高三三月综合测试数学试题(理科)
高三数学综合测试三试题理新人教A版
安徽省亳州一中南校 高三综合测试（三）（理科）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 5名志愿者分到3所学校支教，每一个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方式共有（A ）150种(B)180种(C)200种(D)280种2. 过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ,MB (A ,B 为切点，则MA MB ⋅= 53B.52 33 D.323. 圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是(A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 4. 已知数列,n na b 的前n 项和别离是,n n A B ，且1001004,503,A B 若,()n n n n n n n C a B b A a b nN ,则数列100100n C T 的前项和为B. 499C.2012D. 20135. 点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a b y a x 和圆2C ： 2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其 中21,F F 为双曲线1C 的两个核心，则双曲线1C 的离心率为 A.3 B.21+C.13+D.26. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A.10πB.50πC.25πD.100π 7. 对于下列命题：①在△ABC 中，若sin 2sin 2A B =,则△ABC 为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若2a =，5b =，6A π=,则△ABC 有两组解；③设2012sin3a π=，2012cos 3b π=，2012tan3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象向左平移6π个单位，取得函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象.其中正确命题的个数是 A.0B. C. 2D.38. 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，，30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 A．B.C.D. 19. 函数()cos f x xπ=与函数()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为A ．2B. 4C. 6D. 810. 函数)(x f y =为概念在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 知足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ） A ．[)+∞,12B ．[]3,0C ．[]12,3D ．[]12,0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．()ln xf x x 的单调减区间是 .12设()f x 是概念在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上， 0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为13. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 14．已知概念在R 上的函数)(x f 是奇函数且知足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 知足11-=a ，且21n n S an n =⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f .1五、给出下列四个命题：①函数f （x ）＝lnx －2＋x 在区间（1 , e ）上存在零点； ②若0()0f x '=，则函数y ＝f （x ）在x ＝x0处取得极值；③若m≥－1，则函数212log (2)y x x m =--的值域为R ；④“a=1”是“函数x xae e a x f +-=1)(在概念域上是奇函数”的充分没必要要条件。
2021年高三综合能力测试数学试卷(理科)(3月份)含解析
2021年高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）含解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线C．线段D．圆3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log234．已知数列{an }满足a1=10，且2an+1=2an﹣3，若akak+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．95．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB．C．3π D．4π6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A．B．C．1 D．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．xx年北京市高三综合能力测试数学试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设复数z满足（1+i）z=2，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的除法化简求解复数，即可得到共轭复数．【解答】解：复数z满足（1+i）z=2，可得z===1﹣i．则z的共轭复数=1+i．故选：D．【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念的应用，是基础题．2．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），则圆C的圆心的轨迹是（）A．点B．直线 C．线段 D．圆【分析】A代入圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，即可求出圆C的圆心的轨迹．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1过点A（1，0），∴（1﹣a）2+（0﹣b）2=1，∴（a﹣1）2+b2=1，∴圆C的圆心的轨迹是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故选：D．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．1 B．log2C．log2D．log23【分析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=log2+log2+log2+log2的值，利用对数的运算法则计算即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2n=3，M=，S=log2不满足条件n＞5，n=4，M=，S=log2+log2，不满足条件n＞5，n=5，M=，S=log2+log2+log2，不满足条件n＞5，n=6，M=，S=log2+log2+log2+log2，满足条件n＞5，退出循环，输出S=log2+log2+log2+log2=log2（×××）=log2．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算，属于基础题．4．已知数列{a n}满足a1=10，且2a n+1=2a n﹣3，若a k a k+1＜0，则正整数k=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】利用2a n+1=2a n﹣3，判断数列{a n}是等差数列，求出数列的通项，确定其正数项，即可得到结论【解答】解：因为2a n+1=2a n﹣3，所以a n+1﹣a n=﹣，所以数列{a n}是首项为10，公差为﹣的等差数列，所以a n=10﹣（n﹣1），由a n=10﹣（n﹣1）＞0，得n＜7，所以使a k a k+1＜0的k值为7，故选：B．【点评】本题考查等差数列的判定，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与俯视图均是半径为1的圆，则这个几何体的表面积是（）A．πB． C．3πD．4π【分析】由三视图可知：该几何体为一个球的．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个球的．∴这个几何体的表面积=×4×π×12+π×12=4π．故选：D．【点评】本题考查了球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，则“a⊥b”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．【解答】解：直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，α⊥β，若a⊥β，则a⊥b；反之不成立．∴“a⊥b”是“a⊥β”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、空间位置关系的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知单位向量，满足2=2，设，若x，y满足，则||的最小值是（）A． B． C．1 D．【分析】由题意可得2=1，从而化简可得=x2+y2+xy，结合不等式组，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，从而利用二次函数求解即可．【解答】解：∵单位向量，满足2=2，∴2=1，∵，∴=x2+y2+2xy=x2+y2+xy，不妨设x+y=a，（a≥1）时有最小值，则=x2+y2+xy=x2+（a﹣x）2+x（a﹣x）=x2﹣ax+a2=（x﹣）2+a2，故当x=，此时y=时，有最小值a2，故||的最小值是=，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的应用及二次函数的综合应用，同时考查了不等式组的应用．8．某电子设备的锁屏图案设计的如图1所示，屏幕解锁图案的设计规划如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个路线图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划过的点不会成为确定折线的点，如图1中的点P，线段AB尽管过P，但是由A、B两点确定），这个线路图就形成了一个屏幕解锁图案，则图2所给线路图中可以成为屏幕解锁图案的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据屏幕解锁图案的设计规则即可得出结论．【解答】解：根据屏幕解锁图案的设计规则：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点（点的个数在1到9个之间）就形成了一个线路图（线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次划的点不会成为确定折线的点，∴得知只有一种方法可以解锁屏幕，根据①，②，③的信息，可得①，②只有一种使其唯一确定，③有多种，故选：C．【点评】本题考查学生进行合情推理的能力，考查学生对新题型的解答能力，属于中档题．二、填空题（共6个小题，每一个小题5分，共30分）9．北京铁路局针对今年春运客流量进行数据整理，调查北京西站从2月4日到2月8日的客流量，根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图，为了更详细地分析不同时间的客流人群，按日期用分层抽样的方法抽样，若从2月7日这个日期抽取了40人，则一共抽取的人数为200．【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距；利用频数等于频率乘以样本容量，求出应抽的人数．【解答】解：2月7日这个日期的客流量的频率0.20，因为从2月7日这个日期抽取了40人，所以一共抽取的人数为=200，故答案为：200．【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量．10．已知f（x）=其中a≠1，若方程f（x）=2有两个解，则实数a的取值范围是a＞1．【分析】根据分段函数的表达式，结合对数函数的性质，利用对数函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：若0＜a＜1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为减函数，此时f（x）＜0，方程f（x）=2无解，综上方程f（x）=2只有一个解，不满足条件．若a＞1，则当x≤0时，函数f（x）=1﹣ax为减函数，此时函数的最小值为1，存在一个根x使f（x）=2成立，当x＞0时，f（x）=log a（x+1）为增函数，此时f（x）＞0，方程f（x）=2有一个解，综上方程f（x）=2有两个解，满足条件．综上a＞1，故答案为：a＞1．【点评】本题主要考查根的个数的判断和应用，利用分段函数的表达式，结合对数函数的单调性是解决本题的关键．11．在（x2﹣）5的展开式中，x的系数为﹣10．【分析】根据题意，可得（x2﹣）5的通项为T r+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数．【解答】解：根据二项式定理（x2﹣）5的通项为T r+1=C5r（x）10﹣2r（﹣）r=（﹣1）r C5r（x）10﹣3r，令10﹣3r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（﹣1）3C53=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．12．在极坐标系中，已知O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|的最大值为2．【分析】由题意可得|OM|=ρ=，再根据正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程为ρ2=，点M是曲线C上的动点，则|OM|=ρ==，故当sinθ=0时，|OM|取得最大值为2，故答案为：2．【点评】本题主要考查极坐标方程中，极坐标的意义，求函数的最值，属于基础题．13．若x，y满足，则2x+y的取值范围为[0，3] ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，从而得到答案．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，令z=2x+y，得y=﹣2x+z，显然直线过（0，0）时，z最小是0，直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是3，故答案为：[0，3]．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．已知f（x）=Asin（2x+φ），其中A＞0．（1）若∃x∈R，使f（x+a）﹣f（x）=2A成立，则实数a的最小值是；（2）若A=1，则f（x+）﹣f（x）的最大值为1．【分析】（1）根据正弦函数的图象和性质可得f（x+a）=A，f（x）=﹣A，故a的最小值为f（x）的半周期．（2）使用和角公式化简，利用三角函数的性质得出最大值．【解答】解：（1）∵f（x）的最大值为A，最小值为﹣A，f（x+a）﹣f（x）=2A，∴f（x+a）=A，f（x）=﹣A，∴a的最小值为f（x）的半周期．∵f（x）的周期T=π，∴a的最小值为．（2）f（x+）=sin（2x++φ），f（x）=sin（2x+φ）．∴f（x+）﹣f（x）=sin（2x++φ）﹣sin（2x+φ）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x+φ）﹣sin（2x+φ）=cos（2x++φ）．∴f（x+）﹣f（x）的最大值为1．故答案为，1．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．三、解答题（共6个小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．如图，在△ABC中，cosB=，BC=7，点D在边AB上，且BD=3．（Ⅰ）求DC的长；（Ⅱ）若A=45°，求AC．【分析】（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB，代值计算可得；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系可得sinB，由正弦定理可得AC=，代值计算可得．【解答】解：（Ⅰ）在△DBC中，由余弦定理可得DC2=BD2+BC2﹣2BDBCcosB=32+72﹣2×3×7×=25，∴DC=5；（Ⅱ）在△ABC中，由cosB=可得sinB==，由正弦定理可得AC===【点评】本题考查正余弦定理解三角形，属基础题．16．目前很多朋友都加入了微信群，大多数群成员认为有思想的群不仅仅是群里的人转发与主题有关的网页文章，而且群成员这间还有文字或语音的交流，因此规定为“群健康度”，为此群主统计了一年的群里的聊天记录（假定该群由群主同意邀请，也无插入广告），并将聊天记录中的网页类型分享和文字语音聊天内容进行了分类统计，并按照“群健康度”制作了分析趋势图如图，假定“群健康度”小于20%为群氛围优良，“群健康度”大于30%为群氛围不合理．（Ⅰ）若从此群主统计的一年里，随机选取一个月，求该月群氛围不合理的概率；（Ⅱ）现群主随机选择从1月至12月的某一个月开始分析，连续分析两个月，设X表示2个月中群氛围优良的个数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）请你简述该群在这一年里的群氛围变化的情况．【分析】（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，利用等可能事件概率计算公式能出该月群氛围不合理的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与数学期望．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【解答】解：（Ⅰ）设从此群主统计的一年里，随机所选月份的群氛围不合理为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，连续两个月中均为群氛围优良的为：（1，2），（2，3），（5，6），连续两个月均为群氛围不是优良的为：（7，8），（10，11），（11，12），则P（X=2）=，P（X=1）=，P（X=0）=，∴X的分布列为：X 0 1 2PE（X）==1．（Ⅲ）该群的“群健康度”从图表中看出，在前半年的“群健康度”保持不错水平，在后几个月有上扬的趋势，说明群氛围在前半年良好，而后半年越不越不合理．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意图表的合理运用．17．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．【分析】（Ⅰ）利用平行四边形的性质和平行线的传递性即可找出两个平面的交线并且证明结论；（Ⅱ）利用已知条件先证明BD⊥AC，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；（Ⅲ）通过结论空间直角坐标系，利用法向量与斜线所成的角即可找出Q点的位置．【解答】解：（Ⅰ）如图所示，过点B作BM∥PA，并且取BM=PA，连接PM，CM．∴四边形PABM为平行四边形，∴PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥CD，即PM为平面PAB∩平面PCD=m，m∥CD．（Ⅱ）在Rt△BAD和Rt△ADC中，由勾股定理可得BD==，AC=．∵AB∥DC，∴，∴，．∴OD2+OC2==4=CD2，∴OC⊥OD，即BD⊥AC；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅲ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，，0），C（2，，0），P（0，0，4）．∴，设，则Q（4λ，0，4﹣4λ），∴．，由（2）可知为平面PAC的法向量．∴==，∵直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，∴=，化为12λ=7，解得．∴=．【点评】熟练掌握平行四边形的性质、平行线的传递性、线面垂直的性质定理和判定定理及法向量与斜线所成的角是解题的关键．18．已知函数f（x）=e x﹣t﹣lnx（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．【分析】（I）由x=1是函数f（x）的极值点，可得f'（1）=0，进而可得t=1，求得导函数，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当t≤2，x∈（0，+∞）时，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，g′（x）=e x﹣2﹣，根据函数单调性及零点定理可知存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，在x=x0取极小值也是最小值，即g（x）≥g（x0），lnx0=2﹣x0，根据函数的单调性可知g（x0）=0，即可证明f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域（0，+∞），因为f′（x）=e x﹣t﹣，x=1是f（x）的极值点，所以f′（1）=e1﹣t﹣1=0，所以t=1，所以f′（x）=e x﹣1﹣，因为y=e x﹣1和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴当x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），（Ⅱ）证明：当t≤2时，f（x）=e x﹣t﹣lnx≥e x﹣2﹣lnx，设g（x）=e x﹣2﹣lnx，则g′（x）=e x﹣2﹣，因为y=e x﹣2和y=﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g′（1）=﹣1＜0，g′（2）=1﹣=＞0，所以存在x0∈（1，2）使得g′（x0）=0，所以在（0，x0）上使得g′（x）＜0，在（x0，+∞）上g′（x）＞0，所以g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（x0），因为g′（x0）=0，即e x0﹣2=，所以lnx0=2﹣x0，所以g（x0）=e x0﹣2﹣lnx0=+x0﹣2，因为x0∈（1，2），所以g（x0）=+x0﹣2＞2﹣2=0，所以f（x）＞0．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性及极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点．（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标；（Ⅱ）若椭圆G上的B，C两点满足2k1k2=﹣1（其中k1，k2分别为直线AB，AC的斜率）．证明：B，C，O三点共线．【分析】（Ⅰ）由点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，求出m，由此能求出椭圆G的焦点坐标．（Ⅱ）由，得2﹣6=0，由此利用韦达定理能推导出y1=﹣y2，从而能证明B、C、O三点共线．【解答】解：（Ⅰ）∵点A（2，1）为椭圆G：x2+2y2=m上的一点，∴m=4+2=6，∴椭圆的标准方程为，∴c=，∴椭圆G的焦点坐标为（﹣，0）和（，0）．（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），由，消去y，化简，得：2﹣6=0，∴，同理得，∵2k1k2=﹣1，∴====﹣x1，∴2k1k2==2×===﹣1，∴y1=﹣y2，∴B、C、O三点共线．【点评】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．20．定义是一个三位数，其中各数位上的数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定义如下运算f：把的三个数字a，b，c自左到右分别由大到小排列和由小到大排列（若非零数字不足三位则在前面补0），然后用“较大数”减去“较小数”，例如：f（100）=100﹣001﹣099，f（102）=210﹣0.12﹣198，如下定义一个三位数序列：第一次实施运算f的结果记为，对于n＞1且n∈N，，将的三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d n （Ⅰ）当=636时，求，及d2的值；（Ⅱ）若d1=6，求证：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）求证：对任意三位数，n≥6时，=495．【分析】（Ⅰ）利用新定义之间通过=636时，求解，及d2的值；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，推出f（）=d n×99，若d1=6，得到=f（）=6×99=495，可得d2=5，然后利用数学归纳法证明当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，推出d1=，d n+1=，d n∈{5，6，7，8，9}，证明对任意三位数，n≥6时，=495．【解答】解：（Ⅰ）当=636时，=663﹣366﹣297，=972﹣279﹣693d2=6；（Ⅱ）不妨设，a n≥b n≥c n，则f（）=（a n×100+b n×10+c n）﹣（c n×100+b n×10+a n）=（a n﹣c n）×99=d n×99，若d1=6，则=f（）=6×99=495，可得d2=9﹣4=5，所以n=2时成立，假设n=k（k＞1）时成立，即d k=5，则=f（）=d k×99=495，d k+1=9﹣4=5．综上：当n＞1时，d n=5；（Ⅲ）数字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三个数字中的最大数字与最小数字的差记为d，则d∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，=f（）=，所以a1=d﹣1，b1=9，c1=10﹣d，所以d1=，所以d1∈{5，6，7，8，9}，同理：=f（）=d k×99=，所以a n+1=d n﹣1，b n+1=9，c n+1=10﹣d n，所以d n+1=，dn∈{5，6，7，8，9}，当n≤5时，d n=5，所以n≥6时，n≥6时，=d n+1×99=5×99=495．【点评】本题考查归纳推理，数学归纳法的应用，数列与函数的关系，考查分析问题解决问题的能力．35187 8973 襳32231 7DE7 緧38928 9810 預21153 52A1 务33932 848C 蒌29998 752E 甮39737 9B39 鬹32677 7FA5 羥W36973 906D 遭27404 6B0C 欌T。
高三3月联考数学(理)试卷含解析
