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【数学】杭州市高二数学期末试卷

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浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

2023-2024学年浙江省杭州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省杭州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣5x +4≥0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3，4}B ．{2，3}C ．{1，4}D ．{0，1，4}2．已知（2+i ）z ＝i ，i 为虚数单位，则|z |＝（ ） A ．15B ．13C ．√55D ．√533．已知平面向量a →=(2，0)，b →=(−1，1)，且（m a →−b →）∥（a →+b →），则m ＝（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．1±√324．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若双曲线左支上存在点P 使得|PF 2|=32c −2a ，则离心率的取值范围为（ ）A ．[6，+∞）B ．（1，6]C ．[2，+∞）D ．[4，+∞）5．已知2cos 2θ﹣cos θ＝1，θ∈（0，π），则|sin θ|＝（ ） A ．0B ．12C ．√32或0 D ．√326．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时，1+12+13+⋯+1x=lnx +γ（x ∈N *，常数γ＝0.557…）．利用以上公式，可以估算1101+1102+⋯+1300的值为（ ） A ．ln 30B ．ln 3C ．﹣ln 3D ．﹣ln 307．已知α，β∈(0，π2)，则“cos(α−β)＜14”是“cosα+sinβ＜14”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知圆C ：x 2﹣2x +y 2＝0与直线l ：y ＝mx +2m （m ＞0），过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A 和B ，若线段AB 长度的最小值为√2，则实数m 的值为（ ） A ．2√77B ．√77C ．√142D ．√147二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年浙江省杭州二中高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省杭州二中高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣12．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．53．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（ ） A ．0B ．−19C ．−13D ．−234．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．25．设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且a 1＜0，S 4＝S 8，则（ ） A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 12＝0D ．S n ≥S 76．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n ≥n+22（n ∈N *）的过程中，从n ＝k 到n ＝k +1时，f （k +1）比f （k ）共增加了（ ） A ．1项B ．2k ﹣1项C ．2k +1项D ．2k 项7．若数列{a n }满足递推关系式a n+1=2a na n +2，且a 1＝2，则a 2024＝（ ） A ．11012B ．22023C ．11011D ．220218．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（ ） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A ．limΔx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则（ ） A ．数列{Sn n}是等差数列B ．数列{3a n }是等比数列C ．数列{lnT n }是等差数列D ．数列{T n+2T n}是等比数列 11．已知O 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的顶点，直线l 交抛物线于M ，N 两点，过点M ，N 分别向准线x =−p2作垂线，垂足分别为P ，Q ，则下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B ．若直线l 过焦点F ，则PF ⊥QFC ．若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则直线l 过定点（4p ，0）D ．若OM ⊥ON ，则直线l 恒过点（2p ，0）12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 ．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为 ．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意正整数n都有a n+1＝a n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，b n=n−(−1)n a n，（n∈N*），若A={n|n≤100且T n≤100，n∈N∗}，求集合A中所有元素的和．22．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y2b2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（ ） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣1解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上； 所以2p ＝4，即p ＝2，所以p2=1，所以准线方程y ＝﹣1，故选：D ．2．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5解：化圆x 2+y 2﹣4x ＝0为（x ﹣2）2+y 2＝4，得圆心坐标为（2，0），半径为2． 圆心到直线3x ﹣4y +9＝0的距离d =|6+9|√3+4=3．∴圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为d ﹣r ＝3﹣2＝1． 故选：A ．3．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（ ） A ．0B ．−19C ．−13D ．−23解：因为A ，B ，C 三点不共线，点P 是平面α外一点，D 在平面α内， 由共面向量基本定理可得：存在唯一一对实数λ，μ，使得AD →=λAB →+μAC →， 即PD →−PA →=λ(PB →−PA →)+μ(PC →−PA →)，整理为PD →=(1−λ−μ)PA →+λPB →+μPC →， 与PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →相比较，可得{1−λ−μ=xλ=2−x μ=3x，解得x =−13．故选：C ．4．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2解：设BC 的中点为D ，则D （1，1，1），故AD →=(0，1，1)，则|AD →|=√2，即BC 边上的中线长为√2． 故选：B ．5．设{a n}是公差为d的等差数列，S n是其前n项和，且a1＜0，S4＝S8，则（）A．d＜0B．a7＝0C．S12＝0D．S n≥S7解：根据题意，{a n}是公差为d的等差数列，若S4＝S8，则S8﹣S4＝a5+a6+a7+a8＝0，变形可得：a6+a7＝0，则有a1+a12＝a6+a7＝0，又由a1＜0，则a12＞0，其公差d＞0，A错误；而a6+a7＝0，则a6＜0，a7＞0，B错误；Sn的最小值为S6，D错误；S12=(a1+a12)×122=0，C正确．故选：C．6．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（）A．1项B．2k﹣1项C．2k+1项D．2k项解：根据题意，证明f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22时，f（k+1）中有2k+1项，f（k）中有2k项，则f（k+1）比f（k）增加了2k+1﹣2k＝2k项．故选：D．7．若数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a na n+2，且a1＝2，则a2024＝（）A．11012B．22023C．11011D．22021解：∵a n+1=2a na n+2，∴1a n+1=a n+22a n，即1a n+1=12+1a n，∴1a n+1−1a n=12，又∵a1＝2，∴1a1=12，∴数列{1a n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴1a n=12+12(n−1)=12n，∴a n=2 n ，∴a2024=22024=11012．故选：A ．8．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（ ） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]解：不妨设A 在第一象限，A 是以O 为圆心，OF 为半径的圆O 与Γ的交点． 设Γ的左焦点为X ，则∠XOA ＝∠OAB +∠OBA ≥4∠OBA ，∠AFO =12∠XOA ≥2∠OBA ，即∠F AB ≥∠FBA ，F A ≤FB ，在圆O 上取一点C ，使FC ＝FB ，则FC ≥F A ， 由双曲线的定义知CX ﹣CF ≤2a （a 是实半轴长）， 即（2a +CF ）2≥CX 2＝4c 2﹣CF 2（c 是半焦距），代入CF =FB =c 2，得(2a +c 2)2≥4c 2−c 24，解得e ∈(1，2+2√157]．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A ．lim Δx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 解：A ：lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)△x =−lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)−△x =−f ′（x 0），故A 错误；B ：lim△ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)2△ℎ=lim △ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)(t+△ℎ)−(t−△ℎ)=lim △ℎ→0f(t+2△ℎ)−f(t)2△ℎ=f ′（t ），故B 正确；C ：根据极限与导数的定义可判断C 正确；D：lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)f(x0+△x)−f(x0)=lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)△xf(x0+△x)−f(x0)△x=△x→0limg(x0+△x)−g(x0)△x△x→0limf(x0+△x)−f(x0)△x=g′(x0)f′(x0)，故D正确．故选：BCD．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，正项等比数列{b n}的前n项积为T n，则（）A．数列{S nn}是等差数列B．数列{3a n}是等比数列C．数列{lnT n}是等差数列D．数列{T n+2T n}是等比数列解：根据题意，设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则S n=d2n2+(a1−d2)n⇒S nn=d2n+(a1−d2)，依次分析选项：对于A，S nn−S n−1n−1=d2(n≥2)是常数，故A正确；对于B，易知3a n3a n−1=3a n−a n−1=3d(n≥2)是常数，故B正确；对于C，由lnT n﹣lnT n﹣1＝lnb n（n≥2）不是常数，故C错误；对于D，T n+2T n÷T n+1T n−1=b n+2b n=q2(n≥2)是常数，故D正确．故选：ABD．11．已知O为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线x=−p2作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与y轴相切B．若直线l过焦点F，则PF⊥QFC．若M，N两点的纵坐标之积为﹣8p2，则直线l过定点（4p，0）D．若OM⊥ON，则直线l恒过点（2p，0）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l过焦点F（p2，0）时，设其方程为x＝ty+p2，联立{x=ty+p2y2=2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，所以y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣p2，所以x1+x2＝t（y1+y2）+p＝2pt2+p，对于选项A，线段MN中点坐标为（x1+x22，y1+y22），即（pt2+12p，pt），其到y轴的距离为pt2+12p，弦长|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p，因此以MN为直径的圆的半径为|MN|2=pt2+p≠pt2+12p，所以以MN 为直径的圆与y 轴不相切，即选项A 错误； 对于选项B ，由题意知，P （−p 2，y 1），Q （−p2，y 2），所以PF →⋅QF →=（p ，﹣y 1）•（p ，﹣y 2）＝p 2+y 1y 2＝p 2﹣p 2＝0，即PF ⊥QF ，故选项B 正确； 当直线l 不过焦点F （p2，0）时，设其方程为x ＝ty +m （m ≠0），联立{x =ty +m y 2=2px，得y 2﹣2pty ﹣2pm ＝0，所以y 1y 2＝﹣2pm ，所以x 1x 2=y 122p ⋅y 222p =4p 2m 24p2=m 2， 对于选项C ，若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则y 1y 2＝﹣2pm ＝﹣8p 2，所以m ＝4p ， 所以直线l 的方程为x ＝ty +4p ，过定点（4p ，0），即选项C 正确；对于选项D ，若OM ⊥ON ，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣2pm ＝m （m ﹣2p ）＝0， 因为m ≠0，所以m ＝2p ，所以直线l 的方程为x ＝ty +2p ，过定点（2p ，0），即选项D 正确． 故选：BCD ．12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17解：因为CQ →=CB →+BQ →=−AD →+2BA 1→=−AD →+2（AA 1→−AB →）＝﹣2AB →−AD →+2AA 1→， 所以QC →=−CQ →=−（﹣2AB →−AD →+2AA 1→）=AD →+2AB →−2AA 1→，故A 正确；如图以A 1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B （0，1，﹣1），D 1（﹣1，0，0），D （﹣1，0，﹣1），Q （0，﹣1，1），C （﹣1，1，﹣1），A （0，0，﹣1），P （1，﹣1，0），F （1，0，0），BD →=(−1，−1，0)，CQ →=(1，−2，2)，AD 1→=(−1，0，1)，CP →=(2，−2，1)，CF →=（2，﹣1，1），对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM →=λCQ →，λ∈[0，1]， 则BM →=BC →+CM →=（﹣1，0，0）+λ（1，﹣2，2）＝（λ﹣1，﹣2λ，2λ）， 所以BM →•BD →=−（λ﹣1）+2λ＝λ+1，所以当＝1时，(BM →⋅BD →)max =2，故B 正确； 对于C ：|CF →|=√22+(−1)2+12=√6，CF →⋅CQ →|CQ →|=222=2， 所以点F 到直线CQ 的距离d =√|CF →|2−(CF →⋅CQ→|CQ →|)2=√2，故C 错误；对于D ：因为cos ＜CQ →，AD 1→＞=CQ →⋅AD 1→|CQ →|⋅|AD 1→|=13√2=√26， 所以sin ＜CQ →，AD 1→＞=√1−(√26)2=√346，所以tan〈CQ →，AD 1→〉=√17，即异面直线CQ 与 AD 1所成角的正切值为√17，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ e sin x •cos x ． 解：根据题意，可得f '（x ）＝e sin x •（sin x ）′＝e sin x •cos x ． 故答案为：e sin x •cos x ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 3 ．解：平面内两定点A，B间的距离为3，设A（−32，0），B（32，0），P（x，y），由|PA||PB|=2，得√(x+3)2+y2√(x−2)2+y2=2，所以(x−52)2+y2=4，所以要使△P AB的面积最大，只需点P到AB的距离最大，如图所示：由图可知当点P到AB的距离h＝r＝2 时，△P AB面积的最大值，故S△P AB的最大值为12×3×2=3．故答案为：3．15．已知点P是抛物线y2＝4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为√22．解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），A（﹣1，0）在准线上，过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得|PF|＝|PD|，在△P AD中，|PD||PA|=cos∠DP A＝cos∠P AF，所以|PD||PA|最小时，则cos∠P AF最小，则∠P AF最大，而∠P AF最大时即过点A的直线与抛物线相切，设P（x，y）在第一象限，y＞0，由y2＝4x可得y＝2√x，y'=√x，所以在P处的切线的斜率为√x =y−0x+1=2√xx+1，整理可得：2x＝x+1，解得x＝1，代入抛物线的方程可得y＝2，即P（1，2），所以|PF||PA|的最小值为|PD||PA|=√[1−(−1)]2+22=√22．故答案为：√2 2．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=2698．解：由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…每项被4除所得的余数构成数列{b n}，可得数列{b n}的各项分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即数列{b n}中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以数列{b n}在一个周期内的和为1+1+2+3+1+0＝8，因为2024＝337×6+2，所以∑2024i=1b i=337×8+b1+b2＝2698．故答案为：2698．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．解：（1）设切点为（x0，f（x0）），切线斜率k=f′(x0)=3x02−1，∴切线方程为y−(x03−x0+1)=(3x02−1)(x−x0)，∵所求切线过点A（1，0），∴−x03+x0−1=3x02−1−3x03+x0，解得：x0＝0或x0=3 2．当x0＝0时切线方程为y＝﹣x+1；当x0=32时切线方程为y=234x−234．（2）由f′（x）＝3x2﹣1＝2，解得x＝±1，∴B（1，1）或B（﹣1，1）．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．解：（1）由于圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点，故|r﹣3|＜5＜r+3，整理得：2＜r＜8，即r∈（2，8）．（2）∵OD＝r＝4，所以：x2+y2＝16，根据圆与圆的位置，CD＝3，OC＝5，所以△OCD为直角三角形，利用面积相等，所以DE=2⋅3⋅45=245．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）根据题意，n≥2时，a n=s n−s n−1=n2−(n−1)2=2n−1，n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1﹣1，故a n＝2n﹣1；（2）由（1）的结论，可知b n=2n⋅22n−1=n⋅22n=n⋅4n，故T n=b1+b2+⋯+b n=1⋅41+2⋅42+⋯+n⋅4n，可得4T n=1⋅42+2⋅43+⋅⋯⋅(n−1)⋅4n+n⋅4n+1，两式相减，得3T n=n⋅4n+1−(41+42+⋯+4n)=n⋅4n+1−1−4n1−4⋅4=n⋅4n+1−43⋅(4n−1)=(n−1 3)4n+1+43所以T n=(n3−19)⋅4n+1+49．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明：由题意知，点O既是AC的中点，也是BD的中点，因为P A＝PC，PB＝PD，所以PO⊥AC∵PB＝PD，PO⊥BD⇒PO⊥AC又AC ∩BD ＝O ，AC 、BD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为坐标原点，OD ，OC ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （−√2，0，0），C （0，√2，0），P （0，0，1），E （2√23，0，13）， 所以PB →=(−√2，0，−1)，BC →=(√2，√2，0)，CE →=(2√23，−√2，13)， 设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PB →=0n →⋅BC →=0，即{−√2x −z =0√2x +√2y =0， 取x ＝1，则y ＝﹣1，z =−√2，所以n →=(1，−1，−√2)， 设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →|⋅|n →|=|2√23+√2−√23|√89+2+19×2=2√69， 故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为2√69． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，b n =n −(−1)n a n ，（n ∈N *），若A ={n|n ≤100且T n ≤100，n ∈N ∗}，求集合A 中所有元素的和．解：（1）由a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1，即a n +1﹣a n ＝n +1， 可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n ﹣a n ﹣1）＝1+2+3+...+n =12n （n +1）；（2）b n =n −(−1)n ⋅n(n+1)2，显然，当n 为偶函数，n −n(n+1)2＜0， T 2k =(1+2+⋯+2k)+12⋅[1⋅2−2⋅3+3⋅4−4⋅5+⋯+(2k −1)⋅2k −2k ⋅(2k +1)]=k ⋅(2k +1)+12⋅[−2⋅2−2⋅4−⋯−2⋅2k]＝2k 2+k ﹣（2+4+⋯+2k ）＝2k 2+k ﹣k （k +1）＝k 2，由k 2≤100， ∴k ≤10．则T 2，T 4，…，T 20满意题意；T 2k+1=k 2+(2k +1)+(2k +1)⋅(k +1)=3k 2+5k +2≤100，可得k ≤4， ∴T 1，T 3，T 5，T 7，T 9满足．∴A 中所有元素和为（1+3+5+7+9）+（2+4+⋯+20）＝25+110＝135． 22．（12分）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F ．点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，过点M 的直线与椭圆交于A 、B 两点（点B 在点A 右侧），直线AN 、BN 分别与椭圆相切且交于点N ． （1）求椭圆的方程；（2）若直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，则M 点与N 点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．解：（1）椭圆C 的长轴长为4，则2a ＝4，所以a ＝2， 又离心率为12，所以c ＝1，所以b =√3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知，x 24+y 23=1，由点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，设M （﹣1，y μ），则直线AB 的方程为y ﹣y μ＝k （x +1），联立直线和椭圆的方程，可得{y =kx +k +y μ3x 2+4y 2=12，则3x 2+4(kx +k +y μ)2=12，所以(4k 2+3)x 2+8(k +y μ)⋅kx +4⋅(k +y μ)2−12=0， 所以{x 1+x 2=−8(k+y μ)k4k 2+3x 1x 2=4(k+y μ)2−124k 2+3，所以k AF =k BF ⇔y 1x 1+1=−y 2x 2+1， 所以（x 2+1）•y 1+（x 1+1）•y 2＝0，所以（x 2+1）（kx 1+k +y μ）+（x 1+1）•（kx 2+k +y μ）＝0， 所以2（2x 1x 2+（2k +y μ）（x 1+x 2）+2（k +y μ）＝0，2k 2+3ky μ+y μ2⇔2k[4(k 2+y μ)2−12]−8k(2+k μ)(2k +y μ)+2⋅(k +y μ)⋅(4k 2+3)=0 ⇔8k 2+16k 2y μ+8ky μ2−24k −16k 3−24k 2y μ−8ky μ2+8k 2+6k +8k 2y μ+6y μ=0，所以6y μ＝18k ，所以y μ＝3k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则直线AN 的方程为x⋅x 14+y⋅y 13=1，所以x =4x 1⋅(1−y⋅y 13)， 直线BN 的方程为x⋅x 24+y⋅y 23=1，所以x =4x 2⋅(1−y⋅y 23)，所以1−y⋅y 13x 1=1−y⋅y 23x 2，所以x2（3﹣y•y1）＝x1•（3﹣y•y2），3（x2﹣x1）＝（x2y1﹣x1y2）•y N，所以y N=3(x2−x1)x2y1−x1y2．因为x2y1﹣x1y2＝x2（kx1+k+yμ）﹣x1（kx2+k+yμ）＝（k+yμ）（x2﹣x1），所以y N=3k2+yμ=34k，所以yμ⋅y N=94为定值．。

