第一章 常用数值分析方法2 线性方程组的数值解法.ppt
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第一章 常用数值分析方法§2 线性方程组的数值解法PPT课件
求解Ax = b，曾经学过克莱姆(Cramer)法则， 矩阵变换法等，但已远远满足不了实际运算的需要， 主要体现两个方面：一是运算的快速和准确，其次 是方程组的个数增大时的计算问题。如何建立能在 计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其 重要的意义，我们都知道，Cramer法则在理论上是 绝对正确的，但当 n较大时， 在实际计算中却不能 用。
07:54 27.11.2020
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X.Z.Lin
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类：
1. 直接法：指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限步 四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某种算 法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
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X.a a a结132(((1 1 1为求111))) xxx能解1 1 1 更步 清骤a a a132 楚，(((1 1 1222)))地并xxx2 2 2得且 到很a a a算容132(((1 1 1法易333))) xxx，地3 3 3下可 面推a a a以1 广32(((1 1 1444)))4至xxx阶4 4 4一线 般性的b b b方132(((n1 1 1程（)))阶4组线(阶2为性）-例方4 )
请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小数，
即不可避免地存在着舍入误差的影响，因而即使是准确的 直接解法，也只能求到近似解。
直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
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线性方程组的
直接解法
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线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类：
1. 直接法：指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限步 四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某种算 法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
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X.a a a结132(((1 1 1为求111))) xxx能解1 1 1 更步 清骤a a a132 楚，(((1 1 1222)))地并xxx2 2 2得且 到很a a a算容132(((1 1 1法易333))) xxx，地3 3 3下可 面推a a a以1 广32(((1 1 1444)))4至xxx阶4 4 4一线 般性的b b b方132(((n1 1 1程（)))阶4组线(阶2为性）-例方4 )
请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小数，
即不可避免地存在着舍入误差的影响，因而即使是准确的 直接解法，也只能求到近似解。
直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
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线性方程组的
直接解法
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线性方程组解PPT课件
VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词
数值分析-线性方程组的直接解法
算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘 斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法 平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量 的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0
《数值分析教程》课件
总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
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具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
研究生数值分析(7)线性方程组的解法30页PPT
研究生数值分析(7)线性方程组的解法
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
30
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
30
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
【推荐】数值计算方法：第二章 线性方程组的数值解法.ppt
41
2.4 经典迭代法(Classic Iterative Methods)
迭代法思想：
42
2.4.1 Jacobi迭代法 (以对角元为分母)
43
建立迭代格式
将初值
代入后迭代得
将上述过程一般化
44
以分量表示方程组得
对角元对应的量 移到左边，其它 量在右边便得 ：
从而可建立迭代格式
Jacobi迭代
20
比较第k列, j=k,k+1,…,n
21
比较第k行, i=k+1,…,n
22
先解Ly = b 再解Ux = y
23
例 2.4 试用Crout分解法解线性方程组
解
24
25
26
2.2.2 对称正定矩阵分解法
若A 为对称正定矩阵，则容易证明存在下三角
