高中数学《导数的概念及其几何意义》公开课教学设计
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义一、导数的定义和基本概念1. 导数的定义导数是微积分学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化率。
在数学上，对于给定的函数f(x)，它在某一点x0处的导数可以用极限的概念来定义，即：\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{\Delta x} \]其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
2. 导数的基本概念根据导数的定义可以知道，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率，也就是函数在该点的瞬时变化率。
导数的概念是微积分的基础，它在物理、经济、生物等领域有着广泛的应用。
二、导数的几何意义1. 切线和切线斜率在几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点的切线的斜率。
对于函数f(x)，在点x0处的切线斜率即为该点处的导数值f'(x0)。
通过求导可以获得函数曲线在任意点的切线斜率，从而更好地理解函数图像在各个点的变化趋势。
2. 导数与函数图像的关系导数还可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性、极值点以及拐点等性质。
对于函数f(x)，如果在某一点的导数值为0，那么这个点可能是函数的极值点或者拐点。
通过导数，我们可以更直观地理解函数的整体形态和特性。
三、深入理解导数的意义1. 导数的局部性导数反映了函数在某一点附近的变化情况，是一种局部性的量。
通过导数，我们可以得知函数在某一点处的瞬时变化率，从而对函数的局部特性有更深入的理解。
2. 导数与积分的关系在微积分中，导数和积分是密切相关的。
导数描述了函数的瞬时变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们相互补充，共同构成了微积分学的核心内容。
结语：导数作为微积分学中的重要概念，在数学和应用领域都有着广泛的意义。
通过深入理解导数的概念及其几何意义，我们可以更好地理解函数图像的变化规律，为后续的微积分学习打下扎实的基础。
《导数的几何意义》示范公开课教案【高中数学北师大】
第二章 导数及其应用2.2.2 导数的几何意义1. 理解割线逼近切线的过程，了解曲线上一点处的切线的意义；2. 理解由平均变化率到瞬时变化率与由割线到切线的斜率之间的关系．重点：曲线上一点处的切线概念的形成过程． 难点：用运动变化的观点认识导数的几何意义．一、新课导入问题1：我们学习了函数在某区间上的平均变化率，它的几何意义是什么呢？答案：几何意义为割线的斜率，反映了直线的“陡峭”程度．近似地刻画了曲线在这一区间上的变化趋势． 设计意图：这一段的内容既是对平均变化率与瞬时变化率进一步的概括，又是对本节课要研究内容的适时切入，展现了数学知识发生与发展的过程，更重要的是，这种发生、发展的规律，与人们认识事物的规律是吻合的，即数学知识的发生往往是从原有知识的基础发展而来的．问题2 有些时候我们需要研究曲线上某一点处的变化趋势，比如我们熟悉的幂函数，如图，这些幂函数在[0，1]区间上的平均变化率是相同的，但是在点P (1，1)处的变化趋势是相同的吗？答案：不相同．设计意图：提出研究方向，感受研究的必要性．其实在我们生活中也有这样的例子．在2010年广州亚运会的链球决赛中，我国选手张文秀技压群芳，获得了冠军，为国争光，作为一个专业运动员，她很好地掌握了链球在抛出点处的运动趋势，把握了链球出手的最佳时机．这些都告诉我们，确实有必要来研究曲线上一点处的变化趋势．设计意图：数学知识的产生往往离不开生产和生活的实际需要，从生活背景出发，提出◆教学目标◆教学过程◆教学重难点 ◆研究问题的必要性．二、新知探究问题3怎样在图形中表示由平均变化率到瞬时变化率？如图，设Q为曲线C上不同于点P的一点，则直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的直线l，这时直线l称为曲线在点P处的切线．设计意图：通过类似放大镜观察图形的过程，可以近似地把曲线在一点处的变化趋势看成直线，用信息技术表达．问题４对于一般的曲线C，如抛物线f (x)＝x2，如何定义它在某一点，如P0 (1，1)处的切线呢？追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？答案：不一定. 例如，二次函数f (x)＝x2的图象和直线x＝1只有一个交点，但它们显然不相切．追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？答案：不一定. 例如，正弦函数f (x)＝sin x的图象和直线y＝1相切，但它们显然不止一个交点．因此不能再像在研究直线和圆的位置关系时那样，通过交点个数来定义相切．追问3：对于抛物线f (x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线的切线呢？答案：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线的割线P0 P的变化情况．我们可以借助几何画板工具来观察．通过演示可以看到，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线．这样，我们得到抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线的含义．从几何上看，抛物线在点P0的切线，是由过这一点的割线P0P，当P无限接近P0时的极限位置确定的．我们知道，斜率是确定直线的一个要素．在已知切点的情况下，如果我们再能确定切线的斜率，就能确定切线的方程．追问4：如何求抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？答案：从上述切线的定义可见，抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．既然切线是割线的极限位置确定的，那么切线的斜率也就应该是割线斜率当P无限接近P0时的极限值．我们记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标为(x，(1＋Δx)2)．于是割线P0P的斜率k=f(x)−f(1)x−1=(1+Δx)2−1Δx=Δx+2我们可以通过割线P0P的斜率近似地表示切线的斜率，并且通过不断缩短横坐标间隔|Δx来提高近似表示的精确度．我们可以借助电脑的excel计算，来观察当P无限接近P0时，割线P0P的斜率变化情况．当Δx无限趋近于0时，无论x从小于1的一边还是大于1的一边无限趋近于1，割线斜率都无限趋近于2．事实上，由k=f(1+Δx)−f(1)Δx=Δx+2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2. 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，k=f(1+Δx)−f(1)Δx的极限”，记做lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=2．问题５曲线上一点处切线的斜率与导数是什么关系？答案：由导函数的定义可知，曲线上一点处切线的斜率就是曲线对应的函数在这一点的导数，可以通过割线的斜率逼近切线的斜率．问题６ 在曲线上怎样反映出从平均变化率到瞬时变化率？答案：点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，也就是说Δx →0．即：切线的斜率为k ，那么当Δx →0，f(x 0+Δx)−f (x 0)Δx→k ．总结：函数y=f (x )在x 0处的导数f′(x 0)，是曲线y=f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y=f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．三、应用举例例1 已知函数y =x 2及自变量x 0=−2．(1) 分别对Δx =1，0.5，0.1求y =x 2在区间[x 0，x 0+Δx]上的平均变化率，并画出过点(x 0，f (x 0))的相应割线；(2) 求函数y =x 2在x 0处的导数，并画出曲线y =x 2在点(x 0，f (x 0))处的切线． 