浙江省杭州校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

浙江省杭州校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

杭州2023学年第一学期期末考试高二数学试卷（答案在最后）命题人：一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数z 满足4,4i z z z z +=-=-，则||z =（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】由条件求得z ，即可计算复数模.【详解】∵4z z +=，4i z z -=-，∴244i z =-，22i z =-，∴z ==故选：C.2.已知集合{}{ln(1)},e x M xy x N y y ==-==∣∣，则M N ⋂=（）A.(0,1)B.(,1)-∞ C.(1,)+∞ D.∅【答案】A 【解析】【分析】求函数ln(1)y x =-的定义域得出集合M ，求函数e x y =的值域得出集合N ，再求出M N ⋂即可.【详解】{ln(1)}{10}{1}M xy x x x x x ==-=->=<∣∣∣,{}{}e 0xN y y yy ===>∣∣,所以{01}(0,1)M N xx ⋂=<<=∣.故选：A.3.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D.丙次购买葡萄的平均价格无法比较【答案】A【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.【详解】设两次葡萄的单价分别为a 元/千克和b 元/千克，且a b ¹，则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为()362a b a b++=元/千克，小港两次均购买50元葡萄，平均价格为10025050aba b a b =++元．因为()()()()22420222a b ab a b a b ab a b a b a b +--+-==>+++，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．故选：A .4.已知直线3y kx =-与曲线ln y x =相切，则实数k 的值为（）A.eB.1eC.2e D.21e 【答案】C 【解析】【分析】首先设切点为()00,ln x x ，利用导数的几何意义得到01k x =，从而得到直线方程为03xy x =-，再将切点代入直线求解即可.【详解】设切点为()00,ln x x ，1y x'=，则01k x =，所以直线方程为03xy x =-.又因为()00,ln x x 在直线03xy x =-上，所以0ln 132x =-=-，解得20x e -=.所以221k e e-==.故选：C5.已知向量(2,4),(1,)a b t =-= ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量(0,1)j =- 上的投影向量为（）A.jB.j-C.2jD.2j-【答案】D【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j =- 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a 与b共线，则240t --=，所以2t =-，则(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j =- 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅-⋅=⋅=-，故选：D.6.已知数列{}n a 为等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，则“20S >”是“数列{}2n S 是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，若20S >，即2210()S a a =>+，则222222+21120()nn n n n S a a a a S q ++=+=+>-，即数列{}2n S 是单调递增数列；若数列{}2n S 是单调递增数列，则222222+21120()nn n n n S a a a a S q ++=+=+>-，所以2210()S a a =>+；所以“20S >”是“数列{}2n S 是单调递增数列”的充要条件.故选：C.7.在三棱锥-P ABC 中，2PA PB PC AC AB =====，且AC AB ⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.8πB.9πC.16πD.24π【答案】B【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.【详解】由题意可得，点P 在底面上的射影M 是CB 的中点，是三角形ABC 的外心，令球心为O ，因为2AC AB ==，且AC AB ⊥，所以MB MC MA ===，又因为PA PB PC ===2PM ==，在直角三角形OBM 中，222OB OM BM =+，即()2222R R =+-，解得32R =，则三棱锥外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=.故选：B8.设点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>上的点P 到y 轴的距离为d ．若||PA d +的最小值为1，则p =（）A.6B.4C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】结合抛物线的定义得到关于p 的方程，解出即可.【详解】抛物线22(0)y px p =>，则焦点(,0)2p F ，准线2p x =-，PA d +最小时，即2p PA d ++最小，根据抛物线的定义，||2pd PF +=，所以只需求||||PA PF +的最小值即可，当P 为线段AF 与抛物线交点时，||||PA PF +最小，且最小值为12p AF ==+，解得3p =.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列表述正确的是（）A.如果0,a b c d >>>，那么ac bd >B.如果0a b >>a b>C.如果0,0c a b d >>>>，那么11ac bd < D.如果a b ≥，那么2a bb a +≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据不等式的基本性质判断ABC ，利用作差法判断D 即可.【详解】A ：由,0c d b >>，得bc bd >，若0a b >>，0c >，得ac bc >，则ac bc bd >>，即ac bd >；若0a b >>，0c <，得ac bc <，则ac bd >不成立，故A 错误；B ：若0a b >>a b >B 正确；C ：由0a b >>，0c d >>，得0ac bd >>，则0abcd >，所以ac bdabcd abcd >，即11acbd<，故C 正确；D ：若a b ≥，则0,02222a b b a a b a bb a +-+--=≤-=≥，所以,22a b a bb a ++≤≥，即2a bb a +≤≤，故D 正确.故选：BCD10.已知双曲线C 的两个焦点分别为()()1222,0,2,0F F -，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为224x y -=，则条件p 可以是（）A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y x=±【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.【详解】设该双曲线标准方程为22221x y a b-=，则c =对于A 选项，若实轴长为4，则2a =，2224b c a ∴=-=，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a b =，又c =2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y x =±，则a b =，结合2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意，故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C ：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B F B D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.12.设定义在R 上的函数(),()f x g x 的导函数分别为(),()f xg x ''，若(2)(2)2,()(2)f x g x f x g x ''++-==+且(1)y g x =+为偶函数，则下列说法中正确的是（）A.(1)0g '= B.(2)(3)(4)0g g g ++=C.()g x '的图象关于3x =对称 D.函数()f x 为周期函数，且周期为4【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据(1)y g x =+为偶函数求出()g x 的表达式，然后给()g x 的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D ，根据()(2)f x g x ⅱ=+和(1)y g x =+为偶函数找到(),()f x g x 的关系，求出周期；B ：根据()g x 的性质，取特值求解；C ：根据已知推导出(6)()g x g x ''-=.【详解】A ：因为(1)y g x =+为偶函数，所以()()11g x g x -+=+，所以()()11g x g x ''--+=+，令0x =，则()()11g g ''-=，所以()10g '=，故A 正确；D ：因为()(2)f x g x ⅱ=+，所以()()2f x g x m =++，用x -代替原来的x 得()()2f x g m x =--+，①又(1)y g x =+为偶函数，所以()()11g x g x -+=+，用1x -代替原来的x 得：()()2g x g x -=，②由①②得()()f x x g m -=+，③又(2)(2)2f x g x ++-=，用2x --代替原来的x 得：()()24x x f g +-+=，④由③④联立得：()()24g m x g x +++=，⑤用4x +代替原来的x 得：()()248g x m x g ++++=，⑥⑥减去⑤得：()()8g x g x +=，故()g x 为周期函数，且周期为8，用x -代替原来的x 得：()()8g x g x -=-，⑦因为(2)(2)2f x g x ++-=，用2x +代替原来的x 得：()()42f x g x ++-=，⑧因为(2)(2)2f x g x ++-=，用6x -代替原来的x 得：()()482f x g x -+-=，⑨由⑦⑧⑨得：()()44f x f x -=+，用4x +代替原来的x 得：()()8f x f x =+，所以()f x 为周期函数，且周期为8，故D 错误；B ：因为常函数()()111f g ==为满足题意得一组解，但(2)(3)(4)30g g g ++=¹，故B 错误；C ：由(2)(2)2f x g x ++-=，则(2)(2)0f x g x ''+--=，即()(4)f x g x ''=-，又()(2)f x g x ⅱ=+，则(4)(2)g x g x ''-=+，即(6)()g x g x ''-=，故C 正确；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数可任意赋值（符合已知条件）得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性取特值代入求解.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.【答案】7.85【解析】【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大排列可得，6.9,7.6,7.8,7.9，8.1,8.3,8.5,8.8，9,9.2,9.4,9.5，又1225%3⨯=，所以样本数据的下四分位数为7.87.97.852+=，故答案为：7.85.14.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是_____．【答案】10【解析】【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，得211r =且2211n n r r +-=，则2{}n r 是以1为首项，1为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式计算即可求解.【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，则211r =，又每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，所以2211(1,2,,99)n n r r n +-== ，所以数列2{}n r 是以1为首项，1为公差的等差数列，1,2,,100n = ，所以2n r n =，所以2100100r =，由1000r >，解得10010r =.故答案为：1015.设椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为(),0F c ，点()3,0A c 在椭圆外，P 、Q 在椭圆上，且P是线段AQ 的中点.若直线PQ 、PF 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】取线段PQ 的中点M ，连接OM ，推导出//OM PF ，可得出12OM PQ PF PQ k k k k ==-，利用点差法可求得22b a的值，由此可求得椭圆Γ的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，点(),0E c -为椭圆Γ的左焦点，因为点()3,0A c 、(),0F c ，易知点F 为线段AE 的中点，又因为P 为AQ 的中点，所以，//PF QE ，取线段PQ 的中点M ，连接OM ，则2AP AF PMOF==，所以，//OM PF ，所以，OM PF k k =，故12OM PQ PF PQ k k k k ==-，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a -=--，所以，122221212222121212012202OM PQy y y y y y b k k x x x x x x a +---=⋅==-=-+---，所以，椭圆Γ的离心率为2222222121122c c a b b e a a a a -===--.故答案为：22.16.已知数列{}n a 满足1π(1)cos 3n n n a n a +=-+，若11a =，则2024a =_____．【答案】67512【解析】【分析】用累乘法，结合余弦函数的周期性求解.【详解】因为πcos 3n y =的最小正周期为2π6π3=，且2023=3376余1，由已知可得()()337320242202416751220231111111111111111=222222aa a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯-+⨯-⨯--⨯-⨯-+⨯+⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：67512.【点睛】关键点点睛：数列中带有三角函数且求数列中较大的某一项时，通常想到用周期函数的性质求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、csin A c A +=．（1）求角C ；（2）若ABC 的周长为20，面积为，求边c ．【答案】17.60︒18.7【解析】【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得40ab =，由余弦定理计算可得22240a b c +=+，结合22()(20)a b c +=-计算即可求解.【小问1详解】cos sin A c A +=，cos sin sin )C A C A B A C +==+，cos sin sin cos cos C A C A A C C A +=+，sin sin cos C A A C =，又0180A ︒<<，得sin 0A >，所以sin C C =，即sin tan cos CC C==，由0180C ︒<<，解得60C ︒=；【小问2详解】由（1），得1sin 2ABC S ab C === 40ab =，由余弦定理，得222cos cos 602a b c C ab ︒+-==，即2221280a b c +-=，得22240a b c +=+.又20a b c ++=，所以22()(20)a b c +=-，即222240040a ab b c c ++=-+，即22408040040c c c ++=-+，解得7c =.18.已知A 、B 是抛物线24y x =上异于顶点的两个动点，直线AB 与x 轴交于P ．（1）若OA OB ⊥，求P 的坐标；（2）若P 为抛物线的焦点，且弦AB 的长等于6，求OAB 的面积．【答案】（1）(4,0)；（2【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my t =+(0)t ≠，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t 的值，从而求出P 的坐标；（2）设直线AB 的方程为1x ny =+，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得2n 的值，再求出点O 到直线AB 的距离，从而求出OAB 的面积.【小问1详解】因为直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x my t =+，(0)t ≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由24x my t y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y my t --=，所以216160m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t =-，由OA OB ⊥，得12121222212)0((4)441616O y t x x B y y A O y y t t t -=+⋅=+=-=-= ，解得4t =，满足0∆>，所以直线AB 方程为4x my =+，令0y =得4x =，即P 的坐标(4,0).【小问2详解】由题意知抛物线的焦点为(1,0)，因为直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为1x ny =+，点3344(,),(,)A x y B x y ，由214x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ny --=，所以216160n ∆=+>，344y y n +=，344y y =-，所以2344(1)6AB y n =-==+=，解得212n =，点O 到直线AB 的距离为3d ==，所以116223OAB S AB d ==⨯⨯= ,故OAB 的面积为.19.设a 为实数，函数32()3,()ln f x x x a g x x x =-+=．（1）求()f x 的极值；（2）对于1221[1,3],,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值为a ，极小值为4a -（2）e 4a ≥+【解析】【分析】（1）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极大值和极小值；（2）分析可知()()12min max f x g x ≥，利用导数求得函数()f x 在[]1,3上的最小值，求出函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】函数()323f x x x a =-+的定义域为R ，()()23632f x x x x x '=-=-，令()0f x '=，可得0x =或2，列表如下：x(),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 递增极大值递减极小值递增故函数()f x 的极大值为()0f a =，极小值为()24f a =-.【小问2详解】对于[]11,3x ∀∈，21,e e x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥，则()()12min max f x g x ≥.由（1）可知，函数()f x 在[)1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增，故当[]1,3x ∈时，()()min 24f x f a ==-，因为()ln g x x x =，且1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()1ln 0g x x '=+≥在1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，故函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()()max e e g x g ==，由题意可得4e a -≥，故e 4a ≥+.20.设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，*q ∈N .令2log n q nn nb a +=，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，nS 为数列{}n b 的前n 项和.（1）若2134a a a =，2367S T +=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且99299log 99S T -=，求q .【答案】（1）342n n a -=（2）2【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质求得364T =，结合已知化简得()2113log 5log 20q q a a --=，解得11log 3q a =-或1log 2q a =，利用对数运算求得q ，即可求得通项公式；（2）利用等差数列的性质及对数运算得nn a q =或1n n a q +=，分类讨论建立方程求解即可.【小问1详解】因为2134a a a =，所以2224a a =，解得24a =，所以33123264T a a a a =⋅⋅==，又2121126log log 1q q S b b a a =+=++，所以2311266467log log 1q q S T a a +=++=+，整理化简得()2113log 5log 20q q a a --=，解得11log 3q a =-或1log 2q a =，所以131a q-=或21a q =，又214a a q ==，所以8q =或q =（舍去），所以112a =，所以13412n n n a a q--==.【小问2详解】因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即11112212log 1log log 2q q q a a a =+++，解得1log 1q a =或1log 2q a =，所以1a q =或21a q =，所以nn a q =或1n n a q+=，①当n n a q =时，21n n nb n n+==+，易知{}n b 是等差数列，所以()9999210051992S +==⨯，()2999950299222log log log 9950log T q q q qq ⨯=⋅==⨯ ，又99299log 99S T -=，所以251999950log 99q ⨯-⨯=，所以2log 1q =，解得2q =；②当1n n a q+=时，21n n nb n n +==+，易知{}n b 是等差数列，所以()999919950992S +==⨯，()231009951299222log log log 9951log T q q q qq ⨯=⋅==⨯ ，又99299log 99S T -=，所以25051log 1q -=，解得49*512N q =∉，舍去；综上，2q =.21.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，且BC BD BA ==，120CBA CBD ∠∠== ，点P 在线段AC 上，点Q 在线段CD 上.（1）求证：AD BC ⊥；（2）若AC ⊥平面BPQ ，求BPBQ的值；（3）在（2）的条件下，求平面ABD 与平面PBQ 所成角的余弦值.【答案】21.证明见解析22.32BP BQ =23.55【解析】【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】证明：过A 作AO ⊥直线BC 于O ，连接DO .由题知,,60BA BD BO BO ABO DBO ∠∠==== ，,90ABO DBO DOB AOB ∠∠∴≅∴== ，即BC DO ⊥，又,,,BC AO AO DO O AO DO ⊥⋂=⊂平面AOD ,BC ∴⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，BC AD ∴⊥，即AD BC⊥【小问2详解】方法一： 平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，,AO BC AO ⊥⊂平面ABC AO ∴⊥平面BCD .以O 为原点，以OB 的长度为单位长度，以,,OD OC OA uuu r uuu r uu r的方向分别为x 轴，y 轴，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则)(()()3,0,0,3,0,1,0,0,3,0DA B C .AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.BA BC P =∴ 为AC中点，由题知)(3,0,0,3,CD AC =-=设()))0,2,03,0,23,0BQ BC CD λλλ=+=+-=-，()23230,3AC BQ λλ∴⋅=-=∴=，,0,0,33BQ BQ ⎛⎫∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又在ABC 中，2,120BC BA ABC ∠=== ，所以1,2BP BP BQ =∴=.方法二：AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.设2BA BC ==，由120ABC ∠= 知，1BP ∴=.平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面,,BCD BC AO BC AO =⊥⊂平面ABC ，AO ∴⊥平面BCD ，又BQ ⊂平面,BCD AO BQ ∴⊥，又,AC BQ AC AO A ⊥⋂=，BQ ∴⊥平面ABC BQ BC ∴⊥.2,30,2,332BP BC BCQ BQ BQ ∠==∴=⨯=∴= 【小问3详解】由（2）知，平面PBQ 的一个法向量为AC，设平面ABD 的一个法向量为()((),,.0,1,,n x y z AB DB ===，则0,0,n AB y n DB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令y =则()n =，cos ,5AC n AC n AC n⋅==，∴平面ABD 与平面PBQ所成角的余弦值为.22.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)A，焦距为(3,0)B 作直线l 与椭圆交于C 、D 两点，直线AC AD 、分别与直线3x =交于E 、F ．（1）求椭圆的标准方程；（2）记直线AC AD 、的斜率分别为21k k 、，证明21k k +是定值；（3）是否存在实数λ，使CDE CDF S S λ=△△恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=（2）证明见解析（3）存在；1λ=【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上和焦距列方程组解出即可；（2）设出CD 两点坐标，表示出斜率21k k 、，并设出直线CD 方程与椭圆联立，消去y ，表示出韦达定理，代入21k k +的表达式中化简即可；（3）解方程组分别求出直线的交点,E F 坐标，再求出,E F 到直线CD 的距离，结合已知面积关系表示出两三角面积的方程，再利用212k k +=-代入化简即可.【小问1详解】因为椭圆过点(2,1)A，焦距为，所以222222411633a a bb a b ⎧⎧+==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎩，所以椭圆的标准方程为22163x y +=.【小问2详解】证明：设()()121122121211,,,,,22y y C x y D x y k k x x --==--，直线CD 的斜率一定存在，设为()3y k x =-，则()221633x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得到()222221121860k x k k +-+-=，()()()2222Δ124211860k k k =-+->，2212122212186,2121k k x x x x k k -+==++，()()()()()1212121212121212222222222313122251242412842118624842144212k k k x k x x x k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k +----=+--⎡⎤-++-++⎣⎦=-++-+++=--+++-+=+=-，故21k k +是定值.【小问3详解】设存在实数λ，使CDE CDF S S λ=△△恒成立，由()()11123,13y k x E k x ⎧-=-⇒+⎨=⎩，()()22123,13y k x F k x ⎧-=-⇒+⎨=⎩，设E 到直线CD 的距离为2d ，F 到直线CD 的距离为1d ，则12d d ==因为CDE CDF S S λ=△△，所以211122CD d CD d λ⨯=⨯⨯，②把①代入②并化简可得2111k k λ+=+，由上问可知112222k k k k +=-⇒=--，代入上式可得1111k k λ+=+，所以1λ=.【点睛】关键点点睛：①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解；②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式；。

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．若空间向量()1,4,1BA = ，()2,0,2BC =- ，则AC =（）A ．()1,4,3--B ．()1,3,4--C ．()3,4,1-D ．()1,4,3-【正确答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.【详解】因为()1,4,1BA = ，()2,0,2BC =- ，所以()1,4,3AC BC BA =-=--．故选：A2．函数()()tan 11f x x x x =⋅-≤≤的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】分析函数()f x 的奇偶性可排除两个选项，再由当01x <<时()f x 值的符号即可判断作答.【详解】因当[]1,1x ∈-时，()()()()tan tan f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，则函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，AC 不满足；当01x <<时，()0f x >，选项D 不满足，选项B 符合要求.故选：B3．ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量),sin sin c B A n +-=r，(),sin m a b C =+u r ，若//m n，则角B 的大小为（）A ．6πB ．56πC ．3πD ．23π【正确答案】B根据//m n，得到)()()sin sin sin +=-+Cc B A a b ，再由正弦定理整理得到222a c b +-=，然后由余弦定理求解.【详解】设向量),sin sin c B A n +-=r，(),sin m a b C =+u r，因为//m n ，所以)()()sin sin sin +=-+Cc B A a b ，由正弦定理得：)()()+=-+cc b a a b ，即222a c b +-=，由余弦定理得222cos 22a cb B ac +-==-，因为()0,B π∈，所以56B π=故选：B本题主要考查平面向量共线的应用以及正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．在ABC 中，若点D 满足2BD D C =，则AD =()A ．1233AC AB+B ．5233AB AC-C ．2133AC AB-D ．2133AC AB+【正确答案】D【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.【详解】由2BD D C =，得2()AD AB AC AD -=- ，得32AD AC AB =+，得2133AD AC AB =+ .故选：D ．5．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n++【正确答案】A【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++--12ln(2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--ln 2n =+故选A.6．双曲线()22210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为e ，过点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐进线分别交于点A ，B ，若AB 的中点为M ，若FM 等于半焦距，则2e =（）A ．1BCD ．2【正确答案】B【分析】设直线AB 方程，然后与渐近线方程联立即可得出A B 、两点坐标，最后通过A B 、两点坐标得出AB 中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果．【详解】双曲线2221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，设双曲线的半焦距为c ，则双曲线的左焦点(),0F c -，过F 点且斜率为1的直线方程为y x c =+，联立b y x a y x c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得ac x b a bc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，联立b y x a y x c ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，可得ac x b a bc y b a ⎧=⎪⎪--⎨-⎪=⎪--⎩，不妨设,acbc A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，,ac bc B b a b a -⎛⎫ ⎪----⎝⎭，故AB 中点坐标为222222,a c b c M b a b a ⎛⎫ --⎝⎭，则有FM c =，222c c b a =-，因为0c ≠，222b a =-，222b a=-222a b=-，所以(221a b=+所以)22=1b a，所以2222c a b=+=，故222cea==故选：B．7．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e<<时，轨迹为椭圆；当1e=时，轨迹为抛物线；当1e>时，轨迹为双曲线．现有方程()()2222123m x y y x y+++=-+表示的曲线是椭圆，则m的取值范围为（）A．()0,1B．()1+∞C．()0,5D．()5+∞【正确答案】D.【详解】由()()2222123m x y y x y+++=-+可得()()222123m x y x y⎡⎤++=-+⎣⎦，23x y-+，=即动点(,)x y到定点()0,1-的距离与到定直线230x y-+=因为方程()()2222123m xy y x y+++=-+表示的曲线是椭圆，所以01<解得5m>，故选:D.8．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分別为1BD ，1BB 上的动点，则1C PQ周长的最小值为（）A ．3a B C D ．3a 【正确答案】B【分析】1C PQ 的三边都在三棱锥111B B C D -的三个侧面上，将三棱锥111B B C D -的侧面展开成平面图形，根据共线时最短求解.【详解】连接11,,BD B D 由图易得，1C PQ 的三边都在三棱锥111B B C D -的三个侧面上，将三棱锥111B B C D -的侧面展开成平面图形，如图，可得四边形111BC D C '为直角梯形，当11,,,C P Q C '四点共线时，1C PQ 的周长最小，=，故选:B.二、多选题9．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,3π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（）A ．16B ．56C ．13D ．23【正确答案】BD【分析】由题得π()2sin 6f x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求函数()f x 的零点，由条件列不等式求其解可得ω的范围即可.【详解】因为()1cos 2cos 22f x x x x x ωωωω⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以π()2sin 6f x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ππ6x k ω-=，解得()61π,Z 6k x k ω+=∈，因为0ω>，所以函数()f x 的最小的正零点为π6ω，由已知可得ππ063ω<≤，即12ω≥．故选：BD.10．已知数列{}n a 满足11a =，()*12N n n n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A ．45a =B ．{}n a 为等比数列C ．2022122021213a a a -+++=D ．2023122022213a a a -+++=【正确答案】AC【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】因为()*12N n n n a a n ++=∈，所以122a a +=，234+=a a ，3342a a +=，又11a =，所以21a =，33a =，45a =，故A 正确；因为211a a =，323aa =，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误；1220211235204202021()()()a a a a a a a a a a=+++++++++++ 1011101120222420201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，故C 正确；()()()122022123420212022a a a a a a a a a +++=++++++ ()101110112023132021214242222+2++2===1433-⨯--=- ，故D 错误.故选：AC.11．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,3B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于9B ．点P 到直线AB 的距离大于1C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，4PB =【正确答案】AC【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误．【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为143x y+=，即34120x y +-=，圆心M 到直线AB 235=，所以，点P 到直线AB 的距离的最大值为23434955+=<，点P 到直线AB 的距离的最小值为2334155-=<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 均与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22535029BM =-+-=，4PM =，由勾股定理可得22291613BP BM MP =-=-=，C 选项正确，D 选项错误，故选：AC ．12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当点F 在1BC 上移动时，直线1A F 与平面1BDC 所成角可能为60B ．无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D⊥C ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且12A EEF=D ．当点F 在1BC 上移动时，异面直线1A F 与CD 所成角可能是30 【正确答案】BC【分析】对于A ，利用四面体的等体积法求解直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值，从而判断正误；对于B ，证明正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1B D ⊥平面11A BC ，根据1A F ⊂平面11A BC ，即可判断正误；对于C ，根据四点共面，利用梯形几何性质求解1A EEF，即可判断正误；对于D ，根据动点F 的位置，求解异面直线1A F 与CD 所成角的正切值取值范围来判断正误.【详解】对于A ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如图，连接11111,,,,A D A B A C BD DC 在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1111112A B AC A D BC BD C D ======，故四面体11A BC D 为正四面体，所以111331114141323A BC D A ABD V V V --=-=-⨯⨯⨯=正方体，11322sin 6022BDC S=⨯⨯⨯︒=，则点1A 到平面1BDC 的距离为1113233A BC D BDC V h S-==，所以直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值1sin h A Fθ=又11A BC V 为正三角形，则当点F 为1BC 的中点时，线段1A F 的长度最短，且为162322⨯⨯=，此时直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值1sin hA Fθ=最大，且为()max23223sin 362θ==，由于22332>，则θ的最大值大于60 ，故A 错误；选项A 错误；对于B ，如图，连接11111,,A B AC B D在正方体1111ABCD A B C D -中，四边形1111D C B A 为正方形，所以1111AC B D ⊥，又1DD ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，所以111AC DD ⊥，又1111111,,B D DD D B D DD ⋂=⊂平面11DD B ，所以11A C ⊥平面11DD B ，且1B D ⊂平面11DD B ，所以111A C B D ⊥，同理可得11A B B D ⊥，又1111111,,A C A B A A C A B ⋂=⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ，又1A F ⊂平面11A BC ，所以总有11A F B D ⊥，选项B 正确；若F 不是1BC 的中点，则1A F 与1B D 是异面直线；当F 为1BC 的中点时，也是1B C 的中点，1A F 与1B D 均在平面111A B CD 内且必相交，所以当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，连1A D 和1B F，如图，根据11//A D B C ，11A DE FB E ∽△△可得1A EEF＝11DA B F ＝2，选项C 正确；对于D ，因为11//A B CD ，所以11B A F ∠即异面直线1A F 与CD 所成的角，该角的正切值为111B FA B ，易知111112A B B F A B ≤≤11112B F A B ≤≤，tan 30= 故无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成的角都不可能是30 ，选项D 错误.故选：BC.关键点点睛：本题解决的关键在于根据线面角和异面直线夹角的定义找到对应的平面角，再通过解三角形确定其范围.三、填空题13．在等差数列{}n a 中，已知28142120a a a ++=，则9102a a -的值为________．【正确答案】30【分析】根据等差数列的通项公式求解.【详解】设{}n a 的公差为d ，2814111221413120a a a a d a d a d ++=+++++=，即1730a d +=，所以191110216(9)7302a d a d a a a d =+--+=+=，故答案为:30.14．已知等边三角形ABC 的边长为12，点P 满足320PA PB PC ++= ，则PA = ________．【正确答案】【分析】利用平面向量的坐标运算求出点P 坐标即可求解.【详解】建立如图所示坐标系，其中O 为BC 的中点，所以(6,0),(6,0)A B C -，设(,)P x y ，则(),(6,),(6,)PA x y PB x y PC x y =-=---=-- ，又因为320PA PB PC ++= ，所以3()2(6,)(6,)0x y x y x y -+---+--=，312260320x x xy y y ---+-=⎧⎪⎨---=⎪⎩解得1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以PA = ，所以PA =故答案为:.15．1F ，2F 为双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1113AF F B = ，35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为双曲线C 上一点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 作2F T PI ⊥，垂足为T ，则OT =________．【正确答案】4【分析】设直线AB 方程为y x c =+，联立渐近线方程可得A 、B 坐标，再根据1113AF F B =和点35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线上可得a ，然后结合图形，利用内切圆圆心为角平分线交点和双曲线定义可解.【详解】设直线AB 方程为y x c =+，两条渐近线方程分别为b y x a=，b y x a =-，联立y x c b y x a =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得B bc y a b =--，联立y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得A bc y a b =+，因为1113AF F B = ，0a b >>，所以3bc bc a b a b=-+，解得2a b =①又点35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线上，所以2225914a b -=②，联立①②解得4,2a b ==，延长2F T 交1PF 于点F '，因为I 为12PF F △的内切圆圆心，所以2IPF IPF '∠=∠，又2F T PT ⊥，TP TP =，所以2TPF TPF '≅，所以T 为2F F '的中点，且2PF PF '=又O 为12F F 的中点，所以112OT F F '=由双曲线定义可知，111228F F PF PF PF PF a ''=-=-==，所以1142OT F F '==，故416．如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成角为30︒，顶点B 在平面α上的射影为点O ，当顶点A 与点O 的距离最大时，直线CD 与平面α所成角的正弦值为________．【正确答案】12##0.5【分析】分析可得当四边形ABOC 为平面四边形时，点A 到点O 的距离最大，D 作DN ⊥平面ABOC ,垂足为N ，点D 作DM ⊥平面α，垂足为M ，则可求DM ，进而可求解.【详解】取AB 中点P ，连接CP ，当四边形ABOC 为平面四边形时，点A 到点O 的距离最大，此时，因为BO ⊥平面α，BO ⊂平面ABOC ，所以平面ABOC ⊥平面α，过D 作DN ⊥平面ABOC ,垂足为N ，则N 为正三角形ABC 的重心，设正四面体的边长为1，则2333CN CP ==,因为直线BC 与平面α所成角为30︒即30BCO ∠= ,且30BCN ∠= ，所以60OCN ∠= ,所以点N 到平面α的距离等于1sin 602d CN == ，过点D 作DM ⊥平面α，垂足为M ，则12DM d ==,所以直线CD 与平面α所成角的正弦值为12DM CD =，故答案为:12.四、解答题17．已知函数()()π=cos +>0,>0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫≤ ⎝⎭的部分图象如图．(1)求()f x 的解析式及单调减区间；(2)求函数π=24y f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π()cos(26f x x =-，减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)函数y 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-【分析】（1）利用已知条件求出函数()f x 的关系式，从而可求单调减区间；（2）由（1）得函数2π2cos(23y x =-，根据x 的范围，结合余弦函数性质得最值.【详解】（1）解：由图可知1A =，且ππ2π43124T ω=-=，所以2ω=，所以()cos(2)f x x ϕ=+，将点π(,1)12代入解析式可得πcos()16ϕ+=，得π2π,Z 6k k ϕ+=∈即π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ≤，所以π6ϕ=-则()cos(2)6f x x π=-所以()f x 的单调减区间满足π2π2π2π,Z 6k x k k ≤-≤+∈解得：π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈则()f x 的单调减区间为：π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：由（1）得：πππ2π2()2cos 2()2cos(2)4463y f x x x --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2π2,33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故当=0x 时，min 1y =-；当3x π=时，max 2y =所以函数y 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-.18．已知圆()22:24C x y +-=，直线:10l mx y m +--=．(1)证明：直线l 总与圆C 相交；(2)设直线l 与圆C 交于E ，F 两点，求CEF △面积最大时，直线l 的方程．【正确答案】(1)证明见解析(2)0x y -=【分析】(1)根据直线l 所经过的定点在圆内即可证明；(2)利用面积公式确定当π2ECF ∠=时，CEF S △最大，从而求出圆心C 到直线l 的距离d =从而可求解.【详解】（1）直线:10l mx y m +--=可化为()110m x y -+-=，令1x =则1y =，所以直线l 恒过定点(1,1)A ,圆心(0,2)C 到点(1,1)A 的距离为2AC r =<=，所以定点(1,1)A 在圆C 内，所以直线l 总与圆C 相交.（2）因为211sin sin 2sin 22CEF S CE CF ECF r ECF ECF =∠=∠=∠△，所以当π2ECF ∠=时，CEF S △最大，此时圆心C 到直线l 的距离2d r ==，因为d =1m =-，此时直线l 的方程为0x y -=.19．如图所示，己知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r ，x ，y 都为实数．(1)试用基底AM 和AN 来表示AG ，其中表示式中，系数中字母只含有x ，y ；(2)求2x y +的最小值．【正确答案】(1)1133AG AM AN x y=+(2)33+【分析】(1)根据向量的共线，利用基底表示求解；(2)利用基本不等式求解.【详解】（1）因为2111()3233AG AB AC AB AC =⨯+=+ ,因为AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r ，所以1133AG AM AN x y=+ （2）又因为,,M N G 三点共线，由（1）可得11133x y+=，因为,M N 在线段,AB AC 上，所以,0x y >，所以()111213(333331223x y x x y x y y y x ⎛⎛⎫++=++≥⋅+= ⎪⎝+= ⎭⎝+当且仅当2y x x y =即y =即22,66x y +==时取得等号.所以2x y +的最小值为33+.20．已知单调递增的等比数列{}n a 满足23439a a a ++=，且36a +是2a ，4a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13log n n n b a a =，12n n S b b b =+++ ，对任意正整数n ，102n n n m S a +++<恒成立，试求m 的取值范围．【正确答案】(1)13n n a -=(2)32m ≤-【分析】(1)根据等差中项和等比数列的通项公式求解；(2)利用错位相减法求和12n n S b b b =+++ ，再分离参变量可得131223n m -<-+⋅即可求m 的取值范围.【详解】（1）设公比为q ，因为36a +是2a ，4a 的等差中项，所以243212a a a +=+，又因为24339a a a +=-，所以3321239a a +=-解得39a =，所以由23439a a a ++=可得33339a a a q q++=，整理得231030q q -+=解得3q =或13q =（舍），又因为2319a a q ==，所以11a =，所以数列{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --==.（2）()111133lo 3g 31n n n n b n ---=--⋅=,()012103132313n n S n -⎡⎤=-⋅+⋅+⋅++-⋅⎣⎦ ,()123303132313n n S n ⎡⎤=-⋅+⋅+⋅++-⋅⎣⎦ ,所以()()112313(13)2333313132n n nn n S n n ---=++++--⋅=--⋅- ，所以133()3244n n S n =-+⋅-，因为102n n n m S a +++<恒成立，所以12()0n n S n m a +++<，所以33()3()3022n n n n m -+⋅-++⋅<，所以3333()3(3332222n n n n n m n n +⋅<-⋅+=⋅-⋅+，所以333322n n m ⋅<-⋅+即131223n m -<-+⋅，因为1110,232n -⎛⎤∈ ⎥⋅⎝⎦，所以1313,12232n -⎛⎤-+∈-- ⎥⋅⎝⎦，所以32m ≤-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，平面ABC ⊥平面11AAC C ．(1)证明：1A C ⊥平面ABC ；(2)若BC 与平面1AA B 1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)平面1AA B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为34.【分析】（1）取AB 的中点O ，AC 的中点H ，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到1BH A C ⊥，再证明出1A C AB ⊥，从而得到1A C ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，设1A C a =，然后算出直线BC 的方向向量和平面1AA B 的法向量坐标，然后可求出a ，然后再算出平面11BB C C 的法向量坐标，然后可算出答案.【详解】（1）如图，取AB 的中点O ，AC 的中点H ，连接OC ，1OA ，BH ，因为AB BC =，H 是AC 的中点，所以BH AC ⊥，平面ABC ⊥平面11AAC C ，平面ABC ⋂平面11=AA C C AC ，BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面11AAC C ，所以1BH A C ⊥，因11A A A B =，AC BC =，O 是AB 的中点，所以1OA AB ⊥，OC AB ⊥，又1=OA OC ⋂O ，1,OA OC ⊂平面1AOC ，所以AB ⊥平面1AOC ，因为1AC ⊂平面1AOC ，1A C AB ⊥.又BH AB B ⋂=，,BH AB ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC.（2）以O 为坐标原点，OB ，OC 分别为x ，y 轴，平行1AC 为z轴，建系如图所示，设1A C a =，则()1,0,0A -，()1,0,0B，()C，()1A a，()=BC - ，()2,0,0AB =，()1=AA a 设平面1AA B 的法向量为()111,,m x y z =，11111=0020=0m AA x az x m AB ⎧⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅⎪⎪⎩⎩ ，取1z =可得，110,x y a==所以(0,,m a = 为平面1AA B 的一个法向量，设BC 与平面1AA B 所成的角为θ，则sin cos ,4BC m θ== ，解得a =从而(m =，(11==BB AA ，设平面11BB C C 的法向量为()222,,x n y z =，2221220=0=00x n BB n BC x ⎧=⎧⋅⎪⇒⎨⎨⋅-=⎩⎪⎩ ，取2x 可得，221,2y z ==-，所以)2n =- ，所以()0123cos ,4n m +⨯-== ，设平面1AA B 与平面11BB C C 夹角为ϕ，所以3cos =cos ,4n m ϕ= ，所以平面1AA B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为34.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，且12A PA 的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过点P 且与椭圆C 交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之积为14，作PH l ⊥于H 点．①求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标；②问是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，请求出该定值，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22143x y +=(2)①(2,3)-；②19(,),24G GH -=【分析】(1)利用12A PA 的面积求出a 的值，再利用点3(1,)2P 在椭圆上，求出b ，从而求出椭圆的方程；(2)①讨论斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得出222(34)84120k x kmx m +++-=，利用韦达定理和题设条件：两直线斜率之积为14，得出k 与m 的关系，进而得出定点，斜率不存在时单独讨论；②利用PH l ⊥，得到动点H 在点P 和①中所求定点为直径的圆上，从而找出定点G ，求出定长GH .【详解】（1）由12A PA 的面积为3，得到：132322a ⨯⨯=，所以2a =又因为点3(1,2P 在椭圆上，291414b∴+=，得到b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）①当直线斜率不存在时，设直线1111111:(22,1),),(,)l x x x x A x y B x y =-<<≠-，（2211143x y ∴+=又111133122114PA PB y y k k x x ---⋅=⋅=--，得到221194(1)y x -=-，将2211334y x =-代入得到21120x x +-=，11x ∴=或12x =-，不合题意.当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+，1122(,),(,)A x yB x y 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到222(34)84120k x kmx m +++-=2222644(34)(412)0k m k m ∴∆=-+->，即2234m k <+21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++221212121212121212333333()()()()()122222211(1)(1)()14PA PB y y kx m kx m k x x k m x x m k k x x x x x x x x --+-⋅+-+-++-⋅=⋅===---⋅--++将21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++代入化简得：22422990k km m m +-+-=，即(223)(23)0k m k m +--+=故23m k =+或32m k =-+，代入直线方程y kx m =+，从而得到直线过定点(2,3)-或3(1,)2，又因为直线不过点P ，故直线l 过定点(2,3)-②PH l ⊥ ，由①知直线l 过定点(2,3)M -所以点H 在以PM 为直径的圆上，故当G 为圆心19(,)24-时，GH为定值12PM ，故存在定点19(,)24G -，使GH在圆锥曲线中证明直线恒过定点的常用方法：设直线方程为y kx m =+，利用已知条件和韦达定理，整理得到以下两种情况可以说明直线恒过定点：(1)直接得到m 为定值0m ，说明直线恒过定点0(0,)m ；(2)得到,k m 的关系式，将此关系式代回直线方程可以看出直线恒过定点.如本题23m k =+，则直线为(2)3y k x =++，说明直线恒过定点(2,3)-.另外对直线斜率不存在情况也要加以讨论.。

