正弦定理和余弦定理 课件

(3)法一：cos15° ＝cos(45° －30° ) ＝cos45° cos30° ＋sin45° sin30° 6＋ 2 ＝ . 4 ∵c2＝a2＋b2－2abcosC 6＋ 2 ＝(2 2) ＋(2 3) －2×2 2×2 3× 4
2 2
＝8－4 3＝( 6－ 2)2，
∴c＝ 6－ 2. 由正弦定理得 6－ 2 2 2× 4 asinC 2 sinA＝ c ＝ ＝ . 2 6－ 2 ∵a<b，∴A<B. 又∵0° <A<180° ，∴A 必为锐角． ∴A＝45° ，从而得 B＝120° .
法二：在△ABC 中，由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 得 12＝6＋c2－2c× 6× 即 c2－2 3c－6＝0， 解得 c＝ 3± 3(舍负)，即 c＝3＋ 3. ∵c>a>b，∴C>A>B， 由正弦定理得 b 6 2 1 sinB＝asinA＝ × ＝ ， 2 3 2 2 ∴B＝30° ，C＝180° －A－B＝105° . 2 ， 2
由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC，得 b2± 6b－12＝0， 解得 b＝ 6或 2 6，
b＝ 6， 所以 c＝4. b＝2 或 c＝4.
6，
3 解：由cosA－C＋cosB＝ 及B＝π－ 2 3 若将例 1 中“cos2C＝ A＋C得cosA－C－cosA＋C＝ ， 1 2 － ”改为“cos(A－C) 4 cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC 3 2 ＋ cos B ＝ ， b ＝ac”， 3 3 2 －sinAsinC＝ ，sinAsinC＝ . 2 4 求 B. 又由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，
答案： 2 3
5．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC的形 状是________． 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)． 由2sinAcosB＝sinC，
得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，
答案： A
3．在△ABC 中，已知 sin2B－sin2C－sin2A＝ 3sinAsinC，则角 B 的大小为 A．150° C．120° B．30° D．60° ( )
解析：由正弦定理可得 b2－c2－a2＝ 3ac，由余弦定理可得 a2＋c2－b2 3 cosB＝ ＝－ .故角 B 为 150° . 2ac 2
答案： A
1 4． △ABC 中， 若 a＝3 2， cosC＝ ， S ＝4 3， 则 b＝________. 3 △ABC 1 2 2 解析：∵cosC＝ ，0<C<π，∴sinC＝ 3 3
1 ∴S△ABC＝ absinC＝4 3 2 8 3 ∴ b＝ ＝ asinC 8 3 ＝2 3. 2 2 3 2× 3
(2)由余弦定理的推论得 b2＋c2－a2 cosA＝ 2bc 2 22＋ 6＋ 22－22 3 ＝ ＝ . 2 2×2 2× 6＋ 2 又∵0° <A<60° ，∴A＝30° . a2＋c2－b2 22＋ 6＋ 22－2 22 2 同理，cosB＝ ＝ ＝ ， 2ac 2 2×2× 6＋ 2 ∴B＝45° ，C＝180° －A－B＝180° －30° －45° ＝105° .
法二：求 c(同法一)， b2＋c2－a2 由余弦定理的推论得 cosA＝ 2bc 2 32＋ 6－ 22－2 22 2 ＝ ＝ ， 2 2×2 3× 6－ 2 又∵0° <A<180° ， ∴A＝45° ，从而 B＝120° .
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 (2010· 辽宁高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理得 2 6× 2 1 bsinA sinB＝ a ＝ ＝ . 2 2 3 ∵a>b，∴A>B，B 必为锐角， ∴B＝30° ，C＝105° . ∵sinC＝sin105° ＝sin(60° ＋45° ) ＝sin60° cos45° ＋cos60° sin45° 6＋ 2 ＝ ， 4 6＋ 2 2 3× 4 asinC ∴c＝ ＝ ＝3＋ 3. sinA 2 2
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b 解的 一解
a≥b 一解
a＞b 一解
a≤ b 无解
两解
个数
考点一
利用正、余弦定理解三角形
(2010· 浙江高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分 1 别为 a，b，c，已知 cos2C＝－ . 4 (1)求 sinC 的值； (2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，求 b 及 c 的长．
∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a＝b或a2＋b2＝c2， ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
a cosB sinA cosB 法二：由b＝ ，得 ＝ ， cosA sinB cosA ∴sinAcosA＝cosBsinB， ∴sin2A＝sin2B. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， π ∴A＝B 或 A＋B＝ . 2 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
asinC＝csinA.
定理
正弦定理 ①已知两角和任一边，
余弦定理 ①已知三边，求 各角； ②已知两边和它 们的夹角，求第
解决解斜三 角形的问题
求另一角和其他两条
边．②已知两边和其 中一边的对角，求另 一边和其他两角.
三边和其他两个
角.