解：(1)当Δx =1，0.5，0.1时，区间[x 0，x 0+Δx]相应为[−2，−1]，[−2，−1.5]，[−2，−1.9]，y =x 2在这些区间上的平均变化率分别为f (−1)−f (−2)1=(−1)2−(−2)21=−3， f (−1.5)−f (−2)0.5=(−1.5)2−(−2)20.5=−3.5， f (−1.9)−f (−2)0.1=(−1.9)2−(−2)20.1=−3.9．如图，其相应割线分别是经过点(−2，4)和点(−1，1)的直线l 1，经过点(−2，4)和点(−1.5，2.25)的直线l 2，经过点(−2，4)和点(−1.9，3.61)的直线l 3．(2) y =x 2在区间[−2，−2+Δx]上的平均变化率为(−2+Δx)2−(−2)2Δx=−4Δx+(Δx)2Δx=−4+Δx ．令Δx 趋于0，可知函数y =x 2在x 0=−2处的导数为−4．因此，曲线y =x 2在点(−2，4)处的切线为经过点(−2，4)，斜率为−4的直线l ．例2 求函数y ＝f (x )＝2x 3在x ＝1处的切线方程． 解：f(1+Δx)−f (1)Δx=2(1+Δx)3−2×13Δx=2[1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3]−2Δx=6+6Δx +2(Δx)2．令Δx 趋于0，可知y =2x 3在x =1处的导数为f ′(1)=6．于是，函数y =2x 3在点(1，f(1))即(1，2)处的切线斜率为6，即该切线经过点(1，2)，且斜率为6．因此，函数y ＝f (x )=2x 3在x =1处的切线方程为：y −2=6(x −1)，即y =6x −4．四、课堂练习1．曲线f (x )=−2x 在点A (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝－2x －4 C ．y ＝2x －4 D ．y ＝2x ＋42．如图，函数y =f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f′(5)＝___________．3. 直线y =−14x +b 是函数f (x )=1x图象的切线，则切点是_________，实数b ＝________．４．曲线y =f (x )=x 2−1在x ＝x 0处的切线与曲线y =g (x )=1−x 3在x ＝x 0处的切线互相平行．(1)求x 0的值；(2)求曲线y =f (x )在x ＝x 0处的切线方程． 参考答案：1．答案 C 解析：ΔyΔx =−21+Δx+2Δx=21+Δx ，所以当Δx →0时，f′(x)=2，故直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4．2．答案：2解析：点P 横坐标为5，故由在点P 处切线为y ＝－x ＋8，得f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3．∴f(5)＋f′(5)＝2．3．答案：(−2，−12)或(2，12)，1或－1． 解析：f ′(x )=limΔx→01x+Δx −1xΔx=−1x 2=−14 ，解得x ＝±2．当x ＝－2时，y ＝－12，b ＝－1；当x ＝2时，y ＝12，b ＝1．４．解：(1) f′(x 0)＝lim Δx→0f(x 0+Δx)−f (x 0)Δx＝limΔx→0(x 0+Δx)2−1−(x 02−1)Δx =2x 0，g′(x 0)＝limΔx→0g(x 0+Δx)−g (x 0)Δx＝limΔx→01−(x 0+Δx)3−(1−x 03)Δx=−3x 02．由题意得2x 0＝−3x 02，解得x 0＝0或－23．(2)当x 0＝0时，f′(x 0)＝0，又f (0)＝－1，故所求切线方程为y ＝－1；当x 0＝－23时，f′(x 0)＝－43，又f (－23)=−59，故所求切线方程为y ＋59＝－43(x +23)，即y ＝－43x －139．五、课堂小结１.切线的定义：设Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终成为点P 处最逼近曲线的直线l ，这时直线l 称为曲线在点P 处的切线．２.导数的几何意义：函数y=f (x )在x 0处的导数f′(x 0)，是曲线y=f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y=f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．六、布置作业教材第56页A 组练习第3，4，5题．。
导数的概念及其几何意义(1)教学设计
根据导数的定义，
，
所以 .
同理可得 .
在第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为 与 .说明在第2h附近，原油温度大约以 的速率下降；在第6h附近，原油温度大约以 的速率上升.一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况.
例3一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 时汽车的速度（单位： ）为 ，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
教学过程
1、新课导入
在上节课的学习中，我们研究了平均速度和瞬时速度的物理问题，以及割线斜率和切线斜率的几何问题，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，这节课我们就来探究一下平均变化率、导数的概念及其几何意义.
2、探索新知
一、平均变化率的概念
对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 .这时， 的变化量为 ， 的变化量为 .我们把比值 ，即 叫做函数 从 到 的平均变化率.
2.过程与方法：通过设计三次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，进而抽象出导数的概念；
3.情感、态度与价值观：让学生初步理解导数的内涵及其蕴含的“运动变化的观点”和极限思想。
教学内容
1、教பைடு நூலகம்重点
平均变化率的概念及求法、利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用.
2、教学难点
导数概念及其几何意义的理解和应用.
二、瞬时变化率（导数）的概念
如果当 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称 在 处可导，并把这个确定的值叫做 在 处的导数（也称为瞬时变化率），记作 或 ，即 .
三、求函数在 处的导数（瞬时变化率）
例1设 ，求 .
马丽娜-导数的概念及其几何意义【2018年第9届全国高中数学优质课比赛教学设计、课件】
理解导数的概念， 明确求导数的基本方法， 能够运用导数的概念和 几何意义解决与瞬时变 化率有关的问题.
感受数学源于生活、 用于生活.激发求知欲， 提高课堂参与度，增强 成就感.培养敢于质疑、 勇于探索的学习习惯.引 导学生会用数学的眼光 观察世界，用数学的思 维思考世界，用数学的 语言表达世界.
学情分析
教学过程
学以致用 解决典型问题——活动4.例2
引导学生再次感受从具体到一般的抽象过程.理解导数的本质就 是瞬时变化率. 导数可以表示任何运动变化事物的瞬时变化率.
教学过程
自主探究 获得几何意义——探究2
上一分讲学生已经探究了特殊曲线的切线斜率，结合本课时“导数的概念”，学生不难 发现抛物线f(x)=x2在点(0,0)处的切线斜率就是函数f(x)=x2在x=0处的导数，这就是特殊函 数的f(x)=x2导数的几何意义. 本课时教师意在让学生抽象生成一般函数y=f(x)的导数的几何意义. 教师要关注学生的动手实践过程.教师引导学生用运动变化的观点研究问题，体会割线 的极限位置就是切线，体会割线斜率的极限就是切线斜率，割线斜率的极限的数学表达就是 导数.感受从特殊到一般、类比的研究方法.
教学目标
内容解析
教学策略 教学目标
学情分析
教学策略
经历由不同实例的 数学共性，抽象生成导 数的概念.通过类比探 究，抽象概括一般函数 导数的几何意义，生成 一般曲线的切线的定义.
体会“数形结合” 的思想方法.体会从特殊 到一般、从具体到抽象 在解决问题中的一般性 和有效性.发展学生观察、 类比、概括的数学能力, 提升数学抽象、直观想 象、逻辑推理的数学核 心素养.
1.用运动变化的观点解 决问题. 2.导数概念的建构过程. 3.导数几何意义的探究.