2022-2023学年浙江省杭州市八区县高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年浙江省杭州市八区县高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年浙江省杭州市八区县高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{}2|230B x x x =+->，则A B =（ ）A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x <D ．{|1}x x >【答案】B【详解】解：因为集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，{}{22301B x x x x x =+-=或}3x <-，所以A B ={|12}x x <<， 故选：B 2．已知复数2i1iz =-，则以下判断正确的是（ ） A ．复数z 的模为1 B ．复数z 的模为2 C ．复数z 的虚部为i D ．复数z 的虚部为1-【答案】B【分析】根据复数除法运算即可求得1i z =-+，根据复数模长公式和虚部定义即可判断结果.【详解】由2i1i z =-可得()()()222i 1i 2i 2i 1i 1i 1i 1i z ++===-+-+-； 即复数z 的虚部为1，所以CD 错误； 则复数z 的模为()22112-+=，即A 错误，B 正确；故选：B3．在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（ ）A ．12 B 3C 3D 6【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线AE ，FG 所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案.【详解】连接DE ，因为点F ，G 分别为棱CD ，AC 的中点， 所以FG //AD ，所以EAD ∠或其补角为异面直线AE ，FG 所成角，设正四面体的边长为a ， 则3AE DE ==，AD a =， 由余弦定理得：222222233344cos 232a a a AE AD DE EAD AE AD a+-+-∠===⋅⨯所以异面直线AE ，FG 3故选：C4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为（ ）A ．π2x = B ．π4x =C ．π6x =-D ．π3x =【答案】B【分析】根据三角函数图象变换可得平移后的解析式为()sin 2g x x =，利用整体代换即可求得对称轴方程.【详解】将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度可得()()sin π2sin 2g x x x =-=； 令π22π,Z 2x k k =+∈，即其对称轴方程为ππ,Z 4x k k =+∈，当0k =时，π4x =.ACD 均不符合要求. 故选：B5．2020年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行．基本再生数0R 与代间隔T 是流行病学基本参数，其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为（备注：ln20.69≈）（ ） A ．1.8天 B ．2.9天 C ．3.6天 D ．4.5天【答案】C【分析】先由数据求出0.38r =，故()0.38e tI t =，设病例数翻两番需要的时间约为1t ，列出方程，求出答案.【详解】由题意得：3.2816r =+，解得：0.38r =，故()0.38etI t =，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为1t ，则()()14I t t I t +=， 即()10.380.38e 4e t t t +=，所以10.384e t =，两边取对数得：10.38ln 42ln 220.69 1.38t ==≈⨯=， 解得：1 1.380.38 3.6t =÷≈（天）， 故选：C6．圆221:4O x y +=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为210x y -+= B ．公共弦AB 的长为645C ．线段AB 中垂线方程为20x y -=D ．290AO B ∠>【答案】D【分析】对于A ，联立两圆方程即可得公共弦AB 所在直线方程； 对于B ，由弦长公式计算即可；对于C ，由题意可知线段AB 中垂线为直线12O O ，求出直线12O O 的方程即可判断； 对于D ，求出,A B 坐标，计算出22O A O B ⋅的值，即可判断.【详解】解：对于A ，联立两圆方程得22224240x y x y x y ⎧+=⎨++-=⎩，可得220x y ， 即公共弦AB 所在直线方程为220x y ，故错误； 对于B ，设1(0,0)O 到直线AB ：220x y 的距离为d ，则有d =则弦长公式得：||AB =，故错误； 对于C ，由题意可知线段AB 中垂线为直线12O O ， 又因为1(0,0)O ，2(1,2)O -，所以直线12O O 的方程为20x y +=，故错误；对于D ，由22240220x y x y x y ⎧++-=⎨-+=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩或6585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取68(2,0),(,)55A B -，所以22112(1,2),(,),55O A O B -=--=所以22705O A O B ⋅=-<，所以290AO B ∠>︒，故正确. 故选：D.7．已知抛物线C 1：220y px p =>（）与椭圆C 2：22221(0)x y a b a b+=>>共焦点，C 1与C 2在第一象限内交于P 点，椭圆的左右焦点分别为12,F F ，且212PF F F ⊥，则椭圆的离心率为（ ） A1 B1C．4-D．3-【答案】B【分析】根据212PF F F ⊥得到2(,)b P c a ，然后将点P 代入抛物线方程得到222b pc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据共焦点得到2p c =，最后联立求离心率即可.【详解】结合抛物线及椭圆的定义可得2(,)b P c a 在抛物线上，故222b pc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2p c =，∴42222224222101b b c c a c ac e e e a a=⇒=⇒-=⇒+-=⇒=.故选：B.8．已知()2f x x a =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=，若函数()(),2n y f x x n n *=-∈≥N 不存．．在．零点，则实数a 可以取（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】利用反证法证明出：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠，从而可知方程()f x x =无实解，可得出Δ0<，求出实数a 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】首先证明：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠.利用反证法，假设存在0x ∈R ，使得()00f x x =，即()100f x x =， 则()()()()201000f x f f x f x x ===，猜想，对任意的n *∈N 且2n ≥，()00n f x x =，假设当()2,n k k k *=≥∈N 成立，即()00k f x x =，则当1n k =+时，()()()()10000k k f x f f x f x x +===， 这说明当1n k =+时，猜想也成立，所以，若()00f x x =，则对任意的n *∈N 且2n ≥，()00n f x x =，这与题设条件不符，假设不成立，故对任意的x ∈R ，()f x x ≠，即2x a x -+≠， 即方程20x x a +-=无实解，则140a ∆=+<，解得14a <-，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用复合函数零点的存在性求参数，解题的关键在于证明出：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠.从而将问题转化为方程()f x x =无实解，转化为Δ0<求解.二、多选题9．若方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列说法正确的有（ ）A ．若14t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为双曲线，则1t <或4t >C ．曲线C 不可能是圆D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<【答案】BD【分析】根据t 的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可. 【详解】对于A, 当52t =时，41,t t -=-此时曲线C 为圆，故A 错， 对于B,若曲线C 为双曲线，则(4)(1)0t t -⋅-<，即1t <或4t >， 故B 对，对于C, 若曲线C 为圆，则41,t t -=-即52t =，故曲线C 可能是圆，故C 错， 对于D, 曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则410t t ->->，解得512t <<，故D 对. 故选：BD.10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ）A ．事件A 发生的概率为14B ．事件A B ⋃发生的概率为56C ．事件,A B 是互斥事件D ．事件,A B 相互独立【答案】ABC【分析】A 选项，列举出两个小球标号之和大于5的情况，从而得到()P A ；B 选项，列举出抽取的两个小球标号之积小于6的情况，从而得到A B ⋃中共有情况数，得到()P A B ；C 选项，计算出()0P A B =，得到C 正确；D 选项，()()()P A B P A P B ≠⋅，D 错误.【详解】A 选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有4312⨯=种情况， 其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：()()()3,3,4,2,4,3，共3种情况， 故()31124P A ==，A 正确； B 选项，抽取的两个小球标号之积小于6的情况为：()()()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1,4,1，共7种情况，故A B ⋃中共有3710+=种情况，故()105126P A B ==，B 正确； C 选项，由于事件,A B 中无相同情况，故()0P A B =，所以件,A B 是互斥事件，C 正确； D 选项，因为()()()P A B P A P B ≠⋅，事件,A B 不互相独立，D 错误. 故选：ABC11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列关系式中正确的是（ ） A ．()()22sin b c b c ab C a +-=-B ．()()22cos b c b c ab C a +-=-C ．()()22sin sin sin sin A B A B A B +-=-D ．()()22cos cos cos cos A B A B A B +-=-【答案】BC【分析】利用余弦定理可判断出选项AB ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式以及平方关系化简可得C 正确，D 错误.【详解】根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得2222cos b c ab C a -=-； 即()()22cos b c b c ab C a +-=-，所以B 正确，A 错误；根据两角和与差的正弦公式可得：()()()()()()2222222222sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 1sin sin 1sin sin sin A B A B A B B A A B B A A B B A A B B A A B +-=+-=-=---=-即C 正确；对于D ：()()2222cos cos cos cos sin sin A B A B A B A B +-=-()()222222cos cos 1cos 1cos cos cos 1A B A B A B =---=+- 22cos sin A B =-，所以D 错误.故选：BC12．对于定义在R 上的函数()f x ，若()1f x +是奇函数，()2f x +是偶函数，且在[]1,2上单调递减，则（ ） A ．()30f = B ．()()04f f =C ．1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在[]3,4上单调递减【答案】AB【分析】由题有：()()11f x f x -+=-+，()()22f x f x -+=+.即()f x 图像关于()1,0对称，且关于直线2x =对称.A 选项，令0x =可得()1f ，1x =可得()3f ；B 选项，令2x =即可判断选项；C 选项，令12x =结合()f x 单调性可判断选项；D 选项，由图像的对称性可判断()f x 在[]3,4上的单调性.【详解】令()()1g x f x =+，由()1f x +是奇函数， 则()()()()11g x f x g x f x -=-+=-=-+， 即()()11f x f x -+=-+，()f x 图像关于()1,0对称. 令()()2h x f x =+，由()2f x +是偶函数， 则()()()()22h x f x h x f x -=-+==+， 即()()22f x f x -+=+，()f x 图像关于直线2x =对称. A 选项，令0x =，可得()()()1110f f f =-⇒=，又令1x =，可得()()130f f ==.故A 正确； B 选项，令2x =，可得()()04f f =，故B 正确； C 选项，令12x =，可得131302222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因()f x 在[]1,2上单调递减，由图像关于()1,0对称，则()f x 在[)0,1上单调递减， 即()f x 在[]0,2上单调递减，故1322f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故C 错误.D 选项，由()f x 在[]0,2上单调递减，结合()f x 图像关于直线2x =对称， 则()f x 在(]2,4上单调递增.故D 错误. 故选：AB【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论.()f x 为定义在R 上函数，若()f x a +为奇函数，则()()f x a f x a -+=-+， ()f x 图像关于(),0a 对称；若()f x a +为偶函数，则()()f x a f x a -+=+， ()f x 图像关于x a =对称.三、填空题 13．写出使不等式()3R ax x x++≥∈恒成立的一个实数a 的值__________． 【答案】不少于94的任意一个实数【分析】对不等式()3R a x x x++≥∈全分离,即()23R a x x x +≥-∈恒成立,只需()2max3a x x ≥-,对二次函数配方即可求得最大值,进而求得结果. 【详解】解:因为()3R ax x x++≥∈恒成立, 所以()23R a x x x +≥-∈,即只需()2max3a x x≥-,因为()22393R 24x x x x +⎛⎫-=--+∈ ⎪⎝⎭,所以()2max 934x x -=,故只需94a ≥即可.故答案为: 不少于94的任意一个实数14．已知a ，b 为单位向量．若21a b -=，则a 在b 上的投影向量的模为______．【分析】根据模与向量的关系求出a b ⋅的值，再根据a 在b 上的投影向量的模的公式a b b⋅求出答案即可.【详解】由题可知：()()()2222222212221a b a ba ab ba b -=-=-⋅+=+-⋅=即22a b ⋅=，则a 在b 上的投影向量的模为22a b b ⋅= 故答案为:15．已知,,A B C 三点都在体积为500π3的球O 的表面上，若AB =60ACB ∠=︒，则球心O 到平面ABC的距离为__________． 【分析】由球的体积公式计算出球O 的半径R ，由正弦定理求出ABC 的外接圆半径r，从而得到球心O 到平面ABC 的距离.【详解】设球O 的半径为R ，则34π500π33R =，解得：5R =， 设ABC 的外接圆半径为r ，在ABC 中，由正弦定理得：24sin AB r ACB ===∠，故2r =，则球心O 到平面ABC 的距离为d =16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作直线交两条渐近线于点A ，B ，且1132AF BF =．若A 点在x 轴上的射影为M ，则112AF M BF F S S =△△__________． 【答案】1516【分析】根据题意，利用三角形面积公式和比例性质，由11211112132142AAF M BF F B F M y S F SF F F y A C ⋅==⋅⋅求解即可.【详解】如图所示：则1121111111211211121333212442AAF M BF F B F M y S F M AF F M F M F SF F BF F F FO F F F A C y ⋅⋅==⋅=⋅=⋅=⋅，双曲线C 的渐近线为by x a=±， 32A A B B x y x y ∴==， 32A B AC x BCx ∴==， 不妨设12BF =，13AF =，1AB =，则35AC =，25BC =，1125FC =，13F A =， 1154F A FC ∴=， 11211315416AF M BF F S F A SFC ∴=⋅=. 故答案为：1516. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用比例的性质与点的坐标的关系求得32AC BC=，从而求得1154F A FC =，由此结合1121134AF M BF F ACS F S F =⋅求解即可.四、解答题17．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若[],1,1m n ∈-，0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+．(1)证明：()f x 在[]1,1-上是增函数；(2)解不等式()()2110f x f x -+-<；(3)若存在实数x 使得()253f x t t ≤-+成立，求实数t 的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2){|01}x x << (3)1t ≤或4t ≥【分析】（1）结合条件，利用单调性定义证明函数单调性.（2）将不等式等价转化，利用函数奇偶性和单调性，建立不等式组，求得解集. （3）双变量问题，求出()f x 的最小值小于等于253t t -+，解不等式即可. 【详解】（1）对任意的[]12,1,1x x ∈-，由题意得：()()()12120f x f x x x +->+-当1211x x ,120x x -<时，()()()()12120f x f x f x f x +-=-<，则()()12f x f x <，故()f x 在[]1,1-上是增函数．（2）()()()2111f x f x f x -<--=-因为()f x 为奇函数，且在[]1,1-上是增函数，则 2211111111x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩则不等式的解集为{|01}x x <<（3）存在实数x ，使得()253f x t t ≤-+，等价于2min ()53f x t t ≤-+()min ()11f x f =-=-，则2531t t -+≥-，所以实数t 的取值范围是1t ≤或4t ≥18．已知函数()2cos 24)2f x x x πωωω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭(1)求()0f 的值； (2)若()023f x =，且052,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再从下面①②③中选取一个作为条件，求012f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．①函数的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭；②函数图象过点,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭；③两条相邻对称轴间的距离为2π．【答案】(1)【分析】(1)先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后直接求值可得； (2)根据所选条件，利用相应性质可求得ω，然后由()023f x =，结合和差公式可得.【详解】（1）())2sin22cos 1sin2f x x x x x ωωωω=-=2sin 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02sin 3f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）选①：263k ππωπ⋅-=，则()13Z k k ω=+∈，因为04ω<<，则1ω=选②：sin 163ππω⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，因为04ω<<，则,633πππωπ⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭故632πππω--=-，1ω=选③：22T π=，故22T ππω==，则1ω= 因为()0022sin 233f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以01sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为052,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以02,32x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故0cos 233x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0002sin 22sin 212636f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭19．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,...,80,90，绘制出如下的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；(2)先从得分在[)60,80的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率. 【答案】(1)众数为75分；中位数为72.5分 (2)25【分析】（1）根据众数、中位数的定义结合频率分布直方图运算求解；（2）根据频率分布直方图结合分层抽样求每组抽取的人数，利用列举法解决古典概型的概率问题. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：[)70,80的频率最大，则众数为75分； ∵[)[)[]60,70,70,80,80,90的频率分别为0.2,0.4,0.2， 设中位数为x ，则[)70,80x ∈，由题意可得：()0.04800.20.5x -+=，解得72.5x =， 故中位数为72.5分.（2）因为[)[)60,70,70,80人数之比为1：2，所以[)60,70应抽取2人，设为A ，B ，[)70,80应抽取4人，设为C ，D ，E ，F ， 这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ， 其中选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率包含6种， 故选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率62155P ==. 20．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DA DB ===．(1)求点B 到平面PAC 的距离； (2)求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】(1)55(2)77【分析】(1)根据题意可得DAB 为正三角形，求出PCDS，利用等体积法即可求解；(2) 取AB 中点E ，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出平面PCD 和平面BPC 的法向量法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为1DA DB ==，底面为菱形，则DAB 为正三角形， 3AC =，则15153224PCAS=⨯⨯=， 11534B PAC V h -=⨯⨯，因为PD ⊥平面ABCD ，所以1133132212P ABC V -=⨯⨯⨯=B PAC P ABC V V --=，得1531212h ⨯=，则55h =故点B 到平面PAC 的距离为55（2）取AB 中点E ，则DE DC ⊥，因为PD ⊥底面ABCD ，,DC DE ⊂底面ABCD ，所以,PD DC PD DE ⊥⊥，所以,,DP DE DC 两两互相垂直，则分别以DE ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.DE ⊥平面PDC ，则平面PCD 的法向量为()1,0,0n =,1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0C ，设平面BPC 的法向量(),,m x y z =， 则·0·0BC m PC m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1020y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，令1x =，则(1,3,m =． 设二面角B PC D --的平面角为θ，则由空间向量的夹角公式可得：1cos 7n m n mθ===故二面角B PC D --21．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价()P x （元）与时间x （元）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正实数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求k 的值；(2)给出以下两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()25Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)在（2）的情况下，求该商品的日销售收入()()030,N f x x x +≤≤∈（元）的最小值． 【答案】(1)1k =(2)选②，()12525Q x x =--，130,N x x +≤≤∈ (3)min ()121f x =【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元列出方程，求出1k =；（2）当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，代入()10110Q =，()20120Q =，待定系数法求出解析式；（3）求出()()()100101,125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x++⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩，当125x ≤≤时，由对勾函数得到其单调性，从而求出最小值，当2530x <≤时，由函数单调递减求出最小值，比较后得到()f x 的最小值.【详解】（1）由题意得：第10天该商品的日销售收入为(10)(10)(1)11012110Q kP ⋅=+⨯=， 解得：1k =，（2）由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②， ∵()25Q x a x b =-+，()10110Q =，()20120Q =，∴151105120a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1,125a b =-=，∴()12525Q x x =--，130,N x x +≤≤∈；（3）由（2）可知：()100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x +++≤≤∈⎧=--=⎨-<≤∈⎩， 所以()()()100101,125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x++⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩ 当125x ≤≤时，由对勾函数知100y x x=+在[]1,10上递减，在[]10,25上递增， 所以当10x =时，()f x 取最小值，min ()121f x =， 当2530x <≤时，150y x x=-在(]25,30上递减， 所以当30x =时，()f x 取最小值，min ()124f x =， 综上：所以当10x =时，()f x 取最小值，min ()121f x =.22．已知点,A F 分别为双曲线222:(0)C x y a a -=>的左顶点和右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B ，ABF △的面积为)21．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线112y kx k ⎛⎫=-≠- ⎪⎝⎭与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，记MON △，APQ △的面积分别为1S ，2S （O 为坐标原点）．若12S S λ=，求实数λ的取值范围． 【答案】(1)22144x y -= (2)1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据双曲线方程即可写出,,a b c 之间的关系，再根据三角形面积公式解得2a =，即可得到双曲线C 的方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式即可写出MON △的表达式，同理可得APQ △的面积表达式，再通过构造函数即可求得实数λ的取值范围． 【详解】（1）由题意可知2222:1x y C a a-=，所以(),0A a -，(),0F c ，由已知c =，可得(),B c a ， 则()))2111121222FB AB SAF y c a a a =⋅=+⋅==，解得2a =，所以双曲线C 的方程为22144x y -=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y联立221144y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得()221250k x kx -+-=所以()22212210Δ42010501k k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪=+->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩，解得11k -<<，由12221k x x k -+=-，12251x x k -=-可得，12MN x =-== 原点到直线1y kx =-的距离1d =，所以112MONSMN d ==设()33,P x y ，()44,Q x y ，易知渐近线方程为y x =±， 不妨设()33,P x y 在渐近线y x =上，由1y kx y x =-⎧⎨=⎩得311x k =-，同理，411x k =+所以3411PQ x k =-=+ ()2,0A -到直线1y kx =-的距离2d所以222111221APQk SPQ d k +==-=所以MON APQ S S λ===， ()()211,00,3t k =+∈-⋃，则λ==令()11,1,3u t⎛⎫=∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，则13λ=故λ的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。