矩阵L，使得
。这称为矩阵的乔里斯
基（Cholesky）分解。
50
定理 2.1 设方程组Ax=b的精确解为x*。如果存在一 个矩阵范数使得（2.4.9）中的迭代矩阵满足条件
则由(2.4.9)确立的迭代任何初始向量均收敛。且
证 迭代式相减取范数得
进一步递推得
定理得证。
51
利用定理2.1很容易判别迭代法的收敛性。以常用 矩阵范数为例，有下列结论。 推论 2.1 若(2.4.9)迭代矩阵 满足条件
解 相应的迭代公式为
Jacobi迭代
令 由Jacobi迭代得
由Gauss-Seidel迭代得
Gauss-Seidel迭代 取四位小数迭代计算
49
2.4.3 一般 迭代法的收敛性
定义3.2 设
相应的迭代格式为
如果存在某个向量范数使得
2.4 经典迭代法(Classic Iterative Methods)
迭代法思想：
42
2.4.1 Jacobi迭代法 (以对角元为分母)
43
建立迭代格式
将初值
代入后迭代得
将上述过程一般化
44
以分量表示方程组得
对角元对应的量 移到左边，其它 量在右边便得 ：
从而可建立迭代格式
Jacobi迭代
20
比较第k列, j=k,k+1,…,n
21
比较第k行, i=k+1,…,n
22
先解Ly = b 再解Ux = y
23
例 2.4 试用Crout分解法解线性方程组
解
24
25
26
2.2.2 对称正定矩阵分解法
若A 为对称正定矩阵，则容易证明存在下三角
矩阵L，使得
。这称为矩阵的乔里斯
基（Cholesky）分解。
50
定理 2.1 设方程组Ax=b的精确解为x*。如果存在一 个矩阵范数使得（2.4.9）中的迭代矩阵满足条件
则由(2.4.9)确立的迭代任何初始向量均收敛。且
证 迭代式相减取范数得
进一步递推得
定理得证。
51
利用定理2.1很容易判别迭代法的收敛性。以常用 矩阵范数为例，有下列结论。 推论 2.1 若(2.4.9)迭代矩阵 满足条件
解 相应的迭代公式为
Jacobi迭代
令 由Jacobi迭代得
由Gauss-Seidel迭代得
Gauss-Seidel迭代 取四位小数迭代计算
49
2.4.3 一般 迭代法的收敛性
定义3.2 设
相应的迭代格式为
如果存在某个向量范数使得
研究生数值分析线性方程组的解法共30页PPT
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
研究生数值分析线性方程组的解法
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
研究生数值分析线性方程组的解法
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
数值分析：第一章绪论PPT课件
x
*
是指对每一个 1 i
n
都有lim k
xi( k )
x
* i
可以。理解为 | |
x
(
k
)
x*
||
0
定义1.2.3
若存在常数
C1、C2
>
0
使得，
C1 || x ||B || x ||A C2 || x ||B
则称 || ·||A 和|| ·||B 等价。
可以理解为对任何
向量范数都成立。
数值分析课程中所讲述的各种数值方 法在科学与工程计算、信息科学、管理 科学、生命科学等交叉学科中有着广泛 的应用
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应用问题举例
第4页/共44页
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗；
上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；
上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉， 实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾 一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四 分斗之三。-------《九章算术》
定理1.2.1 Rn 上一切范数都等价。
第27页/共44页
二. 矩阵范数
定义1.2.4
Rmn空间的矩阵范数 || ·|| 对任意A, B R满mn足： (1) || A || 0 ; || A || 0 A 0 （正定性)
(2) || A || | | || A || 对任意 C (齐次性) (3) || A B || || A|| || B || （三角不等式)
1 1
(1
I1*
)
0.63
212056
第24页/共44页
我们仅仅是幸运吗?
数值分析第一章PPT课件
= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或 绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中 传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不 稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%， 这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x
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a1(11)
x1
a(1) 12
x2
a(2) 22
x2
a(1) 1n
xn
a(2) 2n
xn
b(1) 1
b(2) 2
(2- 6)(a)
其中：lia2i(j2) bi(2)
baaai(i(1j1)i2)((2222))llii11ba1(1(11j))
12:23 2019/11/5
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线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类：
1. 直接法：指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限步 四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某种算 法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
x3
a(2) 24
x4
b2(2)
a(3) 33
x3
a(3) 34
x4
b3(3)
(2- 4)(b)
a(3) 43
x3
a(3) 44
x4
b4(3)
上标为3的系数 和右端项可由 下面公式计算：
12:23 2019/11/5