高中数学《导数的概念及其几何意义》公开课教学设计
《导数的概念及其几何意义》一、教材内容分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义.在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。
从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。
它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理.从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用. 二、学生学情分析1.导数是对变化率的一种“度量”实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从. 2.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t ∆趋于0时，t h ∆∆趋于一个定值；当||x ∆趋于0时，xy∆∆趋于一个定值.（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数)(x f y =的图像，平均变化xy∆∆表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。
导数的概念及其几何意义教案
导数的概念及其几何意义教案导数的概念及其几何意义导数是微积分学中的一个基本概念，它不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中也有着广泛的用途。
本文将通过深入的理论探讨和几何意义的解释，帮助读者全面理解导数的概念及其应用。
一、导数的概念导数是函数的一种基本性质，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体地说，设函数y=f(x)，在某一点x=a处有定义，若存在极限lim_[h→0] (f(a+h)-f(a))/h ，那么这个极限就称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。
从定义中可以看出，导数表示了函数在某一点上的瞬时变化率，也即函数的斜率。
导数的绝对值越大，表示函数在该点上的变化越剧烈；导数为零表示函数在该点上没有变化；导数为正表示函数在该点上单调递增；导数为负表示函数在该点上单调递减。
二、导数的几何意义导数的几何意义可以通过理解切线的概念来解释。
对于一个函数，取其中一点P(x,y)，在这一点上作一条切线，使得切线与曲线只有一个公共点P。
那么这条切线的斜率就是函数在点P处的导数。
通过这种解释，我们可以把导数理解为函数曲线在某一点上的局部近似线性化描述。
切线的近似线性特征使得我们可以使用直线的性质来研究函数曲线的性质。
我们可以通过判断切线的斜率的正负来确定函数的单调性；通过判断切线与x轴的交点来确定函数的根的存在性等等。
三、导数的应用导数在实际应用中具有广泛的用途。
下面列举几个典型的应用场景：1. 曲线的拟合与插值：通过函数的导数可以获得曲线的斜率信息，进而进行曲线的拟合和插值，从而更好地描述和预测曲线的变化。
2. 最优化问题：很多最优化问题可以通过导数的求解来解决。
求函数在某一范围内的最大值或最小值，我们可以通过求解导数为零的位置来得到答案。
3. 物理学中的速度和加速度：在物理学中，速度和加速度是描述物体的运动的重要概念。
通过对位移和时间的关系进行导数运算，我们可以得到速度和加速度的函数表达式，从而更好地分析物体的运动规律。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计课题：导数的概念及其几何意义教材分析：微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2000多年的智慧成果，开创了数学向近代数学过渡的新时期，其中牛顿和莱布尼茨功不可没，他们各自独立创立了微积分，单凭这一项成就，就足以奠定两人科学史上的伟大地位。
而导数的概念是微积分核心概念之一，它具有极其丰富的实际背景和广泛应用。
导数的概念及其几何意义一课是在学生已经学习了解了一些实际问题的平均变化率的基础上对于瞬时变化率的确切的再认识，同时也是高中数学与大学数学衔接的重要内容章节。
考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。
因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。
教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学。
教学目标：1.知识与技能：抽象概括并理解导数的概念，发现并学习导数的几何意义。
2.过程与方法：体会瞬时变化率，归纳形成导数概念。
观察函数曲线的变化趋势，发现形成导数的几何意义。
3.情感态度价值观：学习的过程中养成数学抽象和数学建模的核心素养，渗透不断逼近和以直代曲的数学思想，以有限认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想的无限魅力。
教学重点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学难点：导数的概念以及导数的几何意义。
教学过程：【复习回顾，创设情境】：回顾什么是平均变化率？情境1、吹气球的时候，随着气球的不断膨胀，吹起来，会越来越难，这是怎么回事？怎样用数学知识解释这一现象？情境2、巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员两幅不同的陡峭状态的图片，当陡峭程度不同时，登山运动员的感受程度是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考？情境3、观看跳水视频，运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，设运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t存在函数关系为。
高中数学一对一教案 导数的概念及几何意义
教学内容导数的概念及几何意义教学目标1、了解导数的概念2、理解导数的几何意义，并由此求切线的方程3、掌握基本初等函数的导数公式和导数的运算法则教学重、难点 重点：函数导数的计算和导数的几何意义的应用。
难点：导数几何意义的应用扫清障碍1、若某个问题中的函数关系用()f x 表示，问题中的变化率用式子()()2121f x f x x x --fx ∆=∆表示，则式子()()2121f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率．2、函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率是()()210021limlimx x f x f x fx x x∆→∆→-∆=-∆，则称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作()0f x '或0x x y ='，即()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率是()0f x '，切线的方程为：()()()000y f x f x x x '-=-．若函数在0x 处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为0x x =． 特别的，若质点运动的位移S 是时间t 的函数，则(),()S t v v t a ''==。
4、若当x 变化时，()f x '是x 的函数，则称它为()f x 的导函数（导数），记作()f x '或y '，即()()()limx f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆5、基本初等函数的导数公式②求出函数在点0x 处的导数0()f x '得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率k,即0()k f x '=； ③利用点斜式写出切线方程并化简.变式练习：1.（2009江西卷理）设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．14-C ．2D ．12-2.已知函数3()f x x =的切线的斜率等于1，则切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定3.(11年全国理)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．14．曲线2y x =在点P 处的切线斜率为1，则点P 的坐标为_________。
5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计
5.1.2《导数的几何意义》教学设计一、教材分析：本节课是《普通高中教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A 版教材）选择性必修第二册中第5章5.1.2节，它是学习了平均变化率，瞬时变化率基础上，进一步从几何意义的基础上理解导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容，导数的几何意义学习为常见函数的导数计算、研究函数的应用的基础。
因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用。
本节课不仅能帮助学生更好地理解导数的概念，并且能让学生认识导数是刻画函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容. 二、教学目标：1. 知识与技能：（1）使学生了解导数的几何意义；（2）体会“数形结合、以直代曲”的数学思想方法。