浙江省杭州市数学高二下学期理数期末考试试卷

浙江省杭州市数学高二下学期理数期末考试试卷

浙江省杭州市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知a,b，若（其中i为虚数单位），则（）A . a=1,b=1B . a=1,b=-1C . a=-1,b=1D . a=-1,b=-13. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ， yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A . y与x具有正的线性相关关系B . 回归直线过样本点的中心（，）C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg4. （2分） (2018高二下·滦南期末) 已知随机变量服从正态分布，且，（）．A .B .C .D .5. （2分）已知函数f(x)=x2+bx+c的导函数y=f'(x)的图象如图所示，且f(x)满足b2-4c>0，那么f(x）的顶点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2019高二下·荆门期末) “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M的概率都是 .现在李某单独研究项目M ，且这个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个人团队解决项目M的概率为，若，则的最小值是（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分） 2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .8. （2分）若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·烟台期中) 曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A .B .C . 1D . 210. （2分）函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A . 1，－1B . 3，-17C . 1，－17D . 9，－1911. （2分）有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2人只能做韩语翻译，另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译．要从中选5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A . 900B . 800C . 600D . 50012. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若,则常数T的值为 ________14. （1分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=________15. （1分） (2015高二下·张掖期中) 函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围是________．16. （1分）(2016·诸暨模拟) 已知等比数列{an}的首项a1=1，且a2、a4、a3成等差，则数列{an}的公比q=________，数列{an}的前4项和S4=________．三、解答题 (共5题；共25分)17. （5分） (2015高二下·淮安期中) 已知z是复数，z+2i，均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18. （5分）求二项式（x2+）10的展开式中的常数项？19. （5分） (2018高二下·辽宁期末) 4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区，绿色出行引领时尚，旅顺口区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计，若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，抽取一个容量为200的样本，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷(理科)

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷(理科)

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设则a0,a1,...,a8中奇数的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）且n<55,则乘积(55-n)(56-n)...(69-n)等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·河南模拟) 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A .B .C .D .4. （2分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且。

若，则称甲乙“心有灵犀”。

现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·太原期中) 关于残差和残差图，下列说法正确的是（）⑴残差就是随机误差⑵残差图的纵坐标是残差⑶残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高⑷残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低．A . （1）（2）B . （3）（4）C . （2）（3）D . （2）（4）6. （2分）设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则表中的a的值为（）ξ1234P aA . 1B .C .D .7. （2分） (2017高二上·清城期末) 二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A . 3或B .C . 3D . 3或8. （2分） (2016高二下·仙游期末) 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门．其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门．则不同的分配方案有（）A . 36种B . 38种C . 108种D . 114种二、填空题 (共5题；共6分)9. （1分） (2019高二下·虹口期末) 用0，1，2，3，4可以组成________个无重复数字五位数.10. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________11. （1分）(2017·内江模拟) （x+y）（x﹣y）7点展开式中x4y4的系数为________（用数字填写答案）12. （2分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）株数418x6则x的值为________；若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．则排查的树木恰好为2株的概率为________．13. （1分） (2017高二下·赣州期中) 3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为________．三、解答题 (共4题；共40分)14. （5分）证明：若n∈N + ，则3 2n+3﹣24n+37能被64整除．15. （20分） (2016高二下·晋江期中) 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？16. （10分）新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：（8，2960），（13，3830），（17，4750），（22，5500），（（25，6370）），（33，8140），（（37，8950）），（45，10700），设由这8组数据得到的回归直线方程为 = x+1110，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车．（1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数01234≥5下一年的保费倍率0.851 1.25 1.5 1.752连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如表（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）：一年中的出险次数01234≥5频数5003801001541根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）17. （5分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次得的概率.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共4题；共40分)14-1、15-1、15-2、15-3、15-4、16-1、16-2、17-1、。

浙江省杭州中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

浙江省杭州中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

杭高2023学年第一学期期末考试高二数学试题卷（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线:10l x ++=的倾斜角的大小为（）A.30 B.60C.120D.150【答案】D 【解析】【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由:10l x ++=可得3333y x =--，所以直线l 的斜率为33k =-，设直线l 的倾斜角为α，则tan 3α=-，因为0180α≤<o ，所以150α= ，故选：D.2.若数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则12100111a a a +++= （）A.100101B.1101C.101100D.99100【答案】A 【解析】【分析】利用裂项相消求和可得答案.【详解】()111111n a n n n n ==-++，则1210011111111110011223100101101101+++=-+-++-=-= a a a .故选：A.3.若数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，则2024a =（）A.3B.2C.12D.1-【答案】C 【解析】【分析】由递推公式计算数列的前几项得出周期，即可的答案.【详解】因为数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，所以212a =，31a =-，42a =，512a =，...，故数列的周期为3，故202421.2a a ==故选：C.4.在空间四边形ABCD 中，,,DA a DB b DC c === ，且,2DM MA BN NC == ，则MN =（）A.112233a b c --B.121233a b c-++C.112233a b c-++ D.111222a b c-++ 【答案】C 【解析】【分析】由MN MA AB BN =++可表示出.【详解】()1223MN MA AB BN DA DB DA BC=++=+-+()()1223DA DB DA DC DB =+-+-121112332323DA DB DC a b +=+-+-=+.故选：C.5.以下四个命题中，正确的是（）A.若1123OP OA OB =+，则,,P A B 三点共线B.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠，则b c =【答案】B 【解析】【分析】根据向量三点共线可判断A ；假设,,a b b c c a +++ 共面，设()()a b m b c n c a +=+++得出矛盾可判断B ；举反例可判断C ；利用数量积公式计算可判断D.【详解】对于A ，若,,P A B 三点共线，则OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，而1151236+=≠，故A 错误；对于B ，假设,,a b b c c a +++共面，设()()()a b m b c n c a ma mb m n c +=+++=+++，因为{},,a b b c c a +++ 为空间的一个基底，所以110m n m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，该方程组无解，假设不成立，故B 正确；对于C ，设()()()1,3,1,2,2,1,3,4,1a b c ==-=，则()()515,20,5a b c c ⋅⋅== ，()()()33,9,315,20,5a b c a ⋅⋅=⨯=≠，故C 错误；对于D ，由a b a c ⋅=⋅r r r r 得()0a b c ⋅-=，设a 与b c - 的夹角为θ，所以cos 0a b c θ⋅-=，因为0a ≠ ，所以cos 0b c θ-= ，不一定有b c = ，故D 错误.6.已知圆()()221:2416C x y -++=，圆222:230C x y x ++-=，则两圆的公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.【详解】因为圆()()221:2416C x y -++=，圆()222:14C x y ++=，所以125C C =，12126,2R R R R +=-=，所以121212R R C C R R -<<+，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（）A.﹣51B.﹣20C.27D.40【答案】D 【解析】【分析】由{a n }是等比数列可得S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，列方程组，从而即可求出S 40的值．【详解】由{a n }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．8.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠= ，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率（）A.3B.9C.D.2【解析】【分析】根据双曲线定义和22MN NF =得到边长之间的关系，结合勾股定理得到方程，求出离心率.【详解】设2NF n =，则2MN n =，23MF n =，由双曲线定义得212MF MF a -=，故132MF n a =-，由勾股定理得2221212MF MF F F +=，即()2229324n n a c +-=①，连接1NF ，则122NF NF a -=，故12NF a n =+，由勾股定理得22211MF MN NF +=，即()()2224322n n a a n +-=+②，由②得43n a =，代入①得22204a c =，故ca=故选：C二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列求导运算正确的是（）A.若()cos(23)f x x =+，则()2sin(23)f x x '=+B.若21()e x f x -+=，则21()e x f x -+'=C.若()e xx f x =，则()1e x xf x ='-D.若()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+【答案】CD 【解析】【分析】利用导数公式及运算法则，求解即可.【详解】对于选项A:()cos(23)f x x =+ ,()sin(23)(23)2sin(23)f x x x x ''∴=-+⋅+=-+,故选项A 错误；对于选项B:21()e x f x -+= ,()2121()e 212e x x f x x '-+-+∴=⋅-+=-',故选项B 错误；对于选项C:()ex xf x = ,()()2e e 1e e x xx xx xf x --∴==',故选项C 正确；对于选项D:()ln f x x x = ,1()1ln ln 1f x x x x x'∴=⨯+⋅=+,故选项D 正确；故选：CD.10.某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（）A.极差B.中位数C.平均数D.方差【答案】ACD 【解析】【分析】利用平均数、中位数、平均数、方差的定义进行判断.【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B 错误.故选：ACD.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，12AB AC AA ===，,E F 分别是11,BC A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A.//EF 平面11AA B BB.若D 是11B C 上的中点，则BD EF ⊥C.直线EF 与平面ABC所成角的正弦值为5D.存在点D 使直线BD 与直线EF 平行【答案】AC 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断各选项的正误.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()10,2,2C 、()1,1,0E 、()0,1,2F .对于A 选项，()1,0,2EF =- ，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =，0EF m ⋅= ，则EF m ⊥，又因为EF ⊄平面11AA B B ，所以，//EF 平面11AA B B ，故A 正确；对于B 选项，当D 是线段11B C 的中点时，()1,1,2D ，()1,1,2BD =-，则50BD EF ⋅=≠，故B 错误；对于C 选项，由A 知()1,0,2EF =- ，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1u =，则·sin ,cos ,5EF uEF u EF u EF u===，故C 正确；对于D 选项，设()()1112,2,02,2,0B D B C λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()112,2,2BD BB B D λλ=+=-，假设存在点D 使直线BD 与直线EF 平行，则存在0μ≠使EF BD μ=，即2·20·21·2μμλμλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，无解，所以假设不成立，故D 错误.故选：AC.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知12(2,0),(2,0),(1,1)F F A --，若动点P 满足126,PF PF +=则（）A.存在点P ，使得21PF =B.12PF F 面积的最大值为C.对任意的点P ，都有292PA PF +>D.椭圆上存在2个点P ，使得1PAF 的面积为32【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆22195x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =，即可判断A ；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F 面积的取最大值，即可判断B ；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-即可判断C ；求得使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，即可判断D.【详解】由题知，点P 的轨迹是3a =，2c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =22195x y +=，A ：当点P 为椭圆右顶点时，2321PF a c =-=-=，故A 正确；B ：当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，且最大值为1212F F b =B 错误；C ：2112266PA PF PA a PF a AF +=+-≥-==，因为96 4.59 4.52≈>=，故C 正确；D ：设使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标为()00,P x y ，由A ，1F 坐标知，1AF =，直线1AF 的方程为20x y -+=，则1322=，解得0010x y --=或0050x y -+=，联立00220010195x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得20075200y y +-=，则2528200∆=+⨯>，因此存在两个交点；同理可得直线与椭圆联立00220050195x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200725400y y -+=，则22528404950∆=-⨯=-<，所以不存在交点；综上，有且仅有2个点P ，使得1PAF V 的面积为32，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：①椭圆上任意一点的焦半径范围为a c PF a c -≤≤+；②椭圆中当点P 位于椭圆上下顶点时焦三角形()12PF F 的面积有最大值bc ；③求直线与椭圆交点个数时，将直线与椭圆方程进行联立，利用判别式判断交点个数.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等差数列{}n a 中，12565,7a a a a +=+=，则910a a +=________.【答案】9【解析】【分析】根据等差数列的性质可得910a a +的值.【详解】因为()9101256214a a a a a a +++=+=，125a a +=，所以9109a a +=.故答案为：914.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_____.【答案】710.【解析】【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.15.若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【答案】18a ≥【解析】【分析】依题意可得()210af x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210af x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭当14x =时()max 18g x =所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.16.高斯函数[]y x =是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中R,[]x x ∈表示不超过x 的最大整数，如[π]3,[3.5]4=-=-.已知{}n a 满足()*111,21n n a a a n +==+∈N ，设1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，[]{}n S 的前n 项和为n T .则（1）3T =_____；（2）满足2024n T ≥的最小正整数n 为____．【答案】①.1②.91【解析】【分析】利用构造法可得数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，则由题意可得，111112221n n n a a ++=-⋅-，231111122212121n n n S +⎛⎫=-⋅+++ ⎪---⎝⎭ ，利用放缩法可得所以122n n n S -<<，所以[]1,2121,22n n n k S nn k -⎧=+⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，可解问题.【详解】由题可知：()*111,21n n a a a n +==+∈N ，则()()*1121n n a a n ++=+∈N，且112a +=，即{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列，所以12nn a +=，则21nn a =-，所以11121111222121n n n n n a a +++-==-⋅--．所以231111122212121n n n S +⎛⎫=-⋅+++ ⎪---⎝⎭．设231111212121n n R ++++--=- ，则231211111101221212122n n nR +<+++<+++<---= ．所以231111112222121212n n n n nS +-⎛⎫<=-⋅+++< ⎪---⎝⎭ ．所以[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=-⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩且k 为正整数，所以30011T =++=．所以222001122k T k k k k +=++++++++=+ ，221001122k T k k +=+++++++= ．所以9190202520241980T T =>>=，所以满足2024n T ≥的最小正整数n 为91．故答案为：1；91．【点睛】思路点睛：利用放缩法求出122n n n S -<<，从而由题意得[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=+⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，即可解决问题.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos ).C a B +b A c =（1）求C ；（2）若5c =，ABC的面积为ABC 的周长.【答案】（1）π3C =（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式化简计算即可；（2）表示出面积，结合余弦定理计算即可.【小问1详解】由已知及正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=,即()2cos sin sin C A B C ⋅+=，故2cos sin sin C C C ⋅=,由()sin sin 0A B C +=>，可得1cos 2C =,因为()0,πC ∈，π3C ∴=.【小问2详解】由已知得，1sin 2ABC S ab C =⋅= 又π3C =，所以8ab =,由余弦定理得：222cos 25a b ab C +-⋅=，所以2233a b +=，从而()249a b +=，即7a b +=,∴ABC 周长为12a b c ++=．18.如图，在平行四边形ABCD 中，1,2,60AB BC ABC ∠=== ，四边形ACEF 为正方形，且平面ABCD ⊥平面ACEF .（1）证明:AB CF ⊥；（2）求平面BEF 与平面ADF 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34.【解析】【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到AB AC ⊥，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到面面角的余弦值.【小问1详解】因为1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，于是222AC AB BC +=，所以AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面ACEF ，又CF ⊂平面ACEF ，所以AB CF ⊥【小问2详解】因为四边形ACEF 为正方形，所以AF AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF ⊂平面ACEF ，所以AF ⊥平面ABCD .以A 为原点，AB ，AC ，AF所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.()0,0,0A，()1,0,0B，()C，(F，(E，()D-，(BE=-，()0,EF=，()AD=-，(AF=.设平面BEF的一个法向量为(),,m x y z=，所以m BE xm EF⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得0y=，令1z=，则x=)m= ，设平面ADF的一个法向量为()111,,n x y z= ，所以111n AD xn AF⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得10z=，令11y=，则1x=)n= ，所以33cos,224m nm nm n⋅⋅〈〉===⋅⨯，记平面BEF与平面ADF的夹角为θ，则3cos cos,4m nθ=〈〉=，即平面BEF与平面ADF夹角的余弦值为34.19.已知函数32()2f x x ax=-.（1）讨论()f x的单调性；（2）已知1a=时，直线:l y kx=为曲线32()2f x x ax=-的切线，求实数k的值．【答案】（1）答案见解析（2）0k=或18k=-【解析】【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当0a>，0a=，0a<时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.（2）求导后根据导数的几何意义设切点00(,)P x y，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.【小问1详解】()()26223f x x ax x x a -='=-．令()=0f x '，得0x =或3a x =．若0a >，则当(),0,3a x ∞∞⎛⎫∈-⋃+⎪⎝⎭时，()>0f x '；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f x '．故()f x 在(),0,,3a ∞∞⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；若0a =时，3()2f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a <，则当(),0,3a x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，()>0f x '；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f x '．故()f x 在(),,0,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述：当0a >时，()f x 在(),0,,3a ∞∞⎛⎫-+⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；a<0时，()f x 在(),,0,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．【小问2详解】当1a =时，()()3222,62f x x x f x x x'=-=-设切点00(,)P x y ，则切线方程为()()()322000000262y y y x x x x x x -=--=--因为切线过原点，故32320000262x x x x -+=-+，即32004x x =，解得00x =或014x =所以0k =或18k =-.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2844n n n S a a =++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11212n n n n b a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T .【答案】（1）42n a n =-（2）224123n n T n n-=+-【解析】【分析】（1）根据n a 与n S 的关系化简求解即可；（2）采用分组求和的方式计算即可.【小问1详解】2844n n n S a a =++ ①2111844n n n S a a ---∴=++②①-②整理得11()(4)0,2n n n n a a a a n --+--=≥ 数列{}n a 是正项数列，14,2n n a a n -∴-=≥当1n =时，21111844, 2.S a a a =++=由可得∴数列{}n a 是以2为首项，4为公差的等差数列，42n a n ∴=-；【小问2详解】由题意知，1223n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故()()24222122215943n n T n -=+++++++++- ()()114143142nn n ⨯-+-=+-24123n n n -=+-.21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()11,A x y 是曲线C 上一点．（1）若154AF y =，求点A 的坐标；（2）若直线:l y x m =+与抛物线C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过点(4,0)P ，求||AB .【答案】（1）1,14⎛⎫⎪⎝⎭或()4,4（2）或【解析】【分析】（1）利用点()11,A x y 是曲线C 上一点，结合抛物线的定义整理计算即可;（2）结合题意转化为0PA PB ⋅=，借助韦达定理得0m =或12=-m ，再借助弦长公式计算即可.【小问1详解】由抛物线2:4C y x =，可得焦点为()1,0F ，由抛物线的定义可得11AF x =+，而2114y x =，所以2115144y y +=，解得11y =或14y =.当11y =时，114x =;当14y =时，14x =.所以点A 的坐标为114⎛⎫⎪⎝⎭，或()4,4.【小问2详解】设()22,B x y ，联立方程24y x my x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+=，所以16160m ∆=->，即1m <,且121244y y y y m+=⎧⎨=⎩，由题知，12121212(4)(4)(4)(4)0PA PB x x y y y m y m y y ⋅=--+=----+=，整理得()()()212122440y y m y y m -++++=，即()()284440m m m -+++=，解得0m =或12=-m ，当0m =时，12AB y=-===；当12=-m 时，12AB y y =-===.综上所述：弦长AB 的值为或.22.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =，焦点到渐近线的距离为1，过点(0,4)M 作直线AB （不与y 轴重合）与双曲线C 相交于,A B 两点，过点A 作直线:l y t =的垂线,AE E 为垂足．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）是否存在实数t ，使得直线EB 过定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2213y x -=（2）存在实数3t 4=，使得直线EB 过定点190,8P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）焦点到渐近线的距离为b ，在根据渐近线方程求出a ；（2）计算出EB 的直线方程，再令0x =即可求出定点坐标.【小问1详解】焦点到渐近线的距离不妨求()0,c 直线ay x b=的距离221bc d b a b===+，渐近线方程3ay x b=±=，得3a =所以双曲线方程为2213y x -=；【小问2详解】假设存在实数t ，使得直线EB 过定点P ,设直线()()1122:4,,,,AB y kx A x y B x y =+，则()1,E x t ．联立22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 得()2238130k x kx -++=则1212228,3313x k x x k x k +=-=--．直线2121:()y tEB y t x x x x --=--，令0x =得:()211211121121212144p kx x tx y x tx kx x x tx y t t tx x x x x x -++-+--+=+=+=+---又()121212121313,88x x kx x x x x x k =--=++ 2121131988p x t x y t x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∴=+-当1319088t ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭即3t 4=时，p y 为定值198所以存在实数3t 4=，使得直线EB 过定点190,8P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

浙江省杭州市八区县2022-2023学年高二上学期数学期末试卷(含答案)

浙江省杭州市八区县2022-2023学年高二上学期数学期末试卷(含答案)

20．四棱锥
中，底面
为菱形， 底面
， 用 用 用．
（1）求点 到平面 （2）求二面角
的距离； 的余弦值．
21．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月
内（以 30 天计）的日销售价 ሺ ‫（ݔ‬元）与时间 （元）的函数关系近似满足 ሺ ‫ ݔ‬用
（ 为正实数）．该
合点斜式方程和转化法得出直线 的一般式方程；由 向量的坐标表示和数量积的坐标表示和数量积的定义，进而得出
用
用 䁪
䁪得出交点
A，B
的坐标，再结合
晦 䁪 ，从而找出正确的选项。
7．【答案】B
【解析】【解答】结合抛物线及椭圆的定义可得 ሺ ， ‫ݔ‬在抛物线上，故 ༄ 用 ሺ ‫ ݔ‬，且 ༄ 用 ，
∴用
D．2
A．若
，则曲线 为椭圆
B．若曲线 为双曲线，则
或晦
C．曲线 不可能是圆
D．若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则
10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为 1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为 1，2，3．从甲罐、 乙罐中分别随机抽取 1 个小球，记事件 用“抽取的两个小球标号之和大于 5”，事件 用“抽取的两个小球标号 之积小于 6”，则（ ）
浙江省杭州市八区县 2022-2023 学年高二上学期数学期末试卷
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
四
总分
评分
一、单选题 1．已知集合 用 { || |
}， 用 { |
晦 䁪}，则
用（ ）
A．{ |
}

2022-2023学年浙江省杭州市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省杭州市高二(下)期末数学试卷【答案版】