高三数学考试（理科）第Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】 B【分析】【剖析】利用复数代数形式的运算化简，再由几何意义确立象限即可【详解】应选： B【点睛】此题观察复数代数形式运算及几何意义，熟记复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设会合，，则会合能够为（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】【剖析】先求 A，由交集比较选项即可求解【详解】由题，由于，比较选项可知C成立应选： C【点睛】此题观察了会合的交集的运算, 正确计算是重点，是基础题.3.从某小学随机抽取100 名学生，将他们的身高（单位：厘米）散布状况汇总以下：身高频数535302010由此表预计这100 名小学生身高的中位数为（结果保存 4 位有效数字）A. 119.3B. 119.7C. 123.3D. 126.7【答案】 C【分析】【剖析】由表格数据确立每组的频次，由中位数左右频次同样求解即可.【详解】由题身高在,的频次挨次为0.05 ， 0.35 ， 0.3, 前两组频次和为0.4 ，组距为10，设中位数为x, 则, 解 x=123.3应选： C【点睛】此题观察中位数计算，熟记中位数意义，正确计算是重点，是基础题.4.将函数的图像上各点的横坐标伸长到本来的 2 倍，纵坐标不变，获得函数的图像，则的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】先由伸缩变换确立 g(x),再求周期公式计算即可【详解】由题,∴T= =应选： B【点睛】此题观察三角函数伸缩变换，正确记忆变换原则是重点，是基础题.5.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，依据图中数据可知该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】剖析图知2a,2b, 则 e 可求【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则应选： B【点睛】此题观察椭圆的离心率，熟记则离心率e=a,b 的几何意义是重点，是基础题6.若函数有最大值，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】【剖析】剖析函数每段的单一性确立其最值，列【详解】由题a 的不等式即可求解，，故单一递减，故, 由于函数存在最大值，因此解应选： B【点睛】此题观察分段函数最值，函数单一性，确立每段函数单一性及最值是重点，是基础题.7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以等于．如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】【剖析】将三视图复原，即可求组合体体积【详解】将三视图复原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得应选： C【点睛】此题观察三视图，正确复原，熟记圆柱圆锥的体积是重点，是基础题8.设知足拘束条件则的最大值与最小值的比值为（）A. -1B.C. -2D.【答案】 C【分析】【剖析】画出可行域，求得目标函数最大最小值则比值可求【详解】由题不等式所表示的平面地区如图暗影所示：化直线l;为y=-x+z,当直线l 平移到过A点时，z 最大，联立得 A(2,5),此时z=7;当直线l 平移到过 B 点时，z 最小，联立得B(,此时z=-,故最大值与最小值的比值为-2应选： C【点睛】此题观察线性规划，正确作图与计算是重点，是基础题.9.若存在等比数列，使得，则公比的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】将原式表示为的关系式，看做对于的二次型方程有解问题，利用鉴别式列不等式求解即可.【详解】由题设数列的公比为q(q ≠0),则,整理得=0, 当时，易知q=-1 ，切合题意；但q≠0, 当≠0 时，，解得故 q 的最大值为应选：D【点睛】此题观察等比数列，观察函数与方程的思想，正确转变为的二次方程是重点，是中档题 .10.在正方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）【答案】 D【分析】【剖析】取凑近的四均分点F，连结则∥BE,连结AF,∴∠A或其补角为所求, 在A中利用余弦定理即可求解.【详解】取凑近的四均分点F，连结则∥BE,连结AF,∴∠A或其补角为所求，设正方体的边长为4，则∠A应选： D【点睛】此题观察异面直线所成的角，作平行线找角是基本思路，正确计算是重点，是基础题.11.设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（）A. -343B. -324C. -320D. -243【答案】 A【分析】【剖析】将用表示，解方程组求得，再设函数求导求得的最小值即可【详解】∵解得∴设当 0<x<7 时，当x>7时，, 故的最小值为最小值为f(7)=-343应选： A【点睛】此题观察等差数列通项及乞降，观察函数的思想，正确记忆公式，娴熟转变为导数求最值是重点，是中档题 .12.已知分别是双曲线：的左、右极点，为上一点，且在第一象限.记直线，的斜率分别为，，当获得最小值时，的重心坐标为（）【答案】 B【分析】【剖析】设 P(x,y) 证明为定值，运用基本不等式求得获得最小值时P 坐标即可求解【详解】设 P(x,y),则=则当且仅当取等，此时P(3,4),应选： B【点睛】此题观察双曲线的几何性质，是中档题 .则重心坐标为综合问题，明确，即为定值是重点，注意计算的正确，第Ⅱ 卷二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.的睁开式的第 2 项为 __________ ．【答案】【分析】【剖析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题睁开式的第 2 项为故答案为【点睛】此题观察二项式定理，熟记公式，正确计算是重点，是基础题.14.在平行四边形中，，，，则点的坐标为__________．【答案】【分析】【剖析】先求再求从而求 D 即可【详解】由题, 故D(6,1)故答案为【点睛】此题观察向量的坐标运算，正确计算是重点，是基础题15.若函数，则__________．【答案】6【分析】【剖析】确立【详, 再由对数的运算性质代入求值即可解】由题-故答案为6【点睛】此题观察对数运算, 函数的综合应用，观察抽象归纳能力与计算能力，是中档题.16.过点引曲线：的两条切线，这两条切线与轴分别交于两点，若，则__________．【答案】【分析】【剖析】由两切线的斜率互为相反数，设切点，求导列对于【详解】设切点坐标为解得t=0或t=两切线的斜率互为相反数，即t 的方程求出即2a+6t 值即可求解,, 解得故答案为【点睛】此题观察导数的几何意义，转变两切线的斜率互为相反数是打破点，熟练掌握切线的求法，正确计算是重点，是中档题.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17～21 题为必考题，每个试题考生都一定作答. 第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答 .（一）必考题： 60 分17.在中，，.（1）求；（2）若，求的周长 .【答案】（ 1）；（ 2）.【分析】【剖析】（1）先求，由二倍角公式即可求（ 2）由题得，解得 a,b 值，再由余弦定理求 c 边即可求解 .【详解】（ 1）∵，∴，∴.（2）设的内角的对边分别为.∵，∴，∵，∴，.由余弦定理可得，则，的周长为.【点睛】此题观察正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，正确运用余弦定理计算c 边是重点，是基础题 .18.某厂销售部以箱为单位销售某种部件，每箱的订价为200 元，低于100 箱按原价销售；不低于100 箱经过两方议价，买方能以优惠成交的概率为0.6 ，以优惠成交的概率为0.4.（1）甲、乙两单位都要在该厂购置 150 箱这类部件，两单位各自完成的成交价互相独立，求甲单位优惠比率不低于乙单位优惠比率的概率；（2）某单位需要这类部件650 箱，求购置总价的数学希望.【答案】（ 1） 0.76；（2）120640元.【分析】【剖析】（1）先求甲单位优惠比率低于乙单位优惠比率的概率，再由对峙事件得概率即可求解；（2）先写出在折扣优惠中每箱部件的价钱为的取值，再列散布列求解即可【详解】（ 1）由于甲单位优惠比率低于乙单位优惠比率的概率为，因此甲单位优惠比率不低于乙单位优惠比率的概率.（2）设在折扣优惠中每箱部件的价钱为元，则或 188.的散布列为1841880.60.4则.从而购置总价的数学希望为元 .【点睛】此题观察失散型随机变量的散布列，对峙事件的概率，是基础题.19.已知是抛物线：上一点，为的焦点 .（1）若，是上的两点，证明：，，挨次成等比数列 .（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直均分线在轴上的截距 .【答案】（ 1）详看法析；（ 2）4.【分析】【剖析】（1）先求出 p, 再由焦半径公式求出，，即可证明；（ 2）与联立由韦达定理代入，求得，再写出的垂直均分线的方程即可求得截距【详解】（ 1）证明：∵在抛物线：上，∴，∴.∴，，，∵，∴，，挨次成等比数列 .（2）与联立，得，则，解得.由韦达定理，得，，则，即.从而，线段的中点坐标为，的垂直均分线的方程为，令，得，故所求截距为 4.【点睛】此题观察抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的地点关系，中档题 .正确计算是重点，是20.如图，在多面体中，四边形为正方形，，，.（1）证明：平面平面.（2）若平面，二面角为，三棱锥的外接球的球心为，求二面角的余弦值 .【答案】（ 1）详看法析；（ 2）.【分析】【剖析】证明平面即可证明平面平面（ 2）由题确立二面角的平面角为，从而推出为线段的中点，以为坐标原点成立空间直角坐标系由空间向量的线面角公式求解即可【详解】（ 1）证明：由于四边形为正方形，因此，又，，因此平面.由于平面，因此平面平面.（2）解：由（ 1）知平面又，因此二面角以为坐标原点成立空间直角坐标系，又，则平面，从而的平面角为.，以下图，，则，，.由于三棱锥的外接球的球心为，因此为线段的中点，则的坐标为，.设平面的法向量为，则，即令，得.易知平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】此题观察面面垂直的判断，空间向量计算线面角，第二问确立球心O的地点是重点，是中档题 .21.已知函数的导函数知足对恒成立.（1）判断函数在上的单一性，并说明原因；（2）若，求的取值范围.【答案】（ 1）在上单一递加；（2）.【分析】【剖析】（1）对求导利用已知条件即可判断单一性；（2）将代入条件，转变为恒陈立，求，议论的正负求解即可【详解】（ 1）由，，得.，则，故在上单一递加 .（2）∵，∴，即.设函数，，∵，∴，为增函数，则.当，即时，，则在上单一递加，从而.当，即时，则，，若，；若，.从而，这与对恒成立矛盾，故不合题意.综上，的取值范围为.【点睛】此题观察导数与函数的单一性问题，不等式恒成立问题，明确第二问分类议论的标准是重点，是中档题 .（二）选考题：共10 分. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 .22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴成立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）若与订交于两点，，求；（2）圆的圆心在极轴上且圆经过极点，若被圆截得的弦长为1，求圆的半径 .【答案】（ 1） 6 ；（ 2） 13.【分析】【剖析】（1）将代入, 利用t 的几何意义及韦达定理即可求解；（2）化直线和圆为一般方程，利用圆的弦长公式求得半径【详解】（ 1）由，得，将代入，得，则，故.（2）直线的一般方程为，设圆的方程为.圆心到直线的距离为，由于，因此，解得（舍去），则圆的半径为 13.【点睛】此题观察直线参数方程，圆的弦长公式，娴熟运用直线与圆的地点关系，正确计算是重点，是中档题 .23.设函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：.【答案】（ 1）；（ 2）详看法析 .【分析】【剖析】（1）零点分段法去绝对值解不等式即可；（ 2）零点分段分状况证明再由绝对值不等式证明即可【详解】（ 1）∵，∴，即，当时，明显不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.【点睛】此题观察绝对值不等式的解法，证明不等式，娴熟运算是重点，是中档题。
山东省青岛市高三教学质量3月统一检测数学试卷(理科)
山东省青岛市高三教学质量3月统一检测数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：台体的体积公式为：12121()3V S S S S h =++，其中1S ，2S 分别为台体的上、下底面积，h 为台体的高.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数21iz i =-，则复数z 的共轭复数为 A .1i + B .1i -+ C .1i - D .1i --2. 已知全集U R =，集合2{|20}A x x x =->，{|lg(1)}B x y x ==-，则()UA B 等于A .{|20}x x x ><或B .{|12}x x <<C . {|12}x x <≤D .{|12}≤≤x x3. 下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是A .2log y x =B . 1y x =C .1()2x y =- D .13y x =4. 已知直线 l 、m ，平面α、β，且l α⊥，m β⊂，则//αβ是l m ⊥的A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件5. 二项式62()x x-的展开式中，2x 项的系数为A .15B .15-C .30D .606. 以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是A .2233y x y x ==-或B .23y x =C .2293y x y x =-=或D .22-9y x y x ==或侧视图7. 右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两 底长分别为2和42A .283π B .73πC .28πD .7π 8. 若00x y x y y a -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =+的最大值为3，则a 的值是A .1B .2C .3D .49. 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且156ON a OM a OP =+(直线MP 不过点O )，则20S 等于A .15B .10C .40D .2010. 定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数sin 3()cos 1xf x x -=向左平移m 个单位(0)m >，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是A .6π B .3πC .56πD .23π11. 下列四个命题中，正确的是A .已知函数0()sin af a xdx =⎰，则[()]1cos12f f π=-；B .设回归直线方程为2 2.5y x =-，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；C .已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=D .对于命题p ：x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++>12. 若1()1(1)f x f x +=+，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若在区间(1-，1]内()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A .[0，1)2B .1[2，)+∞C .[0，1)3D .(0，1]2第Ⅱ卷 (选择题 共60分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速 频率分布直方图如右图所示，则时速超过60/km h 的汽 车数量为 y0.0050.0100.0180.028 0.03914. 执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值 为16，图中判断框内?处应填的数为 15. 若不等式1|21|||axx对一切非零实数x 恒 成立，则实数a 的取值范围 16. 点P 是曲线2ln y x x 上任意一点，则点P 到直线2yx 的距离的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量(sin m x ，1)，向量(3cos nx ，1)2，函数.()()f x m n m .(Ⅰ)求()f x 的最小正周期T ； (Ⅱ)已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，23a ，4c ，且()f A 恰是()f x 在[0，]2上的最大值，求A ，b 和ABC 的面积S .18. (本小题满分12分)如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE平面ABCD ，90BAD ADC ，12AB ADCD a ，2PD a . (Ⅰ)若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ； (Ⅱ)求平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值.19. (本小题满分12分)某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所休假次数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；开始11，a b?a2b b1a a输出b结束A B C EP D M(Ⅱ)从该单位任选两名职工，用表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E .20.(本小题满分12分)已知数列{}n b 满足11124n n b b ，且172b ，n T 为{}n b 的前n 项和. (Ⅰ)求证：数列1{}2n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式； (Ⅱ)如果对任意*n N ，不等式1227122nk nn T 恒成立，求实数k 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数322()233f x x ax x .(Ⅰ)当14a时，求函数()f x 在[2，2]上的最大值、最小值； (Ⅱ)令()ln(1)3()g x x f x ，若()g x 在1(2，)上单调递增，求实数a 的取值范围.22.(本小题满分14分)已知圆1C ：22(1)8xy ，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程；(Ⅱ)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ONOC ，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(Ⅲ)过点(0S ，1)3且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.青岛市高三教学质量统一检测 .03高中数学 (理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． A C B B D D B A B A A D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 38 14. 3 15.13[,]22-16．2 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）解: (Ⅰ)21()()sin 13cos 2f x m n m x x x =+⋅=++…………2分 1cos 2311222x x -=++312cos 222x x =-+ sin(2)26x π=-+…………5分因为2ω=，所以22T ππ==…………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ-≤-≤由正弦函数图象可知,当262x ππ-=时()f x 取得最大值3所以262A ππ-=,3A π=…………8分由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-∴211216242b b =+-⨯⨯∴2b =………10分 从而11sin 24sin 602322S bc A ==⨯⨯=12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ) 证明:连结PC ,交DE 与N ,连结MN ，PAC ∆中，,M N 分别为两腰,PA PC 的中 点 ∴//MN AC …………2分因为MN ⊂面MDE ,又AC ⊄面MDE ，所以//AC 平面MDE …………4分(Ⅱ) 设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，以D 为空间坐标系的原点，分别以,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(,,0),(0,2,0)P a B a a C a(,,2),(,,0)PB a a a BC a a =-=-…………6分设平面PAD 的单位法向量为1n ， 则可设1(0,1,0)n =…………7分 设面PBC 的法向量2(,,1)n x y =，应有22(,,1)(,,2)0(,,1)(,,0)0n PB x y a a a n BC x y a a ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 即：200ax ay a ax ay ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：2222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以222(,,1)22n =…………10分 ∴1212212cos 2||||12n n n n θ⋅===⨯…………11分所以平面PAD 与PBC 所成锐二面角的余弦值为12…………12分 19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<< 所以，4η=或5η=…………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C ==…………5分 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分 NMEDCBAPxyz(Ⅱ) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，…………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分 从而ξ的分布列：ξ 0 1 2 3P27 2249 1049 349ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分20．（本小题满分12分） 解: (Ⅰ) 对任意*N n ∈,都有11124n n b b +=+，所以1111()222n n b b +-=- 则1{}2n b -成等比数列,首项为1132b -=，公比为12…………2分 所以1113()22n n b --=⨯，1113()22n n b -=⨯+…………4分 (Ⅱ) 因为1113()22n n b -=⨯+所以2113(1)111123(1...)6(1)1222222212n n n n n n n T --=+++++=+=-+-…………6分 因为不等式1227(122)n k n n T ≥-+-，化简得272nn k -≥对任意*N n ∈恒成立…………7分 设272n n n c -=，则1112(1)72792222n n n n n n n n c c ++++----=-=…………8分 当5n ≥,1n n c c +≤,{}n c 为单调递减数列，当15n ≤<,1n n c c +>,{}n c 为单调递增数列45131632c c =<=,所以, 5n =时, n c 取得最大值332…………11分 所以, 要使272n n k -≥对任意*N n ∈恒成立，332k ≥…………12分21．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)14a =时, 3221()332f x x x x =-++，2()23(23)(1)f x x x x x '=-++=--+ 令()0f x '=,得1x =-或32x =…………2分x (2,1)-- 1-3(1,)2- 32 3(,2)2()f x '-+-()f x116-278可以看出在1x =-取得极小值,在2x =取得极大值…………5分 而48(2),(2)33f f -==由此, 在[2,2]-上,()f x 在1x =-处取得最小值116-,在32x = 处取得最小值278…………6分(Ⅱ)()ln(1)3()g x x f x '=++-2ln(1)3(243)x x ax =+---++2ln(1)24x x ax =++-2'144(1)14()4411x a x ag x x a x x +-+-=+-=++…………7分在1(,)2-+∞上恒有10x +>考察2()44(1)14h x x a x a =+-+-的对称轴为44182a a x --=-=(i)当1122a -≥-,即0a ≥时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得:20a -<≤，所以0a =时成立…………9分(ii)当1122a -<-,即0a <时，应有1()02h ->即:114(1)1402a a --⨯+->解得0a <…………11分综上：实数a 的取值范围是0a ≤…………12分 22. （本小题满分14分）解: (Ⅰ) 因为2QC 的垂直平分线交1QC 于点P . 所以2PC PQ =222211112=>==+=+C C QC PQ PC PC PC所以动点P 的轨迹ω是以点21,C C 为焦点的椭圆……………2分设椭圆的标准方程为12222=+by a x则22,222==c a ，1222=-=c a b ，则椭圆的标准方程为2212x y +=……4分 (Ⅱ) 设1122(,),(,)M a b N a b ，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OC +=则121222,20a a b b +=-+= ② 由①②解得1122114514,,2448a b a b ===-=-……………7分 所以直线MN 的斜率k 212131414b b a a -==-……………8分 (Ⅲ)直线l 方程为13y kx =-，联立直线和椭圆的方程得: 221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得229(12)12160k x kx +--=…………9分 由题意知：点)31,0(-S 在椭圆内部，所以直线l 与椭圆必交与两点， 设).,(),,(2211y x B y x A 则121222416,3(12)9(12)k x x x x k k +==-++ 假设在y 轴上存在定点),0(m D ，满足题设，则1122(,),(,)DA x y m DB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点D ,则1122(,)(,)0DA DB x y m x y m ⋅=-⋅-=，即:1212()()0x x y m y m +--= (*)因为112211,33y kx y kx =-=-则(*)变为21212121212()()()x x y m y m x x y y m y y m +--=+-++…………11分21212121111()()()3333x x kx kx m kx kx m =+----+-+221212121(1)()()339k x x k m x x m m =+-+++++222216(1)1421()9(21)33(21)39k k k m m m k k +=--++++++ 222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+由假设得对于任意的R k ∈,0DA DB ⋅=恒成立，即221096150m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩解得1m =……13分因此，在y 轴上存在满足条件的定点D ，点D 的坐标为(0,1).………………14分。
河北石家庄届高三年级3月教学质量检测理科数学试卷Word版含答案解析
河北石家庄市届高三3月教学质量检测理科数学试卷Word版含解析
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为，集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求解M,N，再求交集即可.
【详解】由题,∴
故选：A.
【点睛】本题考查集合的运算，熟练求解M是关键，是基础题.
2.已知复数满足（为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法计算即可.
【详解】z=
故选：D.
【点睛】本题考查复数的运算，熟记复数的运算性质，熟练计算是关键,是基础题.