2. 过程与方法：渗透“逼近”思想，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探究新知识的精神.3. 情感与价值：通过揭示割线与切线之间的内在联系，对学生进行辩证唯物主义教育，引导学生从有限中认识无限. 三、教学重点、难点：重点：导数的概念，导数的几何意义. 难点：导数的概念，曲线切线概念.三、教学过程设计 （一）旧知回顾1. 高台跳水运动员的速度设高台跳水运动员起跳高度h 与时间t 的函数为)(t h s =，则0t 到t 的平均速度为，t t h t t h v ∆-∆+=)()(00而在0t 时刻的瞬时速度为.)()(000lim t t h t t h t ∆-∆+→∆2. 抛物线的切线的斜率 设抛物线解析式为)(x f y =，，，))((000x f x P ，，))((00x x f x x P ∆+∆+则割线P P 0的斜率为，x x f x x f k ∆-∆+=)()(00而在，，))((000x fx P 处切线的斜率为.)()(000limx x f x x f x ∆-∆+→∆3. 导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆（二）新知学习Δx )-f (x 0)导数)('0x f 表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况.那么导数)('0x f 平均变化率xy∆∆表示什么？ xx f x x f x y Q P PQ ∆-∆+=∆∆=)()(000表示割线P P 0的斜率.当点 ))(,(x f x P 沿着曲线无限接近于点))(,(00x f x P 割线P P 0称为曲线 )(x f y =在 0x x =的切线.割线P P 0的斜率00)()(x x x f x f k --=当 0→-=∆x x x在0x x =的导数)('0x f ，x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)('00000导数的几何意义：)('x f 是)(x f y =函数在0x x =处切线T P 0的斜率.0P 附近的曲线，将0P 附近的曲线不.因此，在0P 附近曲线可以用点0P 处的切线T P 0近例 1 高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数118.49.4)(2++-=t t t h的图象.根据图象，请描述、比较曲线)(t h 在210t t t t ，，=附近的变化情况.x处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t= 时，曲线)(t h 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0)('0=t h 在0t t =附近曲线比较平坦；（2）当1t t =时，曲线h(t)在1t t = 处的切线1l 的斜率在1t t =附近单调递减, 下降缓慢；（3）当2t t = 时，曲线h(t)在2t t= 处的切线2l 的斜率在2t t =附近单调递减，但下降迅速.例2 如图是人体血管中药物浓度)(t f c = (单位：mg/mL) 随时间t(单位：min)变化的函数图象.根据图象，估计 min 8.06.04.02.0，，，=t 时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：设血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f (t )在此时刻的导数，从图象看，它表示曲线f (t )在此处切线的斜率.作t = 0.8处切线，并在切线上取两点，如()0.910.7，则此刻切线的斜率，4.17.00.191.048.0-≈--=k .4.1)8.0('-≈f三、课堂总结导数的概念对于函数)(x f y = ，设自变量x 从0x 变化到x x ∆+0 ，相应地，函数值y 就从)(0x f 变化到)(0x x f ∆+，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为)()(00x f x x f -∆+，我们把比值xy ∆∆，即，x x f x x f ∆-∆+)()(00叫做函数)(x f y =从0x 到x x ∆+0的平均变化率.当0→∆x 时，平均变化率x y ∆∆无限接近一个确定的值，即xy∆∆有极限，则称 )(x f y =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做)(x f y =在0x x =处的导数(也称瞬时变化率)，记作：)('0x f 或0|'x x y = ，即.)()(lim lim)('00000x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆四、作业教材第70页，习题5.1复习巩固 1，2，3。
导数的几何意义教案及说明
导数的几何意义教案及说明教案章节：一、导数的定义；二、导数的计算；三、导数的应用；四、导数与曲线的切线；五、导数与函数的单调性一、导数的定义1. 教学目标：理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 教学内容：引入导数的概念，解释导数的几何意义，举例说明导数表示曲线的切线斜率。
3. 教学步骤：a. 引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
b. 解释导数的几何意义，即导数表示曲线的切线斜率。
c. 举例说明导数表示曲线的切线斜率，通过图形演示导数的变化。
4. 教学练习：a. 练习计算函数在某一点的导数。
b. 练习根据导数的几何意义，确定曲线的切线斜率。
二、导数的计算1. 教学目标：掌握导数的计算方法，能够计算常见函数的导数。
2. 教学内容：介绍导数的计算方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
3. 教学步骤：a. 介绍导数的计算方法，包括常数函数的导数为0，幂函数的导数按幂次降次，指数函数的导数为自身，对数函数的导数为1/x。
b. 举例说明常见函数的导数计算，包括正弦函数、余弦函数、绝对值函数等。
4. 教学练习：a. 练习计算常见函数的导数。
b. 练习根据导数的计算结果，分析函数的单调性。
三、导数的应用1. 教学目标：理解导数在实际问题中的应用，掌握导数的基本应用方法。
2. 教学内容：介绍导数在实际问题中的应用，包括速度、加速度、优化问题等。
3. 教学步骤：a. 介绍导数在速度和加速度中的应用，解释速度是位置关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。
b. 举例说明导数在优化问题中的应用，通过导数找到函数的最大值和最小值。
4. 教学练习：a. 练习根据导数计算速度和加速度。
b. 练习使用导数解决优化问题。
四、导数与曲线的切线1. 教学目标：理解导数与曲线的切线的关系，掌握求解切线方程的方法。
2. 教学内容：解释导数与曲线的切线的关系，介绍求解切线方程的方法。
3. 教学步骤：a. 解释导数与曲线的切线的关系，即导数表示曲线的切线斜率。
高中数学《导数的概念及几何意义》教学设计
导数的概念及几何意义教学设计一、目标分析依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标：（1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。
（2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。
（3）情感态度与价值观目标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。
二、教学重点理解导数的概念及几何意义教学难点运用极限的思想抽象出导数的定义三、教学方法是讨论发现法，问题探究法。
四、设计的指导思想现代认知心理学——建构主义学习理论。
五、设计的设计理念为了学生的一切.六、教学过程（一）创设情境、导入课题 1、在时间段( t 0+△t)－ t 0 = △t 内，刘翔的平均速度为:因此刘翔在跨过最后一栏的瞬时速度v 就是他在t 0 到t 0+ Δ t 这段时间内,当Δ t 趋向于 零时平均速度的极限 ，即 2、曲线的切线我们发现,当点Q 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.（二）实例分析、形成概念物体的瞬时速度及切线的斜率的共同特点是什么？函数的改变量 y ∆与自变量的改变量 x ∆比值的极限。
得出：提炼得出概念导数的定义：设函数y =f (x )在点x 0处及其附近有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量△x 时，函数y 相应的增量 △y= f (x 0+ △x) － f (x 0)， t s v t ∆∆=→∆0lim t s v ∆∆=()()t t s t t s t s v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00lim lim ()()x x f x x f x y k x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆0000lim lim tan α()()x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim当△x →0 时，如果 xy ∆∆有极限，我们就说函数f(x)在点x 0处可导, 并把这个极限叫做f(x)在x 0处的导数(或变化率)记作（三）组织讨论 深化认识设计理念：建构主义论：一切知识的学习都必须经过主体根据已有知识和经验进行理解、加工、构建自己的意义后才能被纳入到主体原有的认知系统中。
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义 教案
