工程断裂力学
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件这个基础上。
由于无限大应力实际上不存在，裂端总有个塑性 区，而塑性区内的应力是有界的。
塑性区尺寸 比K场区小几倍
比裂纹长度小几倍以上
应力强度因子断裂判据成立
许多高强度合金和工程材料在发生脆性断裂时， 多是K场区强度起支配作用的。
应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆性断 裂。
Griffith能量释放理论和Irwin-Orowan能量 释放理论，失稳判据为
图4-9 非平面应变的R曲线
脆性材料 恒载荷试验 启裂 立即 失稳扩展
韧性材料
不扩展
（阻力随裂纹扩
启裂
展增量而变）
非失稳扩展
稍稍超过启裂点
亚临界裂纹扩展
亚临界裂纹扩展
失稳断裂 Δa不可忽略
对于有稳定扩展阶段的断裂韧度测试中，若 监测启裂点不容易时，可以用阻力曲线的测量， 然后用外推法得出启裂点。
裂纹扩展力>裂纹扩展阻力 裂纹扩展
Hale Waihona Puke Baidu
脆性断裂
裂纹扩展阻力
厚度小于平面应
变所要求的厚度
KIC
不是常数
当拉伸应力保持定值时，裂纹扩展力G随a增 加而线性上升。
超过a1 ，就发生失稳断裂；低于a1 ，则裂 纹不扩展。
以小于1的拉伸应力2作用时，必须超过较 长的a2才会发生断裂。
只有当裂纹扩展力大于常数值的阻力R=GIC， 才会发生失稳断裂。
材料微结构
裂端的极小区域 其损伤达到临界 断裂进行区
裂纹的裂端应力场区 忽略高次项 K场区
K场区内的应力应变强度可用应力强度因子
来度量；场区外则须加上高次项。
K场区尺寸小于断裂进行区尺寸 宏观力学在断裂区不适用。
K场区尺寸比断裂进行区尺寸大几倍以上 断裂判据可建立在K场区强度是否达到临界条
裂纹应沿体积 膨胀能密度较 大的方向开裂
S最大值处
可以验证此处 歪形能密度是 占支配地位
考察应变能密度，可以分静水应力引
起的体积膨胀能密度和歪变形引起的歪形能
密度两部分，如图所示。
因此应变能密度可分为：
dU dU dU dV dV V dV D
下标V代表体积膨胀部分， D代表歪形部分。
因此，I型裂纹保守的判据为: K I K IC
(1)当知道工作载荷时，可以计算出断裂时的临 界裂纹尺寸；
(2)当知道裂纹尺寸和位置时，可计算出可能引 起断裂的载荷。
例题
34CrNi3Mo钢所制成的粗轴，探伤检查发现
主要的缺陷是内部有一半径为40mm的圆裂纹，裂
纹面的法线方向与轴向平行。已知轴半径远大于
由弹性力学公式可得：
dU dV
V
1 2
6E
( 1
2
3 )2
dU dV
D
1
3E
( 1
2
3 )2
1
E
(1 2
2 3
31)
薛昌明认为I型裂纹开裂方向，虽说是Smin在所处 方向，但此时(dU/dV)V占支配地位。
G 2
或 G Gcr
对于单独型的裂纹，利用应力强度因子和能量
释放率的关系，可有断裂判据：
K Kcr
Kcr为I型裂纹失稳断裂开始的临界点，通常与 试件(或构件)的厚薄、大小有关。
厚到某一程度和大到某一程度
脆性材料的Kcr值达到极小值
以后尺寸厚度再增加
Kcr仍维持此极小值
KIC
平面应变的断裂韧度 GIC
（1）裂纹扩展的方向为S的一个局部极小值
的方向，即
S 0
0
2S 0
2 0
这里θ0为裂纹扩展角，或叫做开裂角。
（2）当此S极小值，即Smin=S(θ0 )，达到或
超过一临界值Scr时，就发生失稳断裂。
损伤核尺寸甚小， 该区域的塑性变 形相当大。
体积膨胀能密度 脆性开裂
歪形能密度
塑性失稳
S的几个局部 极小值的角度处
dU dV
1 2E
(
2 x
2 y
2 z
)
E
(
x
y
y
z
z
x
)
1
2
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
于是，平面应变 时在P点的应变能 密度为 ：
dU dV
1 r
[a11k12
2a12k1k2
a22k22
a33k32
]
式中：
a11
1
16
(3
4
cos
)(1
cos
)
a12
1
16
(2 sin
)[cos
(1
裂纹尺寸，同时测得钢的KIC为99.2MN/m3/2,试问 要是发生断裂，轴向拉伸应力至少有多大?