3.甲、乙两人次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位
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南阳市第一中学2023届高三上学期第三次阶段测数学(理)试卷(PDF版,含解析)
2023届年高三第三次阶段性测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（ ） A ．2B ．3C ．5D ．62.设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（ ） A ．4B ．2−C ．4或2−D ．4−或23．在等比数列{}n a 中，12318a a a =，且86434a a a =+，则3a =（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．2±4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．355．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ） A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅ 7. 给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 和OB u u u r，它们的夹角为120°.如图所示.点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动.则的最小值为 A. 4− B. 2− C. 0 D. 28．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()213cos sin 222x f x x ϕϕ+=−++22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，函数()g x 的值域为（ ）A ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．()9322− D ．32211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰.14.2．已知，，且与的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．15. 在ABC V 中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．16.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =3AC =，求BDC ∆的面积.20．（12分）已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点． (1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．21. （12分）已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，点()5,0P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.高三第三次阶段性测试理科数学试题解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（ ） A 2B 3C 5D 6【答案】C2．设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．2− C ．4或2− D ．4−或2【答案】C【分析】本题先化简集合A 、集合B ，再结合A B ⋂=∅，确定直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，最后求实数a 的值.【详解】解：集合A 表示直线32(1)y x −=−，即21y x =+上的点，但除去点(1,3)， 集合B 表示直线4160x ay +−=上的点， 当A B ⋂=∅时，直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)， 所以42a−=或43160a +−=， 解得2a =−或4a =． 故选：C.3．在等比数列{}n a 中，1238a a a =，且86434a a a =+，则3a =（ ）A ．1B ．2C ．±1D ．2±【答案】C4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．35【答案】B5．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ D ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）． D A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅ C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅u u u r u u u rA. 4−B. 2−C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，以,OA OB u u u r u u u r为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，因此有2()()CB CA CO OB CO OA CO CO OA OB CO OB OA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2CO OC OA OB OC OB OA =−⋅−⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r422cos 22cos(120)22cos120αα︒︒=−⨯−⨯⋅−+⨯⋅44cos 4cos(120)2αα︒=−−−− 24cos 2cos 23ααα=−+− 22cos 23αα=−−24cos(60)α︒=−−，因为[0,120]α︒∈，所以60[60,60]α︒︒︒−∈−，所以当600α︒︒−=时，即60α︒=，CB CA ⋅u u u r u u r有最小值，最小值为242−=−. 故选：B8．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题 ③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A9．已知函数()()213cos 22x f x x ϕϕ+=−+22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数ππA ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【答案】B ()()21cos 22x f x x ϕϕ+=−+ ()()1cos sin 26x x x πϕϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛−⎫ ⎪⎝⎭，∴36k ππϕπ−++=，∴6k πϕπ=+，∵22ππϕ−<<，∴6π=ϕ，∴()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，∵51818x ππ−<<，73636x πππ<+<，所以函数()g x 的值域为(]1,2−.故选：B .10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）BA ．3 BC．92D．211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（ ） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【详解】由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+=++， 所以3322log 421log 4a −=+−+()333log log 1g 4144lo =+−，因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+−，即2a >.所以2213512512169b a a >==++,即21313b >， 所以2b >.再来比较,a b 的大小： 因为20a −>， 所以222512135144122511693a a a a a a −−−++⨯−=⨯−⨯22212144122516913a a a −−−<⨯−⨯+⨯221691216931a a −−=−⨯⨯()2216912301a a −−=−<，所以b a <.综上所述，2a b >>. 故选：A.12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（ ） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D【详解】解：根据正方体的性质知，F 到平面''ABB A 的距离为4，因为254PF =>，所以FP 的轨迹为圆锥的侧面，P 点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为()222542−=，圆锥的高为4，母线25=PF ，对于①，点P 的轨迹长度为224ππ⨯=，故①错误，对于②，由题意知，平面''A B CD 与圆锥的高不垂直，所以平面''A B CD 截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP 的轨迹与平面''A B CD 的交线不是圆弧，故②错误，对于③，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，以'AA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，()4,2N ，P 点所在的圆的圆心为()2,4O ，所以圆的标准方程为()()22244x y −+−=，AE 所在的直线方程为12y x =，所以圆心到直线的距离为222465512−⨯=+，所以圆上的点到直线的距离最小值为6525−，即NP 的最小值为65105−，故③正确；则(0,D 0，0)，'(0,D 0，4)，(0,C 4，0)，(4,G 0，2)，(4,B 4，0)设(4,P y ，)z ，因为'D P CG ⊥，所以'0D P CG =g u u u u r u u u r，即()164240y z −+−=，对于P ，()()22244y z −+−=，tan BC BPC BP∠=，即求BP 的最小值，()222452432BP y z y y =−+=−+，由二次函数的性质知，当24 2.425y −=−=⨯时，BP 取得最小值455，又因为42BC =，所以10BC BP=，所以tan BPC ∠的最大值为10，所以④错误，故选：D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰. 14π+14.已知(),2a k =−r ，() 3,5b =−r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;15. 在中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．【答案】3【详解】解：由题得24sin()403a a B π−++=，因为方程有解，所以2216sin ()160,sin ()133B B ππ∆=+−≥∴+≥,所以sin()13B π+=±,因为0.333B B πππππ<<∴<+<+,所以24402a a a −+=∴=，. 由余弦定理得22328=4+22,23240,432c c c c c −⨯⨯⨯∴−−=∴=. 所以的面积为111sin 24323222S ac B ==⨯⨯⨯=. 故答案为：2316.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【答案】944(2e ,2e )ππ【分析】由已知可得方程e sin x a x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，利用导数研究e sin xy x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，的单调性，作出其函数图象，观察图象可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =−>>有两个零点， 所以方程()e sin 00,0xa x x a −=>>有两个根，所以()2,2N x k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x−'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x −=， 化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9()()g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()xg x =，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有所以当9442e 2e a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =−>()0a >有两个零点，故答案为：944(2e ,2e )ππ．题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； （2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 17．解：（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =,故111222n n n n b b q−−==⨯=,┅┅┅┅┅┅4分又由122n a n +=,得1n a n =−. ┅┅┅┅┅┅6分 （2）依题意1(1)2n n c n −=−⨯.┅┅┅┅┅┅7分01221021222(2)2(1)2n n n S n n −−=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,①则12312021222(2)2(1)2n n n S n n −=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n −−−=+++−−⨯=−−⨯−…,┅┅┅┅┅┅10分即2(2)2n n S n −=−+−⨯,故2(2)2nn S n =+−⨯.┅┅┅┅┅┅12分18. 如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （215（1）证明：由AB ＝AC ，则有A 1B 1＝A 1C 1. ∵D 为B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1. 由BC ＝2，则有B 1D ＝1，BB 1＝2， ∵1113B BC C BC π=∠=∠，∴2222111112cos21221332BD B B B D B B B D π=+−⋅=+−⨯⨯⨯= ∴BD 2+B 1D 2＝BB 12，∴BD ⊥B 1C 1，∵A 1D ∩BD ＝D ，∴B 1C 1⊥平面A 1DB . ┅┅┅┅┅┅6分（2）取BC 中点为E ，连接AE ，C 1E ， 由AB ⊥AC ，得AE ＝12BC ＝1， 由题意得C 1E ＝BD ＝3，∴222114AE C E AC +==，∴AE ⊥C 1E ，又可知AE ⊥BC ，AE ∩C 1E ＝E ，则AE ⊥平面BB 1C 1C ，如图，以E 为坐标原点，1C E BE AE u u u u r u u u r u u u r，，分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，┅┅┅┅┅┅7分则C （0，﹣1，0），B 1（3，2，0），A 1（3，1，1），B （0，1，0），D （3，1，0），由A 1D ∥AE ，得A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，∴BD ⊥B 1C 1，∵BD ⊥B 1C 1，A 1D ∩B 1C 1＝D ，∴BD ⊥平面A 1B 1C 1， ∴平面A 1B 1C 1的法向量BD u u u r＝（3，0，0），┅┅┅┅┅┅8分设平面A 1B 1C 的法向量n r＝（x ，y ，z ），则，不妨取x ＝﹣3，得n r＝（﹣3，3，3），┅┅┅┅┅┅9分设二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的平面角为θ，由图示θ为锐角. ┅┅┅┅┅┅10分 则cosθ＝，┅┅┅┅┅┅11分 ∴二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值为155．┅┅┅┅┅┅12分 19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=. （1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =，3AC =，求BDC ∆的面积.19．（1）∵1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=， ∴sin cos sin cos 3cos a A C c A A b A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin 3sin cos A A C A C B A +=， ∴()sin sin 3sin cos A A C B A +=，即sin sin 3sin cos A B B A =， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin 3cos A A =，显然cos 0A ≠，∴tan 3A =，∵0A π<<，∴3A π=.┅┅┅┅┅┅6分（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+−⋅，即()222173232AD AD =+−⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍），∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴133313224BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯⨯=.┅┅┅┅┅┅12分20．已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点．(1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．20.（1）圆C 的方程为22(4)(2)20x y −++=，圆心(4,2)C −，半径25r =． 若1l 垂直于x 轴，则4MN =不合题意，┅┅┅┅┅┅2分故1l 斜率存在，设为k ，则1l 的方程为2y kx =−，即20kx y −−=．┅┅┅┅┅┅3分8MN =，C 到1l 的距离()222542d =−=，242221k k +−=+，解得33k =±，┅┅┅┅┅┅4分故直线1l 的方程为323y x =±−，即3360x y ±−−=．┅┅┅┅┅┅5分 （2）由已知，2l 斜率不为0，故1l 斜率存在．┅┅┅┅┅┅6分当2l 斜率不存在时，2l 方程为0x =，则(0,0)Q ，此时1l 方程为=2y −，此时45MN =， 1452452QMN S =⨯⨯=△．┅┅┅┅┅┅7分当2l 斜率存在时，设1:2l y kx =−即20kx y −−=，则圆心C 到直线MN 的距离为241k k +．┅┅┅┅┅8分()222222216420522524111k k k MN k k k ++=−==+++，┅┅┅┅┅┅9分 2l 方程为12y x k =−−，即20x ky ++=，()2,0Q k −，则点Q 到MN 的距离为22221k k−−+．┅┅┅┅┅┅10分22222122454545211QMNk k S k k k ++=⨯⨯=+>++△.┅┅┅┅┅┅11分 综上：面积的最小值为45．┅┅┅┅┅12分21. 已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）()12ln 1f x x x ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭，令其为()p x ，则()21120p x x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭┅┅┅┅┅┅1分 所以可得()p x ，即单调递增，┅┅┅┅┅┅2分而()10f '=，则在区间()0,1上，，函数()f x 单调递减；┅┅┅┅┅┅3分在区间上，函数()f x 单调递增┅┅┅┅┅┅4分（2）()()2112ln x f x x x a x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x ax −=+，可知()10h =. ()222ax x a h x x++'=，令()22,0g x ax x a x =++>，┅┅┅┅┅┅5分 ①当1a ≤−时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以函数()h x 单调递减，∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x >，()1,∈+∞x 时，()0h x <， 可知此时()0≤f x 满足条件；┅┅┅┅┅┅7分②当0a ≥时，结合()g x 对应的图像可知，()0h x '>，()h x 单调递增， ∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x <，()1,∈+∞x 时，()0h x >， 可知此时()0≤f x 不恒成立，┅┅┅┅┅┅9分 ③当10a −<<时，研究函数()22g x ax x a =++.可知()10g >.对称轴11x a=−>. 那么()g x 在区间11,a ⎛⎫−⎪⎝⎭大于0，即()h x '在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭大于0， ()h x 在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，()()10h x h >=，可知此时()0f x >.所以不满足条件. ┅┅┅┅┅11分综上所述：1a ≤−.┅┅┅┅┅┅12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，点)P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．解：由223645cos ρθ=+得()2245cos 36ρρθ+=， 即()2224536y x x ++=，所以229436x y +=，即22149x y +=，┅┅┅┅┅┅2分∴(2F ，∴直线2PF 1=，即0x y +=；┅┅┅┅┅┅4分（2）解：由（1）知(10,F ，直线l的直角坐标方程为y x =，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C的标准方程可得：213320t −−=，┅┅┅┅┅┅6分 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123213t t =−，∴1t ，2t 异号，┅┅┅┅┅┅8分∴111213AF BF t t −=+=．┅┅┅┅┅┅10分 23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.23．(1)()1f x x ≤+，即131x x x −+−≤+.当1x <时，不等式可化为421x x −≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅； ┅┅┅┅┅┅1分当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.┅┅┅┅┅┅2分当3x >时，不等式可化为241x x −≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.┅┅┅┅┅┅3分综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.┅┅┅┅┅┅4分 ∴原不等式的解集为[]1,5.┅┅┅┅┅┅5分(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x −+−≥−−−=， ∴2c =，即2a b +=.┅┅┅┅┅┅6分令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =−=−+=,,，┅┅┅┅┅┅7分()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n −−+=+=+++−=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ┅┅┅┅┅┅9分 当且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证. ┅┅┅┅┅┅10分。
高三3月质检试卷理科
雅礼中学xx 届高三3月质检试卷数学 (理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式如果事件A 、B 互斥，那么 cl S 21=锥侧 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 其中，c 表示底面周长、l 表示斜高或 P （A·B ）=P （A ）·P （B ） 母线长如果事件A 在1次实验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 334R V π=球 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．复数11z bi =+，22z i =-+，且221z z 的实部和虚部互为相反数，则实数b 等于( )。
A ．7 B ．7- C ．71- D ．712．22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+( )。
A ．tan α B ．tan2α C ．1 D ．123．若条件41:≤+x p ，条件65:2-<x x q ，则p ⌝是q ⌝的( ) 条件。
A ．必要不充分B ．充要C ．充分不必要D ．不充分不必要 4．已知平面γβα,,，直线m l ,，点A ，有下面四个命题： ①若A m l =⊂ααI ,，则l 与m 必为异面直线； ②若//,//l l m α，则//m α；③若,,//,//l m l m αββα⊂⊂，则//αβ；④若,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥I I ，则l α⊥。
其中正确命题的个数是( )。
A ．0B ．1C ．2D ．35．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(),,0,1a b c ∈，已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其它得分情况），则ab 的最大值为( )。
福州3月月考测试卷理科数学word
福建省福州市高三3月质量检查数学试题（理）（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题【本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．抛物线y2=4x的准线方程为A．x=－1 B．x=1C．y=－1 D．y=12．命题“"x∈R，e x > 0”的否定是A．"x∈R，e x ≤0B．$x∈R，e x ≤0C．$x∈R，e x > 0D．"x∈R，e x < 03．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：①z=12i；②z=－14+34i；③+12i；④z=12．那么输出的复数是A．①B．②C．③D．④4．用m、n表示两条不同的直线，仪表示平面，则下列命题正确的是A．若m∥n，nÌα，则m∥αB．若m∥α，nÌα，则m∥nC．若m⊥n，nÌα，则m⊥α D．若m⊥α，nÌα，则m⊥n5．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2 ），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为A．14B．13C．12D．236．在△ABC中．点O在线段BC的延长线上。