2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=17．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．3√28．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．34D ．√32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若函数f （x ）导函数的部分图象如图所示，则（ ）A ．x 1是f （x ）的一个极大值点B ．x 2是f （x ）的一个极小值点C ．x 3是f （x ）的一个极大值点D ．x 4是f （x ）的一个极小值点10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A ：“两次向上的点数之和大于7”，事件B ：“两次向上的点数之积大于20”，事件C ：“两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A ．事件B 与事件C 互斥 B ．P(AB)=572C ．P(B|A)=25D ．事件A 与事件C 相互独立11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1eC ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 ． 16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝2． （1）求抛物线C 的标准方程．（2）已知点P （1，0），直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D ． ①求证：直线CD 过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ．2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量， ∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3）， 故选：A ．2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c → D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：−b →−c →=−(b →+c →)，则b →+c →，b →，−b →−c →共面，故b →+c →，b →，−b →−c →不能构成基底，故A 错误；a →=12[(a →+b →)+(a →−b →)]，因此向量a →，a →+b →，a →−b →共面，故不能构成基底，故B 错误； 假设c →=λ(a →+b →)+μ(a →−b →)，即c →=(λ+μ)a →+(λ−μ)b →，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C 正确；(a →+b →)+c →=a →+b →+c →，因此向量a →+b →，a →+b →+c →，c →共面，故不能构成基底，故D 错误． 故选：C ．3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为√212的等比数列{a n }， 第四个单音的频率为a 4=f ×(√212)3=214f ．故选：B ．4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：①若点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外，则a 2+b 2＞1， ∵圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +2＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b ，∴d 与半径1的大小无法确定，∴不能得到直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，∴充分性不成立， ②若直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，则圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +1＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b 1，即a 2+b 2＞4，点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外．∴点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外是直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交的必要不充分条件． 故选：B ．5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C 31C 32A 22=18种．故选：C ．6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=1解：由统计学知识可知，R 2越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数R 2＝0.8732，B 小组的决定系数R 2＝0.9375， ∴B 小组的拟合效果好，则回归方程为v =−0.5006u +0.4922，又u ＝x 2，v ＝y 2，∴y 2＝﹣0.5006x 2+0.4922，即0.5006x 20.4922+y 20.4922=1．故选：C ．7．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3B ．72C ．4D ．3√2解：因为AD →+BD →+CD →=（OD →−OA →）+（OD →−OB →）+（OD →−OC →）＝3OD →−（OA →+OB →+OC →）＝3OD →， 且|OD →|＝1，所以|AD →+BD →+CD →|＝3，而|AD →+BD →+CD →|≤|AD →|+|BD →|+|CD →|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD →，BD →，CD →同时时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即AD →，BD →，CD →不同向， 所以|AD |+|BD |+|CD |＞|AD →+BD →+CD →|＝3，且|AD |，|BD |，|CD |均小于直径长2，即|AD |+|BD |+|CD |＜6， 综上，3＜|AD |+|BD |+|CD |＜6， 根据选项可知A 不符合． 故选：A ． 8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．34D ．√32解：不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为△PF 1F 2的内心，所以P A 为∠F 1PF 2的角平分线， 所以PF 1PF 2=F 1A AF 2，因为|OA →|=14c ，所以|PF 1||PF 2|=|F 1A||AF 2|=53，设|PF 1|＝5t ，则|PF 2|＝3t ，由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|＝8t ＝2a ， 可得t =a 4，所以|PF 1|=5a 4，|PF 2|=3a4，又因为PF 1→⋅PF 2→=|PF 1→|⋅|PF 2→|cos∠F 1PF 2=54a ×34a ⋅cos∠F 1PF 2=116a 2， 所以cos ∠F 1PF 2=115，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos∠PF1F2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2|PF1||PF2|=17a28−4c215a28=115，所以a2＝2c2，则e=√c2a2=√22．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（）A．x1是f（x）的一个极大值点B．x2是f（x）的一个极小值点C．x3是f（x）的一个极大值点D．x4是f（x）的一个极小值点解：由图象可知，当x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x2＜x＜x4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞x4时，f′（x）＜0，函数单调递减，故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点．故选：AB．10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（）A．事件B与事件C互斥B．P(AB)=572C．P(B|A)=25D．事件A与事件C相互独立解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为62＝36，事件A 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，3）、 （5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共15种， 事件B 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 事件C 包含的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、 （2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、 （3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、 （6，1）、（6，2）、（6，3），共30种， 对于A ，事件B 与事件C 互斥，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 所以，P(AB)=636=16，故B 错误； 对于C ，P(B|A)=n(AB)n(A)=615=25，故C 正确； 对于D ，P(A)=1536=512，P(C)=3036=56，事件AC 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4）、 （6，2）、（6，3），共9种， 所以，P(AC)=936=14≠P(A)⋅P(C)，故D 错误． 故选：AC ．11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 解：由题意可得e 2=a 2+4a =a +4a，因为a ＞0， 所以e 2=a 2+4a =a +4a ≥2√m ⋅4m =4，即e ≥2，当且仅当a =4a，即a ＝2 时，等号成立． 此时双曲线方程是x 22−y 26=1，渐近线方程是√3x ±y =0．故A 错误，B 正确；设直线为x ＝my +n 代入双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)， 可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）﹣a （a 2﹣a +4）＝0，又双曲线的渐近线方程为x 2a−y 2a 2−a+4=0，直线方程代入可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）＝0， ∵直线l 与双曲线右支交于两点A ，B ，与渐近线交于两点C ，D ，A 在B ，C 两点之间， ∴AB 、CD 的中点重合，∴|AC |＝|BD |，故C 正确．当a ＝1，双曲线的方程为x 2−y 24=1，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A （m ，n ），故双曲线在A （m ，n ）的切线方程为mx −14ny ＝1， 与y ＝2x 联立可得E 的横坐标为44m−2n， 与y ＝﹣2x 联立可得E 的横坐标为44m+2n，∴S △EOF =12|OE |•|OF |•sin ∠EOF =12×√1+22×44m−2n ×√1+22×44m+2n ×sin ∠EOF =52×1616m 2−4n 2×sin ∠EOF =52×1616×sin ∠EOF =52sin ∠EOF 为定值，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e C ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22解：对于A 选项：f （0）＝0，f ′(x)=x′⋅e x −x⋅(e x )′(e x )2=1−xe x ，f ′（0）＝1，所以曲线f （x ）在x ＝0处的切线为：y ＝x ； 同理g （1）＝0，g ′(x)=1−lnxx 2，g ′（1）＝1，曲线g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝x ﹣1， 即曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行，正确； 对于B 选项：f ′(x)=1−xe x，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1， 所以曲线f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f(1)=1e ， 又当x →﹣∞时f （x ）→﹣∞，当x →+∞时f （x ）→0，若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e 或a ≤0，错误； 对于C 选项：曲线g （x ）的定义域为：（0，+∞），g ′(x)=1−lnxx 2，令g ′（x ）＝0，解得x ＝e ，所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，且g(1)=0，g(e)=1e， 所以曲线f （x ）与曲线g （x ）的大致图像为：易知当x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（0，1）上无交点； 当x ∈[1，e ]时，f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，且f(1)=1e＞g(1)=0，f （e ）＝e 1﹣e ＜g （e ）＝e ﹣1，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（1，e ）上有一个交点；当x ∈（e ，+∞）时，记h （x ）＝x ﹣lnx ，ℎ′(x)=1−1x，当x ＞e 时h ′（x ）＞0恒成立， 即h （x ）在（e ，+∞）上单调递增，即h （x ）＞h （e ）＝e ﹣1＞0，即x ＞lnx ＞1， 又曲线f （x ）在（1，+∞）上单调递减，所以f （x ）＜f （lnx ），即x ex＜lnx e lnx=lnx x，即f （x ）＜g （x ）恒成立，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（e ，+∞）上没有交点； 所以曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点，正确；对于D 选项：当直线y ＝a 经过曲线f （x ）与g （x ）的交点时，恰好有3个公共点， 且0＜x 1＜1＜x 2＜e ＜x 3，x 1e x 1=x 2e x 2=lnx 2x 2=lnx 3x 3，由f （x 1）＝f （x 2）＝f （lnx 2），所以x 1＝lnx 2， 由g(x 2)=g(x 3)=g(e x 2)，所以x 3=e x 2， 即x 1⋅x 3=lnx 2⋅e x 2=x 22，正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ﹣28 ．解：（x ﹣y ）（x +y ）8＝x （x +y ）8﹣y （x +y ）8，二项展开式x （x +y ）8的通项为xC 8r x 8−r y r =C 8r x 9−r y r，二项展开式y （x +y ）8的通项为yC 8k x 8−k y k =C 8k x 8−k y k+1，令{r =6k +1=6，解得{r =6k =5，因此，x 3y 6项的系数为C 86−C 85=28−56=−28， 故答案为：﹣28．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 0 ． 解：因为f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ， 所以f ′(x)=−sin(x −1)−1x，f ″(x)=1x 2−cos(x −1)， 则f ′(1)=−11−sin0=−1，f ″(1)=11−cos0=0， 所以曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=|0|[1+(−1)2]32=0．故答案为：0．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 63 ． 解：因为a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，a 2＝8＞0， 所以a n ＞0，a na n−1=2(−1)n +n ， 所以b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1）=log 2(a 2n+2⋅a 2n−1a 2n ⋅a 2n+1)=log 2(a 2n+2a 2n+1)−log 2(a2na 2n−1) =log 2(2(−1)2n+2+2n +2)−log 2(2(−1)2n+2n)＝log 2（2n +4）﹣log 2（2n +2）所以S n =log 26−log 24+log 28−log 26+⋯+log 2(2n +4)−log 2(2n +2)=log 22n+44， 因为S n ﹣5＞0，所以log 22n+44＞5=log 232，即n+22＞32，解得n ＞62， 因为n ∈N *，所以正整数n 的最小值为63． 故答案为：63．16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 (−53，1) ． 解：由f(x)=2|x+2|+cos(π2x)向右平移2个单位，得g(x)=2|x|+cos(π2x −π)=2|x|−cos(π2x)为偶函数，所以g （x ）关于y 轴对称， 所以f （x ）关于x ＝﹣2对称，当x ≥0时，g ′(x)=2x ln2+π2sin(π2x)，当x ∈[0，2]时，因为sin(π2x)≥0，所以g ′（x ）＞0， 当x ∈（2，+∞）时，g ′(x)＞22ln2−π2＞0，所以g （x ）在上单调[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）上单调递减， 所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，由f （x +1）＞f （2x ）得|x +1+2|＞|2x +2|，即（x +3）2＞（2x +2）2，解得−53＜x ＜1， 所以使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是(−53，1)． 故答案为：(−53，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．（1）证明：因为EH →=AH →−AE →=λAD →−λAB →=λBD →， FG →=CG →−CF →=(1−λ)CD →−(1−λ)CB →=(1−λ)BD →， 所以EH →=λ1−λFG →，则EH →∥FG →，因此E 、F 、G 、H 四点共面． （2）解：由（1）知，EH →=13BD →，FG →=23BD →，因此EH →=12FG →，EH 、FG 不在同一条直线上， EH ∥FG ，则EM MG =EH FG =12，则EM →=12MG →，即OM →−OE →=12(OG →−OM →)， 当λ=13时，AE →=13AB →，即OE →−OA →=13(OB →−OA →)，可得OE →=23OA →+13OB →，因为CG →=23CD →，即OG →−OC →=23(OD →−OC →)，可得OG →=13OC →+23OD →，所以，OM →=23OE →+13OG →=23(23OA →+13OB →)+13(13OC →+23OD →)=49OA →+29OB →+19OC →+29OD →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）设差数列{a n }的公差为d ，则由S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)可得{4a 1+6d =8a 1+4d a 1+(2n −1)d =2a 1+2(n −1)d +1，解得{a 1=1d =2，因此a n =2n −1(n ∈N ∗)．（2）由a n ＝2n ﹣1，得a b n =2b n −1，又由{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，得a b n +1=2n ，因此2b n =2n ， 所以b n =2n−1，所以T n =1−2n1−2=2n −1．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ； （2）求二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值．（1）证明：取AC 中点M ，连接A 1M ，BM ，则BM ⊥AC ． ∵AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60°，∴△A 1AC 为等边三角形， ∴A 1M ⊥AC ，∵A 1M =BM =√3，A 1B =√6， ∴A 1M 2+BM 2=A 1B 2，∴A 1M ⊥BM ， ∵AC ∩BM ＝M ，∴A 1M ⊥平面ABC ，∵A 1M ⊂平面A 1ACC 1，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．（2）解：由题可知二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值与二面角A 1﹣AB ﹣C 正弦值相等． ∵A 1M ⊥平面ABC ，过M 作MN ⊥AB 于点N ，连接A 1N ， ∴∠A 1NM 即为所求二面角A 1﹣AB ﹣C 的平面角， ∵A 1M =√3，MN =A 1M ⋅cos60°=√32，∴A 1N =√3+34=√152， ∴sin∠A 1NM =A 1MA 1N =2√55．故二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值为2√55．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成M （M ∈N *）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．解：（1）列联表如下：零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，χ2=200(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524＞6.635，根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为p n，则当n≥2时，第n﹣1段行程上David坐地铁的概率为p n﹣1，不坐地铁的概率为1﹣p n﹣1，则p n=p n−1⋅0+(1−p n−1)⋅13=−13p n−1+13，从而p n−14=−13(p n−1−14)，又p1−14=34，所以{p n−14}是首项为34，公比为−13的等比数列；②由①可知p n=34(−13)n−1+14，则p5=34(−13)4+14＞14，又q5=13(1−p5)＜14，故p5＞q5．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．（1）求抛物线C的标准方程．（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．①求证：直线CD过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．解：（1）由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，x 1=p2，代入抛物线方程得y 1＝±p ， 则|AB |＝2p ，所以2p ＝2，即p ＝1， 所以抛物线C ：y 2＝2x ．（2）①设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 直线AB ：x =my +12，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2my ﹣1＝0，因此y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣1． 设直线AC ：x ＝ny +1，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2ny ﹣2＝0， 因此y 1+y 3＝2n ，y 1y 3＝﹣2，则y 3=−2y 1．同理可得y 4=−2y 2．所以k CD =y 3−y4x 3−x 4=y 3−y 4y 322−y 422=2y 3+y 4=2−2y 1+−2y 2=−y 1y2y 1+y 2=12m ，因此直线CD ：x ＝2m （y ﹣y 3）+x 3，由对称性知，定点在x 轴上， 令y ＝0得，x =−2my 3+x 3=−2my 3+y 322=−2m −2y 1+12(−2y 1)2=4m y 1+2y 12=2(y 1+y 2)y 1+2y 12=2+2(y 2y 1+1y 12)=2+2⋅y 1y 2+1y 12=2， 所以直线CD 过定点Q （2，0）．②因为S △PAB =12|PF|⋅|y 1−y 2|=14|y 1−y 2|， S △PCD =12|PQ|⋅|y 3−y 4|=12|−2y 1−−2y 2|=|1y 1−1y 2|=|y 1−y 2y 1y 2|=|y 1−y 2|， 所以S △PAB +S △PCD =54|y 1−y 2|=54√4m 2+4=52√m 2+1≥52， 当且仅当m ＝0时取到最小值52．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ． 解：（1）由题意可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣a ， 由切线方程可知其斜率为﹣2， 所以{f ′(0)=−2，f(0)=b ，，解得{a =1b =1．（2）证明：由f （x ）＝0可得（x ﹣1）2e x ﹣x ＝0，所以(x −1)2−xe x =0； 函数f （x ）有两个零点即函数g(x)=(x −1)2−xe x有两个零点． g ′(x)=(x −1)(2+1e x )，当x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增． 又g （0）＝1＞0，g(1)=−1e ＜0，g(2)=1−2e 2＞0， 所以g （0）g （1）＜0，g （1）g （2）＜0， 由零点存在定理可得∃x 1∈（0，1）使得g （x 1）＝0， ∃x 2∈（1，2）使得g （x 2）＝0， 所以函数f （x ）有两个零点．（3）证明：由（1）（2）知f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣x ， 可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣1且0＜x 1＜1＜x 2＜2．要证明f ′(x 1+x 22)＞−a ，即证明((x 1+x 22)2−1)e x 1+x 22−1＞−1，即证明x 1+x 2＞2．令h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ）（0＜x ＜1）， 则ℎ′(x)=g ′(x)+g ′(2−x)=(x −1)(2+1e x )+(1−x)(2+1e 2−x )=(1−x)(e x −e 2−x )e 2＜0， 因此h （x ）单调递减，则h （x ）＞h （1）＝0．因此h （x 1）＞0， 即g （x 1）＞g （2﹣x 1），又0＜x 1＜1＜x 2＜2，又g （x 2）＝g （x 1）；所以g （x 2）＞g （2﹣x 1），又x 2，2﹣x 1∈（1，2），且g （x ）在（1，2）上单调递增， 因此x 2＞2﹣x 1，即x 1+x 2＞2．命题得证．。