因为粗轴半径远大于圆裂纹半径，可采用无限大 弹性体有圆裂纹的应力强度因子的解。于是临界 条件为：
2
cr
a KIC
得：
cr
K IC 2 a
447(MN/m2 )
能量释放率G可做为裂纹是否扩展的倾向能力的度量， 又称为裂纹扩展力。
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
k2
sin
cos
cos
3
2r 2 2 2
0
z ( x y )
平面应力 平面应变
xy
k1 sin cos cos 3
2r 2 2 2
k2 2r
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
xz
k3 sin
2r 2
yz
k3 cos
2r 2
记 KI k1, KII k2 , KIII k3
受到I、II、III
型三种载荷中的任一
种或两种以上载荷的
作用。裂纹前缘是平
直的，即整个前缘各
点的应力强度因子值
都相同，如图所示，
裂纹端点区附近的一
点P处有体积元，其应
力场为三种裂纹应力
场的叠加 ：
x
k1 2r
cos
2
1
sin
2
cos
3
2
k2 2r
sin
2
2
cos
2
cos
3
2
y
k1 2r
2
)]
a22
1
16
[4(1 )(1
cos )
(1
cos )(3cos
1)]
1
a33 4
损伤核周界是损伤核与K场区的交界。在K场
区所有位置的应变能密度中，周界上的应变能密
度对断裂是否发生，起着决定性的作用。
裂端有个以裂 端为原点、半 径为r0的圆形 损伤核(或叫断 裂进行区)
r0值远小于K 场区尺寸
Δa＞0部分才是真正扩展。
Δa＜0部分即表示不扩展，而以负方向离原 点的距离表示裂纹半长度的大小。
一旦达到并稍为超 过裂纹开始扩展的条件 时，若外力仍维持不变， 则较长的裂纹(例如图 中的裂长a2受到2作用 时)有可能稍为扩展， 然后很快地停止下来。 只有当外力较大时，才 有可能引起失稳扩展。
K场区应力应变强度
断裂是否会发生
脆性断裂
度量
复合型裂纹 应变能密度 K场区应力应变的强度
单参数
代替两个以上的应力 强度因子(多参数)
S
r0
dU dV
r0
a11k12 2a12k1k2 a22k22 a33k32
此应变能密度因子只是极坐标θ的函数，
与另一变数r无关。
Sih (薛昌明)提出下列两个假说∶
由于无限大应力实际上不存在，裂端总有个塑性 区，而塑性区内的应力是有界的。
塑性区尺寸 比K场区小几倍
比裂纹长度小几倍以上
应力强度因子断裂判据成立
许多高强度合金和工程材料在发生脆性断裂时， 多是K场区强度起支配作用的。
应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆性断 裂。
Griffith能量释放理论和Irwin-Orowan能量 释放理论，失稳判据为
图4-9 非平面应变的R曲线
脆性材料 恒载荷试验 启裂 立即 失稳扩展
韧性材料
不扩展
（阻力随裂纹扩
启裂
展增量而变）
非失稳扩展
稍稍超过启裂点
亚临界裂纹扩展
亚临界裂纹扩展
失稳断裂 Δa不可忽略
对于有稳定扩展阶段的断裂韧度测试中，若 监测启裂点不容易时，可以用阻力曲线的测量， 然后用外推法得出启裂点。
裂纹扩展力>裂纹扩展阻力 裂纹扩展
Hale Waihona Puke Baidu
脆性断裂
裂纹扩展阻力
厚度小于平面应
变所要求的厚度
KIC
不是常数
当拉伸应力保持定值时，裂纹扩展力G随a增 加而线性上升。
超过a1 ，就发生失稳断裂；低于a1 ，则裂 纹不扩展。
以小于1的拉伸应力2作用时，必须超过较 长的a2才会发生断裂。
只有当裂纹扩展力大于常数值的阻力R=GIC， 才会发生失稳断裂。
材料微结构
裂端的极小区域 其损伤达到临界 断裂进行区
裂纹的裂端应力场区 忽略高次项 K场区
K场区内的应力应变强度可用应力强度因子
来度量；场区外则须加上高次项。
K场区尺寸小于断裂进行区尺寸 宏观力学在断裂区不适用。
K场区尺寸比断裂进行区尺寸大几倍以上 断裂判据可建立在K场区强度是否达到临界条
裂纹应沿体积 膨胀能密度较 大的方向开裂
S最大值处
可以验证此处 歪形能密度是 占支配地位
考察应变能密度，可以分静水应力引
起的体积膨胀能密度和歪变形引起的歪形能
密度两部分，如图所示。
因此应变能密度可分为：
dU dU dU dV dV V dV D
