二次函数代数方面的应用

一、选择题

1. （优质试题·潍坊）抛物线y=x 2＋bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx+3－t=0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）

A ．2≤t ＜11

B ．t ≥2

C ．6＜t ＜11

D ．2≤t ＜6 【答案】A

【解析】由题意得：12

b -=，b=－2，抛物线解析式为y=x 2－2x+3，当－1＜x ＜4时，其图象如图所示：

从图象可以看出当2≤t ＜11时，抛物线y=x 2－2x+3与直线y=t 有交点，故关于x 的一元二次方程x 2＋bx+3－t=0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是2≤t ＜11，故选择A ．

方法二：把y=x 2－2x+3－t （－1＜x ＜4）的图象向下平移2个单位时图象与x 轴开始有交点，向下平移11个单位时开始无交点，故2≤t ＜11，故选择A ．

2. （优质试题·淄博）将二次函数

2

4y x x a =-+的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到的函数图象与直线y ＝2有两个交点，则a 的取值范围是 （ ） A.3a ＞

B.3a ＜

C.5a ＞

D.5a ＜

【答案】D.

【解析】∵224(2)(4)y x x a x a =-+=-+-，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后

的解析式为

2(1)(3)y x a =-+-，

令22(1)(3)x a =-+-，即2240x x a -+-=， 由⊿44(4)0a =--＞，得5a ＜.

3. （优质试题·湖州）已知a ，b 是非零实数，a b >，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx 与一次函数y2＝ax ＋b 的大致图象不可能是（ ）

【答案】D ．

【解析】由2

y ax b y ax bx =+⎧⎨=+⎩，解得111x y a b =⎧⎨=+⎩，2

20

b x a y ⎧

=-⎪⎨⎪=⎩，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1，a ＋b)和

(－b

a

，0)．对于D 选项，从直线过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0．∵a b >，∴a ＋b ＜0．从而(1，a ＋b)在第四象限，因此D 选项不正确，故选D ．

O

y

x

y x

O

O x

y

y

O

x

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

14．（优质试题·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y=x ﹣a+1和y=x2﹣2a x的图像相交于P，Q两点，若平移直线l，可以使P，Q都在x 轴的下方，则实数a的取值范围是.

【答案】a＞1或a＜－1

【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解题的关键是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量x在某个范围内，两个函数的值都小于0，即两个函数交点中较小的值小于0.假设该两个函数的交点位于x轴上，则x－a＋1＝0，x＝a－1，代入二次函数的表达式中，得：(a－1)2－2a(a－1)＝0，解得：a＝1或a＝－1.

当a＞1 时，随着a的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算，如图，此时直线与抛物线的最底交点位于第四象限；当a＜－1时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移运算，此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a的取值范围为a＞1或a＜－1.

1. （优质试题·潍坊）如图，直线y=x+1与抛物线y=x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点．当△PAB的周长最小时，S△PAB= ．

【答案】12

5

【解析】解方程组2

145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩

，得：1112x y =⎧⎨=⎩，224

5x y =⎧⎨=⎩． ∴A （1，2）, B （4，5）,

作点A 关于y 轴的对称点A′，连接A′B 交y 轴于点P ．

则A′（－1， 2）.

设直线A′B 解析式为y=kx+b ，

则2

45k b k b -+=⎧⎨+=⎩

，

解得：3,5135k b ⎧

=⎪⎪

⎨⎪=⎪⎩

∴直线A′B ：3

1355

y x =+

． ∴当△PAB 的周长最小时，点P 的坐标为（0，135

）． 设直线AB 与y 轴的交点为C ，则C （0，1） ∴S △PAB =S △PCB －S △PCA

=113113

(

1)4(1)12525

⨯-⨯-⨯-⨯ =

125.

2. （优质试题·乐山） 如图，点P 是双曲线C ：

x y 4

=

（0>x ）上的一点，过点P 作

x 轴的垂线交直线AB ：

221

-=

x y 于点Q ，连结OP ，OQ .当点P 在曲线C 上运动，且点

P 在Q 的上方时，△POQ 面积的最大值是 .

【答案】3

【解析】∵点P 是双曲线C ：x

y 4

=（0>x ）上的一点，∴可设点P 坐标为（m ，4m

），

∵P Q ⊥x 轴，Q 在22

1

-=x y 图像上，∴Q 坐标为（m ，122

m -），PQ=4m

-(122

m -)，∴

△POQ 面积

=12

×m ×[4m -(122m -]=()21234

m --+，当m=2时，△POQ 面积的最大值为3.

三、解答题

22. （优质试题浙江省杭州市，22，12分）(本题满分12分) 设二次函数y=(x-x 1)(x-x 2)( x 1,x 2是实数)

（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=12

时，y=-12

.若甲求得的结果都正确·你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.

(2)写出二次函数图像的对称轴，并求该函数的最小值.(用含x 1,x 2的代数式表示).