浙江省杭州学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

浙江省杭州学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

2023-2024学年浙江省杭州高二（上）期末数学试卷（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.在等比数列{}n a 中，24a =，32a =，则5a 的值为（）A.2-B.0C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式求解.【详解】∵{}n a 为等比数列，∴公比3212a q a ==，∴218a a q==，∴445111822a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故选：C .2.过点（2，－3）、斜率为12-的直线在y 轴上的截距为（）A.2B.－2C.4D.－4【答案】B 【解析】【分析】根据点斜式公式，整理直线方程，令0x =，可得答案.【详解】由题意得直线方程为()1322y x +=--，令x =0，解得y ＝－2．故选：B ．3.某班有8名优秀学生，其中男生有5人，女生有3人．现从中选3人参加一次答辩比赛，要求选出的3人中，既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A.45种 B.56种C.90种D.120种【答案】A 【解析】【分析】利用间接的方法，先求出8人中选3人总共有多少种，再分别求出都是女生和都是男生的有多少种，即可求解.【详解】解：8人中选3人共有：3887656321C ⨯⨯==⨯⨯种，其中都是男生的有：3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种，都是女生的有：333211321C ⨯⨯==⨯⨯，故既有男生又有女生，则不同的选法共有：5610145--=.故选：A .4.设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()21ln =+'f x f x x ，则()2f '=（）A.0 B.1- C.e- D.e【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导后，将1x =代入先求出()1f '，然后求出()2f '即可.【详解】由()()21ln =+'f x f x x ，求导可得，()()1211f x f x'=⋅+'，取1x =得到()12(1)1f f ''=+，解得()11f '=-，此时()21f x x=-+'，则()20f '=.故选：A5.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足1122BP BA BC BD =-+，则||BP的值为（）A.32B.2C.1024D.94【答案】A 【解析】【分析】根据题意建立合适空间直角坐标系，根据向量关系求解出BP的坐标，则||BP 可求.【详解】记正方形的对角线交于O 点，连接,AO CO ，所以AO BD ⊥，因为二面角为直二面角，且CO BD ⊥，平面CBD ⋂平面ABD BD =，所以CO ⊥平面ABD ，建立空间直角坐标系如下图所示：所以,0,0,0,,0,0,0,,0,,02222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以(),,0,0,,,0,2222BA BC BD ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1122BP BA BC BD =-+，所以22,44BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以32BP =，故选：A.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5711125,26,n n na S a ab a +=-+==，则数列{}n b （）A.有最大项，无最小项B.有最小项，无最大项C.既无最大项，又无最小项D.既有最大项，又有最小项【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的首项1a ,公差d 列方程,可得1a 和d ,进而可得{}n a ,{}n b 通项,进而根据{}n b 的单调性,即可得最值.【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由571125,26,S a a =-+=得1115102511216263a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩,故()1131314n a n n =-+-=-11=13-14n n n a b a n +=+当5,n n N ≥∈时,{}n b 单调递减,故5671b b b >>>>L ,且52b =当15,n n N ≤<∈时,{}n b 单调递减,故12341b b b b >>>>,且14101112b b ==故{}n b 有最大值为2,最小值为12故选:D7.已知点(),a b 是圆2248160x y x y +---=上任意一点，0a ≠，则（）A.b 的最大值是4B.b a的最小值是34C.22a b +的最小值是2-D.直线1y x =-与圆相交【答案】B 【解析】【分析】利用三角换元求最值，将圆心到直线的距离和圆的半径比较可得到直线和圆的位置关系.【详解】对于A ，圆的方程可化为()()22244x y -+-=，设22cos 42sin a b θθ=+⎧⎨=+⎩，02πθ≤<且πθ≠，当π2θ=时，sin 1θ=，b 的最大值是6，则A 错误；对于B ，2222s 42sin 2sin 22cos 1co in 2cos 2sin cos 22222cos 2s b a θθθθθθθθθ++=++=++=2tan tan 122θθ=++213tan 224θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当1tan22θ=-时，b a的最小值是34，则B 正确；对于C ，()()222222cos 42sin a b θθ+=+++()()82sin cos 2424θθθϕ=++=-+，其中cos ,sin ,55ϕϕ==当()cos 1θϕ-=-时，22a b +的最小值是24-，则C 错误；对于D ，圆心到直线1y x =-的距离为3222d r ==>=，所以直线和圆相离，则D 错误；故选：B.8.定义方程()()f x f x '=的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21xg x xe =+，()ln 2h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.c b a>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】分别求出导函数，由导函数与原函数相等列出方程，直接解得1ln02a =<，再引入新函数，利用新函数的导数确定新函数的零点所在区间，得,bc 的范围，从而确定它们的大小．【详解】()2(1)x g x x e '=+，由()()g x g x '=得21x e =，1ln2x =，即1ln 02a =<，1()h x x '=，由()()h x h x '=得1ln 2x x =+，1ln 20x x-+=，令1()ln 2H x x x =-+，0x >，211()0H x x x '=+>恒成立，所以()H x 在(0,)+∞递增，又11(ln 022H =<，(1)10H =>，所以()H x 在1(,1)2上存在唯一零点，所以1(,1)2b ∈，2()3x x ϕ'=，则()()x x ϕϕ'=得2331x x =-，即32310x x --=，令32()31p x x x =--，2()363(2)p x x x x x '=-=-，0x <或2x >时，()0p x '>，02x <<时，()0p x '<，所以()p x 在(,0)-∞和(2,)+∞上是增函数，在(0,2)上是减函数，而(0)10p =-<，(2)50p =-<，(4)150p =>，所以()p x 在(2,)+∞上有唯一零点，所以2>c ．综上a b c <<．故选：B ．【点睛】本题考查导数新定义，用导数研究方程的根，解题关键是理解新定义，对方程根的研究，通过引入新函数，利用导数确定函数的单调性，结合零点存在定理得出根（零点）的范围，从而比较大小．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，则（）A.椭圆C 的离心率为2B.椭圆C 的离心率为12C.12PF F 的周长为6 D.12F PF ∠可以是直角【答案】AD 【解析】【分析】求出离心率，判断AB ；利用椭圆定义求出周长判断C ；判断∠F 1PF 2是否可以是直角判断D.【详解】由椭圆C ：2214x y +=得2,1,a b c ===，则椭圆C 的离心率为32c a =，A 正确，B 错误，12PF F 的周长为224a c +=+，C 错误；因为b c <，所以以12F F 为直径的圆与椭圆有交点，所以12F PF ∠可以是直角，D 正确.故选：AD .10.已知()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.f x （）在1x =处的切线方程为22y x =-B.f x （）的单调递减区间为e +∞（，）C.f x （）的极大值为1eD.方程1f x （）=-有两个不同的解【答案】BC 【解析】【分析】根据导数的几何意义求解切线方程；根据导数求解函数的单调区间，从而求出极值；求出函数f x （）零点即可求出()f x 与1y =-交点的个数，从而判断出方程1f x （）=-的解.【详解】对于选项A ，()ln xf x x=的定义域为+∞（0，），()10f =，∵()21ln xf x x-'=，∴()11f '=，由导数的几何意义可知f x （）在1x =处的切线方程的斜率为1k =，∴f x （）在1x =处的切线方程为1y x =-，则A 错误；对于选项B ，令()0f x '<得e x <，∴f x （）的单调递减区间为e +∞（，），则B 正确；对于选项C ，令()0f x ¢>得0<e x <，∴f x （）的单调递增区间为e （0，），∵f x （）在e （0，）上单调递增，在e +∞（，）上单调递减，∴f x （）在e x =处取得极大值，()1e ef =，则C 正确；对于选项D ，∵()10f =，∴()f x 在()0,e 上存在一个零点，∵当e x >时，()0f x >，∴()f x 在()e,+∞上没有零点，∴()f x 与1y =-只有一个交点，∴方程1f x （）=-只有一个解，则D 错误；故选：BC .11.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为1,,AB BC CC 的中点，点P 是正方形11DCC D 面内（包含边界）动点，则（）A.1D C 与EF 所成角为30B.平面EFG 截正方体所得截面的面积为C.1//AD 平面EFGD.若APD FPC ∠∠=，则三棱锥P BCD -的体积最大值是【答案】BCD【解析】【分析】A 选项，如图建立以A 为原点的空间直角坐标系，利用空间向量可判断选项；做出截面求得截面面积可判断B ；利用线线平行可得线面平行判断C ，求得P 的轨迹方程可求得三棱锥P BCD -的体积最大值判断D.【详解】以A 为坐标原点，以1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(3,0,0)E ，(6,0,0)B ，(6,3,0)F ，(6,6,0)C ，1(0,6,6)D ，(6,6,3)G ，1(6,0,6)B ，∴1D C(6,0,6)=-，11B D (6,6,0)=-，(3,3,0),(3,6,3)EF EG == ，对A 选项，111cos ,||D C EF D C EF D C EF ⋅<>=⋅12==，则直线1D C 与EF 所成角为60 ，故A 错误；对B 选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取11C D 的中点11,N A D 的中点H ，1AA 的中点K ，连接,,,GN NH HK KE ，延长EF NG ，一定与CD 交于一点M ，所以,,,E F G N 四点共面，同理可证,,,E F K H 四点共面，则过点,,E F G 作正方体的截面，截面为正六边形EFGNHK，边长为则正六边形EFGNHK的面积为16622EFG S =⨯⨯= ，故B 正确.由正方体1111ABCD A B C D -，可得1AD 1//BC ，∵,F G 分别为1,BC CC 的中点，∴//FG 1BC ，∴1//,FG AD FG ⊂ 平面1,EFG AD ⊂/平面EFG ，∴1//AD 平面EFG ，故C 正确；如图，AD ⊥面11CDD C ，又PD ⊂面11CDD C ，故AD DP ⊥，同理FC CP ⊥，63tan ,tan ,AD FC APD FPC DP DP CP CP∠==∠== 又63,,2DP APD FPC DP CP CP∠=∠∴==，根据题意可得(0,6,0),(6,6,0)D C ，设(,6,)P x z ，又222,4DP DP CP CP=∴=，∴22224(6)x z x z+=-+，整理得22(8)16x z -+=，∴在正方形11CDD C 面内(包括边界)，P 是以(8,6,0)Q 为圆心，半径4r =的圆上的点，令6x =，可得||y =，∴当P 为圆Q 与线段1CC 的交点时，P 到底面ABCD 的距离最大，最大距离为，∴三棱锥P BCD -的体积最大值是11166332BCD S ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，故D 正确.故选:BCD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是建立空间直角坐标系，用向量的方法研究点线面的位置关系及数量计算.12.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB 上取两个点C 、D ，使得14AC DB AB ==，以CD 为边在线段AB 的上方做一个正方形，然后擦掉CD ，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF 作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n ，各图中的线段长度和为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.数列{}n a 是等比数列B.10767256a =C.3n a <恒成立D.存在正数m ，使得n S m <恒成立【答案】BC 【解析】【分析】由题意写出数列前三项，类比归纳出数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，结合数列的相关概念，可得答案.【详解】由题意可知，121322111,2,222a a a a a ==+⨯=+⨯，以此类推可得，1122n n n a a +=+⨯，则122n n n a a +-=，所以当2n ≥时，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- (1)121211222121131222212n n n ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++⋯+=+=--，经检验，当1n =时，1121312n a a -=-==，故2132n n a -=-，所以数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；所以108176732256a =-=，故B 正确；因为21332n n a -=-<恒成立，故C 正确；因为122121123341212n n n n S a a a n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++=-=-+- ，根据一次函数与指数函数的单调性，所以数列{}n S 无最大值，因此不存在正数m ，使得n S m <，故D 错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()cos e x f x x =-，则函数()f x 在点()()0,0f 处切线方程为_________．【答案】0x y +=【解析】【分析】求导，求出斜率，写出切线方程.【详解】由已知()sin e x f x x =-'-，则()01f '=-，又()00f =，所以切线方程为y x =-，即0x y +=.故答案为：0x y +=.14.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于AB 两点，且min 6AB =，则p 的值为______．【答案】3【解析】【分析】根据抛物线焦点弦性质求解，或联立l 与抛物线方程，表示出AB ，求其最值即可.【详解】已知,02P F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则2222022p x my y pmy p y px⎧=+⎪⇒--=⎨⎪=⎩，∵Δ0>，所以122y y pm +=，212y y p =-，∴()212212AB y y p m p =-==+ ，当且仅当m =0时，取“”=.263p p ∴=⇒=.故答案为：3.15.对于数列{}n a ，定义{}n a 的“优值”为11222n n n a a a H n-+++= ．若{}n a 的“优值”2n n H =，则n a =________．【答案】1n +##1n+【解析】【分析】根据优值利用作差法可求{}n a 的通项.【详解】因为{}n a 的“优值”2nn H =，故112222n n n a a a n -+++= ，所以112222n n n a a a n -+++=⨯ ，故()211212212n n n a a a n ---+++=- ，故当2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⨯--=+，则1n a n =+，而121a =，故12a =，符合，故1n a n =+.故答案为：1n +.16.一个五位数abcde 满足a b <,b c d >>,d e <,且a d >,b e >(如37201､45412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有______个五位数符合“正弦规律”.【答案】2892【解析】【分析】将情况分为五个数中没有数相同；五个数中有两个数相同；五个数中有三个数相同三种情况，分别计算得到答案.【详解】根据意义知，五位数中，b 最大，d 最小.当五个数中没有数相同时：选五个数，最大数赋值给b ，最小数赋值给d ，剩余三个全排列，共有531031512C A ⨯=个；当五个数中有两个数相同时：选四个数，最大数赋值给b ，最小数赋值给d ，剩余两个数赋值给ace ，共有42210321260C C A ⨯⨯=个；当五个数中有三个数相同时：选三个数，最大数赋值给b ，最小数赋值给d ，剩余的一个数赋值给ace ，共有310120C =个；故共有151212*********++=故答案为：2892【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，分类讨论是解题的关键.四、解答题（本答题共6小题，满分70分）17.已知函数()2e a x f x x -＝，0x >，0a >．（1）当1a =时，讨论函数()f x 在区间(]0,2上的单调性．（2）设()g a 是函数()f x 的最大值．求出()g a 的表达式并比较()1g 与()2g 的大小．【答案】17.在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减18.()42e a a g a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12g g <.【解析】【分析】（1）利用导数求解函数()f x 的单调区间；（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间，得到()f x 的最大值()g a ，通过构造函数根据单调性比较()1g 与()2g 的大小.【小问1详解】当1a =时()2ex f x x -=，则()()2e 12x f x x -'=-，令()0f x '>得12x <，令()0f x '<得12x >，∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；【小问2详解】()()12e 2a x f x x a x --=-'，令()0f x '>得2x a <，令()0f x '<得2x a >，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()f x 的最大值()422e a a g a f a a -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()444421ln e 12e e 2e g -===⋅，()222211ln e 2e e 2e g -===⋅，构造函数()ln x h x x =，()1ln x h x x-'=，令()0h x '>得0e x <<，令()0h x '<得e x >，∴()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，∴()()24e e h h >，即2424ln e ln e e e>，∴24241ln e 1lne 2e 2e⋅>⋅，∴()()12g g <.18.动圆M 满足：①圆心的横坐标大于0；②与直线y x =-相切；③与直线y x =相交，且直线被圆截得的弦长为4．（1）求证：动圆圆心M 在曲线()2,0xy x =>上．（2）设A 是曲线2xy =上任一点，曲线在A 处的切线交x 轴于P ，交y 轴于Q ．求证：PA AQ =．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由已知结合直线与圆相切的性质即可求解；（2）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求切线方程，然后结合两点间的距离公式即可求解.【小问1详解】设(),,0M x y x >，半径为r ，由题意可得r =，22||42x y r -=+，化简可得2xy =，即动圆圆心M 在曲线()2,0xy x =>上；【小问2详解】设(),A m n ，0m >，由题意得222,mn y x '==-，所以曲线在A 处的切线方程为()22y n x m m -=--，即222y x n m m =-++，令0x =得22y n n m =+=，即()0,2Q n ，令0y =得222m n x m m =+=，即()2,0P m ，所以||AP ==，||AQ ==，所以PA AQ =.19.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠= ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ．（2）点M 是线段EF 的中点，求平面MAB 与平面EAD 所成夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）21919【解析】【分析】（1）先证明BC AC ⊥，再利用面面垂直的性质定理得结论；（2）利用,,CA CB CF 两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角.【小问1详解】因为在梯形ABCD 中，AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠= ，如图：过C 作CF AD ∥交AB 于G ，可得2AB =，则2222cos 603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅=o ，所以222AB AC BC =+，得BC AC ⊥，又平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ；【小问2详解】因为四边形ACFE 为矩形所以AC CF ⊥，又平面ACFE ⊥平面ABCD ，又平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，CF ⊂平面ACFE ，所以CF ⊥平面ABCD ，则,,CA CB CF 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则)())1,0,1,0,,0,1,,,,0222A B M E D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()1,0,1,,0,0,1,,,0222AM AB EA AD ⎛⎫⎛⎫=-==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面MAB 的法向量为()111,,n x y z =，则1111020n AM x z n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，取12x =可得(2,n = ，设平面EAD 的法向量为()222,,m x y z = ，则222031022m EA z m AD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，取22x =可得()2,m =- ，所以,cos,19n mn mn m===-.所以平面MAB与平面EAD所成夹角的余弦值为19.20.已知数列{}n a满足12a=，()111nnn aan+++=．（1）证明：211n n n na a a a+++-=-对任意的Nn*∈成立．（2）记2n anb=，求数列{}n b的前n项和n T．（3）证明：1223111116n na a a a a a-+++<．【答案】（1）证明见解析（2）()4817n-（3）证明见解析【解析】【分析】（1）将条件变形，可得构造数列1nan n⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列，据此可求出数列{}n a的通项公式，根据其为等差数列可得结论；（2）利用等比数列求和公式计算即可；（3）利用裂项相消法可求和并证明不等式.【小问1详解】由()111nnn aan+++=得()111n nna n a+=++，即()1111111n n na a an n n n n n n+=+=+-+++，即11111n n a a n n n n++=+++，故数列1n a n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为常数数列，所以1113n a na n +=+=，整理得31n a n =-，即数列{}n a 为等差数列，所以211n n n n a a a a +++-=-；【小问2详解】由（1）得318221n n n b -==⨯，故数列{}n b 是以4为首项，8为公比的等比数列，所以()()418481187n n n T -==--；【小问3详解】由（1）()()111111,2343133431n n n a a n n n n -⎛⎫==-≥ ⎪----⎝⎭，所以1223111111111111113255834313231n n a a a a a a n n n -⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭因为1031n >-，所以1223111116n n a a a a a a -+++< .21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求C 的方程．（2）记1F 和2F 分别是椭圆C 的左、右焦点．设D 是椭圆C 上一个动点且纵坐标不为0．直线1DF 交椭圆C 于点A （异于D ），直线2DF 交椭圆C 于点B （异于D ）．若AB 的中点为M ，求三角形12F F M 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=（2）8【解析】【分析】（1）根据焦距和椭圆所过点可构造方程求得结果；（2）设直线1:1DF x ty =-，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可整理得到02015425M y y x =-，结合三角形面积公式和基本不等式可求得最值.【小问1详解】椭圆C 的焦距22c =，1c ∴=；椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，221914a b∴+=，又22221a b c b =+=+，234b ∴=-（舍）或23b =，24a ∴=，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】由（1）知：()11,0F -，()21,0F ，设()()000,0D x y y ≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可设直线1:1DF x ty =-，其中001x t y +=，2200143x y +=，由221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2243690t y ty +--=，()()22Δ4843148330t t =+-=+>，()()()()0000000122222200000066616164343112331143x y x y x y t y y t y x x x x y +++∴+====+++-++⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭()0002125y x x +=+；同理可得：()000202125y x y y x -+=-；()()()()()200000001020122000425212122525425y x y x y x y y y y y y y x x x -+-∴+++=++=+=+--，()20001202200225152425425M y x y y y y y x x -+∴==-=--，1200012222000001515451452716242516271693F F M M y y y S F F y y x y y y ∴=⋅====-++--8≤=（当且仅当002716y y =，即04y =±时取等号），12F F M ∴面积的最大值为8.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值的求解问题，解题关键是能够将三角形面积表示为关于某一变量的函数，从而利用函数最值的求法或基本不等式求得结果.22.已知函数()3,0f x x ax a =->．（1）当1a =时，求出函数在点()()1,1f 处的切线方程．（2）如图所示，函数()f x 图像上一点A 处的切线与函数图像交于点B ，过A 的切线AD （D 为切点）与B 处的切线交于点C ．问：三角形ABC 是否可能是等边三角形？若是，求此时a 的值；若不是，说明理由．【答案】（1）220x y --=（2）能，15a =【解析】【分析】（1）求导，求出斜率，进而可得切线方程；（2）设点()3,A s s as -，求出过点A 的切线方程，与3y x ax =-联立求出点B 的坐标，进而可求出过点B 的切线方程，然后求出过点D 的切线方程，与过点B 的切线方程联立求出点C 坐标，进而可根据AB AC BC ==列方程求出a 的值.【小问1详解】当a ＝1时，()3f x x x =-，则()231f x x '=-，所以()12f '=，又()10f =，所以函数在点（1，f （1））处的切线方程为()21y x =-，即220x y --=；【小问2详解】设点()3,A s s as -，又()23f x x a '=-，所以()23f s s a '=-，过点A 的切线方程为()()()323y s as s ax s --=--，整理得()2332y s a x s =--，联立()23332y s a x s y x ax ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得23332s x s x -=，变形得()()220x s x s -+=，()3,0f x x ax a =->所以点()32,82B s s as --+，又()2212f s s a '-=-，所以过点B 的切线方程为()()()3282122y s as s ax s --+=-+，整理得()231216y s a x s =-+，设点()3,D t t at -，又()23f t t a '=-，过点D 的切线方程为()()()323y t at t a x t --=--，整理得()2332y t a x t =--，将点()3,A s s as -代入得()32332s as t a s t -=--，整理得32332s t s t =-，变形得()()220s t s t -+=，得s t =或2s t=-所以点3,282s s as D ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，即过点D 的切线方程为23344s s y a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，联立()23233441216s s y a x y s a x s ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-+⎪⎩，解得3774,555x s y as s =-=-即点3774,555C s as s ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，假设三角形ABC 是等边三角形，则AB AC BC ==，所以()()22322322223312912393555129123363555555s s s as s s s s as s as ⎧⎛⎫⎛⎫⎪+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩①②，由②解得4291s a -=，代入①得15a =，所以当15a =时，三角形ABC 是等边三角形.【点睛】方法点睛：在知道切点的情况下，可直接求出切线方程，若不知道切点，可设出切点，然后列方程求解.。

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题+答案

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题+答案

2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。

3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数11i =+z ，22i =-z （i 为虚数单位，2i 1=-），则复数21=-z z z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100-->x x ”的否定是（）A ．0∀>x ，23100-->x x B ．0∃>x ，23100--≤x x C ．0∀≤x ，23100--≤x x D ．0∀>x ，23100--≤x x 3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（）A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x 4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（）A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111-ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=-g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（）A ．B ．C ．D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=-+（）A ．2-B ．14C ．32D ．12-8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（）A ．13B ．2C ．79D ．9二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。

高二数学-杭州高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题解析版

高二数学-杭州高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题解析版

浙江省杭州高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线:10l x +=的倾斜角的大小为（）A ．30B ．60C ．120D ．150 2．若数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+，则12100111a a a +++= （）A ．100101B ．1101C ．101100D ．991003．若数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，则2024a =（）A ．3B ．2C ．12D ．1-4．在空间四边形ABCD 中，,,DA a DB b DC c === ，且,2DM MA BN NC == ，则MN =（）A ．112233a b c-- B ．121233a b c-++C ．112233a b c-++ D ．111222a b c-++ 5．以下四个命题中，正确的是（）A ．若1123OP OA OB =+，则,,P A B 三点共线B ．若{},,a b c为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++ 构成空间的另一个基底C ．()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r D ．若a b a c ⋅=⋅r r r r，且0a ≠ ，则b c= 6．已知圆()()221:2416C x y -++=，圆222:230C x y x ++-=，则两圆的公切线的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，S 10＝1，S 30＝13，S 40＝（）A ．﹣51B ．﹣20C ．27D ．408．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠= ，直线2MF 交双曲线的另一支于点N ，22MN NF =，则双曲线的离心率（）A ．3B ．9C D ．2二、多选题9．下列求导运算正确的是（）A ．若()cos(23)f x x =+，则()2sin(23)f x x '=+B ．若21()e x f x -+=，则21()e x f x -+'=C ．若()e xx f x =，则()1e x xf x ='-D ．若()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+10．某次辩论赛有7位评委进行评分，首先7位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到5个有效评分．则这5个有效评分与7个原始评分相比，数字特征可能不同的是（）A ．极差B ．中位数C ．平均数D ．方差11．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠= ，12AB AC AA ===，,E F 分别是11,BC A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A ．//EF 平面11AAB BB ．若D 是11BC 上的中点，则BD EF ⊥C ．直线EF 与平面ABCD ．存在点D 使直线BD 与直线EF 平行12．在平面直角坐标系xOy 中，已知12(2,0),(2,0),(1,1)F F A --，若动点P 满足126,PF PF +=则（）A ．存在点P ，使得21PF =B ．12PF F 面积的最大值为C ．对任意的点P ，都有292PA PF +>D ．椭圆上存在2个点P ，使得1PAF 的面积为32三、填空题13．在等差数列{}n a 中，12565,7a a a a +=+=，则910a a +=.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.15．若函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是.16．高斯函数[]y x =是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中R,[]x x ∈表示不超过x 的最大整数，如[π]3,[3.5]4=-=-.已知{}n a 满足()*111,21n n a a a n +==+∈N ，设1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，[]{}n S 的前n 项和为n T .则（1）3T =；（2）满足2024n T ≥的最小正整数n 为．四、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos ).C a B +b A c =(1)求C ；(2)若5c =，ABC的面积为ABC 的周长.18．如图，在平行四边形ABCD 中，1,2,60AB BC ABC ∠=== ，四边形ACEF 为正方形，且平面ABCD ⊥平面ACEF.(1)证明:AB CF ⊥；(2)求平面BEF 与平面ADF 夹角的余弦值.19．已知函数32()2f x x ax =-.(1)讨论()f x 的单调性；(2)已知1a =时，直线:l y kx =为曲线32()2f x x ax =-的切线，求实数k 的值．20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2844n n n S a a =++.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11212n n n n b a n --⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T .21．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()11,A x y 是曲线C 上一点．(1)若154AF y =，求点A 的坐标；(2)若直线:l y x m =+与抛物线C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过点(4,0)P ，求||AB .22．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的渐近线方程为y =，焦点到渐近线的距离为1，过点(0,4)M 作直线AB （不与y 轴重合）与双曲线C 相交于,A B 两点，过点A 作直线:l y t =的垂线,AE E 为垂足．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)是否存在实数t ，使得直线EB 过定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：1．D【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值，结合倾斜角的范围即可求解.【详解】由:10l x +=可得y =-l的斜率为k =，设直线l 的倾斜角为α，则tan 3α=，因为0180α≤<o ，所以150α= ，故选：D.2．A【分析】利用裂项相消求和可得答案.【详解】()111111n a n n n n ==-++，则1210011111111110011223100101101101+++=-+-++-=-= a a a .故选：A.3．C【分析】由递推公式计算数列的前几项得出周期，即可的答案.【详解】因为数列{}n a 满足12a =，11n n n a a a +=-，所以212a =，31a =-，42a =，512a =，...，故数列的周期为3，故202421.2a a ==故选：C.4．C【解析】由MN MA AB BN =++可表示出.【详解】()1223MN MA AB BN DA DB DA BC=++=+-+()()1223DA DB DA DC DB =+-+-121112332323DA DB DC a b c +=+-+-=+.故选：C.5．B【分析】根据向量三点共线可判断A ；假设,,a b b c c a +++ 共面，设()()a b m b c n c a +=+++得出矛盾可判断B ；举反例可判断C ；利用数量积公式计算可判断D.【详解】对于A ，若,,P A B 三点共线，则OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，而1151236+=≠，故A 错误；对于B ，假设,,a b b c c a +++共面，设()()()a b m b c n c a ma mb m n c +=+++=+++，因为{},,a b b c c a +++ 为空间的一个基底，所以110m n m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，该方程组无解，假设不成立，故B 正确；对于C ，设()()()1,3,1,2,2,1,3,4,1a b c ==-=，则()()515,20,5a b c c ⋅⋅== ，()()()33,9,315,20,5a b c a ⋅⋅=⨯=≠，故C 错误；对于D ，由a b a c ⋅=⋅r r r r 得()0a b c ⋅-= ，设a 与b c -的夹角为θ，所以cos 0a b c θ⋅-=，因为0a ≠ ，所以cos 0b c θ-= ，不一定有b c = ，故D 错误.故选：B.6．B【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.【详解】因为圆()()221:2416C x y -++=，圆()222:14C x y ++=，所以125C C ==，12126,2R R R R +=-=，所以121212R R C C R R -<<+，所以两圆相交，所以两圆的公切线的条数为2，故选：B 7．D【分析】由{an }是等比数列可得S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，列方程组，从而即可求出S 40的值．【详解】由{an }是等比数列，且S 10＝1＞0，S 30＝13＞0，得S 20＞0，S 40＞0，且1＜S 20＜13，S 40＞13所以S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20，S 40﹣S 30成等比数列，即1，S 20﹣1，13﹣S 20，S 40﹣13构成等比数列，∴（S 20﹣1）2＝1×（13﹣S 20），解得S 20＝4或S 20＝﹣3（舍去），∴（13﹣S 20）2＝（S 20﹣1）（S 40﹣13），即92＝3×（S 40﹣13），解得S 40＝40．故选：D ．8．C【分析】根据双曲线定义和22MN NF =得到边长之间的关系，结合勾股定理得到方程，求出离心率.【详解】设2NF n =，则2MN n =，23MF n =，由双曲线定义得212MF MF a -=，故132MF n a =-，由勾股定理得2221212MF MF F F +=，即()2229324n n a c +-=①，连接1NF ，则122NF NF a -=，故12NF a n =+，由勾股定理得22211MF MN NF +=，即()()2224322n n a a n +-=+②，由②得43n a =，代入①得22204a c =，故c a=故选：C9．CD【分析】利用导数公式及运算法则，求解即可.【详解】对于选项A:()cos(23)f x x =+ ,()sin(23)(23)2sin(23)f x x x x ''∴=-+⋅+=-+,故选项A 错误；对于选项B:21()e x f x -+= ,()2121()e 212e x x f x x '-+-+∴=⋅-+=-',故选项B 错误；对于选项C:()e x x f x = ,()()2e e 1e exxx x x x f x --∴==',故选项C 正确；对于选项D:()ln f x x x = ,1()1ln ln 1f x x x x x'∴=⨯+⋅=+,故选项D 正确；故选：CD.10．ACD【分析】利用平均数、中位数、平均数、方差的定义进行判断.【详解】因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、去掉一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化.故B 错误.故选：ACD.11．AC【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断各选项的正误.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()10,0,2A 、()12,0,2B 、()10,2,2C 、()1,1,0E 、()0,1,2F .对于A 选项，()1,0,2EF =- ，易知平面11AA B B 的一个法向量为()0,1,0m =，EF m ⋅=，则EF m ⊥ ，又因为EF ⊄平面11AA B B ，所以，//EF 平面11AA B B ，故A 正确；对于B 选项，当D 是线段11B C 的中点时，()1,1,2D ，()1,1,2BD =-，则50BD EF ⋅=≠，故B 错误；对于C 选项，由A 知()1,0,2EF =- ，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1u =，则·sin ,cos ,5EF uEF u EF u EF u===，故C 正确；对于D 选项，设()()1112,2,02,2,0B D B C λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()112,2,2BD BB B D λλ=+=-，假设存在点D 使直线BD 与直线EF 平行，则存在0μ≠使EF BD μ=，即2·20·21·2μμλμλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，无解，所以假设不成立，故D 错误.故选：AC.12．ACD【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆22195x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =，即可判断A ；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F 面积的取最大值，即可判断B ；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-即可判断C ；求得使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，即可判断D.【详解】由题知，点P 的轨迹是3a =，2c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =22195x y +=，A ：当点P 为椭圆右顶点时，2321PF a c =-=-=，故A 正确；B ：当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，且最大值为1212F F b =B 错误；C ：2112266PA PF PA a PF a AF +=+-≥-==因为96 4.59 4.52≈>=，故C 正确；D ：设使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标为()00,P x y ，由A ，1F 坐标知，1AF =1AF 的方程为20x y -+=，则1322=，解得0010x y --=或0050x y -+=，联立00220010195x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得20075200y y +-=，则2528200∆=+⨯>，因此存在两个交点；同理可得直线与椭圆联立00220050195x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200725400y y -+=，则22528404950∆=-⨯=-<，所以不存在交点；综上，有且仅有2个点P ，使得1PAF V 的面积为32，故D 正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：①椭圆上任意一点的焦半径范围为a c PF a c -≤≤+；②椭圆中当点P 位于椭圆上下顶点时焦三角形()12PF F 的面积有最大值bc ；③求直线与椭圆交点个数时，将直线与椭圆方程进行联立，利用判别式判断交点个数.13．9【分析】根据等差数列的性质可得910a a +的值.【详解】因为()9101256214a a a a a a +++=+=，125a a +=，所以9109a a +=.故答案为：914．710.【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案.【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有2510C =种情况.若选出的2名学生恰有1名女生，有11326C C =种情况，若选出的2名学生都是女生，有221C =种情况，所以所求的概率为6171010+=.【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”.15．18a ≥【解析】依题意可得()210af x x x'=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，参变分离得到22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22g x x x =-，求出()g x 的最大值即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为()21ln f x x x a x =-++的定义域为()0,x ∈+∞，且函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增，()210af x x x'∴=-+≥在()0,x ∈+∞上恒成立，即22a x x ≥-在()0,x ∈+∞上恒成立，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=--+⎪⎝⎭当14x =时()max 18g x =所以18a ≥即1,8a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.16．191【分析】利用构造法可得数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，则由题意可得，111112221n n n a a ++=-⋅-，231111122212121n n n S +⎛⎫=-⋅+++ ⎪---⎝⎭，利用放缩法可得所以122n n n S -<<，所以[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=+⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，可解问题.【详解】由题可知：()*111,21n n a a a n +==+∈N ，则()()*1121n n a a n ++=+∈N ，且112a +=，即{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列，所以12n n a +=，则21nn a =-，所以11121111222121n n n n n a a +++-==---．所以231111122212121n n n S +⎛⎫=-⋅+++ ⎪---⎝⎭．设231111212121n n R ++++--=- ，则231211111101221212122n n n R +<+++<+++<---= ．所以231111112222121212n n n n nS +-⎛⎫<=-⋅+++< ⎪---⎝⎭ ．所以[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=-⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩且k 为正整数，所以30011T =++=．所以222001122k T k k k k +=++++++++=+ ，221001122k T k k +=+++++++= ．所以9190202520241980T T =>>=，所以满足2024n T ≥的最小正整数n 为91．故答案为：1；91．【点睛】思路点睛：利用放缩法求出122n n n S -<<，从而由题意得[]1,2121,22n n n k S n n k -⎧=+⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，即可解决问题.17．(1)π3C =(2)12【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式化简计算即可；（2）表示出面积，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）由已知及正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=,即()2cos sin sin C A B C ⋅+=，故2cos sin sin C C C ⋅=,由()sin sin 0A B C +=>，可得1cos 2C =,因为()0,πC ∈，π3C ∴=.（2）由已知得，1sin 2ABC S ab C =⋅= 又π3C =，所以8ab =,由余弦定理得：222cos 25a b ab C +-⋅=，所以2233a b +=，从而()249a b +=，即7a b +=,∴ABC 周长为12a b c ++=．18．(1)证明见解析(2)34.【分析】（1）由余弦定理和勾股定理逆定理得到AB AC ⊥，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而得到面面角的余弦值.【详解】（1）因为1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，在ABC 中，由余弦定理可得2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，于是222AC AB BC +=，所以AB AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面ACEF ，又CF ⊂平面ACEF ，所以AB CF⊥（2）因为四边形ACEF 为正方形，所以AF AC ⊥.又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF ⊂平面ACEF ，所以AF⊥平面ABCD.以A为原点，AB，AC，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系.()0,0,0A，()1,0,0B，()C，(F，(E，()D-，(BE=-，()0,0EF=，()AD=-，(AF=.设平面BEF的一个法向量为(),,m x y z=，所以m BE xm EF⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得0y=，令1z=，则x=)m=，设平面ADF的一个法向量为()111,,xn y z=，所以111n AD xn AF⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得10z=，令11y=，则1x=)10,n=，所以4c0,133os,221,m nm nm n⋅〈⋅⋅〉===⨯，记平面BEF与平面ADF的夹角为θ，则3cos cos,4m nθ=〈〉=，即平面BEF与平面ADF夹角的余弦值为34.19．(1)答案见解析(2)0k=或18k=-【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当0a >，0a =，0a <时导函数的正负，即可判断原函数的单调性.（2）求导后根据导数的几何意义设切点00(,)P x y ，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果.【详解】（1）()()26223f x x ax x x a -='=-．令()=0f x '，得0x =或3ax =．若0a >，则当(),0,3a x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，()>0f x '；当0,3ax ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f x '．故()f x 在(),0,,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；若0a =时，3()2f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a <，则当(),0,3a x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭时，()>0f x '；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()<0f x '．故()f x 在(),,0,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．综上所述：当0a >时，()f x 在(),0,,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；当0a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；a<0时，()f x 在(),,0,3a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．（2）当1a =时，()()3222,62f x x x f x x x'=-=-设切点00(,)P x y ，则切线方程为()()()322000000262y y y x x x x x x -=--=--因为切线过原点，故32320000262x x x x -+=-+，即32004x x =，解得00x =或014x =所以0k =或18k =-.20．(1)42n a n =-(2)224123n nT n n-=+-【分析】（1）根据n a 与n S 的关系化简求解即可；（2）采用分组求和的方式计算即可.【详解】（1）2844n n n S a a =++ ①2111844n n n S a a ---∴=++②①-②整理得11()(4)0,2n n n n a a a a n --+--=≥ 数列{}n a 是正项数列，14,2n n a a n -∴-=≥当1n =时，21111844, 2.S a a a =++=由可得∴数列{}n a 是以2为首项，4为公差的等差数列，42n a n ∴=-；（2）由题意知，1223n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故()()24222122215943n n T n -=+++++++++- ()()114143142nn n ⨯-+-=+-24123n n n -=+-.21．(1)1,14⎛⎫⎪⎝⎭或()4,4(2)【分析】（1）利用点()11,A x y 是曲线C 上一点，结合抛物线的定义整理计算即可;（2）结合题意转化为0PA PB ⋅=，借助韦达定理得0m =或12=-m ，再借助弦长公式计算即可.【详解】（1）由抛物线2:4C y x =，可得焦点为()1,0F ，由抛物线的定义可得11AF x =+，而2114y x =，所以2115144y y +=，解得11y =或14y =.当11y =时，114x =;当14y =时，14x =.所以点A 的坐标为114⎛⎫⎪⎝⎭，或()4,4.（2）设()22,B x y ，联立方程24y x my x=+⎧⎨=⎩，得2440y y m -+=，所以16160m ∆=->，即1m <,且121244y y y y m +=⎧⎨=⎩，由题知，12121212(4)(4)(4)(4)0PA PB x x y y y m y m y y ⋅=--+=----+=，整理得()()()212122440y y m y y m -++++=，即()()284440m m m -+++=，解得0m =或12=-m ，当0m =时，12AB y =-==；当12=-m时，12AB y y =-==.综上所述：弦长AB 的值为.22．(1)2213y x -=(2)存在实数3t 4=，使得直线EB 过定点190,8P ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）焦点到渐近线的距离为b ，在根据渐近线方程求出a ；（2）计算出EB 的直线方程，再令0x =即可求出定点坐标.【详解】（1）焦点到渐近线的距离不妨求()0,c 直线ay x b=的距离1d b ===，渐近线方程ay x b=±=，得a =所以双曲线方程为2213y x -=；（2）假设存在实数t ，使得直线EB 过定点P ,设直线()()1122:4,,,,AB y kx A x y B x y =+，则()1,E x t ．联立22413y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 得()2238130k x kx -++=则1212228,3313x k x x k x k +=-=--．直线2121:()y tEB y t x x x x --=--，令0x =得:()211211121121212144p kx x tx y x tx kx x x tx y t t tx x x x x x -++-+--+=+=+=+---又()121212121313,88x x kx x x x x x k =--=++ 2121131988p x t x y t x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭∴=+-当1319088t ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭即3t 4=时，p y 为定值198所以存在实数3t 4=，使得直线EB 过定点190,8P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