导数的概念及其几何意义教学设计一般地，f′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t)=−t2+ 6t+60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 ),v′(6 ).解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 )和 v′(6 ).根据导数的定义，∆y ∆t =v(2+∆t)−v(2)∆t=−(2+∆t)2+6(2+∆t)+60−(−22+6×2+60)∆t=−∆t+3,所以v′(2 )=lim∆t→0∆y∆t=lim∆t→0(−∆t+2)=2同理可得v′(6 )=−6在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别2 m/s2与−6 m/s2. 说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s .思考观察函数y=f (x)的图象（图5.1-3），平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？瞬时变化率f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？提示：平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示割线P0P的斜率.如图5.1-4，在曲线y=f (x)上任取一点P (x , f (x))，如果当点P (x , f (x))沿曲线y=f (x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f (x)在点P0处的切线.易知，割线P0P的斜率k=f(x)−f(x0)x−x0记∆x=x−x0，当点P沿着曲线y=f (x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0时，k无限趋近于函数y=f (x)在x=x0处的导数.因此，函数y=f (x)在x=x0处的导数f′(x0 )（即瞬时变化率），就是切线P0T的斜率k0，即k0=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=f′(x0)这也导数的几何意义.继续观察图5.1-4，可以发现点P0处的切线P0T 比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线. 进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（如图5.1-5），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P0附近，曲线y=f (x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.例4 图5.1-6是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线的斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，ℎ′(t0)=0. 这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率ℎ′(t1)<0. 这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率ℎ′(t2)<0. 这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.例5图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确度0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率k=0.48−0.911.0−0.7≈−1.4所以f′(0.8)≈−1.4表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0 )是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x) 就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）. y=f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x )=y′=lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x.课堂练习：1根据导数的定义求下列函数的导数．(1)求函数y=x2+3在x＝1处的导数；(2)求函数y=1x在x=a(a≠0)处的导数．解：(1) ∆y=f(1+∆x)−f(1)=[(1+∆x)2+ 3]−(12+3)=2∆x+(∆x)2∴∆y∆x =2∆x+(∆x)2∆x=2+∆x∴y′|x=1=lim∆x→0(2+∆x)=2 (2)∆y=f(a+∆x)−f(a)=1a+∆x−1a=a−(a+∆x)a(a+∆x)=−∆xa(a+∆x)∴∆y∆x =−∆xa(a+∆x)∙ 1∆x=− 1a(a+∆x)∴y′|x=a=lim∆x→0[− 1a(a+∆x)]=−1a2求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤2 已知函数f (x)在 x =x 0处导数的4，则lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x=____ .解： lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x =lim ∆x→0[f (x 0+3∆x )−f (x 0)3 ∆x ×3]=3lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)3∆x =3f ′(x 0 )=3×4=12答案：12注：（1）本题中x 的增量是3∆x ，即(x 0+3∆x )−x 0=3∆x ，而分母为∆x ，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．3 长方形的周长为10，一边长为x .其面积为S. （1） 写出S 与x 之间的函数关系；（2） 当x 从1增加到1+∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？解释它的实际意义；（3）当长从x 增加到x +∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？ （4）在x =1处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义；（5）在x 处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？1平均变化率2瞬时变化率3导数的概念4 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤。
导数的几何意义教案(后附教学反思
导数的几何意义教案（后附教学反思）一、教学目标1. 让学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义。
2. 能够运用导数求解曲线的切线斜率。
3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数与切线斜率的关系4. 求解曲线的切线斜率5. 应用实例三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义，导数的几何意义，求解曲线的切线斜率。
2. 难点：导数的几何意义的理解，求解曲线的切线斜率的应用。
四、教学方法1. 采用讲解法、问答法、案例分析法、互动讨论法等。
2. 通过图形演示、实例分析，引导学生直观理解导数的几何意义。
3. 以学生为主体，鼓励学生主动探究、积极参与，培养学生的动手能力和思考能力。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考如何描述曲线的变化率。
2. 讲解导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义，强调导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示的是曲线在某一点的切线斜率。
引导学生直观理解导数的几何意义。
4. 导数与切线斜率的关系：讲解导数与切线斜率的关系，引导学生掌握求解曲线的切线斜率的方法。
5. 应用实例：分析实际问题，运用导数求解曲线的切线斜率，巩固所学知识。
6. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的几何意义及求解切线斜率的方法。
8. 布置作业：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：1. 讲解导数的定义时，要注重极限思想的理解，引导学生明白导数表示的是函数在某一点的瞬时变化率。
2. 通过图形演示，让学生直观地理解导数的几何意义，强化空间想象能力。
3. 结合实际问题，让学生学会运用导数求解曲线的切线斜率，提高学生的应用能力。
4. 课堂练习环节，要注意引导学生主动思考，培养学生的解决问题能力。
5. 教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够扎实掌握所学知识。
《导数的几何意义》优秀教学设计 比赛课优秀教案(公开课教案)
《导数的几何意义》教学设计教学内容解析1、教材分析《导数的几何意义》是人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》§1.1.3的内容，本节课为第一课时。
微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。
导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从几何意义的角度理解导数的含义与价值，体会逼近，以直代曲和数形结合的数学思想方法。
同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础。
因此，导数的几何意义具有承前启后的重要作用，是本章的关键内容。
2、教学重点与难点教学重点：理解导数的几何意义及其应用。
教学难点：逼近思想，以直代曲的思想。
二、教学目标设置（一）知识与技能：（1）会描述一般曲线的切线定义；（2）会根据导数的几何意义求切线斜率，并会用其分析描述“曲线在某点附近的变化情况”。
