阴影部分内的角的集合、题型三 与扇形弧长、面积相关的问题 【例3】( 1)已知扇形的圆心角为120°,半径为 3 cm,则此扇形的面积为________ cm 2;( 2)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数、1、下列说法中错误的是（ ）A 、弧度制下,角与实数之间建立了一一对应关系B 、1度的角是周角的1360,1弧度的角是周角的12πC 、根据弧度的定义,180︒一定等于π弧度D 、不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 2、下列角中,与角3π终边相同的角是（ ） A 、56π-B 、53π-C 、43π D 、23π第五章 三角函数- 6 -3、把20165π-表示成2()k k Z θπ+∈的形式,使||θ最小的θ的值是（ ） A 、65π- B 、5π-C 、45πD 、45π-4、当角α与β的终边互为反向延长线,则角α与β的关系一定是()k ∈Z （ ）A 、αβπ=+B 、αβ=-C 、(21)k αβπ=++D 、2k αβπ=-+5、若角α的终边在直线y x =-上,则角α的取值集合为（ ） A 、2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB 、32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C 、3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D 、,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z§5.1.2 弧度制 参考答案导学目标:（1）掌握弧度制的定义;学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念、（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式、（预习教材P 130~ P 135,回答下列问题）复习1:平角 ;周角 ;1度= 分 复习2:规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制、 思考:还有没有其他度量角的单位制呢? 【知识点一】弧度制我们规定,长度等于 所对的圆心角称为1弧度的角、用弧度来度量角的单位制叫做弧度制、在弧度制下, 1弧度记做 ; 在实际运算中,常常将rad 单位省略,即1rad α=可简记为1α=、 自我检测1-1:如图:1AOB ∠=radAOC ∠=周角=思考:如图,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?则圆心角α= rado rC2rad1rad r 2r o AAB第五章 三角函数- 8 -角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分:（1）正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;角度制与弧度制可以自由互换,但同一代数式中角度制与弧度制不可混用、 自我检测1-2:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合、交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格、AOB ∠的度数 弧AB 的长 OB 旋转的方向 AOB ∠的弧度数3602r π逆时针方向 180 r π逆时针方向90 090- 180- 360-1rad【知识点二】角度制与弧度制的换算从上表可知:3602π=rad , 所以180π= rad ,类比可以得到:yxAαOB自我检测2:常见角的角度和弧度的互化 角度 0°45°60°120 150 180°360°弧度6π2π23π【知识点三】弧度制下的扇形弧长和面积公式角度制下的扇形弧长公式为:180n rl π=;面积公式为:3602R n S π=扇 ;（n 是角度数）借助公式⇒=rlαl =扇 ;=S 扇 ;（α是弧度数）自我检测3:利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径、【知识点四】角和实数的对应关系今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad ; 应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系、题型一 角度与弧度的换算【例1-1】将下列各角进行角度与弧度的互化: （1）67.5︒; （2）11230︒'; （3）94π; （4）－115π.oR Sl正角 零角 负角正实数 零 负实数- 10 -（1）67.567.51808︒=⨯=（2）511230112.51808ππ︒'=︒⨯= （3）9918040544πππ︒=⨯=︒ （4）－115π＝－115×180°＝－396°.【例1-2】已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+( k Z ∈,02βπ≤<)的形式,并指出角α是第几象限的角; （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角. 