且与点C不重合，若AO=x AB+（1－x）AC，则实数x的取值范围是A．（－∞，0）B．（0，+∞）C．（－1，0）D．（0，1）7．如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有A．192种B．128种C．96种D．12种8．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为，则函数f（x）图A BCD象的一条对称轴的方程为 A ．x = 4p B ．x =2pC ．x =4D ．x =29．过双曲线2222x y a b-=1（a >0，b >0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为 A ．x ±y =0 B ．2x ±y =0 C ．4x ±y =0 D ．x ±2y =010．若将有理数集Q 分成两个非空的子集M 与N ，且满足M ∪N =Q ，M ∩N =Æ，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称（M ，N ）为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割（M ，N ） ，下列选项中，不可能．．．成立的是 A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素 C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．） 11．sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于__________l2．函数f （x ）=x 3+ax （x ∈R ）在x =l 处有极值，则曲线y = f （x ）在原点处的切线方程是_____13．在约束条件1,2,10,x y x y ì£ïï£íï+-?ïî，下，目标函数z=ax+by （a >0，b >0）的最大值为1，则ab 的最大值等于_______14．设函数f （x ）=1(1)2x+- （x ∈Z ）．给出以下三个判断：①f （x ）为偶函数；②f （x ）为周期函数；③f （x +1）+ f （x ）=1． 其中正确判断的序号是________（填写所有正确判断的序号）． 15．一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点A 、B 与边a 所对应的三个数分别为___________三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分13分）在数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n +1）（n ∈N*）在直线y =2x 上． （Ⅰ）求数列{ a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =log 2 a n ，求数列11n n b b +禳镲睚×镲铪的前n 项和T n ．l7．（本小题满分13分） 假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0．5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ． （Ⅰ）求X 的分布列； （Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y ，求y 的数学期望． 18．（本小题满分13分）如图，椭圆22221x y a b+= （a>b>0）的上、下顶点分别为A 、B ，已知点B 在直线l ：y =－1上，且椭圆的离心率e=2． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN ．19．（本小题满分l 4分）如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB =60°．点E 、F 分别在边CD 、CB 上，点E与点C 、D 不重合，EF ⊥AC ，EF ∩AC =O ．沿EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使平面PEF ⊥平面ABFE D ． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面POA ；（Ⅱ）当PB 取得最小值时，请解答以下问题： （i ）求四棱锥P-BDEF 的体积；（ii ）若点Q 满足AQ =λQP （λ >0），试探究：直线OQ 与平面PBD 所成角的大小是否一定大于4p?并说明理由．第19题图 20．（本小题满分1 3分）如图①，一条宽为l km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元／km 、4万元／km ．（Ⅰ）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆仰，需要改造，旧电缆的改造费用是0．5万元／km ．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值． （Ⅱ）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE =θ （0≤θ≤3p），试用θ表示出总施工费用y （万元）的解析式，并求y 的最小值．第20题图21．本题有（1）、（2）、（3）三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分l4分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填人括号中．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换利用矩阵解二元一次方程组32, 423x yx yì+=ïí+=ïî．（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1．圆的参数方程为1cos,1sinx ry rqqì=+ïí=+ïî（θ为参数，r >0），若直线l与圆C相切，求r的值．（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知a2+b2+c2=1（a，b，c∈R），求a+b+c的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 1112．30x y += 13．18 14．①②③ 15．3、6、3三、解答题（本大题共6小题，共80分．）16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得12n n a a +=，所以12n naa += 又12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 3分所以1*122()n n n a a n -=⋅=∈N ．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n a =，所以2log ,n n b a n == 7分 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-⋅⋅++, 10分所以111111111223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++． 13分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，(4,0.5)X B ，1分∴40411(0)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，41411(1)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 42413(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，43411(3)24P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 44411(4)216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，6分X ∴的分布列为7分（Ⅱ）Y 的所有可能取值为3，4，则 8分1(3)(3)4P Y P X ====， 9分 3(4)1(3)4P Y P Y ==-==，11分 Y ∴的期望值1315()34444E Y =⨯+⨯=．答：Y 的期望值()E Y 等于154． 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，得1b =．1分∵c e a ==2221a c b -==，∴24a =． 3分∴椭圆的标准方程为2214x y +=． 4分（Ⅱ）（法一）证明：设()00,P x y ，00x ≠， 则0(0,)Q y ，且220014x y +=．∵M 为线段PQ 中点， ∴00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭．5分又()0,1A ，∴直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 000,1,x y ≠∴≠令1y =-，得00,11x C y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭．8分又()0,1B -，N 为线段BC 的中点，∴00,12(1)x N y ⎛⎫-⎪-⎝⎭． 9分∴0000,122(1)x x NM y y ⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭． 10分∴22200000000000(1)222(1)44(1)x x x x x OM NM y y y y y y ⎛⎫⋅=-+⋅+=-++ ⎪--⎝⎭=2220000000()1(1)044(1)x x y y y y y +-+=-++=-． 12分∴OM MN ⊥． 13分（法二）同（法一）得： 00,2x M y ⎛⎫⎪⎝⎭，00,12(1)x N y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭．9分当00y =时，02x =，此时()()()2,0,1,0,1,1P M N -，∴0OM k =，MN k 不存在，∴OM MN ⊥．10分 当00y ≠时，000022OM y y k x x ==， ()()()200000000000002111221221MNy y y x k x x x y x y y y y -------====---，∵1OM MN k k ⋅=-，∴OM MN ⊥12分综上得OM MN ⊥． 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直， ∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥， 1分 ∵ E F A C ⊥，∴PO EF ⊥． ∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =， 且PO ⊂平面PEF ，∴ PO ⊥平面ABFED , 2分 ∵ BD ⊂平面ABFED ， ∴ PO BD ⊥． 3分 ∵ A O P O O =，∴ BD ⊥平面POA ． 4分（Ⅱ）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -． 5分（ⅰ）设.AOBD H =因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形， 故4BD =，2,HB HC ==．又设PO x =，则OH x =，OA x =． 所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x，,2,0)B x ，故,2,)PB OB OP x x =-=-， 6分所以(2PB=当x =min PB =PO =OH =7分由（Ⅰ）知，PO⊥平面,BFED所以221142)333P BFED BFED V S PO -=⋅⋅=⋅-四棱锥梯形． 8分（ⅱ）设点Q 的坐标为(),0,ac ，由（i）知，OP =，则A，B ，2,0)D -，P ．所以()AQ a c =-，()QP a c =-， 9分∵AQ=QP λ，∴,a a cc λλ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩⇒a c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩．∴Q ， ∴3(OQ =． 10分设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PB n BD ⋅=⋅=．∵(3,2,PB =，()0,4,0BD =-，∴20,40y y +=-=⎪⎩， 取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n =． 11分设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ，∴sin cos ,OQ n OQ n OQ nθ⋅=<>===⋅12分又∵0λ>∴sin θ>． 13分∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>．因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于4π，即结论成立． 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得ABC △为等边三角形．因为CD AD ⊥，所以水下电缆的最短线路为CD ．过D 作DE AB ⊥于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB ．3分又1,2CD DE AB ==， 故该方案的总费用为14220.5⨯+⨯5= …………6分（Ⅱ）因为0,3DCE πθθ⎛⎫∠=≤≤ ⎪⎝⎭所以1,tan ,tan cos CE EB ED AE θθθ===． 7分则)113sin 42tan 22cos cos cos y θθθθθ-=⨯+⨯+⨯=⨯+ 9分令()3sin ,cos g θθθ-=则()()()222cos 3sin sin 3sin 1cos cos g θθθθθθθ-----'== ， 10分因为03πθ≤≤，所以0sin θ≤， 记001sin ,(0,),33πθθ=∈当10sin 3θ≤<，即0≤0θθ<时，()0g θ'<，当1sin 3θ<≤0θ<θ≤3π时， ()0g θ'>， 所以()0min13()g g θθ-===y ≥ 12分此时0tan ED θ==， 因此施工总费用的最小值为（3）万元，其中ED =． 13分21．（本小题满分7分） 选修4-2，矩阵与变换11 解：方程组可写为312423x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2分 系数行列式为32412⨯-⨯=，方程组有唯一解． 利用矩阵求逆公式得11131242322-⎛⎫- ⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭， 5分 因此原方程组的解为111222331222x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1,21.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩7分 （2）（本小题满分7分） 选修4-4：坐标系与参数方程 解：∵直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ+=， ∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=， 2分 又圆C 的普通方程为222(1)(1)x y r -+-=， 所以圆心为(1,1)，半径为r ． 4分 因为圆心到直线l的距离d ， 6分又因为直线l 与圆C相切，所以r =． 7分（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 （法一）解：∵ a ，b ，R c ∈，2221a b c ++=, ∴ 22222222()(111)()(111)3a b c a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅≤++++=． 5分当且仅当a b c ===时，a b c ++7分 （法二）解：∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥ ∴ 2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++222222222()()()a b c a b b c a c ≤+++++++++ 3分 ∵ 2221a b c ++=,∴2()3a b c ++≤，当且仅当a b c ===时等号成立，6分 ∴a b c ++7分。
高三数学下学期3月质量检测试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期3月质量检测试题理〔含解析〕本套试卷一共5页，23题〔含选考题〕，全卷总分值是150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★本卷须知：2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，请用黑色签字笔填写上在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的答题：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的答题：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写上在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用 拍照并上传给，原那么上一张A4拍成一张照片，要注意照片的明晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕〔a ∈R 〕，假设z ∈R ，那么实数a ＝〔〕A.12B.12-C.2D.﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解.【详解】因为z ＝〔1+2i 〕〔1+ai 〕=()()122a a i -++，又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2. 应选：D【点睛】此题主要考察复数的运算及概念，还考察了运算求解的才能，属于根底题.M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}，那么M ∩N ＝〔〕A.[﹣3，2〕B.〔﹣3，2〕C.〔﹣1，0]D.〔﹣1，0〕【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x 〔x +3〕≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 应选：C【点睛】此题主要考察集合的根本运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为〔〕 A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】 【分析】直接计算概率得到答案.【详解】一共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况，故61366p ==. 应选：A .【点睛】此题考察了概率的计算，意在考察学生的计算才能. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2=6，那么a 3=〔〕 A.2 B.4C.12D.8【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或者11612a q =-⎧⎪⎨=⎪⎩〔舍去〕. 故2314a a q ==.应选：B .【点睛】此题考察了等比数列的计算，意在考察学生的计算才能. 5.执行如下列图的程序框图，输出的s 的值是〔〕 A.53B.85C.138D.2113【答案】C 【解析】 【分析】根据循环构造依次进展，直至不符合4i ≤，终止循环，输出s .【详解】第一次循环，2,1s i ==，第二次循环，3,22si ==， 第三次循环，5,33s i ==，第四次循环，8,45s i ==，第四次循环，13,58s i ==，此时不满足4i ≤，输出138s =.应选：C【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造，还考察了逻辑推理的才能，属于根底题. 6.等边△ABC 内接于圆τ：x 2+y 2=1，且P 是圆τ上一点，那么()PA PB PC ⋅+的最大值是〔〕B.1D.2【答案】D 【解析】 【分析】如下列图建立直角坐标系，设()cos ,sin Pθθ，那么(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【详解】如下列图建立直角坐标系，那么1,0A，1,22⎛- ⎝⎭B，1,22C ⎛-- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，那么(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.应选：D .【点睛】此题考察了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕，那么f 〔x 〕的最小值为〔〕A.12B.14C.4D.2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值.【详解】函数f 〔x 〕＝sin 2x +sin 2〔x 3π+〕，=21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f 〔x 〕的最小值为12. 应选：A【点睛】此题主要考察倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 8.数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，那么数列{a n }的通项公式a n =〔〕A.2nB.n 2C.n +2D.3n -2【答案】B 【解析】 【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11nn a a ++-=，即21=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.应选：B .1=是解题的关键.9.a ，b =0.40.8，c =log 84，那么〔〕 A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】D 【解析】 【分析】 计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<.即b c a <<. 应选：D .【点睛】此题考察了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应HY 的HY 关于“推动城乡义务教育一体化开展，高度重视农村义务教育〞精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的去支教，每个至少去1人，那么恰好有2名大学生分配去甲的概率为〔〕 A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】【分析】计算所有情况一共有150种，满足条件的一共有60种，得到答案.【详解】所有情况一共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的一共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 应选：A .【点睛】此题考察了概率的计算，意在考察学生的计算才能和应用才能.P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，假设PA ⊥PB ，那么椭圆τ的离心率e =〔〕A.12B.2C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】 设()11,Px y ，那么()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2yD x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，那么()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =，那么11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，那么22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+，PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =应选：C .【点睛】此题考察了椭圆的离心率，意在考察学生的计算才能和转化才能.x 的不等式3xe x -x -alnx ≥1对于任意x ∈(l，+∞)恒成立，那么实数a 的取值范围为〔〕A.〔-∞，1-e]B.〔-∞，-3]C.〔-∞，-2]D.〔-∞，2-e 2]【答案】B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1x f x e x =--，那么()'1x f x e =-，那么函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.应选：B .【点睛】此题考察了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，那么该双曲线的HY 方程为________.【答案】221123y x -=【解析】 【分析】 设双曲线方程为224xy λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，那么设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，那么12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=. 故答案为：221123y x -=.【点睛】此题考察了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224xy λ-=是解题的关键.f 〔x 〕cosx a sinx+=在〔0，2π〕上单调递减，那么实数a 的取值范围为___． 【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】将函数f 〔x 〕cosx a sinx +=在〔0，2π〕上单调递减，转化()21cos 0sin a x f x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f 〔x 〕cosx asinx +=在〔0，2π〕上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在〔0，2π〕上恒成立， 即1cos a x ≥-在〔0，2π〕上恒成立，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈，所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-. 故答案为：1a ≥-【点睛】此题主要考察了导数与函数的单调性，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题. 15.根据气象部门预报，在间隔某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向挪动，间隔风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从如今起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响〔准确到0.01〕．h.【解析】 【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么AC＝450，那么有=450，即=450；两边平方并化简、整理求解.【详解】建立如下列图直角坐标系：设风暴中心最初在B处，经th后到达C处．自B向x轴作垂线，垂足为D．假设在点C处受到热带风暴的影响，那么OC＝450，=450，=450；两边平方并化简、整理得t2﹣t+175＝0∴t5=或者5，所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】此题主要考察了三角函数的实际应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.S-ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SASB21π，那么二面角S-AB-C的余弦值为____．【答案】12-【解析】【分析】证明CD AB⊥，2O D AB⊥，得到2CDO∠为二面角S AB C--的平面角，计算故13ODOπ∠=，23ODOπ∠=，得到1223O DOπ∠=，得到答案.【详解】球的外表积为2421Rππ=，故R=，222SA SB AB+=，故2SABπ∠=.SAB∆的外接圆圆心为SB中点2O，2r=ABC∆的外接圆圆心为三角形中心1O，12r==.设球心为O，那么2OO⊥平面SAB，1OO⊥平面ABC，1CO与AB交于点D，易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥，故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，1132DO CD ==，2122DO SA ==.1tan ODO ∠13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-. 【点睛】此题考察了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考察学生的空间想象才能和计算才能.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题． 〔一〕必考题：一共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.〔1〕求A 的余弦值； 〔2〕求△ABC 面积的最大值．【答案】〔1〕12；〔2〕【解析】 【分析】〔1〕根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案.〔2〕计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】〔1〕tan tan tan tan A B c bA B c --=+，那么sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+， 即()()sinsin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. 〔2〕2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤.当4b c ==时等号成立.1cos2A =，故sin A =，1sin 2Sbc A =≤ABC 面积的最大值为【点睛】此题考察了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考察学生的综合应用才能. 18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点． 〔1〕求证：AC ⊥QL ；〔2〕求点A 到平面PQL 的间隔．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕6a 【解析】 【分析】 〔1〕作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.〔2〕取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案.【详解】〔1〕如下列图：作QMCD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QMML M=，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.〔2〕取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形.故A 到平面PQL 的间隔等于A 到平面PNL 的间隔.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=.2112224PNLS NL NP a a ∆=⋅=⋅=，P ANLA PNL V V --=，即321324a d ⋅=，故d =. 【点睛】此题考察了线线垂直，点面间隔，意在考察学生的空间想象才能和计算才能.19.抛物线Γ：y 2＝2px 〔p ＞0〕的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =〔2，〕〔1〕求抛物线Γ的方程；〔2〕经过点A 〔3，﹣2〕的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B 〔3，﹣6〕和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，假设过定点，求出该定点，否那么说明理由． 【答案】〔1〕y 2＝4x ；；〔2〕直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕，理由见解析.【解析】 【分析】〔1〕根据抛物线的方程，求得焦点F 〔2p，0〕，利用FP =〔2，P 的坐标，再代入抛物线方程求解.〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，代入化简求解.【详解】〔1〕由抛物线的方程可得焦点F 〔2p，0〕，满足FP =〔2，的P 的坐标为〔22p +，，P 在抛物线上，所以〔22＝2p 〔22p+〕，即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ； 〔2〕设M 〔x 0，y 0〕，N 〔x 1，y 1〕，L 〔x 2，y 2〕，那么y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN 的斜率k MN10102210101044y y y y y y x x y y --===--+，那么直线MN 的方程为：y ﹣y104y y =+〔x 204y -〕，即y 01014x y y y y +=+①，同理可得直线ML 的方程整理可得y 02024x y y y y +=+②，将A 〔3，﹣2〕，B 〔3，﹣6〕分别代入①，②的方程可得01010202122126y y y y y y y y +⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y 0可得y 1y 2＝12，易知直线k NL 124y y =+，那么直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+〔x 214y -〕，即y 124y y =+x 1212y y y y ++，故y 124y y =+x 1212y y ++，所以y 124y y =+〔x +3〕，因此直线NL 恒过定点〔﹣3，0〕．【点睛】此题主要考察了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.20.有人搜集了某10年中某城居民年收入〔即该城所有居民在一年内收入的总和〕与某种商品的销售额的相关数据：且101i i x =∑〔1〕求第10年的年收入x 10；〔2〕收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程y 363254x =+ˆa . 〔i 〕10年的销售额y 10；〔ii 〕居民收入到达40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？〔准确到0.01〕附加：〔1〕回归方程ˆˆˆy bx a =+中，11221ˆni i ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-. 〔2〕1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】〔1〕46；〔2〕1051y =，41.96y =【解析】 【分析】〔1〕直接根据101380ii x==∑计算得到答案.〔2〕利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案.