杭州高级中学2023学年第一学期期末考试高二数学考试试题(附答案解析)

杭州高级中学2023学年第一学期期末考试高二数学考试试题(附答案解析)

杭高2023学年第一学期期末考试高二数学试题卷命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。

本卷满分150分，考试时间120分钟。

2. 答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方。

3. 答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效。

4. 考试结束后，只需上交答题卡。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线10x ++=的倾斜角的大小为( ) A. 30B. 60C. 120D. 1502.若数列{}n a 的通项公式为2n a n n =+,则12100111a a a +++= ( ) A.100101B.1101 C.101100D.991003.若数列{}n a 满足112,1n nn a a a a +==−,则2024a =( ) A. 3B. 2C.12D. 1−4.在空间四边形ABCD 中,,,DA a DB b DC c === ,且,2DM MA BN NC == ,则MN =( ) A.112233a b c −−B. 121233a b c −++C. 112233a b c −++D. 111222a b c −++5.以下四个命题中,正确的是( )A. 若1123OP OA OB =+,则,,P A B 三点共线 B. 若{},,a b c为空间的一个基底,则{},,a b b c c a +++ 构成空间的另一个基底C. ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D. 若a b a c ⋅=⋅,且0a ≠ ,则b c =6.已知圆221:(2)(4)16C x y −++=,圆222:230C x y x ++−=,则两圆的公切线的条数为( ) A. 1B. 2C. 3D. 47.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且10301,13S S ==,则40S =( ) A. 20−B. 40C. 27D. 51−8.双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点M 是双曲线左支上一点,1290F MF ∠= ,直线2MF 交双曲线的另一支于点N ,22MN NF =,则双曲线的离心率( )A. 3B. 9C.D. 2二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9.下列求导运算正确的是( )A. 若()cos(23)f x x =+,则()2sin(23)f x x ′=+ B. 若21()x f x e −+=,则21()x f x e −+′= C. 若()x x f x e =,则1()xxf x e −′=D. 若()ln f x x x =,则()ln 1f x x ′=+ 10.某次辩论赛有7位评委进行评分,首先7位评委各给出某选手一个原始分数,评定该选手成绩时从7个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分,得到5个有效评分.则这5个有效评分与7个原始评分相比,数字特征可能不同的是( ) A. 极差B. 中位数C. 平均数D. 方差11.在直三棱柱111ABC A B C −中,90BAC ∠= ,12AB AC AA ===,,E F 分别是11,BC A C 的中点,D 在线段11B C 上,则下面说法中正确的有( )A. //EF 平面11AA B BB. 若D 是11B C 上的中点,则BD EF ⊥C. 直线EF 与平面ABCD. 存在点D 使直线BD 与直线EF 平行12.在平面直角坐标系xOy 中,已知12(2,0),(2,0),(1,1)F F A −−,若动点P 满足126,PF PF +=则( )A. 存在点P ,使得21PF =B. 12PF F ∆面积的最大值为 C. 对任意的点P ,都有292PA PF +>D. 椭圆上存在2个点P ,使得1PAF ∆的面积为32三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等差数列{}n a 中,12565,7a a a a +=+=,则910a a += .14.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .15.若函数2()1ln f x x x a x =−++在(0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是 .16.高斯函数[]y x =是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数,其中,[]x x ∈R 表示不超过x 的最大整数,如[]3,[ 3.5]4π=−=−.已知{}n a 满足()*111,21n n a a a n +==+∈N ,设1n n a a +的前n 项和为n S ,[]{}n S 的前n 项和为n T .则(1)3T = ；(2)满足2024n T ≥的最小正整数n 为 ．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = (1)求C ； (2)若5c =,ABC ∆的面积为求ABC ∆的周长.18.如图，在平行四边形ABCD 中,1,2,60AB BC ABC ==∠= ,四边形ACEF 为正方形,且平面ABCD ⊥平面ACEF .(1)证明:AB CF ⊥；(2)求平面BEF 与平面ADF 夹角的余弦值.19.已知函数32()2f x x ax =−. (1)讨论()f x 的单调性；(2)已知1a =时,直线:l y kx =为曲线32()2f x x ax =−的切线,求实数k 的值．20.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2844n n n S a a =++. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若112 1 2n n n b n a n −−= 为奇数为偶数,{}n b 的前n 项和为n T ,求2n T .21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,点11(,)A x y 是曲线C 上一点． (1)若154AF y =,求点A 的坐标； (2)若直线:l y x m =+与抛物线C 交于,A B 两点,且以AB 为直径的圆过点(4,0)P ,求||AB .22.已知双曲线2222:1(0,0)x C a b a b y −=>>的渐近线方程为y =,焦点到渐近线的距离为1,过点(0,4)M 作直线AB (不与y 轴重合)与双曲线C 相交于,A B 两点,过点A 作直线:l y t =的垂线,AE E 为垂足． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)是否存在实数t ,使得直线EB 过定点P ,若存在,求t 的值及定点P 的坐标；若不存在,说明理由.杭高2023学年第一学期期末考试高二数学试题卷命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。

浙江省杭州市高二上学期期末数学试题(解析版)

浙江省杭州市高二上学期期末数学试题(解析版)