【答案】（1）2025α=︒=45520251018044ππππ⨯==+,54π是第三象限角, ∴α是第三象限角、 （2）由55204k πππ-≤+<得25588k -<<-,因为k Z ∈,∴3,2,1k =---,对应角依次为19113,,444πππ---、题型二 用弧度制表示角的集合 【例2-1】用弧度制表示下列角的集合（1）终边落在x 正半轴上的角: （2）终边落在y 正半轴上的角: （3）终边落在x 负半轴上的角: （4）终边落在y 负半轴上的角: （5）终边落在y 轴上的角: （6）终边落在坐标轴上的角:（7）终边落在射线(),0y x x =≥上的角:【例2-2】用弧度表示终边落在如图( 1)( 2)所示的阴影部分内的角的集合、【答案】对于题图( 1),225°角的终边可以看作是－135°角的终边,化为弧度,即－3π4,60°角的终边即π3的终边,∴所求集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫2k π－3π4<α<2k π＋π3，k ∈Z . 对于题图( 2),同理可得,所求集合为22,62k k k Z ππαπαπ⎧⎫+<≤+∈⎨⎬⎩⎭∪22,62k k k Z ππαππαππ⎧⎫++<≤++∈=⎨⎬⎩⎭,62k k k Z ππαπαπ⎧⎫+<≤+∈⎨⎬⎩⎭题型三 与扇形弧长、面积相关的问题【例3】( 1)已知扇形的圆心角为120°,半径为 3 cm,则此扇形的面积为________ cm 2;( 2)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数、【答案】( 1)设扇形弧长为l ,因为120°＝120×π180 rad ＝2π3( rad),所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3( cm)、所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π( cm 2)、故填π.( 2)设扇形圆心角的弧度数为θ( 0<θ<2π),弧长为l ,半径为R ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10.①12lR ＝4.②①代入②得R 2－5R ＋4＝0,解之得R 1＝1,R 2＝4. 当R ＝1时,l ＝8( cm),此时,θ＝8 rad>2π rad 舍去、当R ＝4时,l ＝2( cm),此时,θ＝24＝12( rad)、综上可知,扇形圆心角的弧度数为12rad 、第五章 三角函数- 12 -1、下列说法中错误的是（ ）A 、弧度制下,角与实数之间建立了一一对应关系B 、1度的角是周角的1360,1弧度的角是周角的12πC 、根据弧度的定义,180︒一定等于π弧度D 、不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 【答案】D 2、下列角中,与角3π终边相同的角是（ ） A 、56π-B 、53π-C 、43π D 、23π 【答案】B 3、把20165π-表示成2()k k Z θπ+∈的形式,使||θ最小的θ的值是（ ） A 、65π- B 、5π-C 、45πD 、45π-【答案】C4、当角α与β的终边互为反向延长线,则角α与β的关系一定是()k ∈Z （ ）A 、αβπ=+B 、αβ=-C 、(21)k αβπ=++D 、2k αβπ=-+【答案】C5、若角α的终边在直线y x =-上,则角α的取值集合为（ ） A 、2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB 、32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C 、3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D 、,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】D。
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.2弧度制课件新人教A版必修第一册
状元随笔 在求解的过程中要注意：①看清角的度量制，选用相 应的公式；②扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面 积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题．
方法归纳
弧长公式和扇形面积公式的应用类问题的解决方法：①将角度转 化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得 到了简化，因此解决这些问题通常采用弧度制．一般地，在几何图形 中研究的角，其范围是(0,2π)；②利用 α，l，R，S 四个量“知二求二” 代入公式．
∴角 α 与4316π终边相同，是第三象限的角． (2)与 α 终边相同的角为 2kπ＋4316π(k∈Z)， 由－5π≤2kπ＋4316π<0，k∈Z 知 k＝－1，－2，－3. ∴在[－5π，0)内与 α 终边相同的角是－3316π，－10336π，－17356π.
状元随笔 (1)用弧度数表示与角 α 终边相同的角连同角 α 在内的
要点三 角度制与弧度制的换算
角度化弧度 360°＝__2_π_r_a_d__ 180°＝__π_r_a_d___ 1°＝_1_π8_0__r_a_d_≈0.017 45 rad 度数×1π80＝弧度数
弧度化角度 2π rad＝__3_6_0_°___ π rad＝__1_8_0_°___
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册课件：5.1 任意角和弧度制 (3)
一、任意角的概念
这些例子不仅不在0°～360°范围内，而且有方 向,如何解决这一问题?
有必要将角的概念及范围推广 想想用什么办法才能推广到任意角？
关键是用运动的观点来看待角的变化.
1.角的概念的推广
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置所成的图形叫做角.
2.角的构成要素
B 终边
方向
例2 写出终边在y轴上的角的集合.