ai(j3) ai(j2) li2a2(2j)
12:23 2019/11/5
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2.2 Gauss消元法
Gauss消元法是最基本的一种方法，下例说明其基本思想:
例1
解线性方程组：1x21
x1
x2
x3 6 3x2 3x3
15
18x1 3x2 x3 15
(2- 3)
解：消去x1，进行第一次消元：首先找乘数，以-12乘
为乘数,
而以
a2(11) a1(11)
乘第一个方程加到第二
个方程中,并以
a3(11) a1(11)
,
a4(11) a1(11)
分别
乘第一个方程加到第三 ,第四个方程上消 x1,这些乘数实际上可记为
l21
12:23
2aa0112((91111/))11,/l531
a3(11) a1(11)
4)(c) 方程组：A (4) x = b(4)
然后可回代求解：由于A(4) 为上三角形，所以可按变
量的逆序逐步回代求原方
x4
b(4) 4
/
a(4) 44
程组的解：
xk
(bk( k )
4
a(k kl
)
xl
)
/
a(k kk
)
,
l k 1
k 3,2,1
(2 - 5)
上述 消元、回代求解过程 很容易推广到一般的n阶线 性方程组。
x2
a (1) 13
x3
a (1) 1n
xn
b(1) 1
a(2) 23
x3
a(2) 2n
xn
b(2) 2
a (3) 33
第二步: 消x2 ,首先找到乘数
li 2
a(2) i2
a(2) 22
,i
3,4
以方程组中第i个方程减去第二个方程乘li2 (i = 3, 4)，
完成第二次消元。
a1(11) x1
a (1) 12
x2
a (1) 13
x3
a (1) 14
x4
b1(1)
a(2) 22
x2
a(2) 23
bi(3)
bi(2)
10/37
li2b2(2)
i, j 3,4
X.Z.Lin
第三将步上：述消G元aAu：s(3s)消X消x=3元（b(34法)阶中的方最程基后组本一需个步进方行骤程33次中（消的4阶元x）3）消为零：
找乘数 l43
a ( 3) 43
a ( 3) 33
,以第四个方程减去第三个方程乘l43得：
a1(11) x1
a(1) 12
x2
a(2) 22
x2
a(1) 13
x3
a(1) 14
x4
b1(1)
a(2) 23
x3
a(2) 24
x4
b2(2)
a(3) 33
x3
a(3) 34
x4
b3(3)
a(4) 44
x4
b4(4)
(2 -
经过上述消元步骤， 得到同解的上三角形
(2 -1)
其矩阵形式为：
an1x1 an2 x2 ann xn bn
Ax=b (2-2)
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其中： a11 a12 a1n
x1
b1
A
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a21 a22 an1an2
a2n ann
xn
b (1) 1
a(2) 2k
xk
a x (2) 2k 1 k
1
a(2) 2n
xn
b(2) 2
第k步消元后同解ak(kk) xk
a x (k ) kk1 k
1
a(k) kn
xn
b(k) k
方程组中上标为
a x (k 1) k 1,k 1 k 1
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X.Z.Lin
Gauss消元法的消元过程1、2 一般地，设
aa12((1111))
x1 x1
a (1) 12
a (1) 22
x2 x2
a (1) 1n
xn
a (1) 2n
xn
（b1n(1阶) ）
b (1) 2
(2 - 6)
n阶方程组：
程a组4(11。) x1
a (1) 42
x2
a (1) 43
x3
a (1) 44
x4
b4(1)
统一加上标 ,并简记为 A(1) x b(1) , A(1) A,b(1) b,首先消元 :
第一步
: 找乘数, 假定a1(11)
0, 要消第二个方程中
x1 , 可以
a2(11) a1(11)
, l41
a4(11) a1(11)
或记为li1
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ai(11) a1(11)
（i 2,3,4）
X.Z.Lin
Gauss消元法的基本步骤1（4阶）
可以检查，分别以li1乘第一个方程加到第i个方程 上可以完成第一次消元，得同解方程组：
a1(11) x1
a (1) 12
x2
第k个方程乘以lik (i k 1,,n),
a(k nk
)
xk
a(k) nn
xn
bn(k )
完成第k步消元,得同解方程组：
a1(11)
x1
a (1) 12
x2
a(2) 22
x2
a (1) 1k
xk
a x (1) 1k 1 k
1
a (1) 1n
按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此 过程称为回代过程。
我们的目的，是要总结归纳出一般情况下的n阶线性方程组 的消元公式和回代求解公式，从而得到求解n阶线性方程组的能
顺利在计算机上实现的行之有效的算法。
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X.Z.Lin
Gauss消元法的基本步骤1 总aaa结132(((111111为求))) xxx能解111 更步清骤aaa132楚，(((111222)))地并xxx222得且到很aaa算容132(((1113法33易))) xxx，地333 下可面推aaa以1广32(((111444)))4至xxx阶444一线般性的bbb方132(((n111程（)))阶4组线(阶2为性）-例方4)
第一个方程加到第二个方程，以18乘第一个方程加到第三个方
程上可得同解方程组：
x1 x2 x3 6 15x2 9x3 57
(2- 3)(a)
21x2 17x3 93
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X.Z.Lin
例1（续）
再消一次元得：
二次消元后将方程 化为倒三角形式，然后
ai(jk 1) ai(jk) lik ak(kj )
bi(k
1)
bi(k )
lik bk(k)
(i, j k 1,, n)
照此消元下去，完成n1次 消元后，可将原方程组化成
同解的上三角形方程组如下：
a1(11) x1
a (1) 12
x2
a(2) 22
§2 线性方程组的数值解法
2.1 概述 2.2 Gauus 消元法 2.3 主元素法
2.1 引入主元素法的必要性 2.2 列主元素法 2.3 全主元素法 2.4 Jacobi迭代法 2.5 Gauss-Seidel迭代法