下标V代表体积膨胀部分， D代表歪形部分。
因此，I型裂纹保守的判据为: K I K IC
(1)当知道工作载荷时，可以计算出断裂时的临 界裂纹尺寸；
(2)当知道裂纹尺寸和位置时，可计算出可能引 起断裂的载荷。
例题
34CrNi3Mo钢所制成的粗轴，探伤检查发现
主要的缺陷是内部有一半径为40mm的圆裂纹，裂
纹面的法线方向与轴向平行。已知轴半径远大于
由弹性力学公式可得：
dU dV
V
1 2
6E
( 1
2
3 )2
dU dV
D
1
3E
( 1
2
3 )2
1
E
(1 2
2 3
31)
薛昌明认为I型裂纹开裂方向，虽说是Smin在所处 方向，但此时(dU/dV)V占支配地位。
G 2
或 G Gcr
对于单独型的裂纹，利用应力强度因子和能量
释放率的关系，可有断裂判据：
K Kcr
Kcr为I型裂纹失稳断裂开始的临界点，通常与 试件(或构件)的厚薄、大小有关。
厚到某一程度和大到某一程度
脆性材料的Kcr值达到极小值
以后尺寸厚度再增加
Kcr仍维持此极小值
KIC
平面应变的断裂韧度 GIC
（1）裂纹扩展的方向为S的一个局部极小值
的方向，即
S 0
0
2S 0
2 0
这里θ0为裂纹扩展角，或叫做开裂角。
（2）当此S极小值，即Smin=S(θ0 )，达到或
超过一临界值Scr时，就发生失稳断裂。
损伤核尺寸甚小， 该区域的塑性变 形相当大。
体积膨胀能密度 脆性开裂
歪形能密度
塑性失稳
S的几个局部 极小值的角度处
dU dV
1 2E
(
2 x
2 y
2 z
)
E
(
x
y
y
z
z
x
)
1
2
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
于是，平面应变 时在P点的应变能 密度为 ：
dU dV
1 r
[a11k12
2a12k1k2
a22k22
a33k32
]
式中：
a11
1
16
(3
4
cos
)(1
cos
)
a12
1
16
(2 sin
)[cos
(1
裂纹尺寸，同时测得钢的KIC为99.2MN/m3/2,试问 要是发生断裂，轴向拉伸应力至少有多大?
因为粗轴半径远大于圆裂纹半径，可采用无限大 弹性体有圆裂纹的应力强度因子的解。于是临界 条件为：
2
cr
a KIC
得：
cr
K IC 2 a
447(MN/m2 )
能量释放率G可做为裂纹是否扩展的倾向能力的度量， 又称为裂纹扩展力。
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
k2
sin
cos
cos
3
2r 2 2 2
0
z ( x y )
平面应力 平面应变
xy
k1 sin cos cos 3
2r 2 2 2
k2 2r
cos
2
1
sin
2
sin
3
2
xz
k3 sin
2r 2
yz
k3 cos
2r 2
记 KI k1, KII k2 , KIII k3
受到I、II、III
型三种载荷中的任一
种或两种以上载荷的
作用。裂纹前缘是平
直的，即整个前缘各
点的应力强度因子值
都相同，如图所示，
裂纹端点区附近的一
点P处有体积元，其应
力场为三种裂纹应力
场的叠加 ：
x
k1 2r
cos
2
1
sin
2
cos
3
2
k2 2r
sin
2
2
cos
2
cos
3
2
y
k1 2r
2
)]
a22
1
16
[4(1 )(1
cos )
(1
cos )(3cos
1)]
1
a33 4
损伤核周界是损伤核与K场区的交界。在K场
区所有位置的应变能密度中，周界上的应变能密
度对断裂是否发生，起着决定性的作用。
裂端有个以裂 端为原点、半 径为r0的圆形 损伤核(或叫断 裂进行区)
r0值远小于K 场区尺寸
Δa＞0部分才是真正扩展。
Δa＜0部分即表示不扩展，而以负方向离原 点的距离表示裂纹半长度的大小。
一旦达到并稍为超 过裂纹开始扩展的条件 时，若外力仍维持不变， 则较长的裂纹(例如图 中的裂长a2受到2作用 时)有可能稍为扩展， 然后很快地停止下来。 只有当外力较大时，才 有可能引起失稳扩展。
K场区应力应变强度
断裂是否会发生
脆性断裂
度量
复合型裂纹 应变能密度 K场区应力应变的强度
单参数
代替两个以上的应力 强度因子(多参数)
S
r0
dU dV
r0
a11k12 2a12k1k2 a22k22 a33k32
此应变能密度因子只是极坐标θ的函数，
与另一变数r无关。
Sih (薛昌明)提出下列两个假说∶