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两 个，即90°，270°角（如图）.因此，所有与 90°角终边相同的角构成集合 S1={β|β=90°+k·360°.k∈Z}. 而所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k·360°.k∈Z}.
设，是任意两个角，规定：把角的终边旋转角，这时终边 所对应的角是 。
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相 反数。
角的相反角记为.
（ ）
二、象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角
坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的
始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，
角的终边可能落在哪些位置？
y
o
xx
思考2: 如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第
几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角
不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：
-50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限
的角？
－450°
y
x o -50°
第四象限角 y
3．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内 (不包含边界)，那么角α的集合是________．
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 5.1 任意角和弧度制 课件 (1)
2．象限角
在平面直角坐标系中，若角的顶点与_原__点__重合，角的始边与___x__轴的非负 半轴重合，那么，角的_终__边__在第几象限，就说这个角是第几_象__限__角_____； 如果角的终边在_坐__标__轴___上__，就认为这个角不属于任何一个象限．
■名师点拨 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非 负半轴重合．
解析：(1)①锐角是大于 0°且小于 90°的角，终边落在第一象限， 是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误； ③0°角是小于 180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 所以③错误； ④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误． 答案：①
(2) 作出各角的终边，如图所示：
3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ _{_β_|β_＝_α_＋__k_·3_6_0°__，_k_∈__Z_} _____，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与__整__数__个__周__角_____的和．
■名师点拨 对终边相同的角的理解
由图可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
解题方法（任意角和象限角的表示）
1．判断角的概念问题的关键与技巧． (1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等； (2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．
2．象限角的判定方法． (1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 5.1 任意角和弧度制 教案 (1)
【新教材】5.1.1任意角教学设计（人教A版）学生在初中学习了o0～o360，但是现实生活中随处可见超出o0～o360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o0～o360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o0～o360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角一条射线没有作任何旋转形成零角的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）① （2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( ) A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k ＝1时，β＝360°－910°＝－550°； 当k ＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°； 当k ＝3时，β＝3×360°－910°＝170°. 解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k ·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k ∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止． 2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z 表示，在运用时需注意以下四点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( ) A ．230°12′ B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________． 【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示 例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C．第二象限角D．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜α2＜k·180°＋45°，k∈Z，当k为偶数时，α2为第一象限角；当k为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？Array【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.。
2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 512弧度制 学案
5．1.2 弧度制[教材提炼] 知识点一角度制与弧度制预习教材，思考问题设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.由初中所学知识可知l＝nπr180，于是lr＝nπ180.如果n°确定，lr的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二扇形的弧长、面积预习教材，思考问题初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？ 知识梳理 扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝n π180，则1．2 rad 的角的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：B2．若一扇形的圆心角为25π，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2 解析：因为扇形的圆心角为25π，半径为20 cm ，所以扇形的面积为S 扇形＝12αR 2＝80π cm 2，故选B.答案：B3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度． (1)60°＝________，150°＝________； (2)π6＝________，2π3＝________. 解析：根据角度与弧度的互化公式知 60°＝π3，150°＝5π6，π6＝30°，2π3＝120°.答案：(1)π3 5π6(2)30° 120°4．终边在y 轴上的角的集合用弧度表示为________． 答案：{β|β＝k π＋π2，k ∈Z }授课提示：对应学生用书第80页探究一 角度与弧度之间的互化[例1] (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)： α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°；(2)把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7； (3)在0°～720°中找出与2π5终边相同的角．[解析] (1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86 °；α2＝5116π＝5116×180°＝15 330°； α3＝9＝9×⎝⎛⎭⎫180π°≈515.66°； α4＝－855°＝－855×π180＝－194π.