【详解】〔1〕10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.〔2〕1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程363254y x a =+得到：15.21a ≈-.故36315.21254y x =-，当40x =时，41.96y =.【点睛】.此题考察了回归方程，意在考察学生的计算才能和应用才能. 21.〔1〕证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；〔2〕证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.〔2〕根据〔1〕已有信息，对函数进展二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】〔1〕对函数求导，得， 因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0x y e x x x =-+>，即函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.〔2〕对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos x gx e x x x =--，那么()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由〔1〕知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，那么()'0g x < 故()gx 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，使得()00g x =， 即()()02000012cos x gx e x x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数；当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f eππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.〔二〕选考题：一共10分，请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分． [选修4-4:坐标系与参数方程]xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩〔α为参数〕，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．〔1〕求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； 〔2〕假设点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【答案】〔1〕2212516x y +=，〔x ﹣2〕2+y 2＝1；〔2〕2.【解析】 【分析】〔1〕由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.〔2〕设点P 〔5cosθ，4sinθ〕，根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的间隔，然后减去半径即为最小值.【详解】〔1〕曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数〕，两式平方相加整理得2212516x y +=．将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得〔x ﹣2〕2+y 2＝1．〔2〕设点P 〔5cosθ，4sinθ〕在曲线C 1上，圆心O 〔2，0〕， 所以：PO ===，当cosθ＝1时，|PO|min＝3，所以|PQ|的最小值3﹣1＝2．【点睛】此题主要考察了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考察了转化化归的思想和运算求解的才能，属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]f〔x〕＝|2x﹣a|+|x﹣a+1|．〔1〕当a＝4时，求解不等式f〔x〕≥8；〔2〕关于x的不等式f〔x〕22a≥在R上恒成立，求参数a的取值范围．【答案】〔1〕[5，+∞〕∪〔∞，13-]；〔2〕[﹣2，1].【解析】【分析】〔1〕根据a＝4时，有f〔x〕＝|2x﹣4|+|x﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.〔2〕根据绝对值的零点有a﹣1和12a，分a﹣112a=，a﹣112a＞和a﹣112a＜时三种情况分类讨论求解.【详解】〔1〕当a＝4时，f〔x〕＝|2x﹣4|+|x﹣3|，〔i〕当x≥3时，原不等式可化为3x﹣7≥8，解可得x≥5，此时不等式的解集[5，+∞〕；〔ii〕当2＜x＜3时，原不等式可化为2x﹣4+3﹣x≥8，解可得x≥9此时不等式的解集∅；〔iii〕当x≤2时，原不等式可化为﹣3x+7≥8，解可得x13≤-，此时不等式的解集〔∞，13 -]，综上可得，不等式的解集[5，+∞〕∪〔∞，13 -]，〔2〕〔i〕当a﹣112a=即a＝2时，f〔x〕＝3|x﹣1|22a≥=2显然不恒成立，〔ii〕当a﹣112a＞即a＞2时，()1321211123211x a x af x x a x ax a x a⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，，结合函数的单调性可知，当x12a=时，函数获得最小值f〔12a〕112a=-，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么211122a a-≥，此时a不存在，〔iii〕当a﹣112a＜即a＜2时，f〔x〕3211111213212x a x ax a x ax a x a⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，假设f〔x〕22a≥在R上恒成立，那么121122a a-≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】此题主要考察了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考察了分类讨论的思想和运算求解的才能，属于中档题.。
高三数学三月联考试题理含解析试题
2021届高三年级三月份联考数学〔理科〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕，，假设，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合交集和空集的概念，结合集合A,B的不等式，求得的取值范围.【详解】依题意可知当时，，应选C.【点睛】本小题主要考察两个集合交集不为空集的知识，考察不等式的方向，属于根底题.2.“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，将条件和结论互相推导，根据能否推导出的情况，判断充分、必要条件. 【详解】由不等式性质可知，，假设，有，假设，不满足上述条件，未必成立；如不能推出，故推不出，故是既不充分也不必要条件.应选D.【点睛】本小题主要考察充分、必要条件的知识，考察不等式的性质，属于根底题.3.某位老师2021年的家庭总收入为80000元，各种用处占比统计如下图的折线图年收入的各种用处占比统计如下图的条形图，2021年的就医费用比2021年增加了4750元，那么该老师2021年的家庭总收入为A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【答案】D【解析】【分析】先求出2021年的就医费用，从而求出2021年的就医费用，由此能求出该老师2021年的家庭总收入．【详解】由得，2021年的就医费用为元，年的就医费用为元，该老师2021年的家庭总收入元．应选：D．【点睛】此题考察老师2021年的家庭总收入的求法，考察折线图和条形统计图的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．4.，，那么的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】，得，而.应选A.【点睛】本小题主要考察正切值求两弦值的方法，考察三角函数诱导公式、二倍角公式，属于根底题.展开式中含项的系数为21，那么实数的值是〔〕A. 3B. -3C. 2D. -2【答案】A【解析】【分析】先求得展开式的通项公式，求得其中的系数，与相乘得到；求求得的值.【详解】展开式的通项公式为，所以令，此时含的项的系数为，又令，舍去，所以含项的系数为，所以，得.应选A.【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式，考察乘法的分配律，考察运算求解才能，属于根底题.6.如图是某几何体的三视图，那么过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是〔〕A. 2B.C. 4D.【答案】A【解析】【分析】所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积获得最大值，由此求得最大的截面面积.【详解】将三视图复原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积.应选A.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察圆锥的截面面积最大值的计算，考察三角形面积公式，属于中档题.的局部图象符合的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法分别计算，的值进展排除即可．【详解】故得到函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，，排除A，D，应选：B．【点睛】此题主要考察函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决此题的关键．知式求图的问题常见的方法是先通过函数的定义域和值域进展排除，再由函数的特殊值进展排除，也可以采用判断极限的方法进展排除.8.某次考试一共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.【详解】设学生答对题的个数为，那么得分〔分〕，，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.应选A.【点睛】本小题主要考察二项分布的识别，考察方差的计算，考察阅读理解才能，考察数学在实际生活中的应用.随机变量分布列的方差为，那么分布列的方差为.的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为三角形为锐角三角形，所以过C做于D，D在边AB上，根据面积算出，再根据勾股定理表示出，由二次函数知识可求得．【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：因为：，所以，在三角形ADC中，，在三角形BDC中，，，，．设结合二次函数的性质得到：．应选：D．【点睛】此题考察了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题目考察了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.中，，，，过点作的垂线，垂足为，以为折痕将折起使点到达点处，满足平面平面，那么三棱锥的外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出三角形为直角三角形，由此求出各条边长.根据，，两两互相垂直，可知三棱锥的外接球的直径即以，，为边构造长方体的体对角线，由此计算出球的直径和半径，进而求得外接球的外表积.【详解】由，，及可知，，所以，由题可知在三棱锥中，，两两互相垂直，所以分别以，，为边构造长方体，那么三棱锥的外接球的直径，所以，所以三棱锥的外接球的外表积为.应选D.【点睛】本小题主要考察几何体外接球外表积的求法，考察补形的思想，属于中档题.：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，假设，且，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出渐近线方程，计算出到渐近线的间隔，由此求得的值，根据双曲线的定义，求得，利用余弦定理解方程，化简得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题可知，不妨设渐近线方程为，代入点到直线的间隔公式得，从而，又由双曲线的定义可知，所以在中，由余弦定理得，化简得，即，所以离心率为.应选A.【点睛】本小题主要考察双曲线离心率的求法，考察双曲线的定义，考察双曲线渐近线的求法，考察点到直线的间隔公式，考察余弦定理，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.求解双曲线离心率有关的问题，首先根据题意列一个方程，根据这个方程求得的值，进而求得离心率.12.数列：；，，；，，…，；…，，，，…；…，那么此数列的前2036项之和为〔〕A. 1024B. 2048C. 1018D. 1022 【答案】C【解析】【分析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组个数，第二组个数，……，第组个数，分别计算出各组数的和.计算出组数的项数和，令这个项数和等于列方程，解方程求出组数为.然后求出前组数的和得出正确选项.【详解】将此数列分组，第一组：；第二组：；第三组：；…；第组：.而由，得，所以.因此前2036项之和正好等于前10组之和，由于.应选C. 【点睛】本小题主要考察数列求和，考察观察才能，考察化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕，，，假设向量与向量一共线，那么实数k的值是______．【答案】【解析】【分析】先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量一共线，即可求出结果.【详解】因为向量，，所以；又，向量与向量一共线，所以，解得.故答案为【点睛】此题主要考察向量的坐标运算，熟记一共线向量定理即可，属于根底题型.在点处的切线经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】对函数求导，求得在处切线的斜率，根据点斜式写出切线方程，将点坐标代入切线方程，解方程求得的值.【详解】由得，所以，又当时，，所以，所以切线方程为，将点代入切线方程，得.【点睛】本小题主要考察函数的导数，考察曲线的切线方程的求法，考察方程的思想，属于根底题.在区间内有最值，那么的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】当函数获得最值时有，由此求得的值，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围〔含有〕，对赋值求得的详细范围.【详解】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.【点睛】本小题主要考察三角函数最值的求法，考察不等式的解法，考察赋值法，属于中档题.16.如图，为椭圆上一个动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，那么当四边形面积最大时，的值是______．【答案】【解析】【分析】根据切线的性质得到，以及，故四边形面积最大时，即最大，根据椭圆的性质可知当点为椭圆的左顶点时，最大，根据向量数量积公式计算出两个向量的数量积.【详解】连接，设，那么，由切线的性质知，所以，故四边形面积最大时，即最大，且.易知当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如下图，此时，，，所以，.【点睛】本小题主要考察圆的切线的几何性质，考察椭圆的几何性质，考察向量数量积的计算，属于中档题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70.0分〕，，函数.〔1〕求的单调区间；〔2〕在锐角中，，，分别是内角，，所对的边，假设，，求周长的取值范围.【答案】〔1〕单调递增区间是，，单调递减区间是，.〔2〕【解析】【分析】〔1〕先求得的表达式，利用正弦函数的单调区间，求得的单调区间.〔2〕根据正弦定理求得边的表达式，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.【详解】解：〔1〕依题意，.令，，解得的单调递增区间是，，令，.解得的单调递减区间是，.〔2〕由得.设三角形的外接圆半径为，根据正弦定理得.于是.因为是锐角三角形且，所以由，得，因此的取值范围是.而由得，所以，所以，即周长的取值范围是.【点睛】本小题主要考察平面向量数量积的坐标运算，考察三角函数单调区间的求法，考察正弦定理解三角形，知识综合较多，属于中档题.18.2021年，中国某的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进展一场比赛，赢了就可以晋级，否那么，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄〔单位：岁〕分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，下列图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.〔1〕务实数的值；〔2〕假设先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样一共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求的分布列和数学期望.【答案】〔1〕〔2〕①②见解析【解析】【分析】〔1〕根据频率和为列方程，解方程求得的值.〔2〕利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数. ①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】解：〔1〕直方图中的组距为5，可得，得.〔2〕从直方图中可得第四组的人数为〔人〕，第五组的人数为〔人〕，第六组的人数为〔人〕，三组一共100人，按组用分层抽样法抽取10人，那么第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率；②的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为0 1 2 3.【点睛】本小题主要考察频率分布直方图有关的计算，考察古典概型，考察超几何分布，属于中档题.的前n项和为，，公差为假设，求数列的通项公式；是否存在d，n使成立？假设存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列的通项公式；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】由求得公差，直接代入等差数列的通项公式得答案；由，得到，然后依次取n值，求得d，分类分析即可得到所有满足条件的d，n 的值，并求得通项公式．【详解】当时，由，得，即．；由题意可知，，即，．令时，得，不合题意；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，不合题意；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，不合题意；时，得，不合题意；时，得，不合题意；时，，均不合题意．存在3组，其解与相应的通项公式分别为：，，；，，；，，．【点睛】此题考察等差数列的通项公式，考察等差数列的前n项和，考察分类讨论的数学思想方法，考察计算才能，是中档题．20.如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起得到图〔二〕，点为棱上的动点.〔1〕求证：平面平面；〔2〕假设，二面角为，点为中点，求二面角余弦值的平方.【答案】〔1〕见证明；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据，证得平面，从而证得平面平面.〔2〕以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，通过计算和的法向量，计算出二面角余弦值的平方.【详解】证明：〔1〕在图〔一〕梯形中，∵是的中点，，，∴，.∴四边形为平行四边形.又∵，∴，在图〔二〕中，∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.解：〔2〕由及条件关系，得，由〔1〕的证明可知，，∴为二面角的平面角，∴，由〔1〕的证明易知平面平面，且交线为，∴在平面内过点作直线垂直于，那么平面，∴，，两两互相垂直，∴分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，那么，，，，∵为中点，∴，，.设平面的一个法向量，那么，即，令，那么，，∴，而平面的一个法向量，∴，∴.【点睛】本小题主要考察面面垂直的证明，考察利用空间向量法计算二面角的余弦值，属于中档题.E：，圆C：．假设过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；在的条件下，假设直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕；〔2〕存在定点【解析】【分析】求得抛物线的焦点，设出直线的方程，运用直线和圆相切的条件：，解方程可得所求直线方程；设出A，B的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程可得t，即M的坐标，即可得到结论．【详解】由题意可得抛物线的焦点，当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，即，由圆心到直线的间隔为，当直线与圆相切时，，解得，即直线方程为；可设直线方程为，，，联立抛物线方程可得，那么，，x轴上假设存在点使，即有，可得，即为，由，，可得，即，即，符合题意；当直线为，由对称性可得也符合条件．所以存在定点使得．【点睛】此题考察直线与圆的位置关系和直线与抛物线的位置关系，考察相切的条件和联立方程，运用韦达定理，考察直线的斜率公式的运用，以及方程思想和变形才能，属于中档题．涉及方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用．.〔1〕假设，证明：；〔2〕，假设函数有两个零点，务实数的取值范围.【答案】〔1〕见证明；〔2〕【解析】【分析】〔1〕当时，利用导数求得函数的最大值，由此证得不等式成立.〔2〕先求得的表达式，将零点问题转化为，构造函数，利用导数来求得当有一个不为零的零点时的取值范围.【详解】证明：〔1〕当时，，所以，所以当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以当时，函数有极大值，也为最大值，所以最大值为，所以.〔2〕因为函数有两个零点可转化为有两个零点，即关于的方程有两个不相等的实根，易知0为方程的一个根，此时.当时，只需有一个不为0的零点即可，当时，，故为减函数，因为，，故在上仅有1个零点，且不为0，满足题意；当时，，不合题意；当时，，，，根据零点的存在性定理可知在上至少有1个零点，当时，为负数，故在上也有零点，故不合题意.综上，.【点睛】本小题主要考察利用导数求函数的最值，考察利用导数求解零点个数问题，考察化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.要证明一个函数小于某一个数值，那么可以利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的最大值，根据最大值证明不等式成立.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
高三3月综合练习(一模)数学(理)试题Word版含答案
丰台区高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）.03（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B) (C) (D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1,(B)x <1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6(C) n≥7(D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D )=2cos(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2(D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4(B)8 (C) 12(D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1 <x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C) (D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高三3月检测数学(理科)试卷.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高三3月检测数学（理科）试卷注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P={}a 2log 3，，Q={}b a ,，若{}0=Q P ，则=Q P A.{}03，B.{}203，，C.{}103，，D.{}2103，，， 2.若复数i a a )1()1(2-+-（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a=A.1±B.-1C.0D.1 3.有下列关于三角函数的命题：)(2,1Z k k x R x P ∈+≠∈∀ππ：，若0tan >x ，则02sin >x 。
：2P 函数)23sin(π-=x y 与函数x y cos =的图像相同； ；：3cos 2,003=∈∃x R x P ：4P 函数)(cos R x x y ∈=的最小正周期为2x 。
其中真命题是（ ）A.1P ，3PB.2P ，4PC.2P ，3PD. 1P ，2P4.某程序框图如图所示，则输出的n 值是A.3B. 4C. 5D. 65.已知函数x y sin 2=的定义域为[a,b]，值域为[-2,1]，则b-a 的值不可能是A.65πB.πC.67πD.2π6. 某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：则下列结论正确的是（ ）A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”B.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”C.在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到“光盘”与性别有关”D.有99%以上的把握认为“该校学生能否做到“光盘”与性别无关”7.若x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥-+00202y y kx y x 且x y z -=的最小值为-2，则k 的值为（ ）A.1B. -1C. 2D. -28.已知菱形ABCD 的边长为3，60=∠B ，沿对角线AC 折成一个四面体，使得平面ACD ⊥平面ABC ，则经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（ ）A.15πB.415πC.5155πD.6π9.定义在（0，+∞）上的单调递减函数()x f ，若()x f 的导函数存在且满足()()x x f x f >'，则下列不等式成立的是（ ）A.()()3223f f <B.()()3443f f <C.()()4332f f <D.()()122f f <10.已知21,F F 分别是双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以现在21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A.（1，2）B.（∞+，3）C.（23，）D.），（∞+211.如图，长方形ABCD 的长AD=2x,宽AB=x （≥x 1），线段MN 的长度为1，端点M,N 在长方形ABCD 的四边形上滑动，当M,N 沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围城的面积数值的差为y ，则函数()x f y =的图像大致为（ ）12.已知函数()x f =1ln 1-+x x ，()x g =x k （*∈N k ），若对任意的c>1，存在实数a ，b 满足0<a<b<c ，使得()()()b g a f c f ==，则k 的最大值为（ ）A.2B.3C.4D.5第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
湖北省高三数学三月联考试卷 理
