知识点总结高等代数

第二章行列式知识点总结

一行列式定义

1、n 级行列式

1112121

22

212

n n ij n

n n nn

a a a a a a a a a a =

（1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积

12

12n j j nj a a a （2）的代数和，这里12

n j j j 是一个n 级排列。当12

n j j j 是偶排列时，该项前面带

正号；当12

n j j j 是奇排列时，该项前面带负号，即：

12

1212

1112121222()

1212

(1)n n n

n n j j j ij j j nj n

j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a a τ=

=

-∑

。

2、等价定义

121212()

12(1)n n n

i i i ij i i i n n

i i i a a a a τ

=

-∑和12

1211221212

()()

(1)n n n n n n

i i i j j j ij i j i j i j n

i i i j j j a a a a ττ+=

-∑

和

3、由n 级排列的性质可知，n 级行列式共有!n 项，其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半。

4、常见的行列式

1）上三角、下三角、对角行列式 2）副对角方向的行列式 3）范德蒙行列式：

二、行列式性质

1、行列式与它的转置行列式相等。

2、互换行列式的两行（列），行列式变号。

3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数，等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列）中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。

4、若行列式中有两行成比例，则此行列式等于零。

5、若某一行（列）是两组数之和，则这个行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除这一行（列）以外全与原来行列式的对应的行（列）一样。

6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。

三、行列式的按行（列）展开

1、子式

1）余子式：在n 级行列式ij D a =中，去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的n-1级行列式称

为ij a 的余子式，记作ij M 。 2）代数余子式：(1)i j ij

ij A M +=-称为ij a 的代数余子式。

3）k 级子式：在n 级行列式ij D a =

中，任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤，位于这些行列交叉处的2

k 个元素，按原来顺序构成一个k 级行列式M ，称为D 的一个k 级子式。当()k n <时，在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式。 2、按一行（列）展开

1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值，即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,

,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =++

+=

2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零，即

11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠

3、按k 行（k 列）展开

拉普拉斯定理：在n 级行列式中，任意取定k 个行（k 列）(11)k n ≤≤-，由这k 行（k 列）元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。 4、其他性质

1）设A 为n 阶方阵，则A A '=； 2）设A 为n 阶方阵，则

n kA k A =；

3）设,A B 为n 阶方阵，则

AB A B =，但A B A B ±≠±；

4）设A 为m 阶方阵，设B 为n 阶方阵，则

00

A A A

B B B

*==*

，但A B A B ±≠±。

5）行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式

四、行列式的计算

1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。具体计算时需要根据等到式中行（或列）元素的特点来选择相应的解题方法。

方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ，依次从1234n D D D D D →→→→

，逐级递推便可以求出n D 的值。

方法二：数学归纳法。第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性。第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式。

方法三：加边法。加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列（或m 行m 列）得到一个新的n+1（或m+1）级行列式，保持行列式的值不变，但是所得到的n+1（或m+1）级行列式较易计算。其一般做法如下：

111

11111

1

1

1

1

00

n n

n n n n n a a a a a a a a a a =或

11

111111

1

1

1

1

100n

n n n n n a a b a a a a b a a =

特殊情况取121n a a a ==

=或121n b b b ===。

方法四：拆行（列）法。将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有两种情况：一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式，这时需作保持行列式值不变，使其化为两项和。

方法五：析因子法。如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ，然后对行列式()f x 实行某些变换，求出()f x 的互素的一次因式，使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ，根据多项式相等的定义，比较()f x 与的()g x 某一项系数，求出c 值，便可求得()D cg x =。 2、行列式计算中常用的类型：

类型一：“两条线”型行列式（非零元分布在两条线上，例如

，

*

等等）。

注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算，或用拉普拉斯定理展开，降阶后的行列式或为三角形行列式，或得到一个递推公式。

类型二：“三条线”行列式（非零元分布在三条线上）。

（1）“三对角”行列式（

,

）。

注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解。

首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+，然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式： 先计算123,,D D D 等，找出规律进行猜想，然后再用数学归纳法进行证明。

间接递推法：借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可解得n D 。