（二）过程与方法：（1）通过观察类比，合作探究，概括出一般曲线的切线定义；（2）经历发现导数的几何意义的过程，体会逼近、类比、数形结合的思想方法。
（三）情感态度与价值观：领悟有限与无限，量变与质变的辩证关系，感受人类理性思维的作用。
三、学生学情分析从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识。
从学习能力上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研究问题的能力。
经过半年多的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式。
从学习心理上看，学生已经从实际意义，数值意义这些“数”的角度理解了导数，学生也渴求从几何意义，即“形”的角度来理解导数，但学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”。
5-1-2导数的概念及其几何意义( 教学设计)- -2023-2024学年高中数学新教材册)
5.1.2导数的概念及其几何意义本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的概念及其几何意义本节内容通过分析上节中，高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出导数的概念，并引出导数的几何意义。
导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础。
在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。
课程目标学科素养A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．B.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．1.数学抽象：导数的概念2.逻辑推理：导数及导数的几何意义3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率4.直观想象：导数的几何意义重点：导数的概念及其几何意义难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解多媒体一、 新知探究前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。
这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。
下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。
探究1： 对于函数y =f(x) ，设自变量x 从x 0变化到x 0+ ∆x ，相应地，函数值y 就从f(x 0)变化到f(x +x 0) 。
这时， x 的变化量为∆x ，y 的变化量为∆y =f (x 0+∆x )−f(x 0) 我们把比值∆y∆x ，即∆y ∆x =f (x 0+∆x )−f(x 0)∆x叫做函数从x 0到x 0+∆x 的平均变化率。
1．导数的概念如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即Δy Δx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处____，并把这个________叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为__________)，记作f ′(x 0)或________，即 f ′(x 0)＝ ＝ . 可导； 确定的值； 瞬时变化率； y ′|x ＝x 0；lim Δx →0ΔyΔx；lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx由导数的定义可知，问题1中运动员在t =1时的瞬时速度v(1) ，就是函数h (t )＝－4.9t 2＋4.8t ＋11.在t =1处的导数ℎ′(1) ；问题2中抛物f (x )=x 2线在点P 0(1,1)处的切线P 0T 的斜率k 0，就是函数f (x )=x 2在x =1处的导数f ′(1) ，实际上，导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值（GDP ）的增长率等。
12导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计
12导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计导数是微积分中的重要概念之一，它表示函数在其中一点的变化率。
导数的几何意义是函数在该点的切线斜率。
为了更好地理解导数的概念及其几何意义，我设计了一堂创新教学课程，下面将详细介绍课程设计的内容。
一、教学目标：1.理解导数的概念及其几何意义；2.掌握求导的基本方法；3.能够利用导数的性质解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和几何直观。
二、教学准备：1.投影仪、电脑；2.课件制作，包括导数的定义、求导法则等知识点；3.黑板、粉笔；4.辅助教材，包括练习题、实例分析等。
三、教学过程：1.导入（1）通过问题引入，例如：小明骑自行车在直线上的位置随时间变化的函数是什么？如何描述小明的速度变化？为什么要研究速度的变化？（2）引导学生思考，提问：速度与位置之间有什么关系？如何描述速度的变化？2.导学（1）概念阐述：导数的定义教师通过幻灯片或黑板，详细讲解导数的定义，并解释导数与函数变化率的关系。
（2）几何意义教师通过图形展示，引导学生观察曲线在其中一点的切线，并解释切线斜率即为该点的导数。
3.求导法则的讲解（1）基本求导公式通过例题，讲解求导的基本法则，包括幂函数、指数函数、三角函数等的求导规则。
（2）导数性质教师讲解导数的性质，如导数的和差法则、导数的乘法法则、导数的链式法则等。
4.实例分析（1）通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的应用。
例如：根据速度函数求位移、根据边际成本函数求利润最大值等。
（2）引导学生自主思考，并解决导数应用问题。
通过小组合作，学生们讨论并解决一些导数应用问题，如找出条曲线上切线的最大斜率点。
5.深化练习（1）教师出示一些练习题，并要求学生独立完成。
（2）学生互相批改并分享答案，教师解析正确答案，指导学生如何正确解题。
四、教学评估：1.课堂练习通过课堂练习，测试学生对导数概念及其几何意义的理解，同时检验他们求导的能力。
2.论文写作要求学生写一篇关于导数的论文，要求包括导数的定义、几何意义、求导法则以及实际应用等内容。
《导数的概念及其几何意义》教学设计
《导数的概念及其几何意义》教学设计一、内容及内容解析1．内容：（高中新课标数学课程内容）导数的概念及其几何意义.2．解析：导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值.导数概念的本质是极限，但学生很难理解极限的形式化定义，人教版新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴含着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了极限思想.本节课的教学重点：从求瞬时速度和求曲线的切线斜率等问题中抽象概括出导数的概念，利用信息技术工具揭示导数的几何意义，并以此进一步体会极限思想.二、目标及目标解析1．教学目标（1)从具体案例中抽象概括出函数平均变化率与导数的概念，并以此培养数学抽象素养. （2)通过函数在某点的导数就是函数图象在该点的切线斜率的事实，揭示导数的几何意义，并由此加强直观想象素养的培养.（3)通过求简单函数的导数，掌握由导数定义求函数导数的步骤，进一步体会极限思想，加强数学运算素养的培养.2．目标解析（1）导数的本质是函数的瞬时变化率，而求函数瞬时变化率的问题广泛地存在于社会生活与科学研究中，因此，从具体案例中抽象出导数概念，不仅可以得到一个应用广泛的数学工具，还可以由此培养学生的数学抽象素养，体会数学研究的一般过程.（2）导数概念高度抽象，虽然通过计算瞬时速度等具体案例有所认识，但要深入理解其是平均变化率的极限，还需要加强导数的“多元联系”.因此，从函数在0x x 处的导数就是函数图象在对应点的切线的斜率这个几何直观上进一步认识导数是非常重要的，这也是培养学生直观想象素养的难得机会.（3）导数是特殊的极限，通过导数的学习体会极限思想，可以为未来进一步学习极限提供典型案例，使学生更深刻地认识“从特殊到一般”、“从具体到抽象”是数学研究的重要思想方法.三、学生学情诊断分析本节课授课对象是广东省重点中学深圳中学的学生，在广东省属于基础非常好的学生，他们具有扎实的基础，较强的计算能力和较高的逻辑思维水平.如何正确理解瞬时速度、切线的斜率是极限，这是第一个教学问题.要解决这个教学问题，需要用好前面学习过的案例，通过数值变化和图象直观，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线斜率的极限就是切线斜率.在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义，这也是建立导数概念的关键.如何从已经学习过的求瞬时速度、求切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学问题，也是教学难点.要解决好这个问题，需要先从学习过的具体案例中提练出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来.在此基础上，通过自变量的改变量趋于0的变化，观察平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.导数概念的建立过程中，涉及大量的相关概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学问题.教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号.教学难点：从求函数瞬时变化率的具体案例中抽象概括出导数的概念，理解导数就是特殊的“极限”.