高三三月联考试卷 数 学（理科）本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上． ２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合2{|03},{|320,}A x x B x x x x Z ==-+∈≤≤≤，则AB 等于A ．(1,3)-B ．[1，2]C ．{}0,1,2D ．{}1,22．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α； ③若,,l m n αββγγα===，则l ∥m ∥n ； ④若,,,m l n αββγγα===且n ∥β,则l ∥m .其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -，…是首项为1，公比为5a 等于A ．32B ．64C ．-32D ．-644．下列命题中真命题的个数是①“2,0x R x x ∀∈->”的否定是“2,0x R x x ∃∈-<”； ②若|21|1x ->，则101x<<或10x <；③*4,21x N x ∀∈+是奇数.A ．0B ．1C ．2D ．35．若实数x ，y 满足20,,,x y y x y x b -⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≥≥且2z x y =+的最小值为4，则实数b 的值为 A ．0 B ．2C ．83D ．36．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为 A ．3 B ．4C ．5D ．67．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是第14题图 ABC．D．8．已知方程：22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于 A ．-30 B ．10C ．-6或10D ．-30或349．已知函数()x f x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ，b 满足23a =，32b =，则n 等于 A ．-1 B ．-2C ．1D ．210．设{}(,)|02,02,,A ac a c ac R=<<<<∈，则任取(,)a c A ∈，关于x 的方程220ax x c ++=有实根的概率为 A ．1ln 22+ B ．1ln 22- C ．12ln 24+ D ．32ln 24-二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡中相应的位置)11．已知i 是虚数单位，计算2(2)34i i+-的结果是 ▲ .12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 ▲ ．13．如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树 ▲ 米时，看A 、B 的视角最大．14．如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ；则：（Ⅰ）(3)f = ▲ (Ⅱ) ()f n = ▲15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）题计分）（1）（《几何证明选讲》选做题）.如图：直角三角形ABC 中，第12题图第13题图∠B ＝90 o，AB ＝4，以BC 为直径的圆交边AC 于点D ， AD ＝2，则∠C 的大小为 ▲ ．（2）(《坐标系与参数方程选讲》选做题).已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=7(2,)4A π到这条直线的距离 为 ▲ ．三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()(2)y f x f x =++17．（本题满分12分）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M 、N 分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图（3）是正六边形,点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏． （I ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？（II ）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．18．（本题满分12分）一个四棱椎的三视图如图所示： （I ）求证：PA ⊥BD ；（II ）在线段PD 上是否存在一点Q ，使二面角Q -AC -D 的平面角为30o？若存在，求DQ DP的值；若不存在，说明理由． 19．（本题满分12分）如图:O 方程为224x y +=，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，O 交y 轴于点N ，//DP ON .且3.2DM DP =（I ）求点M 的轨迹C 的方程；（II ）设12(0,F F 、，若过F 1的直线交（I ）中曲线C 于A 、B 两点，求22F A F B 的取值范围．第18题图第17题图(1) (2) (3)20．（本题满分13分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈． （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值？ 21．（本题满分14分）顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点0(1,1)A ，过点0A 作抛物线的切线交x 轴于点B 1，过点B 1作x 轴的垂线交抛物线于点A 1，过点A 1作抛物线的切线交x 轴于点B 2，…，过点(,)n n n A x y 作抛物线的切线交x 轴于点11(,0)n n B x ++．（I ）求数列{ x n }，{ y n }的通项公式()n N *∈；（II ）设11111n n n a x x +=++-，数列{ a n }的前n 项和为T n ．求证：122n T n >-； （III ）设21log n n b y =-，若对于任意正整数n ，不等式1211(1)(1)b b ++ (1)(1)nb +≥a 的取值范围．2012年湖北省八市高三三月联考 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）1.D2.B3.A4.C5.D6.D7.B8.C9.A 10.C 二、填空题：（每小题5分，满35分） 11．7242525i -+ 12．600 13．6 14．7（3分） 21n-（2分） 15．(1)30o 三、解答题:(本大题共6小题，共75分) 16．（I ）由图象，知A ＝2，2π8ω=,∴π4ω=，得π()2sin()4f x x ϕ=+, ………………………………………2分 当1x =时，有ππ142ϕ⨯+=,∴π4ϕ=．…………………………………………………………………………4分∴ππ()2sin()44f x x =+．……………………………………………………… 6分（II ）ππππ2sin()2sin[(2)]4444y x x =++++ππππ2sin()2cos()4444x x =+++……………………………………………8分ππsin()42x =+π4x =…………………………………………………………………10分∴max y =min y =-12分 17．（I ）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A 1、A 2、A 3，由题意知，A 1、A 2、A 3互相独立，且P (A 1)12=，P (A 2)14=，P (A 3)13=， …3分P (A 1 A 2 A 3)= P (A 1) P (A 2) P (A 3)12=×14×13124=………………………………6分（II ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则 P (ξ=3)= P (A 1 A 2 A 3)+ P (123A A A )=P (A 1) P (A 2) P (A 3)+ P (1A )P (2A )P (3A )12=×14×13+ 12×34×23724=， P (ξ=1)=1－724=1724． …………………………………………………………8分所以分布列为ξ13P1724 724数学期望E ξ=1×1724+3×724=1912． ………………………………………12分…………10分18．（I ）由三视图可知P -ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ． ……………………………………………3分 因为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面PAC ，即BD ⊥PA ．…………………………………………………………………………6分 （II ）由三视图可知，BC ＝2，PA ＝Q ，因为AC ⊥OQ ，AC ⊥OD ，所以∠DOQ 为二面角Q -AC -D 的平面角， ……………………………………8分在△POD 中，PD ＝ODPDO ＝60o，在△DQO 中，∠PDO ＝60o ，且∠QOD ＝30o．所以DP ⊥OQ ． ……………10分 所以ODQD所以14DQ DP =． …………………………………………12分 19．（I ）设()00(,),,p x y M x y ，0000233322y y y y DM DP x x x x===⇒⇒==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩由于 ……………………………3分 代入22004x y +=得22149x y += …………………………………………5分 （II ）①当直线AB 的斜率不存在时，显然224F A F B =-； ……………………6分②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB的方程为：y kx =2222(94)160149y kx k x x y ⎧=+⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩由不妨设11122()()A x y B x y ，，，， 则：12212294 1694x x k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩2211221122(,5)(,5)(,25)(,25)F A F B x y x y x kx x kx =++=++212121212((25)(1)()20x x kx kx k x x x x =+++=++++…8分222222216(1)8096162002020494949494k k k k k k k -+---++=+=-+++++ ……10分22220020009940949k k k ∴+∴<+≤≤≤ 2216449F A F B -<≤ ……………………………………………………11分综上所述22F A F B 的范围是1644,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ………………………………………12分 20．()(0)af x a x x'=-> ……………………………………………………………1分 OQ（I ）当1a =时，11()1xf x x x-'=-=， ……………………………………2分 令()0f x '>时，解得01x <<，所以()f x 在（0，1）上单调递增；………4分 令()0f x '<时，解得1x >，所以()f x 在（1，+∞）上单调递减．…………6分（II ）因为函数()y f x =的图象在点（2，(2)f ）处的切线的倾斜角为45o， 所以(2)1f '=．所以2a =-，2()2f x x-'=+． ………………………………………………7分322()[2]2m g x x x x =++- 32(2)22mx x x =++-，2()3(4)2g x x m x '=++-， ……………………………………………………9分因为任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值，所以只需(2)0,(3)0,g g '<⎧⎨'>⎩ …………………………………………………………11分解得3793m -<<-． ……………………………………………………………13分21．（I ）由已知得抛物线方程为2,2y x y x '==． ………………………………………2分则设过点(,)n n n A x y 的切线为22()n n n y x x x x -=-．令0,2n x y x ==，故12n n xx +=． 又01x =，所以12n n x =，14n n y =． ……………………………………………4分（II ）由（1）知1()2n n x =． 所以11111221121211()1()22n n n n n n n a +++=+=++-+- 21121n n +-=++1121121n n ++-+-1121n =-++1+1121n +- 12(21n =--+1121n +-) ．……………………………………………6分 由11212n n <+，1111212n n ++>-， 得121n -+1121n +-12n <-112n +．所以n a 12(21n =--+1121n +-)12(2n >--112n +)．…………………………7分 从而122231111111[2()][2()][2()]222222n n n n T a a a +=+++>--+--++--22311111112[()()]()]222222n n n +=--+-++-11112()2222n n n +=-->-，即n T >122n -．…………………………………………………………………9分（III ）由于14n n y =，故21n b n =+． 对任意正整数n，不等式12111(1)(1)(1)nbb b +++≥ 即a 12111(1)(1)(1)nb b b +++恒成立． 设()f n =12111(1)(1)(1)nbb b +++，………………………………10分 则(1)f n +=1211111(1)(1)(1)(1)n n b b b b +++++． 故(1)()f n f n +=11(1)n b ++2423n n ++523n + 1>所以(1)()f nf n +>，故()f n 递增．…………………………………………12分则min 4()(1)3fn f ===． 故0a <≤．…………………………………………………………………14分 命题：天门市教研室 刘兵华 仙桃市教研室 曹时武黄石市教研室 孙建伟 黄石二中 叶济宇 黄石四中 彭 强审校：荆门市教研室 方延伟 荆门市龙泉中学 杨后宝 袁 海。
山东省文登市高三3月质量检测数学(理)试题
高三理科数学适应性练习本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 选择题（共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.答第Ⅱ卷前将答题纸密封线内的项目填写清楚.4.第Ⅱ卷试题解答要作在答题纸各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效. 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数11iz i+=-，则2121i z +-的共轭复数是A ．12i --B ．12i -+C ．12i -D ．12i +2.已知集合11,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}01=-=mx x B ，若B B A = ，则所有实数m 组成的集合是A ．{}0,1,2-B ．1,0,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．{}1,2- D ． 11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭3.下列各小题中，p 是q 的充要条件的是 （1）:cos cos ;p αβ= :sin sin q αβ=；（2）():1;()f x p f x -=- :()q y f x =是奇函数； （3）:;p AB B = :U U qC B C A ⊆；（4）:2p m <或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点. A ．(1)(3) B ．(3)(4) C ．(3) D ．(4)4.已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.9P ξ<=，则(02)P ξ<<=A.0.2B.0.3C.0.4D.0.65.方程22123x y m m -=--表示双曲线，则m 的取值范围是A ．23m <<B ．30m -<< 或02m <<或3m >C ．3>m 或23<<-mD ．23m <<或3m <-6.一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若38a =且前4项和428S =，则此样本的平均数和中位数分别是 A ．22,23B ． 23,22C ．23,23D ．23,247.右面的程序框图中，若输出S 的值为126，则图中应填上的条件为A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤ 8.设函数()sin(2)6f x x π=+，则下列结论正确的是A ．()f x 的图像关于直线3x π=对称B ．()f x 的图像关于点(,0)6π对称C ．()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12π上为增函数D ．把()f x 的图像向右平移12π个单位，得到一个偶函数的图像 9.设,,,O A B M 为平面上四点，(1),(0,1)OM OA OB λλλ=+-∈，则A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．,,,O A B M 四点共线10.二项式3(ax -的展开式的第二项的系数为22a x dx -⎰的值为 A.3 B. 73 C. 3或73 D. 3或103-11.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为 A.2 B.43 C. 23D. 3 12.对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x R ∀∈且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-.下列结论中正确的是 A. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα++∈B. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈C. 若12(),()f x M g x M αα∈∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈D. 若12(),()f x M g x M αα∈∈且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13.设不等式组0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是 ．14.已知命题[]2:1,4,p x x a ∀∈≥,命题,022,:2=-++∈∃a ax x R x q 若命题“q p 且”是真命题,则实数a 的取值范围为 . 15.如图，已知球O 的面上有四点,,,A B C D ，DA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,2DA AB BC ===, 则球O 的体积与表面积的比为 ．16.函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且1cos 2a C cb -=. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若1a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围.18.（本小题满分12分）某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，AD ⊥平面DEFG ，BA AC ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ．ABCD EGF且1,2AC AB ED EF ==== , 4AD DG ==． （Ⅰ）求证：BE ⊥平面DEFG ; （Ⅱ）求证：BF ∥平面ACGD ； （Ⅲ）求二面角F BC A --的余弦值． 20．（本题满分12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，n S 为前n 项和，5a 和7a 的等差中项为11，且25114a a a a ⋅=⋅．令11,n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为n T ．（Ⅰ）求n a 及n T ；（Ⅱ）是否存在正整数1,(1),,,m n m n m n T T T <<使得成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说明理由．21.(本小题满分12分）设点(,)P x y 到直线2x =的距离与它到定点(1,0)并记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围．22.(本小题满分14分）已知函数()ln(1)(xf x e a a =++为常数)是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+在区间[]1,1-上是减函数．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()1g x t λ≤-在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数t 的最大值； （Ⅲ）若关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+有且只有一个实数根，求m 的值．201303理科数学 参考答案及评分标准一、,,BACCD CBCAC BA二、13.18π-14. 1a =或2a ≤- 15. 16. 9 三．解答题17.解(Ⅰ)由1cos 2a C c b -=得1sin cos sin sin 2A C CB -= …………2分 又sin sin()sin cos cos sin B AC A C A C =+=+11sin cos sin ,sin 0,cos 22C A C C A ∴=-≠∴=- …………4分 又0A π<<23A π∴= …………6分(Ⅱ)由正弦定理得:B A B a b sin 32sin sin ==,C c sin 32=)())1sin sin 1sin sinl a b c B C B A B =++=+=+++11(sin )1)23B B B π=+=+…………9分22,(0,),(,)33333A B B πππππ=∴∈∴+∈, …………10分sin()3B π∴+∈故ABC ∆的周长l 的取值范围为1]+. …………12分18解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21133-=.…………1分 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则12212114333381P C =⋅⋅⋅=. …………4分（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. ………5分 则22215(2)()()339P ξ==+=…………6分12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+= …………7分1221216(6)()3381P C ξ=== …………9分 所以随机变量ξ的分布列为ξ2 4 6P59 2081 1681………10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=…………12 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）平面ABC ∥平面DEFG ,平面ABC平面ADEB AB =,平面DEFG平面ADEB DE =,AB ∴∥DE ………1分又,AB DE =∴四边形ADEB 为平行四边形，BE ∴∥AD ……2分 AD ⊥面,DEFG BE ∴⊥平面.DEFG ……3分（Ⅱ）设DG 的中点为M ，连接,AM MF ，则122DM DG ==， 2,EF EF =∥DG ,∴四边形DEFM 是平行四边形…………4分∴MF DE MF =且∥DE ，由（Ⅰ）知，ADEB 为平行四边形，∴AB DE =且AB ∥DE ,∴AB MF =且AB ∥MF , ∴四边形ABFM 是平行四边形，…………5分即BF ∥AM ，又BF ⊄平面ACGD ,故 BF ∥平面ACGD ；…………6分（Ⅲ）由已知，,,AD DE DG 两两垂直，建立如图的空间坐标系，则(0,0,4),(2,0,4),(0,1,4),(2,2,0)A B C F∴(0,2,4),(2,1,0)BF BC =-=- 设平面FBC 的法向量为1(,,)n x y z =，则1124020n BF y z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，则1(1,2,1)n =，而平面ABC 的法向量2(0,0,4)n DA ==∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅＝ABCD EGFM==由图形可知，二面角F BC A--的余弦值-12分20解：（Ⅰ）因为{}na为等差数列，设公差为d，则由题意得整理得111511212a d dad a+==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩所以1(1)221na n n=+-⨯=-……………3分由111111()(21)(21)22121nn nba a n n n n+===-⋅-+-+所以111111(1)2335212121nnTn n n=-+-++-=-++……………5分（Ⅱ）假设存在由（Ⅰ）知，21nnTn=+，所以11,,32121m nm nT T Tm n===++若1,,m nT T T成等比，则有222121()2132144163m nm n m nT T Tm n m m n=⋅⇒=⋅⇒=+++++………8分2222441633412m m n m mmn n m++++-⇒=⇒=，。
高三数学3月综合素质检测试题理含解析试题
2021年“江南十校〞综合素质检测理科数学一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.为虚数单位，那么1ii=+〔 〕 A ．1122i -- B ．1122i - C ．1122i + D ．1122i -+{|ln(12)}A x y x ==-，{|1}x B x e =>，那么〔 〕A ．{|0}AB x x => B ．1|02A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C ．1|2R A C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D ．()R C A B R =3.()f x 是R 上奇函数，对任意实数都有3()()2f x f x =--，当13(,)22x ∈时，2()log (21)f x x =-，那么(2018)(2019)f f +=〔 〕A ．B ．C ．1-D ．[0,1]上随机取两个数，，那么函数21()4f x x ax b =++有零点的概率是〔 〕 A ．112 B ．23 C ．16 D ．135.以下说法中正确的选项是〔 〕①“0x ∀>，都有210x x -+≥〞的否认是“00x ∃≤，使20010x x -+<〞. ②{}n a 是等比数列，n S 是其前项和，那么n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比数列. ③“事件A 与事件B 对立〞是“事件A 与事件B 互斥〞的充分不必要条件. ④变量，y 的回归方程是20010y x =-，那么变量，y 具有负线性相关关系. A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 6.执行如下图的程序框图，输出的S 和的值分别是〔 〕A ．20，B ．20，C ．16，D ．16，7.古代数学著作?九章算术?有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。
蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？〞.意思是：“今有蒲草第一天，长为尺；莞生长第一天，长为尺.以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等？〞以下给出了问题的个解，其准确度最高的是〔结果保存一位小数，参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈〕〔 〕A ．1.3日B ．1.5日C ．2.6日D ．3.0日ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且2b ac =，22a bc c ac +=+，那么sin cb B的值是〔 〕 A ．12 B ．32 C ． D ．2339.某几何体的三视图如下图，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线局部为正方形，那么该几何体的外表积为〔 〕A ．342π+B ．4(21)π++C ．4(2)π+D ．4(1)π+ 10.51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数之和为，那么该展开式中常数项为〔 〕 A ．40- B ．20- C ．20 D ．40()f x 的导函数'()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><，'()f x 的局部图象如下图，()()12g x f x π=-，当12,,123x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，那么12()()g x g x -的最大值为〔 〕A 312+31 C ．32 D ．21()(1)2x f x ax x e =--()a R ∈，假设对任意实数123,,[0,1]x x x ∈，都有123()()()f x f x f x +≥，那么实数的取值范围是〔 〕A ．[1,2]B ．[,4)eC ．[1,2)[,4]e D ．[1,4]二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.(2,0)a =，(1,2)b =，实数λ满足5a b λ-=，那么λ= ．14.实数、y 满足13112x x y y x ⎧⎪≥⎪+≤⎨⎪⎪≥-⎩，那么11y x -+的取值范围是 ．1111ABCD A B C D -底面边长为，侧棱长为，E 、F 分别为棱1BB 、11D C 的中点，那么四面体1FECC 的外接球的外表积为 ．1C ，2C 的焦点分别在轴，y 轴上，渐近线方程为1y x a=±，离心率分别为1e ，2e .那么12e e +的最小值为 ．三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分{}n a 的首项*1a N ∈，公差11,35d ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，前项和n S 满足512S S =.〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设94n n b a =-，数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为n T ，求证12n T <. 18.HYHY 在HY 的HY 工作报告中提出，永远把人民对美妙生活的向往作为奋斗目的.在这一号召的引领下，全国人民积极工作，安康生活.当前，“““不安康生活方式者〞，不少于10千步的人为“超安康生活方式者〞，其他为“一般生活方式者〞.某日，工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如下图：〔1〕求400名教职工日行步数〔千步〕的样本平均数〔结果四舍五入保存整数〕； 〔2〕由直方图可以认为该校教职工的日行步数〔千步〕服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数，HY 差σ的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数〔千步〕(2,4,5)ξ∈的人数〔结果四舍五入保存整数〕； “日行万步〞活动的慰问奖励对象，规定：“不安康生活方式者〞给予精神鼓励，奖励金额每人元；“一般生活方式者〞奖励金额每人100元；“超安康生活方式者〞奖励金额每人200X 的分布列和数学期望.附：假设随机变量服从正态分布2(,)N μσ，那么()0.6826P μσξμσ-<≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-<≤+=.19.如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC FB =，四边形ABCD 为平行四边形，且45BCD ∠=.〔1〕求证：CD BF ⊥； 〔2〕假设22AB EF ==，2BC =，直线BF 与平面ABCD 所成角为45，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.AB 为圆M ：2221060x y x y ++-+=的一条直径，其端点A ，B 在抛物线C ：22(0)x py p =>上，且A ，B 两点到抛物线C 焦点的间隔 之和为212. 〔1〕求直径AB 所在的直线方程；〔2〕过M 点的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，抛物线C 在P ，Q 处的切线相交于N 点，求PQN ∆面积的最小值.2()ln()f x ax x ax =--(0,)a a R ≠∈.〔1〕求函数()f x 的单调递增区间； 〔2〕讨论函数()f x 零点的个数.〔二〕选考题：一共10分.请考生在22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数，0ϕπ≤≤〕，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是4ρ=，等边ABC ∆的顶点都在2C 上，且点A ，B ，C 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(4,)6π.〔1〕求点A ，B ，C 的直角坐标；〔2〕设P 为1C 上任意一点，求点P 到直线BC 间隔 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲]函数()22f x x x a =+++，a R ∈. 〔1〕当1a =，解不等式()2f x ≥； 〔2〕求证：1()22f x a a ≥--.2021年“江南十校〞综合素质检测 数学〔理科〕解析及评分HY一、选择题1-5: CBADD 6-10: ACDAD 11、12：CD 二、填空题 13. 1λ=或者15λ=- 14. 31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 17π16. 三、解答题17.解：〔1〕∵512S S =，∴115101266a d a d +=+，得18a d =-，∵1135d -<<-，∴18853a <<， 又∵*1a N ∈，∴12a =，14d =-，∴94n n a -+=.〔2〕∵94n n b a =-，∴4n n b =-，∴2116(2)n n b b n n +=+118()2n n =-+， 132411n T b b b b =+21n n b b ++⋅⋅⋅+11111118(13243546=-+-+-+-1111)112n n n n +⋅⋅⋅-+--++1118(1)12212n n =+--<++.18.