(2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4；－11π7＝－2π＋3π7. (3)∵2π5＝25×180°＝72°，∴与2π5终边相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )．当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在0°～720°中与2π5终边相同的角为72°，432°.1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：(1)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝712π，试比较它们的大小．(2)把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 解析：(1)法一：(化为弧度)： α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12，显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二：(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝7π12×(180π)°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.(2)－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．探究二 用弧度制表示角[例2] 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合． [解析] 对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π－3π4＜α＜2k π＋π3，k ∈Z . 对于题图(2)，同理可得， 所求集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜α≤2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＋π6＜α≤2k π＋π＋π2，k ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π6＜α≤k π＋π2，k ∈Z .首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．解析：因为150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z . 因为2 014°＝214°＋5×360°＝107π90＋10π. 又56π<107π90<3π2， 所以2 014°＝107π90∈S .探究三 扇形的弧长、面积公式的应用[例3] [教材P 174例6拓展探究](1)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1.∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. [答案] 1 cm 2 1 cm 2(2)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度．[解析] ∵半径R ＝2，圆心角α＝5π3，∴弧长l ＝|α|·R ＝10π3. (3)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，所对圆心角为α(0<α<2π)．则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝10，12rl ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，l ＝2.当r ＝1时，l ＝8，此时α＝lr ＝8(rad)>2π，不符合，舍去；当r ＝4时，l ＝2，此时α＝l r ＝24＝12(rad)．∴所求圆心角的弧度数为12rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为：l ＝|α|R .面积公式为S ＝12lR ＝12|α|R 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．授课提示：对应学生用书第81页一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便． [典例] 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． (1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每1 s 转过的弧长是多少？[解析] 设大齿轮的半径为R ，小齿轮的半径为r . 根据题意设大齿轮的周长L ＝48. 小齿轮的周长l ＝20. 故2πR 2πr ＝4820，即R r ＝4820. (1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ， ∴θr ＝2πR ，θ＝R r ×2π＝4820×2π＝245π.(2)大轮的转速v 1＝3 r/s ，故小轮的转速v 2＝4820×3，1 s 转过的弧长为4820×3×2π×10.5＝151.2π(cm)．二、角度制与弧度制混用[典例] 把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π)的形式为( ) A ．－3π－16πB ．－4π＋150°C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π[解析] －570°＝－2×360°＋150°， 化为弧度为－4π＋56π.[答案] D纠错心得 (1)－3π不是2k π的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2k π＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A ，C 错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B 错．。
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2019-2020年高一数学弧度制一 人教试验修订本2
一．课题：弧度制（1）
二．教学目标：1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）。
三．教学重、难点：弧度与角度之间的换算。
四．教学过程： （一）复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定角的？ （初中时把一个周角的记为） （二）新课讲解： 1．弧度角的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为． 练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角的弧度数的绝对值是，（其中是以角作为圆心角时所对弧的长，是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
4||4l r r r
παπ-=-
=-=-．
3．角度与弧度的换算
， rad 1=
4．例题分析：
例1：把化成弧度． 解：因为，所以
3
671567.51808
rad π
π'=
⨯= ． 例2：把化成度。
解： ．
例3．用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
解：（1）终边落在轴的非正半轴的角的集合为；
非负半轴的角的集合为；
终边落在轴的非正半轴的角的集合为3|2,2k k Z πββπ⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩
⎭
； 非负半轴的角的集合为|2,2k k Z π
ββπ⎧
⎫=+
∈⎨⎬⎩
⎭
； 所以，终边落在轴上的角的集合为；落在轴上的为．
（2）第一象限角为；第二象限角为22,2k k k Z ππβππ⎧⎫+
<<+∈⎨⎬⎩⎭； 第三象限角为322,2k k k Z πππβπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭；第四象限角为3222,2k k k Z ππβππ⎧⎫
+<<+∈⎨⎬⎩⎭
．
例4．将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）； （2）； （3）．
解：（1）
19632333
ππ
πππ=+=⨯+，所以，此角为第一象限角； （2）73152(1)2444ππ
πππ-=-=-+=-⨯+，所以此角为第一象限角；
（3）33714851044
π
ππ-=-=-+，所以此角为第四象限角．
5
五．课堂练习：课本第13页 练习1、2、3、4、5题
六．小结：1．弧度制的定义；
2．弧度制与角度制的转换与区别。
3．。
七．作业：习题 第2、3、5题 补充：1．在中，若，求弧度数。
2．直径为的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过秒钟转过的弧长是多少？。