四、教学策略分析学生在上一节课体验了用平均速度逼近瞬时速度、割线斜率逼近切线斜率，这是求瞬时速度、求切线斜率的重要方法，也是建立函数导数概念的重要支持.而且，学生在高中数学学习过程中，已经建立了不少概念，对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会与认识.学生没有极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这都增加了学生抽象概括出导数概念的难度. 因此，借助技术平台(如EXCEL软件等)使学生直观感受极限的“逼近”的过程，以此降低认识导数就是极限的难度，是本节课的另一个重要支持条件.此外，教学中还应该关注以下几点：1．注重由特殊到一般的思维引导本课以预设问题链激发学生思考、推动课堂教学.问题的设置体现了由特殊到一般的认知规律，即学生从跳水运动员的平均速度到瞬时速度的逼近和割线斜率到切线斜率的逼近，然后再推广到一般情形，建立导数的概念.2．强化数学抽象的核心素养在学生充分经历瞬时速度和切线斜率的计算过程后，引导学生归纳概括函数的平均变化率的概念，导数的概念.3．引导学生借助直观想象理解导数的几何意义通过割线逼近切线，割线斜率逼近切线斜率的过程，向学生展示切线形成及切线斜率计算的过程，帮助学生理解导数的几何意义.五、教学过程设计【问题1】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？师生活动预设：①教师通过提示学生上节课用平均速度逼近瞬时速度的方法计算出1s t =，2s t =时刻的瞬时速度，提问：如何求出0.5s t =时刻的瞬时速度？②学生复习上节课求瞬时速度的方法，并思考教师提出的问题.③教师利用信息技术演示平均速度逼近瞬时速度的计算过程：先计算[]0.5,0.5t +∆时间段的平均速度，再令时间间隔t ∆无限趋近于0，平均速度趋近于一个确定的值，这个(极限)值就是0.5s t =时的瞬时速度，同时进行极限运算的时候要向学生强调极限的运算过程，体会无限逼近的思想.追问：(1)现在我们算出1s t =，2s t =，0.5s t =时刻的瞬时速度，那么对于某一时刻0t ，你能否算出瞬时速度？如果能，请计算求出；如果不能，请说明理由.解：时间段[]00,t t t +∆内的平均速度()()0004.99.8 4.8h t t h t v t t t+∆-==-∆-+∆，令0t ∆→，则004.99.8 4.89.8 4.8v t t t =-∆-+→-+，可见瞬时速度是一个只与0t 有关的值，不妨记为()0v t ，即()0000lim lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t v t v t t t ∆→∆→==-∆-+=-+，所以运动员在某一时刻0t 的瞬时速度为()009.8 4.8v t t =-+.师生活动预设：①学生思考；②教师展示计算过程，强调极限的表示和描述性定义.设计意图：通过复习上节课瞬时速度的计算，提出一般时刻的瞬时速度的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.追问：①类似地，我们还研究了抛物线2y x =在点某点处的切线斜率，如点()1,1P ，()1,1P -，其他点处切线的斜率能不能求？②一般的点怎么表示？其斜率如何计算？设计意图：继续复习上节课切线斜率的计算，提出一般的点处切线斜率的计算问题，为抽象概括导数的概念作好铺垫.【问题2】如果把高台跳水和求抛物线斜率问题中的函数换为一般函数()y f x =，你可以类似地得出什么结论？师生活动预设：①给学生充分思考的时间，引导学生抽象概括导数的概念.技术平台；教师通过信息技术平台展示学生的解答过程并点评其中的问题，同时完善学生的表达，强调其中符号的表示.③教师给出函数的平均变化率、导数的定义：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应的，函数值y 就从()0f x 变化到()0f x x +∆.这时，x 的变化量为x ∆，y 的变化量为()()00y f x x f x ∆=+∆-.我们把比值yx∆∆，即 ()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆ 叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率.如果当0x ∆→时，平均变化率y x ∆∆趋近于一个确定的值，即yx∆∆有极限，则称()f x 在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数(derivative)，记作()0'f x 或0'|x x y =，即00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆.设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法. 设计意图：通过具体案例抽象概括出导数的概念，让学生体会数学研究的一般方法.追问：瞬时速度()0.5v 用导数怎么表示？点()200,P x x 处的切线斜率k 用导数怎么表示？ 师生活动预设：①学生在学案上写下答案并拍照上传到技术平台；②教师通过信息技术平台展示学生的解答并点评其中的问题，同时强调导数符号的表示()()0.5'0.5v h =，()00'|x x v t y ==.例1 设()1f x x=，求()'1f .解：()()1111111f x f x x x x-+∆-+∆==-∆∆+∆，()()()000111111'1lim lim lim 11x x x f x f x f x x x ∆→∆→∆→-+∆-⎛⎫+∆===-=- ⎪∆∆+∆⎝⎭. 师生活动预设：①学生思考.②教师板书演示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.【问题3】 曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值为________.师生活动预设：①教师先回忆上节课研究的抛物线2y x =上一点到直线330x y --=距离的最小值问题，然后提出问题：将抛物线2y x =换成曲线3y x =(0x ≥)如何解决.②学生有可能给出如下回答：类似于抛物线的解决方法，如(1)设点坐标直接求，困难是三次函数的最值求不出来；(2)数形结合，利用几何方法，将点到直线的距离转化为平行线间的距离，当直线与曲线相切时取得最小值，从而引出求切线方程的问题.③教师利用信息技术动态演示距离的变化情况，引出切线问题.追问：①现在我们需要求得曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线，使其平行于直线330x y --=，也就是让切线斜率等于？②现在的关键是求出曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,x x (00x ≥)的切线斜率，那么切线怎么定义？是类似于圆的切线定义还是抛物线的切线定义？师生活动预设：①学生思考并讨论，如何定义曲线3y x =(0x ≥)上一点()300,xx (00x ≥)的切线.②学生有可能给出如下回答：小部分回答圆的切线定义方式，大部分抛物线的切线定义方式.追问：我们上节课已经知道圆的切线定义方式不适用于抛物线，那么抛物线的切线定义方式是否适用于圆呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆的割线逼近切线的过程. 追问：对于曲线3y x =(0x ≥)呢？一般曲线()y f x =呢？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：适用.②教师利用信息技术动态演示圆及一般曲线的割线逼近切线的过程，并给出一般曲线()y f x =在一点处的切线定义：取曲线()y f x =上的一动点()()00,P x x f x x +∆+∆，当点()()00,P x x f x x +∆+∆沿着曲线()y f x =趋近于点()()000,P x f x 时，割线0PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为点P 处的切线(tangent line ).追问：现在切线定义已经解决了，如何求切线斜率？师生活动预设：①学生有可能给出如下回答：用割线斜率逼近切线斜率.②教师投影切线斜率()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆.追问：现在我们称()()000limx f x x f x x∆→+∆-∆为？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(函数()y f x =在0x x =处的)导数. 追问：导数的几何意义就是？师生活动预设：学生有可能给出如下回答：(曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的)切线斜率.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的哪个点处的切线斜率为3？师生活动预设：①教师提示：设点()300,P x x (00x ≥)处切线斜率为3，则()0'3f x =.②学生在学案上计算0x 的值并拍照上传到畅言平台. ③教师点评学生的答案，并给出解答过程.追问：曲线3y x =(0x ≥)上的点到直线330x y --=距离的最小值是？设计意图：通过研究一道解析几何经典问题，引出一般曲线的切线定义及某点处切线斜率的计算方法，直观形象地让学生体会导数的几何意义.追问：通过前面的例子，你知道求函数()y f x =在0x x =处的导数的步骤吗？师生活动预设：学生思考并回答问题：第一步，求函数的平均变化率00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆并化简； 第二步，求极限，令0x ∆→，得到导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵，掌握导数运算. 【问题 4】你认为下列命题哪些是正确的？①瞬时速度是导数. ②导数是切线斜率. ③导数是特殊的极限.④曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程是()()()000'y f x f x x x -=-.师生活动预设：①学生在技术平台上完成解答；②教师通过信息技术平台展示学生的解答情况并点评出错较多的问题，并由此进行小结.③教师布置课后检测作业.设计意图：通过【问题 4】对本节课内容进行小结，进一步加深学生对导数概念的理解，加强数学抽象、直观想象等核心素养.六、目标检测设计1.圆的面积S 与半径R 的关系为2πS R =，问5R =时面积关于半径的瞬时变化率是多少？(设计意图：认识瞬时变化率(导数)的概念，练习导数的计算)2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是(设计意图：理解导数的概念及其几何意义)3.求曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角的大小.(设计意图：理解导数的几何意义)。