解：〔1〕0.0410.0830.1650.447x =⨯+⨯+⨯+⨯0.1690.1110.0213+⨯+⨯+⨯ 6.967=≈.〔2〕∵(7,2,5)N ξ，∴(4.59.5)0.6826P ξ<<=，(212)0.9544P ξ<<=，∴(2 4.5)P ξ<<1((212)2P ξ=<<(4.59.5))0.1359P ξ-<<=. 走路步数(2,4,5)ξ∈的总人数为4000.135954⨯≈人. 〔3〕由题意知X 的可能取值为400，300，200，100，，(400)P X =2220.120.0144C =⨯=，(300)P X =120.120.760.1824C =⨯⨯=， (200)P X =120.120.12C =⨯⨯2220.760.6064C +⨯=， (100)P X =120.120.760.1824C =⨯⨯=，(0)P X =20.120.0144==. 那么X 的分布列为：X 100 200 300 400P0.0144 0.1824 0.6064 0.1824 0.01444000.01443000.1824EX =⨯+⨯2000.60641000.1824+⨯+⨯00.0144200+⨯=.19.解：〔1〕过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO 平面ABCD ，因此FO OB ⊥.∴FB FC =，FO FO =，90FOC FOB ∠=∠=， ∴FOC FOB ∆≅∆，∴OB OC =，由45DCB ∠=得BOC ∆为等腰直角三角形，因此OB CD ⊥，又CD FO ⊥， ∴CD ⊥平面FOB ，∴CD FB ⊥.〔2〕∵//AB CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴//AB 平面CDEF ， ∵平面ABEF平面CDEF EF =，∴//AB EF ，由〔1〕可得OB ，OC ，OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系O xyz -，由题设可得45FBO ∠=，进而可得1,2,0A -（），1,0,0B （），0,1,0C （），0,1,0)D -（，(0,1,1)E -，(0,0,1)F ，设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =，那么00m AD m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100x y z -+=⎧⎨=⎩，可取(1,1,0)m =，设平面BCF 的法向量为222(,,)n x y z =，那么0n BC n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，可取(1,1,1)n =， 那么cos ,m n m n m n⋅<>=⋅==， 20.解：〔1〕设11(,)A x y ，22(,)B x y ，抛物线C 的焦点为F ，那么12AF BF y y p +=++， 又1210y y +=，故21102p +=，∴12p =， 于是C 的方程为2x y =.211222x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，那么1212y y x x --122x x =+=-， ∴AB 的直线方程为230x y +-=.〔2〕不妨记11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)N x y ，直线的方程为(1)5y k x =++，联立2(1)5x y y k x ⎧=⎨=++⎩得250x kx k ---=，那么12125x x k x x k +=⎧⎨⋅=--⎩，PQ =又因为011012()y y x x x -=-，那么2101020x x x y -+=， 同理可得：2202020x x x y -+=，故1x ，2x 为一元二次方程20020x x x y -+=的两根，∴01225x x x y k =+⎧⎨=--⎩，点N 到直线PQ 的间隔d12NPQS PQ d ∆=⋅3221(420)4k k =++3221[(2)16]4k =++，∴2k =-时，NPQ ∆的面积S 获得最值16. 21.解：〔1〕当0a >时，()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()21f x ax x=--221ax x x --=，令2210ax x --=得：10x =<，20x =>，∴()f x 的单调递增区间为2(,)x +∞.当0a <时，()f x 的定义域为(,0)-∞，1'()21f x ax x=--221ax x x --=，当180a ∆=+≤即18a ≤-时，()f x 的单调增区间为(,0)-∞， 当0∆>，即108a -<<时，12'()()a f x x x x=-221()(0)x x x x -<<. ()f x 的单调递增区间为2(,)x -∞和1(,0)x .〔2〕由〔1〕知当18a ≤-时，()f x 在(,0)-∞内单调递增，1()0f a=， 故()f x 只有一个零点1x a=， 当108a -<<时，()f x 在2x x =处取极大值，1x x =处取极小值. 由12112x a x +=知11x <-，而211114x x a a <<<<-，那么21()()0f x f a >=， 21111()ln()f x ax x ax =--11112ln()21x xx -=++，∵11x <-，∴1111211011x x x x --=>++，∴1()0f x >， ∴当0a <时，函数()f x 只有一个零点1x a =， 当0a >时，令()(1)1ln g a f a a ==--，1'()a g a a-=，()g a 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， min ()(1)0g a g ==，∴()(1)0g a f =≥〔当且仅当1a =时，等号成立〕， i 〕1a >时，11a>>，1()0f a =，(1)0f >， 由〔1〕函数单调性知，0f <，所以函数在存在零点， ∴()f x 在(0,)+∞有两个零点.ii 〕01a <<时，11a<<，1()0f a =，(1)0f >，同理可得函数在存在零点， ∴()f x 在(0,)+∞有两个零点.iii 〕1a =时，1()(1)0f f a==，函数在(0,)+∞有一个零点. 综上所述：当0a <或者1a =时，函数有一个零点，当0a >且1a ≠时，函数有两个零点.22.解：〔1〕由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得点A的直角坐标2)A ，由，B 点的极坐标为5(4,)6π，可得B两点的直角坐标为(2)B -，C 点的极坐标为3(4,)2π，同理可得C 两点的直角坐标为(0,4)C -. 〔2〕BC40y ++=，设点(cos ,2sin )P ϕϕ(0)ϕπ≤≤，那么点P 到直线BC 间隔dcos θ=，sin θ=， 因为0ϕπ≤≤，所以θϕθπθ≤+≤+，所以sin()1ϕθ≤+≤， 所以d ∈. 23.解：〔1〕当1a =，()2212f x x x =+++≥2332x x ≤-⎧⇔⎨--≥⎩或者12212x x ⎧-<<-⎪⎨⎪-+≥⎩或者12332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩2x ⇔≤-或者21x -<≤-或者13x ≥- 1x ⇔≤-或者13x ≥-， 所以不等式的解集为1{|1}3x x x ≤-≥-或. 〔2〕()22f x x x a =+++2||||22a a x x x =+++++|2|||22a a x ≥-++|2||2|22a a ≥-=-1|(2)|2a a =--1|2|||2a a ≥--1|2|||2a a =--.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
陕西省渭南市数学高三理数3月综合素质检测试卷
陕西省渭南市数学高三理数3月综合素质检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集，集合，，则=（）A . {2，4}B . {1,3}C . {1,2,3,4}D .2. （2分）(2017·枣庄模拟) 若复数z= （i为虚数单位），则|z+1|=（）A . 3B . 2C .D .3. （2分） (2019高二上·诸暨期末) 抛物线的准线方程是（）A .B .C .D .4. （2分）设函数，若则函数的最小值是（）A . 0B . 1C .D .5. （2分） (2016高一下·东莞期中) 已知 =（4，3）， =（x，1），在上的投影为，则与的夹角及x分别是（）A . ，﹣7B . ，C . ，﹣7D . ，﹣7或6. （2分）(2018高三上·西安模拟) 已知球的直径是该球球面上的两点，，则棱锥的体积最大为（）A . 2B .C .D .7. （2分）(2013·上海理) 既是偶函数又在区间（0，π）上单调递减的函数是（）A . y=sinxB . y=cosxC . y=sin2xD . y=cos2x8. （2分） (2019高三上·吉林月考) 设函数的定义城为D，若满足条件：存在，使在上的值城为（且），则称为“k倍函数”，给出下列结论：① 是“1倍函数”；② 是“2倍函数”：③ 是“3倍函数”．其中正确的是（）A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③9. （2分）把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a=(2,-3)平移，所得的曲线的方程是（）A .B .C .D .10. （2分）(2019·台州模拟) 已知，且函数 .若对任意的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·茂名模拟) 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·南平模拟) 数列{an}中，记数列的前n项和为Tn ，则T8的值为（）A . 57B . 77C . 100D . 126二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·淮南模拟) 若实数x，y满足则的最大值为________．14. （1分） (2016高一下·龙岩期中) 已知sinα+cosα= ，且＜α＜，则sinα﹣cosα的值为________．15. （1分）(2017·东城模拟) 在的展开式中，常数项为________．（用数字作答）．16. （1分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a 到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=________三、解答题 (共7题；共35分)17. （5分） (2017高二下·濮阳期末) 已知函数f（x）=ax+ （a＞1），用反证法证明f（x）=0没有负实数根．18. （5分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC=90°，AA1⊥BC，AA1=AC=2AB=4，且BC1⊥A1C（1）求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1（2）设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使DE∥平面ABC1，若存在，求点E到平面ABC1的距离．19. （5分）(2017·山东模拟) 双十一期间某电商准备矩形促销市场调查，该电商决定活动，市场调查，该电商决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．（1）试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率；（2）电商对选出的某商品采用促销方案是有奖销售，顾客购买该商品，一共有3次抽奖的机会，若中奖，则每次都活动数额为40元的奖券，假设顾客每次抽奖时中奖的概率都是，且每次中奖互不影响，设一位顾客中奖金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和期望．20. （5分） (2019高二上·吉林期中) 已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点。
高三数学3月联考试卷理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年师大附中、高中、高新一中、铁一、西工大附中等八校高考数学模拟试卷〔理科〕〔3月份〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，那么B∩C＝〔〕A.{1，2，3}B.{1，6，9}C.{1，6}D.{3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．应选：D．【点睛】此题考察交集的求法，考察交集定义、不等式性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．2.如图是甲乙两位同学某次考试各科成绩〔转化为了HY分，总分值是900分〕的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为x甲，x乙，HY差分别为σ甲,σ乙，那么〔〕A.x甲>x乙,σ甲<σ乙B.x甲>x乙,σ甲>σ乙C.x甲<x乙,σ甲>σ乙D.x甲<x乙,σ甲<σ乙【答案】A【解析】 【分析】甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为x −甲,x −乙，HY 差分别为σ甲，σ乙，从而得到x 甲−>x 乙−，σ甲<σ乙．【详解】由条形统计图得到：在这次考试各科成绩转化为了HY 分，总分值是900分中， 甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定， 设甲乙两位同学成绩的平均值分别为x −甲,x −乙， HY 差分别为σ甲，σ乙， 那么x 甲−>x 乙−，σ甲<σ乙． 应选：A ． 【点睛】748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cosx+isinx ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞，根据此公式可知，e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于〔〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由可得e 2i =cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案． 【详解】由题意可得，e 2i =cos2+isin2，∵π2<2<π，∴cos2<0，sin2>0，那么e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限． 应选：B ．【点睛】此题考察复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．4.设D 为ΔABC 所在平面内一点，假设BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，那么以下关系中正确的选项是〔〕 A.AD⃑⃑⃑⃑⃑ =−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +43AC ⃑⃑⃑⃑⃑ B.AD⃑⃑⃑⃑⃑ =13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −43AC ⃑⃑⃑⃑⃑ C.AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =43AB⃑⃑⃑⃑⃑ +13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ D.AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =43AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −13AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑【答案】A 【解析】∵BC⃑⃑⃑⃑⃑ =3CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −−AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −−AC⃑⃑⃑⃑⃑ )； ∴AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =43AC⃑⃑⃑⃑⃑ −−13AB ⃑⃑⃑⃑⃑ . 应选：C.【此处有视频，请去附件查看】5.张丘建筑经卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织一样量的布．假设第一天织5尺布，现有一月〔按30天计〕，一共织390尺布〞，那么该女最后一天织布的尺数为〔〕 A.18 B.20 C.21 D.25【答案】C 【解析】由题意设从第二天开场，每一天比前一天多织d 尺布，那么30×5+30×292d =390，解得d =1629，所以a 30=5+(30−1)×1629=21，应选C.6.假设对定义在R 上的奇函数y ＝f 〔x 〕，对任意两个不相邻的实数x 1，x 2，所有x 1f 〔x 1〕+x 2f 〔x 2〕＞x 1f〔x 2〕+x 2f 〔x 1〕，那么称函数y ＝f 〔x 〕为“H 函数〞，以下函数为H 函数的是〔〕 A.f 〔x 〕＝sinx B.f 〔x 〕＝e xC.f 〔x 〕＝x 3﹣3xD.f 〔x 〕＝x|x| 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，不等式x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)等价为(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H 函数〞为奇函数且在R 上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】根据题意，对于所有的不相等实数x 1，x 2，那么x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 1f(x 2)+x 2f(x 1)恒成立，那么有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R 上的增函数， 那么“H 函数〞为奇函数且在R 上为增函数， 据此依次分析选项：对于A ，f(x)=sinx ，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B ，f(x)=e x ，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，f(x)=x 3−3x ，为奇函数，但在R 上不是增函数，不符合题意； 对于D ，f(x)=x|x|={−x 2,x <x 2,x≥0 ，为奇函数且在R 上为增函数，符合题意；应选：D ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H 函数〞的含义，属于根底题． 7.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的三视图如下列图，一只蚂蚁从顶点A 出发沿该正三棱柱的外表绕行两周到达顶点A 1，那么该蚂蚁走过的最短途径为〔〕A.√193B.25C.2√193D.31【答案】B 【解析】 【分析】将三棱柱展开，得出最短间隔是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短途径，由勾股定理求出对应的最小值．【详解】将正三棱柱ABC −A 1B 1C 1沿侧棱展开，如下列图；在展开图中，最短间隔是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求间隔的最小值． 由求得正三棱锥底面三角形的边长为√3√32=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7， 由勾股定理求得d =√242+72=25． 应选：B ．【点睛】此题考察了棱柱的构造特征与应用问题，也考察了几何体的展开与折叠，以及转化空间问题转化为平面问题，化曲为直的思想方法．8.将函数y =sin (2x +π6)的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到g 〔x 〕的图象．假设g〔x 1〕g 〔x 2〕＝4，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，那么x 1﹣2x 2的最大值为〔〕 A.9π2B.7π2C.5π2D.3π2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，不等式x 1f 〔x 1〕+x 2f 〔x 2〕＞x 1f 〔x 2〕+x 2f 〔x 1〕等价为〔x 1﹣x 2〕[f 〔x 1〕﹣f 〔x 2〕]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H 函数〞为奇函数且在R 上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【详解】将函数y =sin (2x +π6)的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位， 得到g 〔x 〕＝sin 〔2x ﹣2π3+π6〕+1＝﹣cos2x+1的图象， 故g 〔x 〕的最大值为2，最小值为0，假设g 〔x 1〕g 〔x 2〕＝4，那么g 〔x 1〕＝g 〔x 2〕＝2，或者g 〔x 1〕＝g 〔x 2〕＝﹣2〔舍去〕． 故有g 〔x 1〕＝g 〔x 2〕＝2，即cos2x 1＝cos2x 2＝﹣1，又x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，∴2x 1，2x 2∈[﹣4π，4π]，要使x 1﹣2x 2获得最大值， 那么应有2x 1＝3π，2x 2＝﹣3π， 故x 1﹣2x 2获得最大值为3π2+3π＝9π2．应选：A ．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H 函数〞的含义，属于根底题． 9.圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y+3＝0，假设等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，那么|PC|的最大值为〔〕 A.√5 B.√6C.2√2D.2√3【答案】C 【解析】试题分析：方法一：如图，连接AC ，BC ，设∠CAB =θ，连接PC 与AB 交于点D ，∵AC =BC ，△PAB 是等边三角形，∴D 是AB 的中点，∴PC ⊥AB ，∴在圆C ：(x −1)2+(y −2)2=2中，圆C 的半径为√2，|AB|=2√2cosθ，|CD|=√2sinθ，∴在等边△PAB 中，|PD|=√32|AB|=√6cosθ，∴|PC|=|CD|+|PD|=√2sinθ+√6cosθ=2√2sin(θ+π3)≤2√2，应选C ． 方法二：设|AD|=x ， x ∈(0， √2]， 那么|PC|=√3x +√2−x 2，记f(x)=√3x +√2−x 2，令f ′(x)=√3+2√2−x 2=0，得x =√62∈(0， √2]，∴f(x)max =f(√62)=2√2，应选C ．考点：圆的性质、三角函数最值、利用导数求函数最值．【思路点睛】法一、先由ΔACB 为等腰三角形，得出D 为中点，再由ΔPAB 为等边三角形，得出PD ⊥AB ，在ΔADC 中，将|AB|和|CD|用θ表示，从而求出|PD|的值，得到|PC|=|CD|+|PD|的表达式，用三角函数的有界性求最值；法二：设出边AD 的长x ，根据条件表示出|PC|，再利用导数求出函数的最值． 10.抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上的一点〔a i ，2a i 2〕处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N +，假设a 2＝32，那么a 2+a 4+a 6等于〔〕 A.64 B.42C.32D.21【答案】B 【解析】试题分析：∵y =2x 2∴y′=4x ，∴y′|x=a i =4a i ，∴过点(a i ,2a i 2)的切线方程为y =4a i (x −a i )+2a i 2，令y =0，得x =a i+1，可得a i+1a i=14，又a 2=32，所以a 2+a 4+a 6=32+324+84=42．考点：1．导数的几何性质；2．等比数列． 11.双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2，假设C 的左支上存在点M ，使得直线bx ﹣ay ＝0是线段MF 2的垂直平分线，那么C 的离心率为〔〕 A.√2 B.2C.√5D.5【答案】C 【解析】 【分析】设P 为直线bx −ay =0与MF 2的交点，那么OP 为△MF 1F 2的中位线，求得F 2到渐近线的间隔为b ，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【详解】设P 为直线bx −ay =0与MF 2的交点，则OP 为△MF 1F 2的中位线，F 2(c,0)，直线bx −ay =0是线段MF 2的垂直平分线，可得F 2到渐近线的间隔为|F 2P|=√b 2+a 2=b ，且|OP|=√c 2−b 2=a ，|MF 1|=2|OP|=2a ，|MF 2|=2b ，可得|MF 2|−|MF 1|=2a ， 即为2b −2a =2a ，即b =2a ，可得e =c a =√1+b 2a2=√1+4=√5． 应选：C ．【点睛】此题考察双曲线的定义、方程和性质，考察三角形的中位线定理，考察方程思想和运算才能，属于中档题．12.函数f (x )={13f (x −2),x >21−|x −1|,x ≤2，那么函数g 〔x 〕＝xf 〔x 〕﹣1的零点的个数为〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】 【分析】由g 〔x 〕＝xf 〔x 〕﹣1＝0得f 〔x 〕=1x，根据条件作出函数f 〔x 〕与h 〔x 〕=1x的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【详解】由g 〔x 〕＝xf 〔x 〕﹣1＝0得xf 〔x 〕＝1， 当x ＝0时，方程xf 〔x 〕＝1不成立，即x≠0， 那么等价为f 〔x 〕＝1x ，当2＜x≤4时，0＜x ﹣2≤2，此时f 〔x 〕＝13f 〔x ﹣2〕＝13〔1﹣|x ﹣2﹣1|〕＝13﹣13|x ﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x ﹣2≤4，此时f 〔x 〕＝13f 〔x ﹣2〕＝13[13﹣13|x ﹣2﹣3|]＝19﹣19|x ﹣5|，作出f 〔x 〕的图象如图，那么f 〔1〕＝1，f 〔3〕＝13f 〔1〕＝13，f 〔5〕＝13f 〔3〕＝19，设h 〔x 〕＝1x，那么h 〔1〕＝1，h 〔3〕＝13，h 〔5〕＝15＞f 〔5〕，作出h 〔x 〕的图象，由图象知两个函数图象有3个交点， 即函数g 〔x 〕的零点个数为3个， 应选：B ．【点睛】此题主要考察函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决此题的关键．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在题中横线上〕 13.F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，点P 〔x ，y 〕在抛物线C 上，且x ＝1，那么|PF|＝_____． 【答案】178【解析】 【分析】利用抛物线方程求出p ，利用抛物线的性质列出方程求解即可．【详解】由y =2x 2，得x 2=12y ，那么p =14；由x =1得y =2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178，故答案为：178．【点睛】此题考察抛物线的定义的应用，属于根底题．14.实数x ，y 满足约束条件{x +4y +2≥04x +y −7≤0x −y +2≥0，那么z ＝|﹣5x+y|的取值范围为_____．【答案】[0，11]【解析】 【分析】作出约束条件表示的可行域，判断目的函数经过的点，然后求解目的函数的范围即可．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件{x +4y +2≥04x +y −7≤0x −y +2≥0的可行域，如下列图：作直线l 0：﹣5x+y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：﹣5x+y ＝z ， 当直线l 经过点A 时，z ＝﹣5x+y 获得最大值，由{x +4y +2=0x −y +2=0，得点A 的坐标为〔﹣2，0〕，所以z max ＝﹣5×〔﹣2〕+0＝10． 直线经过B 时，目的函数获得最小值，由{x +4y +2=04x +y −7=0，解得B 〔2，﹣1〕函数的最小值为：﹣10﹣1＝﹣11． z ＝|﹣5x+y|的取值范围为：[0，11]． 故答案为：[0，11]．【点睛】此题考察线性规划的简单应用，考察转化思想以及数形结合的综合应用，考察计算才能． 15.在(x 2+1x 2+2)3(x −2)的展开式中，常数项为_____． 【答案】-40 【解析】 【分析】 根据(x 2+1x 2+2)3=(x +1x )6，按照二项式定理展开，可得在(x 2+1x 2+2)3(x −2)的展开式中的常数项．【详解】解：∵(x 2+1x 2+2)3(x −2)=(x +1x )6〔x ﹣2〕＝〔x 6+6x 4+15x 2+20+15•1x 2+6•1x 4+1x 6〕〔x ﹣2〕，∴常数项是20•〔﹣2〕＝﹣40，故答案为：﹣40．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题．16.如图，圆柱和半径为√3的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，那么该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】【分析】设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．【详解】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；那么h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π〔3﹣h2〕h＝π〔3h﹣h3〕；那么V′〔h〕＝π〔3﹣3h2〕，令V′〔h〕＝0，解得h＝1；所以h∈〔0，1〕时，V′〔h〕＞0，V〔h〕单调递增；h∈〔1，√3〕时，V′〔h〕＜0，V〔h〕单调递减；所以h＝1时，V〔h〕获得最大值为V〔1〕＝2π．故答案为：2π．【点睛】此题考察了半球与内接圆柱的构造特征与应用问题，也考察了圆柱的体积计算问题，是中档题．三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔一〕必考题：一共60分.17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=2√3，且(2√3+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC．〔1〕求角A的大小；〔2〕求△ABC的面积的最大值．【答案】〔1〕π3；〔2〕3√3.【解析】【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．(2)利用(1)的结论和余弦定理及根本不等式的应用求出结果．【详解】(1)在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,a=2√3，且(2√3+b)(sinA−sinB)= (c−b)sinC．整理得：(a+b)(sinA−sinB)=(c−b)sinC，利用正弦定理得：a2−b2=c2−bc，即：cosA=b2+c2−a22bc =12，由于：0<A<π，解得：A=π3．(2)由于a=2√3,A=π3，所以：a2=b2+c2−2bccosA，整理得：12=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，所以：S△ABC =12bcsinA≤12⋅12⋅√32=3√3．当且仅当b=c时，△ABC的面积有最小值3√3.【点睛】此题考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，根本不等式的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．