2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
1．(2010· 湖北高考)在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60° ，则 cosB ＝ 2 2 A．－ 3 C．－ 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3 ( )
a b bsinA 3 解析： 依题意得 0° <B<60° ， ＝ ， sinB＝ a ＝ ， cosB sinA sinB 3 6 ＝ 1－sin2B＝ . 3
答案：等腰三角形
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理
a b c ＝ ＝ = 2R 2 a2＋c2－2accosB 内容 sinA sinB sinC b＝ ；
c2＝ a2＋b2－2abcosC .
a2＝ b2＋c2－2bccosA ；
定 理
正弦定理 ①a＝ 2RsinA ，b＝ 2RsinB ，
又由正弦定理得 2RsinA＝a,2RsinB＝b， ∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB， 即 sin2A＝sin2B. ∵A≠B，∴2A＝π－2B， π ∴A＋B＝ . 2 ∴△ABC 是直角三角形．
考点三
与三角形面积有关的问题
在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c， π 已知 c＝2，C＝ . 3 (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC 的面积．
[自主解答] 10 ＝ . 4
1 (1)因为 cos2C＝1－2sin2C＝－ ， 及 0<C<π， 所以 sinC 4 a c ＝ ，得 sinA sinC
(2)当 a＝2,2sinA＝sinC 时，由正弦定理 c＝4.
2
1 由 cos2C＝2cos C－1＝－ ，及 0<C<π 得 4 6 cosC＝± . 4
即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形．
法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC 可化为 a2＋c2－b2 2a· ＝c，即 a2＋c2－b2＝c2，即 a2－b2＝0， 2ac 即 a2＝b2，故 a＝b.所以△ABC 是等腰三角形．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
答案： D
2．在三角形 ABC 中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC 的 大小为 2π A. 3 3π C. 4 B. 5π 6 π 3 ( )
D.
AB2＋AC2－BC2 52＋32－72 解析：由余弦定理得 cos∠BAC＝ ＝ 2AB· AC 2×5×3 1 2π ＝－ ，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝ . 2 3
在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边． 如果(a2＋b2)· sin(A－B)＝(a2－b2)· sin(A＋B)，且A≠B，试 判断△ABC的形状．
解：由已知得：
a2[sin(A＋B)－sin(A－B)] ＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]． 利用两角和、差的三角函数公式可得 2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB. 由正弦定理得asinB＝bsinA， ∴acosA＝bcosB.
a cosB 解：法一：由b＝ ，得acosA＝bcosB， cosA b2＋c2－a2 若将条件“2asinA＝(2b＋c) ∴ a· 2bc sinB＋(2c＋b)sinC” 2 2 2 a ＋c －b a cosB ＝ b· ， 改为“ b＝cosA”， 2ac ∴a2b2＋c2－a2＝b2a2＋c2－b2，试确定△ABC 的形状．
3 3 3 故 sin2B＝ ，sinB＝ 或 sinB＝－ (舍去)， 4 2 2 π 2π 于是 B＝ 或 B＝ . 3 3 π 又由 b ＝ac 知 b≤a 或 b≤c，所以 B＝ . 3
2
在△ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，试根据以 下已知条件解三角形． (1)a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ； (2)a＝2，b＝2 2，c＝ 6＋ 2； (3)a＝2 2，b＝2 3，C＝15° .
[自主解答] (1)由已知， 根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 1 故 cosA＝－ ，又 A∈(0，π)，故 A＝120° . 2 (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 1 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝ . 2 因为 0° ＜B＜90° ，0° ＜C＜90° ，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
[自主解答] (1)由余弦定理及已知条件，得 a2＋b2－ab＝4， 1 又因为△ABC 的面积等于 3，所以 absinC＝ 3， 2 得 ab＝4.
2 2 a ＋b －ab＝4， 联立方程组 ab＝4，
a＝2， 解得 b＝2.
(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA， 即 sinBcosA＝2sinAcosA. π π 4 3 2 3 当 cosA＝0 时，A＝ ，B＝ ，a＝ ，b＝ . 2 6 3 3 1 所以△ABC 的面积 S＝ absinC 2 1 4 3 2 3 3 2 3 ＝ × × × ＝ ； 2 3 3 2 3 当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA，由正弦定理得 b＝2a，
余弦定理
c＝ 2RsinC ； 变 ②sinA＝ a ，sinB＝ b ，sinC 2R 2R c 形 ＝ ； 2R 形 (其中R是△ABC外接圆半径) 式 ③a∶b∶c＝ sinA∶sinB∶sinC
b2＋c2－a2 cosA＝ ； 2bc a2＋c2－b2 cosB＝ ； 2ac
a2＋b2－c2 cosC＝ . 2ab ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，
2 2 a ＋b －ab＝4， 联立方程组 b＝2a，
a＝2 3， 3 解得 4 3 b ＝ . 3
所以△ABC 的面积
1 1 2 3 4 3 3 2 3 S＝ absinC＝ × × × ＝ . 2 2 3 3 2 3 2 3 综上：△ABC 的面积为 . 3