导数的概念及几何意义教学设计
导数的概念及几何意义教学设计导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率。
导数的几何意义是切线的斜率，可以帮助我们更好地理解函数的变化规律和性质。
本教学设计旨在通过直观的几何图像和实际问题的分析，帮助学生深刻理解导数的概念及几何意义。
设计主要针对高中数学任课老师使用。
一、教学目标：1.理解导数的概念及几何意义；2.能够通过几何图像和实际问题分析导数的性质和应用。
二、教学准备：1.教学实例：选择一个具有实际意义的函数作为示例，比如一个运动物体的位移函数；2. 数学软件：准备一台计算机并安装数学软件，如Geogebra，用于绘制函数图像和求解导数。
三、教学过程：1.引入导数的概念：b.教师出示一个运动物体的位移函数图像，提问“你们觉得这个函数图像代表了什么？”引导学生讨论函数图像表达的是运动物体的位置随时间的变化规律。
c.教师解释导数的概念：导数就是函数在其中一点的变化率，可以看作是瞬时变化率。
2.几何意义的引入：a.教师给出一个具体的实例，比如一个运动物体的位移函数y(t)=t^2，在计算机上绘制该函数图像并标出一个点A(2,4)。
b.教师引导学生思考，如何找到函数在点A处的变化率或斜率？c.教师通过计算机软件，绘制出点A处的切线，并解释切线斜率与导数的关系，即导数就是切线的斜率。
3.导数的计算：a.教师解释导数的计算方法，即通过函数的极限定义求解。
b.教师通过计算机软件演示导数的计算步骤，例如求解函数y(x)=2x^3-3x^2+4x-1的导数。
c.教师引导学生思考，导数是否对函数的每一个点都有定义？如何解释导数不存在的情况？4.导数的性质和应用：a.教师解释导数的性质，如导数为正表示函数在该点增加，导数为负表示函数在该点减少。
b.教师给出一些实际问题，如抛物线的导数在哪些点为零？求解这些问题并解释其实际意义。
c.教师引导学生思考，导数与极值和拐点的关系，并解释其几何意义。
5.总结与拓展：a.教师与学生一起总结导数的概念及几何意义，并强调函数图像和实际问题分析的重要性。
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《导数的概念及其几何意义》
一、教材内容分析
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义.
在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。
从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。
它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具，它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理.
从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展，同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础，具有承前启后的重要作用. 二、学生学情分析
1.导数是对变化率的一种“度量”
实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在1.1.1小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从. 2.可能存在的问题：
（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.
（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当||t ∆趋于0时，t h ∆∆趋于一个定值；当||x ∆趋于0时，x
y
∆∆趋于一个定值.
（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率
的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.
因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数)(x f y =的图像，平均变化
x
y
∆∆表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下了伏笔。
因此，在将瞬时变化率定义为导数之后，立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识. 三、教学目标
1、会从物理意义、数值意义、几何意义三个不同角度理解导数的本质；
2、应用导数的定义求简单函数在某点处的导数；
3、理解函数在一点处的导数的几何意义. 四、教学重点 导数的概念及导数的几何意义 五、教学难点 导数的几何解释及切线概念的形成. 六、数学核心素养
1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，养成数学抽象、直观想象和数学建模的核心素养.
2、通过问题的探究不断渗透逼近和以直代曲的数学思想，以及用已知探求未知、从特殊到一般及数形结合等数学思想方法. 七、教学策略分析
考虑到教材对于本节的安排过于支离，而且缺乏典型的实际情境问题的分析引入，因此我整合教材内容，从实际问题中抽象出导数概念后，再回到实际问题中去，趁热打铁进一步研究导数的几何意义。
因此，本节课主要内容是抽象概括导数的一般概念以及发现学习导数的几何意义。
教学设计上是紧紧围绕一个问题：跳水运动员的瞬时速度问题，以提出问题，形成问题串，然后合作、交流、分析问题，进而解决问题的方式展开教学.
采用“教师适时引导和学生自主探究发现相结合”的教学方式．课堂教学始终贯彻“教师为主导、学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学思想.
将学生分组，让学生更好的进行合作探究活动，通过手机同屏提取分组学生的计算结果，让学生感受逼近的思想方法.
简单介绍微积分的发展史，介绍牛顿和莱布尼兹的贡献，提高学生对学习导数的兴趣欲望，以已知探求未知，激发学生的学习热情；提前通过导学案引导学生自主计算跳水运动员任意时刻的平均速度，课堂上分组汇报各组数据，教师利用EXCEL 快速计算更多的数据，让
学生直观感受数值逼近的思想，求出瞬时速度，从而得到导数的定义，注重抽象概念不同意
义间的转换，再用几何画板进行动态演示，让学生探索出导数的几何意义.
八、教学过程设计
（一）设置问题情境
295年前，中国古代数学家刘徽利用割圆术计算出圆周率为3.1416，他们已经具备了微积分的思想，离研究出微积分只有一步之遥！
17世纪初，四类科学问题急待解决，这四类问题是：
第一类,求变速运动的即时速度的问题;
第二类,求曲线的切线的问题;
第三类,求函数的最大值和最小值问题;
第四类,求曲线长、曲边梯形面积、不规则物体的体积、物体的重心、压强等问题.
几百年来，为了解决这些科学问题，许多著名的科学家,如古希腊的阿基米德；法国的费马、笛卡尔、柯西；德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多有建树的理论,为微积
分的创立做出了贡献.
直到17世纪中叶，英国物理学家牛顿和德国数学家菜布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，在不同的国度，不同的领域，各自独立地创立了微积分.
微积分是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑！
微积分是人类经历了2000多年的智慧成果，它极大地推动了数学的发展,过去很多束手无策的数学问题运用微积分就会迎刃而解.
微积分也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展,并在这些学科中应用越来越广泛.
物理学家牛顿是从运动学，即瞬时速度的方向去研究的，而莱布尼茨则是在几何学的角
度去研究的.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，实现了数与形的结合！数形结合自古就不分家！今天我们就先从“数”的方向大致沿着牛顿的路线研究导数，然后
再从“形”的方向沿着莱布尼兹的路线研究导数.下面我们来看这样一个物理问题：设计意图：通过简单介绍微积分的发展史及牛顿的成就激发学生学习导数的兴趣
（二）问题情境，数学探究
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h（t）=-4.9t2+6.5t+10，求ｔ＝2时的瞬时速度.
问题1、你能够设计一个方案，求运动员的在某时刻的瞬时速度吗？
如果我们想求高台跳水运动员在s t 2=时的瞬时速度，可以先考察s t 2=附近的情况. 问题2：那么t 在[2,2.1]，[2,2.01]，[2,2.001]……内的平均速度分别是多少？请各小组汇报你们的计算结果，用手机同屏学生的实验结果. 我们先看运动员在]2,2[t ∆+内的平均速度.请完成表格： 问题3：大家发现了什么特点？ 再看运动员在内在]2,2[t ∆+的平均速度.请完成表格：
问题4：大家发现了什么特点？
这种现象我们还可以通过电子表格来观察到。