18.如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点〔不与A，C重合〕，过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE 将△ADE 向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE ，如图2所示． 〔1〕假设异面直线BE 与AC 垂直，确定图1中点D 的位置；〔2〕证明：无论点D 的位置如何，二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值都为定值，并求出这个定值． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕√55【解析】 【分析】〔1〕取DE 中点O ，BC 中点F ，连结OA ，OF ，以O 为原点，OE 、OF 、OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D 在靠近点A 的三等分点处；〔2〕求出平面ADE 的法向量和平面ABE 的法向量，利用向量法能证明无论点D 的位置如何，二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值都为定值√55．【详解】解：〔1〕在图2中，取DE 中点O ，BC 中点F ，连结OA ，OF ， 以O 为原点，OE 、OF 、OA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设OA ＝x ，那么OF ＝2√3−x ，OE =√3，∴B 〔2，2√3−x ，0〕，E 〔√3，0，0〕，A 〔0，0，x 〕，C 〔﹣2，2√3−x ，0〕，AC →=〔﹣2，2√3−x ，﹣x 〕， BE →=〔√32，x ﹣2√3，0〕，∵异面直线BE 与AC 垂直， ∴AC →⋅BE →=x 2√3+8＝0，解得x =√3〔舍〕或者x =√3=2√33， ∴ADAC=AOAF =2√332√3=13，∴图1中点D 在靠近点A 的三等分点处．证明：〔2〕平面ADE 的法向量n →=〔0，1，0〕，AE →=〔√3，0，﹣x 〕，BE →=〔√32，x ﹣2√3，0〕，设平面ABE 的法向量m →=〔a ，b ，c 〕，那么{AE →⋅m →=√3−xc =0BE →⋅m →=(√32)a +(x −2√3)b =0 ，取a ＝1，得m →=〔1，√3，√3〕，设二面角D ﹣AE ﹣B 的平面角为θ，那么cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=1√31×√1+13+13=√55，∴无论点D 的位置如何，二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值都为定值√55．【点睛】此题考察空间中点的位置确实定，考察二面角的余弦值为定值的证明，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算才能，考察数形结合思想，是中档题．19.从某企业消费的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图〔1〕补全上面的频率分布直方图〔用阴影表示〕；〔2〕统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z 〔μ，σ2〕，其中μ近似为样本平均值x ，σ2近似为样本方差s 2〔组数据取中间值〕；①利用该正态分布，求从该厂消费的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年消费这种产品10万件，消费一件合格品利润10元，消费一件不合格品亏损20元，那么该企业的年利润是多少？参考数据：√26＝，假设Z ～N 〔μ，σ2〕，那么P 〔μ﹣σ，μ+σ〕＝0.6826，P 〔μ﹣2σ，μ+2σ〕＝0.9544．【答案】〔1〕见解析；〔2〕，②863200． 【解析】〔1〕由频率分布图求出[95，105〕的频率，由此能作出补全频率分布直方图；〔2〕求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；〔3〕运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由〔2〕知Z～N〔100，104〕，从而求出P〔＜Z＜〕，注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E〔X〕，即可求得EX．【详解】〔1〕由频率分布直方图得：[95，105〕的频率为：1﹣〔〕×10＝，补全上面的频率分布直方图〔用阴影表示〕：质量指标值的样本平均数为：＝80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×＝100．质量指标值的样本方差为S2＝〔﹣20〕2×0.06+〔﹣10〕2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×＝104．〔2〕①由〔1〕知Z～N〔100，104〕，从而P〔＜Z＜〕＝P〔100﹣2×＜Z＜100+2×〕＝；②由①知一件产品的质量指标值位于区间〔，〕的概率为，该企业的年利润是EX＝×10﹣〔1﹣〕×20]＝863200．【点睛】此题考察频率分布直方图的作法，考察平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考察运算才能，属于中档题．20.椭圆C过点A(2√6,2)，两个焦点(−2√6,0),(2√6,0)．〔1〕求椭圆C的HY方程；〔2〕设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝6，求△AOB面积的最大值．【答案】〔1〕x236+y212=1；〔2〕9【解析】〔1〕由可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1〔a ＞b ＞0〕，且c =2√6，再由椭圆定义求得a ，结合隐含条件求得b ，那么椭圆方程可求；〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，设直线方程为x ＝m ，由弦长求得m ，可得三角形AOB 的面积；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +m ，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m 与k 的关系，再由点到直线的间隔公式求出原点O 到AB 的间隔，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，那么答案可求．【详解】解：〔1〕由题意，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1〔a ＞b ＞0〕， 且c =2√6，2a =√(2√6+2√6)2+22+√(2√6−2√6)2+22=12， 那么a ＝6，∴b 2＝a 2﹣c 2＝12． ∴椭圆C 的HY 方程为x 236+y 212=1； 〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，设直线方程为x ＝m ，得|AB |=2√33√36−m 2，由|AB |=2√33√36−m 2=6，解得m ＝±3，此时S △AOB =12×6×3=9；当直线AB 的斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +mx 236+y 212=1，得〔3k 2+1〕x 2+6kmx +3m 2﹣36＝0．△＝36k 2m 2﹣4〔3k 2+1〕〔3m 2﹣36〕＝432k 2﹣12m 2+144． 设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕， 那么x 1+x 2=−6km 3k 2+1，x 1x 2=3m 2−363k 2+1．由|AB |=√1+k 2⋅√(−6km 3k 2+1)2−12m 2−1443k 2+1=6， 整理得：m 2=3(3k 2+1)(k 2+3)k 2+1，原点O 到AB 的间隔d =√k 2+1．∴S △AOB =12⋅6√k 2+1=3√m 2k 2+1=3√3⋅√3(k 2+1)2+4(k 2+1)−4(k 2+1)2=3√3⋅√−4⋅1(k 2+1)2+4⋅1k 2+1+3．当1k 2+1=12时，△AOB 面积有最大值为6√3＜9．综上，△AOB 面积的最大值为9．【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，假设题目的条件和结论能明显表达几何特征和意义，那么考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，假设题目的条件和结论能表达一种明确的函数关系，那么可首先建立目的函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或者的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用根本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21.函数f 〔x 〕＝e x﹣12ax 2(a ∈R )有两个极值点．〔1〕务实数a 的取值范围；〔2〕假设函数f 〔x 〕的两个极值点分别为x 1，x 2，求证：x 1+x 2＞2． 【答案】〔1〕〔e ，+∞〕；〔2〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕f ′〔x 〕＝e x﹣ax ．函数f 〔x 〕＝e x−12ax 2(a ∈R)有两个极值点⇔f ′〔x 〕＝e x﹣ax ＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a =e x x，令g 〔x 〕=e x x，〔x ≠0〕．利用导数已经其单调性即可得出．〔2〕由〔1〕可知：a ＞e 时，函数f 〔x 〕有两个极值点分别为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，x 1+x 2＞2⇔x 2＞2﹣x 1＞1⇔e x 2x 2＞e 2−x 12−x 1，由e x 1x 1=e x 2x 2，因此即证明：e x 1x 1＞e 2−x 12−x 1．构造函数h 〔x 〕=e x x −e 2−x2−x，0＜x ＜1，2﹣x ＞1．利用导数已经其单调性即可得出．【详解】〔1〕解：f ′〔x 〕＝e x﹣ax ．∵函数f 〔x 〕＝e x−12ax 2(a ∈R)有两个极值点．∴f ′〔x 〕＝e x﹣ax ＝0有两个实数根．x ＝0时不满足上述方程，方程化为：a =e x x，令g 〔x 〕=e x x ，〔x ≠0〕．g ′〔x 〕=e x (x−1)x 2，可得：x ＜0时，g ′〔x 〕＜0，函数g 〔x 〕单调递减；0＜x ＜1时，g ′〔x 〕＜0，函数g 〔x 〕单调递减；x ＞1时，g ′〔x 〕＞0，函数g 〔x 〕单调递增． a ＞e 时，方程f ′〔x 〕＝e x ﹣ax ＝0有两个实数根．∴实数a 的取值范围是〔e ，+∞〕．〔2〕证明：由〔1〕可知：a ＞e 时，函数f 〔x 〕有两个极值点分别为x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2． 证明：x 1+x 2＞2⇔x 2＞2﹣x 1＞1⇔e x 2x 2＞e 2−x 12−x 1，由e x 1x 1=e x 2x 2，因此即证明：e x 1x 1＞e 2−x 12−x 1．构造函数h 〔x 〕=e x x−e 2−x 2−x，0＜x ＜1，2﹣x ＞1．h ′〔x 〕=e x (x−1)x 2−−e 2−x (2−x)+e 2−x(2−x)2=〔x ﹣1〕(e x x2−e 2−x (2−x)2)，令函数u 〔x 〕=e x x 2，〔0＜x 〕． u ′〔x 〕=e x (x−2)x 3．可得函数u 〔x 〕在〔0，1〕内单调递减，于是函数v 〔x 〕=e x x2−e 2−x (2−x)2在〔0，1〕内单调递减．v 〔x 〕≥v 〔1〕＝0．∴x ＝1时，函数h 〔x 〕获得极小值即最小值，h 〔1〕＝0． ∴h 〔x 〕＞h 〔1〕＝0．∴e x 1x 1＞e 2−x 12−x 1．因此x 1+x 2＞2成立．【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假设多做，那么按所做的第一题计分. 22.曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cosθsin 2θ，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα〔t 为参数，0≤α＜π〕．〔1〕把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状； 〔2〕假设直线l 经过点〔1，0〕，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长．【答案】〔1〕曲线C ：y 2＝4x ，顶点为O 〔0，0〕，焦点为F 〔1，0〕的抛物线；〔2〕8 【解析】 【分析】 〔1〕利用{x =ρcosθy =ρsinθ即可得出直角坐标方程；〔2〕直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα〔t 为参数，0≤α＜π〕．可得l 经过点〔0，1〕；假设直线l经过点〔1，0〕，得到α=3π4，得到直线l 新的参数方程为{x =tcos3π4=−√22t y =1+tsin3π4=1+√22t〔t 为参数〕．代入抛物线方程可得t 2+6√2t +2＝0，设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，利用|AB |=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2即可得出．【详解】〔1〕曲线C 的极坐标方程ρ＝化为ρ2sin 2θ＝4ρcosθ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O 〔0，0〕，焦点为F 〔1，0〕的抛物线； 〔2〕直线l 的参数方程为〔t 为参数，0≤α＜π〕．故l 经过点〔0，1〕；假设直线l 经过点〔1，0〕，那么，∴直线l 的参数方程为〔t 为参数〕．代入y 2＝4x ，得t+2＝0设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1+t 2＝﹣6，t 1t 2＝2．|AB|＝|t 1﹣t 2|＝＝＝8．【点睛】此题考察了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考察了计算才能，属于中档题．．23.函数f 〔x 〕＝√|x +1|+|x −3|−m 的定义域为R ． 〔Ⅰ〕务实数m 的取值范围．〔Ⅱ〕假设m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a+b+1a+2b =n 时，求7a+4b 的最小值． 【答案】(Ⅰ)m ≤4(Ⅱ)94【解析】试题分析：〔1〕由函数定义域为R ，可得|x+1|+|x ﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g 〔x 〕=|x+1|+|x ﹣3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；〔2〕由〔1〕知n=4，变形7a+4b=14(6a +2b +a +2b )(23a+b+1a+2b )，利用根本不等式的性质即可得出． 试题解析： (Ⅰ)由题意可知：＋－m ≥0对任意实数恒成立． 设函数g (x )＝＋，那么m 不大于函数g (x )的最小值．又＋≥＝4.即g (x )的最小值为4，所以m ≤4(Ⅱ)由(Ⅰ)知n ＝4，∴7a＋4b＝＝＝≥＝.当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时，等号成立．所以7a＋4b的最小值为.【此处有视频，请去附件查看】。
高三数学理科3月份联考试卷 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年一级重点高三数学理科3月份联考试卷本套试卷分为第一卷〔选择题〕第二卷〔非选择题〕两局部，一共8页，总分值是为150分，考试时间是是为120分钟。
一. 选择题:〔本大题一一共10小题,每一小题5分,一共50分.在每一小题给出的四个选项里面,有且只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请将答案填写上在答卷纸上〕1．复数21(1)z i =+，21z i =-，那么12z z z =在复平面内的对应点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．“两条直线没有公一共点〞是“这两条直线异面〞的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．假设函数sin(2)4y x π=+的图象按向量a 方向平移可得到函数y=sin2x 的图象，那么a 可以是() A ．〔8π，0〕B ．〔-8π，0〕 C ．〔4π，0〕D ．〔-4π，0〕 4．集合{|2}1xMx x =>-，{||21|2}N x x =-<，那么M ∩N 等于() A ．3{|1}2x x << B ．13{|}22x x -<< C ．3{|2}2x x << D ．1{|1}2x x -<<5．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，假设a 3+a 7+a 11为一个确定的常数，那么以下各数中也是常数的是() A ．S 7B ．S 11C ．S 12D ．S 136．A(1,6)、B(2,2)、C(4,4)，如下列图的坐标平面的可行域内(阴影局部包括周界)，假设使目的函数(0)Z ax y a =+>获得最大值的最优解有无穷多个，那么a 的值等于() A ．1B ．4C ．23D ．67．在圆x 2+y 2=1上的所有点中，到直线43y x =-+的间隔最大的点的坐标是() A ．(1,22)B ．(1,22-)C ．(1,22--) D ．(1,22-) 8．CD 是△ABC 的边AB 上的高，且22221CD CD AC BC +=，那么() A ．2A B π+= B ．2A B π+=或者2A B π-=C ．2A B π+=或者2B A π-=D ．2A B π+=或者||2A B π-=9．假设61()x 展开式中的第5项是152，设12n n S x x x ---=+++，那么lim n n S →∞=()A ．1B ．12C ．14D ．1610．函数2|log |y x =(x ∈[],a b )的值域为[0,2]，那么点(a,b)的轨迹为图中的()A ．线段AB 和BC B ．线段AB 和ADC ．线段DC 和BCD ．线段DC 和AD二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.把答案填在答题卷上〕 11．函数()y f x =是一个以6为最小正周期的奇函数，那么f(3)=▲．12．设抛物线212x y =的焦点为F ，经过点P(2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点且点P 恰为AB 的中点，那么|AF|+|BF|=▲．13．在半径为6的球面上有A 、B 、C 三点，假设AB=2，∠ACB=30°，那么球心O 到平面ABC 的间隔为▲． 14．有女学生5名，男学生2名。
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湖北省黄冈市麻城博达学校届高三三月综合测试理科数学试卷命题人：徐喜峰（03月17日）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上. 2．每小题选出答案后，用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若全集U = R ，集合=≤-=<-=B A x x x B x x A 则},02|{},01|{2A ．}21|{<<x xB ．}21|{≤<x xC ．}21|{≥<x x x 或D ．}21|{>≤x x x 或2．向量a b 、满足3||1,||,a a b =-=a 与b 的夹角为60°，则||b =A ．1B C ．12D ．123．}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n =A ．11B ．17C ．19D ．214．不等式0)31(||>-x x 的解集是A ．)31,(-∞B ．)31,0()0,(⋃-∞C ．),31(+∞D ．（0，31） 5．设23,113cos 2),17cos 17(sin 222=-=+=c b a ，则A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．在AB C ∆中，已知sinC=2sin(B+C)cosB,那么AB C ∆一定是 Ａ．等腰直角三角形Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三角形7．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝a n(n ＋1)(n ＝1，2，3，4)，其中a 是常数，则P(12＜ξ＜52)的值为A ．23 B ．34 C ．45 D ．568．在正项等差数列{a n }中，前n 项和为Sn ，在正项等比数列{b n }中，前n 项和为Tn ，若a 15＝b 5，a 30＝b 20，则S 30－S 15T 20－T 5∈( )A ．(0，1)B ．(12，1)C ．[1，＋∞]D ．[12，2]9．正三棱锥P —ABC 的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为A ．1:3B ．)33(:1+C ．3:)13(+D ．3:)13(-10．已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，若121212||||PF PF PF PF ⋅=⋅，则△F 1PF 2的面积为A ．33B ．32C ．3D ．33第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知等式141422104232)21()1(x a x a x a a x x x ++++=-⋅-+ 成立，则+++321a a a 1413a a ++ 的值等于 .12．直线2y x m =+和圆221x y +=交于点A 、B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，那么sin()αβ+是 .13．已知y x z y x y x y x y x +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+≤-+≥≥30120420，则满足约束条件、的最小值是 . 14．抛物线y ＝(n 2＋n)x 2－(2n ＋1)x ＋1(n ∈N ＋)，交x 轴于An ，Bn 两点，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2007B 2007|的值为15．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中真命题的编号是_____________三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知锐角三角形△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3tan acB =。
（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求sin(10)[13tan(10)]B B +--的值。
17．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿球者再传给其他 三人中的一人，……，且拿球者传给其他三人中的任何一人都是等可能的，求： （Ⅰ）共传了四次，第四次球传回到甲的概率；（Ⅱ）若规定：最多传五次球，且在传球过程中，球传回到甲手中即停止传球；设ξ表示传球停止时传 球的次数，求).5(=ξP18．（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是a 的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=2AB （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）求二面角B —PC —D 的余弦值.19．（本小题满分12分） 若函数xx x g x x f 2)(,ln )(-==（Ⅰ）求函数))(()()(R k x kf x g x ∈+=ϕ的单调区间（Ⅱ）若对所有的a ax x xf x -≥+∞∈)(),3[都有成立，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分13分）已知直线)0(1012222>>=+=-+b a by a x y x 与椭圆相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，-=，且点M 在直线x y l 21:=上. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆122=+y x 上，求椭圆的方程.21．（本小题满分14分）把正奇数数列{}21n -中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：13 5 7 9 11 － － － － － － － － －设ij a 是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行，从左往右数第j 个数。
（Ⅰ）若2007mn a =，求,m n 的值； （Ⅱ）已知函数()f x 的反函数13()8(0)n fx x x -=>为，若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为n b ，求数列(){}n f b 的前n 项和n S 。
湖北省黄冈市麻城博达学校2008届高三三月综合测试理科数学试卷参考答案一、选择题：DDCBA BDCDA 二、填空题：11．0 12．4513．1 14．20072008 15. ①④三、解答题：16．解：（Ⅰ）60；（Ⅱ）1-12分 17．解：（Ⅰ）2773122313134=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P 6分（Ⅱ）278332223)5(5=⨯⨯⨯⨯==ξP 12分 18．解：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥BD∵ABCD 为正方形 ∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面PAC 又BD 在平面BPD 内， ∴平面PAC ⊥平面BPD 6分（Ⅱ）解法一：在平面BCP 内作BN ⊥PC 垂足为N ，连DN ，∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ； ∴∠BND 为二面角B —PC —D 的平面角， 在△BND 中，BN=DN=a 65，BD=a 2∴cos ∠BND =5135265652222-=-+a a a a 12分解法二：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐标系如图，在平面BCP 内作BN ⊥PC 垂足为N 连DN ，∵Rt △PBC ≌Rt △PDC ，由BN ⊥PC 得DN ⊥PC ； ∴∠BND 为二面角B —PC —D 的平面角 8分设)2,,(λλλλa a a -==650)2)(22()()(0)2,,()22,,(=∴=-+-++-=⋅∴⊥-=+--=-=λλλλλλλa a a a a a a a PCBN a a a a a a a a 即)3,6,65(),3,65,6(aa a a a a -=--=∴10分5136309365365||||cos 2222-=+--==∠∴a a a a ND NB BND 12分解法三：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间坐标系，作AM ⊥PB 于M 、AN ⊥PD 于N ，易证AM ⊥平面PBC ，AN ⊥平面PDC ， 设)2,0,(a a -== λ)52,54,0(),52,0,54(540,))1(2,0,()2,0,(a a a a PB AM a a a a ===∴=⋅∴⊥+-=-=-=∴同理λλλλλ512520254||||cos 22===∠a aAN AM MAN 10分∵二面角B —PC —D 的平面角与∠MAN 互补 ∴二面角B —PC —D 的余弦值为51-12分19．解：（1）)(x ϕ的定义域为),0(+∞…………12分222221)(x kx x x k x x ++=++='ϕ …………2分82-=∆k①当0)(,2222,082≥'≤≤-≤-=∆x k k ϕ时即时…………3分②2222,082-<>>-=∆k k k 或即时时28,280222212-+-=---==++k k x k k x kx x 有两个不等实根方程0)(,0,2221>'<<>x x x k ϕ故则若…………4分;0)(,;0)(,00,2221121<'<<>'<<<<-<x x x x x x x x x k ϕϕ时当时当则若0)(,2>'<x x x ϕ时当…………5分综上：),28()28,0()(,2222+∞-+-----<k k k k x k 及的单调递增区间为时当ϕ单调递减区间为]28,28[22-+----k k k k)(,22x k ϕ时当-≥的单调递增区间（0，+∞）…………6分 （2）1ln ln -≤⇔-≥∴≥x xx a a ax x x e x …………7分 ),[,1ln )(+∞∈-=e x x xx x h 令 …………8分则2)1(1ln )(---='x x x x h …………9分021ln 1ln 011)1ln (,>-=--≥--∴>-=--≥e e e x x xx x e x 时当 0)(>'∴x h…………10分1)()(min -==∴e e e h x h …………11分 1-≤∴e e a …………12分 另解：0ln )(≥+-⇔-≥a ax x x a ax x xf0)(,),[,ln )(min ≥+∞∈+-=x h e x a ax x x x h 时则当令…………7分10)(,1ln )(-=='-+='a e x x h a x x h 得由…………8分0)(,0)(011>'><'<<--x h e x x h e x a a 时当时且当 ),(,),0()(11+∞∴--a a e e x h 在单减在单增…………9分①当e ea a ≤≤-1,2时0)()(),()(min ≥+-==∴+∞∴a ae e e h x h e x h 单增在1-≤∴e e a …………11分②当ae a e e h a ≥+⇒≥>0)(,2由时,2,,2,2ae a a e e a ae e a e e a <≤+≥<<+<<则若则若2>a 故不成立…………12分综上所述1-≤e e a 20．解：（Ⅰ）由BM AM -=知M 是AB 的中点，设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A由02)(:.1,0122222222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+b a a x a x b a b y ax y x 得22221212222122)(,2ba b x x y y b a a x x +=++-=++=+， ∴M 点的坐标为),(222222b a b b a a ++ 4分又M 点的直线l 上：02222222=+-+∴b a b b a a 2222222)(22c a c a b a =∴-==∴.22==∴a c e 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知c b =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为)0,(),0,(b F b F 设关于直线l ：x y 21=上的对称点为),(00y x ， 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-+-=⋅--.5453:.0222,1210000000b y b x y b x b x y 解得 10分由已知,1)54()53(,1222020=+∴=+b b y x12=∴b ，∴所求的椭圆的方程为1222=+y x 12分21．解：（Ⅰ）∵三角形数表中前m 行共有(1)1232m m m +++++=个数， ∴第m 行最后一个数应当是所给奇数列中第(1)2m m +项，即2(1)2112m m m m +⋅-=+-。