高二上学期期末数学试题一、单选题1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） l (-A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒150︒【答案】C【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．【详解】依题意，是直线的一个方向向量， (-l所以直线的斜率 l k =所以直线的倾斜角为． l 120︒故选：C ．2．已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层随机抽样的方法抽取15%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（ ）．A ．150，15B ．150，20C ．200，15D ．200，20【答案】A【分析】将饼图中的、、三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以得出样本容A B C 10%量，在村人口户数乘以，再乘以可得出村贫困户的抽取的户数. C 15%50%C 【详解】由图得样本容量为，1()35020045015%100015%150++⨯=⨯=抽取贫困户的户数为户，则抽取村贫困户的户数为户． 20015%30⨯=C 300.515⨯=故选：A.3．如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1111ABCD A B C D -1，且两两夹角为，则的长为（ ）60︒1ACAB ．2C D【答案】D【分析】记，，，由，利用向量法即可求出的长. AB a =AD b =1AA c = 1AC a b c =++ 1AC 【详解】解：记，，，AB a =AD b =1AA c = 由题意可知，，1a b c === ,,,60a b b c c a ︒〈〉=〈〉=〈〉=所以，11cos 601122a b b c c a a b ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⨯⨯=，222221111()2()11126222AC a b c a b c a b b c c a ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯++= ⎪⎝⎭所以1AC =1AC 故选：D.4．设空间两个单位向量与向量，则()(),,0,0,,OA m n OB n p == ()1,1,1OC = （ ）,OA OB =A ．B ．C ．D ．π6π4π3π2【答案】C【分析】由题设，结合空间向量模长、夹角的坐标公式列方程组求得，再由n m p===即可求结果.2cos ,OA OB n =【详解】由题意可得，即，222211cos ,cos ,m n n p OA OCOB OC ⎧+=⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪==⎪⎩222211m n n p m n n p ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩n m p ==又，即，且， 2cos ,OA OB n = 1cos ,2OA OB = ,[0,π]OA OB ∈ 所以.π,3OA OB =故选：C5．已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，记垂足为，点在双曲线上，且22221x y a b-=F P Q 满足，则双曲线的离心率为（ ）FP PQ =ABCD ．2【答案】A【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由P b y x a =-FP ()ay x c b =+2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案. FP PQ = 222,a ab Q c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：设在渐近线上，直线的方程为，P b y x a=-FP ()ay x c b =+由，得，即，()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭由，得为的中点，又因为 FP PQ =P FQ (),0F c -所以， 222,a ab Q c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为在双曲线上，所以化简得： Q 2222222()41,2c a a a c c --=225,c a =所以 ce a==故选：A6．已知函数在处有极值0，则的值为（ ） 322()3f x x ax bx a =+++=1x -a b +A ．4 B ．7C ．11D ．4或11【答案】C【分析】由于在处有极值0，所以可得，解方程组可求出的值，从而可求()f x =1x -'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩,a b 得答案【详解】解：由，得， 322()3f x x ax bx a =+++'2()36f x x ax b =++因为在处有极值0，()f x =1x -所以，即，解得或，'(1)0(1)0f f -=⎧⎨-=⎩2130360a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩13a b ==⎧⎨⎩29a b =⎧⎨=⎩当时，，则 在上单调递增，此时函数无极值，所以舍13a b ==⎧⎨⎩'22()3633(1)0f x x x x =++=+≥()f x R 去，当时，，令，得或，经检验 和都为函29a b =⎧⎨=⎩'2()3129f x x x =++'()0f x ==1x -3x =-=1x -3x =-数的极值点，综上， 29a b =⎧⎨=⎩所以， 2911a b +=+=故选：C7．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准22221x y a b-=(6,A 221259x y +=方程为（ ）A ．B ．C ．D ．221142x y -=221133-=x y 221106x y -=221124x y -=【答案】D【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方(6,A 22221x y a b-=222c a b =+程即可求解. 【详解】椭圆焦点为， 221259x y +=()4,0±双曲线焦点为，且， ∴()4,0±4c =将代入双曲线，(6,A 22221x y a b-=得， 223681a b-=又， 22216c a b =+=解得，，212a =24b =故双曲线的方程为，221124x y -=故选：D.8．已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是,()0x ∈+∞e ln 1ax x x ax ++<（ ） A ．B ．C ．D ．21,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),e -∞-(),1-∞-【答案】B【分析】将不等式化为，构造进而化为，利用导数研究e ln e 1ax ax x x +<()lnf x x x =+(e )(1)ax f x f <单调性，再得在上恒成立，构造研究其最值，即可得参数范围. ()f x 11ln a x x<(0,)+∞()ln g t t t =【详解】由题设，即，e ln ln e 1ax ax x x ++<e ln e 1ax ax x x +<令且，上述不等式等价于，()ln f x x x =+,()0x ∈+∞(e )(1)1ax f x f <=而，故在上递增，则有在上恒成立， 1()10f x x'=+>()f x (0,)+∞e 1ax x <(0,)+∞所以在上恒成立，记，令，则，11ln a x x <(0,)+∞1t x=∈(0,)+∞()ln g t t t =()1ln g t t =+'当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，10et <<()0g t '<()g t 1e t >()0g t '>()g t 所以在上递减，在上递增，则，故.11ln y x x =(0,e)(e,)+∞min e 1|e x y y ===-1e<-a 故选：B.【点睛】关键点点睛：由并构造函数并研究单调性，将问题转化为e ln e 1ax ax x x +<()ln f x x x =+在上恒成立，再次构造研究最值求范围. 11ln a x x<(0,)+∞()ln g t t t =二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程为(),P x y ()()124,0,4,0F F -221259x y +=B ．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P 的轨迹方程为(),P x y ()()125,0,5,0F F -221169x y -=C ．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P 的轨迹方程(),P x y ()5,0F (),P x y :5l x =-为220y x =D ．已知，若动点满足，则的轨迹方程是 ()()2,0,2,0A B -(),P x y 12PA AB =(),P x y 0x =【答案】AC【分析】根据题意，由椭圆，双曲线，抛物线，圆的定义可分别判断各个选项的正误，选出答案. 【详解】选项A ：由椭圆定义可知，，，，焦点在轴上，，210a =5a =4c =x 29b =所以动点P 的轨迹方程为，A 对；221259x y +=选项B ：由双曲线定义可知，， 1228PF PF a -==所以，，，4a =5c =29b =所以动点P 的轨迹方程为，，B 错；221169x y -=()0x >选项C ：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，， 52p=所以动点P 的轨迹方程为，C 对； 220y x =选项D ：因为， 122PA AB ==由圆的定义可知，圆心，半径， ()2,0A -2r =所以动点P 的轨迹方程为，D 错； ()2224x y ++=故选：AC.10．在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，将沿DE 翻折到的位置，22AB AD ==ADE V 1A DE △1A ∉平面ABCD ，M 为的中点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ） 1AC A ．恒有平面 //BM 1A DE B ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥 1A DEM -D ．存在某个位置，使得平面平面 1A DE ⊥1ACD 【答案】CD【分析】对选项A ：取的中点,可得，所以平面；（也可以延长1A D N //BM EN //BM 1A DE ,DE CB 交于,得,从而平面）H 1//MB A H //BM 1A DE 对选项B ：在可求得为定值，所以为定值；DNE △EN BM 对选项C ：三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，当平面平面1C A DE -1M A DE -1A DE ⊥ABCD 时，求得三棱锥体积的最大值，可求得三棱锥的体积的最大值；1C A DE -1A DEM -对选项D ：假设平面平面，由面面垂直可得，求得，故,,三1A DE ⊥1ACD 11A E A C ⊥11A C =1A C D 点共线，与平面矛盾.1A ∉ABCD【详解】对选项A ：取的中点,连结，，可得且，所以四边形是平1A D N MN EN =MN BE //MN BE BMNE 行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故选项A 结论正//BM EN BM ⊄1A DE EN ⊂1A DE //BM 1A DE 确；（也可以延长交于,所以，所以,又平面，平面,DE CB H HB BC =1//MB A H BM ⊄1A DE 1A H ⊂1A DE ，从而平面） //BM 1A DE对选项B ：因为，， 12DN =DE =145A DE ADE ∠=∠=︒根据余弦定理得，得 211522424EN =+-=EN =因为，故，故选项B 结论正确； EN BM =BM =对选项C ：因为为的中点，M 1AC 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积的两倍，1C A DE -1M A DE -故三棱锥的体积，其中表示到底面的距离，1C A DE -1113C A DE A DEC CDE V V S h --==⋅A h 1A ABCD当平面平面时，达到最大值，此时 1A DE ⊥ABCD h h此时 111121332A DEC CDE V S h -=⋅=⨯⨯⨯=A所以三棱锥C 结论错误； 1A DEM -对选项D ：假设平面平面，平面平面，，平面1A DE ⊥1ACD 1A DE 11A CD A D =11A E A D ⊥1A E ⊂，1A DE 故平面，又平面，所以， 1A E ⊥1ACD 1AC ⊂1ACD 11A E A C ⊥则在中，，. 1A CE △190EA C ∠=︒11,A E EC ==11A C =又因为，，所以，故,,三点共线，11A D =2CD =11A D A C CD +=1A C D 所以，得平面，与题干条件平面矛盾，故选项D 结论错误； 1A CD ∈1A ∈ABCD 1A ∉ABCD 故选：CD11．已知曲线分别是曲线C 的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）2212:1,,9x y C F F m+=A ．若，则曲线C 的两条渐近线所成的夹角为3m =-2π3B ．若曲线C 的离心率，则2e =27m =-C ．若，则曲线C 上不存在点P 使得 6m =12π2F PF ∠=D ．若，P 为曲线C 上一个动点，则面积的最大值为 4m =12F PF △【答案】BC【分析】对于A 选项：求出双曲线的渐近线，求出两渐近线的夹角； 对于B 选项：根据双曲线的离心率求即可；m 对于C 选项：先判断出短轴顶点与两焦点连线夹角为锐角，可知不成立； M 12π2F PF ∠=对于D 选项：当P 在短轴顶点时面积的最大值.12F PF △【详解】对于A 选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程3m =-22:193x y C -=x为， y =故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A 选项错误；π5π,66C π3对于B 选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故， 2e =C x 3,2a e ==6c =所以，所以，故B 选项正确；2236927m c a -=-=-=27m =-对于C 选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，6m =22:196x y C +=x 2229,6,3a b c ===设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，C (M 则，故为锐角，222122461cos 02183a a c F MF a +-∠===>12F MF ∠所以曲线上不存在点，使得，故C 选项正确；C P 12π2F PF ∠=对于D 选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，4m =22:194x y C +=x 此时，为上一个动点，2229,4,5a b c ===P C则面积的最大值为D 选项错误. 12PF F △112222S c b =⨯⨯=⨯⨯=m ax 故选：BC12．设函数，，给定下列命题，其中正确的是（ ） ()ln f x x x =()212g x x =A ．若方程有两个不同的实数根，则；()f x k =1,0k e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．若方程恰好只有一个实数根，则；()2kf x x =0k <C ．若，总有恒成立，则； 120x x >>()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦m 1≥D ．若函数有两个极值点，则实数．()()()2F x f x ag x =-10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为与有两个不同的交()y f x =y k =点，即可判断A 选项；易知不是该方程的根，当时，将条件等价于和只有1x =1x ≠y k =ln xy x=一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断B 选项；当120x x >>时，将条件等价于恒成立，即函数在上为增1122()()()()mg x f x mg x f x ->-()()y mg x f x =-(0,)+∞函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区间，即可求出的范围，即可判断C 选项；m 有两个不同极值点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D 选项. 2()ln (0)F x x x ax x =->【详解】解：对于A ，的定义域，， ()f x (0,)+∞()ln 1f x x '=+令，有，即，()0f x '>ln 1x >-1x e>可知在单调递减，在单调递增，所以极小值等于最小值，()f x 1(0,)e 1+e ∞（，），且当时，又，min 11()()f x f e e∴==-0x →()0f x →(1)0f =从而要使得方程有两个不同的实根，()f x k =即与有两个不同的交点，所以，故A 正确；()y f x =y k =1(,0)k e∈-对于B ，易知不是该方程的根，1x =当时，，方程有且只有一个实数根， 1x ≠()0f x ≠2()kf x x =等价于和只有一个交点， y k =ln xy x=，又且， 2ln 1(ln )-'=x y x 0x >1x ≠令，即，有，0'>y ln 1x >>x e知在和单减，在上单增， ln xy x=0,1（）1e （，）+e ∞（，）是一条渐近线，极小值为, 1x =e 由大致图像可知或，故B 错误； ln xy x=0k <=k e 对于C ，当时，恒成立， 120x x >>[]1212()()()()m g x g x f x f x ->-等价于恒成立， 1122()()()()mg x f x mg x f x ->-即函数在上为增函数， ()()y mg x f x =-(0,)+∞即恒成立， ()()ln 10y mg x f x mx x =-''--'=≥即在上恒成立， ln 1+≥x m x (0,)+∞令，则，ln 1()x r x x+=2ln ()xr x x -'=令得，有，()0r x '>ln 0x <01x <<从而在上单调递增，在上单调递减， ()r x (0,1)(1,)+∞则，于是，故C 正确； max ()(1)1r x r ==m 1≥对于D ，有两个不同极值点， 2()ln (0)F x x x ax x =->等价于有两个不同的正根， ()ln 120F x x ax +-'==即方程有两个不同的正根， ln 12x a x+=由C 可知，，即，则D 正确. 021a <<102a <<故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力．三、填空题13．甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是______． 【答案】815【分析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可. 【详解】解：分两种情况讨论如下：甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为1223515⨯=；甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；232355⨯=综上，所求概率为. 22851551+=故答案为：． 81514．已知，，，点Q 在直线OP 上运动，则当取得最(1,2,3)OA = (2,1,2)OB = (1,1,2)OP =QA QB ⋅ 小值时，点Q 的坐标为（O 为坐标原点）__________.【答案】448,,333⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用共线向量及数量积的坐标表示可得，再利用二次函数知识即得. QA QB ⋅【详解】设，则，(,,)Q x y z (,,)OQ x y z =因为点Q 在直线OP 上运动，所以， OP OQ∥所以，即，， 112x y z==y x =2z x =所以， (,,2)OQ x x x =所以()()(1,2,32)(2,1,22)QA QB OA OQ OB OQ x x x x x x ⋅=-⋅-=---⋅---=， 2(1)(2)(2)(1)(32)(22)61610x x x x x x x x --+--+--=-+所以当时，取得最小值，此时点Q 的坐标为. 164263x -=-=⨯QA QB ⋅ 448,,333⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.448,,333⎛⎫⎪⎝⎭15．已知直线，若∥，则与之间的距离为__________. 12:2320,:640l x my m l mx x +-+=+-=1l 2l 1l 2l【详解】∵∥，∴∴，∴直线的方程分别为,1l 2l ()23120{62120m m m -=-++≠2m =12,l l 30,320x y x y +=+-=1l与2l. 16．已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为 m n ()e 1x f x mx n =-+-()0f x ≥R x ∀∈n mm-______. 【答案】1-【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小0m >值，依题意可得，即可得到，从而得到()min ln 10f x m m m n =-+-≥ln 1n m m m ≥-+，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出1ln 2n m m m m -≥-+()1ln 2g x x x=-+()0,x ∈+∞函数的最小值，即可求出的取值范围. n mm-【详解】解：因为，所以，()e 1x f x mx n =-+-()e x f x m '=-若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题0m ≤()0f x '>()f x R x →-∞()f x →-∞意，所以，令，解得，当时，当时， 0m >()0f x '=ln x m =ln x m <()0f x '<ln x m >()0f x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x (),ln m -∞()ln ,m +∞所以， ()()min ln ln 10f x f m m m m n ==-+-≥所以，则， ln 1n m m m ≥-+ln 21n m m m m -≥-+则， 1ln 2n m m m m-≥-+令，， ()1ln 2g x x x=-+()0,x ∈+∞则，所以当时，当时， ()22111x g x x x x-'=-=1x >()0g x '>01x <<()0g x '<即在上单调递减，在上单调递增，所以， ()g x ()0,1()1,+∞()()min 11g x g ==-所以，即的最小值为. 1n mm -≥-n m m-1-故答案为：1-【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题17．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组： ，得到如下的频率分[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,,90,100⋯布直方图．(1)求出频率分布直方图中m 的值：利用样本估计总体的思想估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数、众数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (2)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩，并从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，试求这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的的概率． 【答案】(1)，平均数为71，众数为75，中位数为； 0.030m =73.33(2) 310【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出，利用频率分布直方图求出平均数，众0.030m =数和中位数；（2）先求出一等品和二等品频率之比，进而利用分层抽样得到抽出10个口罩中，一等品和二等品的个数，再利用超几何分布求出答案.【详解】（1），解得， ()100.0050.0100.0150.0150.0251m ⨯+++++=0.030m =估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为，()450.010550.015650.015750.030850.025950.0051071⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=因为的频率为，频率最大，故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的众数[)70,800.030100.3⨯=为， 7080752+=因为，，100.0100.10.5⨯=<()100.0100.0150.250.5⨯+=<，，()100.0100.0150.0150.40.5⨯++=<()100.0100.0150.0150.0300.70.5⨯+++=>故该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数落在内， [)70,80设估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为， x 则，解得，()700.0300.50.4x -⨯=-73.33x ≈故估计该企业所生产的口罩的质量指标值的中位数为.73.33（2）由频率分布直方图得，质量指标值小于70的口罩为二等品的频率为，故一等品的频率为，()100.0100.0150.0150.4⨯++=10.40.6-=故一等品和二等品频率之比为，0.6:0.43:2=故采用分层抽样可得从该企业所抽取的100个口罩中抽出10个口罩中，一等品个数为310632⨯=+个，二等品个数为4个，所以从中再随机抽取3个作进一步的质量分析，这3个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为. 1264310C C 3C 10=18．已知直线和圆．():12530,R l m x my m m -+-+=∈()()22:214C x y -+-=(1)证明：圆C 与直线l 恒相交；(2)求出直线l 被圆C 截得的弦长的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)【分析】（1）求出直线过的定点A ，得到在圆C 内，证明出圆C 与直线l 恒相交； ()3,1A （2）数形结合得到直线l 与垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，由垂径定理求出弦长最小AC 值.【详解】（1）变形为，():12530l m x my m -+-+=()0253m x y x -+-=+令，解得，25030x y x +-=⎧⎨-+=⎩31x y =⎧⎨=⎩故直线过定点，l ()3,1A 因为，故在圆C 内，故圆C 与直线l 恒相交；()()22321114-+-=<()3,1A （2）因为直线过定点，且在圆C 内， l ()3,1A ()3,1A 故当直线l 与垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最小， AC其中，1CA ==圆的半径为2， ()()22:214C x y -+-=故弦长最小值为=19．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋6x －a .92（1）若对任意实数x ，≥m 恒成立，求m 的最大值； ()f x '（2）若函数f (x )恰有一个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）－；（2）(－∞，2)∪. 345(,)2+∞【分析】（1）求出导函数，结合二次函数性质可得参数范围；（2）由导函数确定函数的单调性，极值，由极小值大于0或极大值小于0得参数范围． 【详解】（1）＝3x 2－9x ＋6＝，()f x '23333(244x --≥-由≥m 恒成立，可得m ≤－， ()f x '34即m 的最大值为－. 34（2）＝3x 2－9x ＋6＝3(x －2)(x －1)， ()f x '由>0⇒x >2或x <1，由<0⇒1<x <2，()f x '()f x '∴f (x )在(－∞，1)和(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f (x )极大值＝f （1）＝－a ，f (x )极小值＝f （2）＝2－a . 52∵f (x )恰有一个零点，∴－a <0或2－a >0， 52即a <2或a >， 52所以a 的取值范围为(－∞，2)∪.5(,)2+∞20．如图①，在等腰梯形ABCD 中，，将沿AC 折起，使得,222AB CD AB AD CD ===∥ADC △，如图②．AD BC ⊥(1)求直线BD 与平面ADC 所成的角；(2)在线段BD 上是否存在点E ，使得二面角的平面角的大小为?若存在，指出点E 的E AC D --π4位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1). π4(2)存在,分析见解析.【分析】（1）通过线面垂直的判定证明平面ADC ，直线BD 与平面ADC 所成的角，即为BC ⊥，通过即可求出结果. （2）以为坐标原点，所在的直线为轴，BDC ∠tan BCBDC DC∠=C CA x CB 所在的直线为轴，过点作垂直于平面ABC 的直线为轴，建立空间直角坐标系.利用向量法求y C z 出满足的点E ，使得二面角的平面角的大小为，并能求出相应的()01BE tBD t =≤≤ E AC D --π4实数的值.t 【详解】（1）等腰梯形ABCD 中，，,222AB CD AB AD CD ===∥由平面几何知识易得，∴π3B = , 22222π21221cos33AC AB BC ∴=+-⨯⨯⨯==-,又，，平面ADCAC CB ∴⊥ AD BC ⊥ AD AC A = BC ∴⊥直线BD 与平面ADC 所成的角，即为， ∴BDC ∠. 1πtan 1,14BC BDC BDC DC ∠===∴∠= 直线BD 与平面ADC 所成的角为.∴π4（2）在线段BD 上存在点E ，使得二面角的平面角的大小为. E AC D --π4由（1）知，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作AC CB ⊥ C CA x CB y C 垂直于平面ABC 的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.z平面ADC ，又平面ABC ，平面ADC 平面ABC ，是顶角为的等腰三BC ⊥ BC ⊂ ∴⊥ADC ∠2π3角形，知轴与底边上的中线平行， z ADC △则 ())()10,0,00,1,02C AB D ⎫⎪⎪⎭，，，，,令，则 11,)2CA BD ∴==- ()01BE tBD t=≤≤ ,2t E t ⎫-⎪⎪⎭，，设平面ACE 的法向量，则 ,2t CE t ⎫∴=-⎪⎪⎭ (),,m x y z = 00CA m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，令，则，， ()0210t y tz =-+=⎪⎩y t =()21z t =-()0,,22m t t ∴=- 平面ADC 的一个法向量为.要使二面角的平面角的大小为，()0,1,0n = E AC D --π4则或（舍去）. πcos 4m n m n ⋅===⋅ 23t =2t =所以在线段BD 上存在点E ，使得二面角的平面角的大小为，此时E 在线段BD 上靠E AC D --π4近D 的三等分点处.21．已知，为椭圆：的左、右焦点.点为椭圆上一点，当取1F 2F C ()222210x y a b a b+=>>M 12F MF ∠最大值时，.π3()1216MF MF MF +⋅= (1)求椭圆的方程；C (2)点为直线上一点（且不在轴上），过点作椭圆的两条切线，，切点分别为P 4x =P x P C PA PB ，，点关于轴的对称点为，连接交轴于点.设，的面积分别为A B B x B 'AB 'x G 2AF G △2BF G △1S ， ，求的最大值.2S 12S S -【答案】(1)22143x y +=【分析】(1)由已知结合椭圆定义，可求与的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中a c ，即可求得与，也就得出椭圆方程.222a b c =+a b (2)利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线的定点坐标，然后解AB 设的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点的坐标，由此求出的关系AB G 12S S -式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意有当为椭圆短轴端点时M 最大，此时，则 12F MF ∠12π3F MF ∠=为正三角形，则12F MF △2a c =且()1211π22cos66MF MF MF MO MF b a +⋅=⋅=⋅==，，∴ba =222a b c =+∴2a =b =1c =故椭圆方程为.22143x y +=（2）设，，， ()11,A x y ()22,B x y ()()4,0P t t ≠若，则切线方程为，10y =1x x =若，则在处的切线的斜率必定存在， 10y ≠A 设该切线的方程为，()1111y k x x y kx y kx =-+=+-由可得， 11223412y kx y kx x y =+-⎧⎨+=⎩()22113412x kx y kx ++-=整理得， ()()2221111348()4120k x k y kx x y kx ++-+--=故， ()()2222111164()4344120k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦整理得到：，故，2211211390216x x k k y y ++=1134x k y =-故切线方程为：， 211111111333124444x x x y x y x y y y y =-++=-+故：， PA 11143x x y y+=综上，：，同理： PA 11143x x y y +=PB 22143x x y y +=因，都过点，则，PA PB ()4,P t 1113y t x +=2213y tx +=则方程为，即过定点. AB 13ytx +=AB ()1,0故设方程为，，AB 1x my =+0m ≠联立， 2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩ ∴()2234690m y my ++-=，，又 ∴122634m y y m -+=+122934y y m -=+()22,B x y '-直线方程为：，令得 AB '()211121y y y y x x x x ---=--0y =()()122112211212121212112G my y my y x y x y my y y y x y y y y y y ++++++===+++， 21212293421214634y y m m m m y y m -+=⋅+=⋅+=-++∴()4,0G ∴12212122613322234mS S F G y y y y m -=⋅-=+=⋅+2994343m m m m==≤=++当且仅当即，43m m =243m=m =故最大值为12S S -22．设，，已知和在处有相同的切线.()()1xf x ae x =+()22g x x bx =++()f x ()g x 0x =（1）求，的解析式；()f x ()g x （2）求在上的最小值；()f x [],1(3)t t t +>-（3）若对，恒成立，求实数的取值范围. 2x ∀≥-()()kf x g x ≥k 【答案】（1）；.()2(1)x f x e x =+2()42g x x x =++（2）． 2min2,32()2(1),2x e t f x e t t ⎧--<<-=⎨+≥-⎩（3）.2[1,e ]【详解】试题分析：（1）先求的导函数，再由题设得：.2()(1),()2x f x ae x g x x bx =+=++，从而可列方程组解得的值；,a b （2）利用导数判函数的单调性，进而求出函数在上的最小值；()(1)x f x ae x =+()f x [,1](3)t t t +>-要注意对 的取值分类讨论；t （3）令，利用导数研究此函数的极值，由其极小值非()()()()22142x F x kf x g x ke x x x =-=+---负可求实数的取值范围.k 试题解析：解：（1）()(2)x f x ae x '=+()2g x x b =+'依题意，即， 2{2a a b ==2{4a b =∴= ()2(1)x f x e x =+（2）()2(2)x f x e x +'=在上递减，在递增()f x (,2)-∞-(2,)-+∞3t >- 12t ∴+>-①当时32t -<<-在递减，在递增()f x [,2]t -[2,1]t -+2min ()(2)2f x f e -=-=-②当时 在递增2t ≥-()f x [,1]t t +min ()()2(1)tf x f t e t ==+ 2min2 32(){2(1) 2t e t f x e t t --<<-∴=+≥-（3）令()()()()22142x F x kf x g x ke x x x =-=+---由题意时 恒成立2x ≥-()0F x ≥()0220,1F k k ∴=-≥∴≥()()()221x F x x ke =+-'在 上只可能有一个极值点 ()2,x F x ≥-∴ [)2,-+∞1lnk①当 即 时， 在递增 1ln2k<-2k e >()F x [)2,-+∞不合题意 ()()()22min 22F x F e k e ∴=-=-②当 ，即 时 符合题意 1ln2k =-2k e =()()min 20F x F =-=③当，即 时 1ln 2k=-21k e ≤<在 上递减，在 上递增； ()F x 12,ln k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1ln ,k ⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦ 符合题意 ()()min 1ln ln 2ln 0F x F k k k ⎛⎫==⋅-> ⎪⎝⎭综上所述实数的取值范围是：k 21e ⎡⎤⎣⎦，【解析】1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想与分类讨论的思想.。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

【精选试卷】杭州数学高二下期末经典测试题(答案解析)

【精选试卷】杭州数学高二下期末经典测试题(答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13883]函数f (x )＝3sin(2x －6π)在区间[0，2π]上的值域为( ) A ．[32-，32] B ．[32-，3] C ．[332-，332] D ．[332-，3] 2．(0分)[ID ：13855]已知sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则cos2α的值为（ ）A ．45-B ．35 C ．35D ．453．(0分)[ID ：13894]非零向量a b ，满足：a b a -=，()0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 A ．135° B ．120° C ．60°D ．45°4．(0分)[ID ：13893]已知,αβ为锐角，且，5sin 13α=，则cos β的值为（ ） A ．5665B ．3365C ．1665D ．63655．(0分)[ID ：13892]已知函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，若ππ,612x ⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，()f x 的图象恒在直线3y =的上方，则ϕ的取值范围是( )A ．ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎛⎫-⎪⎝⎭ 6．(0分)[ID ：13888]平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( ) A 3B 2C ．2D ．37．(0分)[ID ：13871]已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56πB ．53πC ．116πD ．23π 8．(0分)[ID ：13870]在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin 23A B A B +=+=，则角C 等于（ ）A ．150B ．120C ．60D ．309．(0分)[ID ：13836]已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．4-B ．3-C ．12 D ．3410．(0分)[ID ：13919]函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．(0分)[ID ：13908]已知4sin 5α，并且α是第二象限的角，那么tan()απ+的值等于A ．43-B ．34-C ．34D ．4312．(0分)[ID ：13907]如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-13．(0分)[ID ：13904]设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-B ．19-C ．19D ．7914．(0分)[ID ：13902]已知f (x )=A sin(ωx+θ)(ω>0),若两个不等的实数x 1,x 2∈()2A x f x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,且|x 1-x 2|min =π,则f (x )的最小正周期是( ) A ．3πB ．2πC ．πD ．π215．(0分)[ID ：13898]已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ） A ．310B ．35 C ．65-D ．125-二、填空题16．(0分)[ID ：14019]已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____．17．(0分)[ID ：14013]已知θ为钝角，1sin()43πθ+=，则cos2θ=______. 18．(0分)[ID ：14011]设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则(0)f =_____.19．(0分)[ID ：14000]求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域____. 20．(0分)[ID ：13974]已知ABC ∆中角,,A B C 满足2sin sin sin B A C =且2sin cos cos 1242C Cπ+=,则sin A =__________. 21．(0分)[ID ：13973]已知角θ的终边上的一点P 的坐标为()3,4，则cos 21sin 2θθ=+________________．22．(0分)[ID ：13950]设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数m n -=_____．23．(0分)[ID ：13946]已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4tan 3A =，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈，则x y + 的最大值是__________．24．(0分)[ID ：13945]为得到函数2y sin x =的图象,要将函数24y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移至少__________个单位.25．(0分)[ID ：13933]若将函数sin y x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数sin y x x =-的图象，则ϕ的最小值为________________.三、解答题26．(0分)[ID ：14128] 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 27．(0分)[ID ：14092]已知函数f(x)=sin(ωx +φ)（其中ω>0,0<φ<2π3）的最小正周期为π（1）求当f(x)为偶函数时φ的值； （2）若f(x)的图像过点(π6,√32)，求f(x)的单调递增区间 28．(0分)[ID ：14033]已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为1x =-，直线l 与抛物线相交于不同的A 、B 两点． （1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（3）如果4OA OB ⋅=-，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．29．(0分)[ID ：14043]（1）化简求值：222cos 12tan sin 44x x x ππ-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2000cos40sin501+++000sin20sin40cos20cos40--30．(0分)[ID ：14038]设两个向量1e 、2e ，满足12e =，21e =，1e 、2e 的夹角为60︒，若向量2t 127e e +与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．A3．A4．A5．C6．C7．B8．D9．B10．D11．A12．B13．A14．A15．B二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的17．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；18．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础19．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的20．【解析】分析：先化简得到再化简得到详解：因为所以1-所以因为所以所以A+B=所以因为sinA>0所以故答案为点睛：本题主要考查三角化简和诱导公式意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力21．【解析】分析：由角的终边上的一点的坐标为求出的值利用将的值代入即可得结果详解：角的终边上的一点的坐标为那么故答案为点睛：本题主要考查三角函数的定义及二倍角的正弦公式与余弦公式属于中档题给值求值问题求22．8【解析】由题意得23．【解析】延长AO与BC相交于点D作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB∥AC设(m>0n>0)易知x>0y>0则∴又BDC三点共线∴∴只需最小就能使x+y最大∴当OD最小即可过点O作OM⊥BC于点M从而24．【解析】函数的解析式：则要将函数的图象向右平移至少个单位点睛：由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0ω＞0)(x∈R)的图象要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序25．【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象而所以可得故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【详解】 分析：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出26x π-的取值范围，从而求出26sin x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，从而可得()f x 的值域.详解：[]0,,20,2x x ππ⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎣⎦， 52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦， 12,162sin x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()332,362f x sin x π⎛⎫⎡⎤∴=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B. 点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.2．A解析：A 【解析】 ∵sin cos 1sin cos 2αααα-=+，∴tan α11tan α3tan α12-==+，.∴cos2α=222222cos sin 1tan 4cos sin 1tan 5αααααα--==-++ 故选A3．A解析：A 【解析】 【分析】先化简()0a a b ⋅-=得2=a a b ⋅，再化简a b a -=得2b a =，最后求a b -与b 的夹角. 【详解】因为()0a a b ⋅-=，所以220=a a b a a b -⋅=∴⋅，，因为a b a -=，所以2222a a a b b =-⋅+， 整理可得22b a b =⋅， 所以有2b a =，设a b -与b 的夹角为θ，则()2cos a b b a b b a b ba bθ-⋅⋅-===-222222||a a =-， 又0180θ︒≤≤︒，所以135θ=︒， 故选A ． 【点睛】本题主要考查数量积的运算和向量夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A 【解析】 解：根据题意，α，β为锐角，若sinα=513，则cosα=1213， 若cos （α+β）=35，则（α+β）也为锐角， 则sin （α+β）=45， 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα=35×1213+45×513=5665， 点睛：由cos （α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin （α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα.5．C解析：C 【解析】分析：根据函数()f x 的解析式，利用x 的取值范围，结合题意求出ϕ的取值范围．详解：函数函数()()π2cos 332f x x ϕϕ⎛⎫=++≤⎪⎝⎭，ππ,612x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，324x ππϕϕϕ+∈-++（，），又()f x 的图象恒在直线3y =的上方，2223333042cos x cos x ππϕϕϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪∴++∴+∴⎨⎪+≤⎪⎩（）＞，（）＞，，解得04πϕ≤≤；∴ϕ的取值范围是π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．6．C解析：C 【解析】 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦43525210=-⨯+⨯=-， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．7．B解析：B 【解析】【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos6x π==x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.【详解】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，1sin()2A B +=，所以1sin sin(())2C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =. 故选：D 【点睛】此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据角的终边上一点的坐标，求得tan α的值，对所求表达式分子分母同时除以cos α，转化为只含tan α的形式，由此求得表达式的值. 【详解】依题意可知1tan 2α=-，11sin cos tan 1231sin sin tan 112αααααα----===-++-+．故选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题. 10．D解析：D 【解析】 【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==， 因为:当512x π=时取得最大值2， 所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+， 所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈，因为:||2ϕπ<， 所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11．A解析：A 【解析】 【分析】由诱导公式可得()tan tan παα+=，由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．即可得到答案 【详解】 ∵4sin 5α=，并且α是第二象限的角，，35cos α∴-＝ ， ∴tanα＝43-，则么()4tan tan 3παα+==-. 故选A ． 【点睛】本题考查给值求值问题．掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．12．B解析：B 【解析】 ∵21,33AD AC BP BD =∴=121()393AD AB AC AB -=- ∴2239AP AB BP AB AC =+=+ 又AP AB AC λμ=+，∴22,,339λλμμ=== 故选B.13．A解析：A 【解析】 试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.考点：三角函数14．A解析：A 【解析】 【分析】 由题意可得123ππω⨯=，求得ω的值，可得()f x 的最小正周期是2πω的值 【详解】由题意可得()1sin 2x ωθ+=的解为两个不等的实数1x ，2x且123ππω⨯=，求得23ω= 故()f x 的最小正周期是23ππω=故选A 【点睛】本题主要考查了的是三角函数的周期性及其图象，解题的关键根据正弦函数的图象求出ω的值，属于基础题15．B解析：B 【解析】 【分析】 根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解. 【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++. 故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的 解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =()1,b c x k y -=-- ，1b c -=()()2211x y k ∴-+-=，∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.17．【解析】【分析】将改写成的形式利用二倍角公式计算的值代入相关数值【详解】因为所以；因为且为钝角所以是第二象限角则故【点睛】（1）常见的二倍角公式：；（2）常用的角的配凑：；解析：9-【解析】 【分析】 将2θ改写成2()42ππθ+-的形式，利用二倍角公式计算cos2θ的值，代入相关数值.【详解】因为cos2cos[2()]sin[2()]424πππθθθ=+-=+，所以cos 22sin()cos()44ππθθθ=++；因为1sin()043πθ+=>且θ为钝角，所以()4πθ+是第二象限角，则cos()43πθ+==-，故cos 22sin()cos()44ππθθθ=++= 【点睛】（1）常见的二倍角公式：sin 22sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ；（2）常用的角的配凑：()ααββ=-+，()ααββ=+-；2()()ααβαβ=++- ，2()()βαβαβ=+--.18．【解析】【分析】由图像可以计算出的值即可得到三角函数表达式然后计算出结果【详解】由图可知：由得从而将点代入得即又所以得所以【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式熟练掌握图像是解题关键较为基础 解析：32【解析】 【分析】由图像可以计算出A ，ω，ϕ的值，即可得到三角函数表达式，然后计算出结果 【详解】由图可知：A =由741234T πππ=-=，得T π=，从而22T πω==.将点7,12π⎛⎝7212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ 即7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，又0ϕπ<<，所以7362ππϕ+=，得3πϕ=.所以3(0)2f ϕ===. 【点睛】本题考查了由函数图像求三角函数的表达式，熟练掌握图像是解题关键，较为基础19．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的解析：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数()f x 在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域。

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）月底，某商场想通过抽取发票的10%来估计该月的销售额，先将该月的全部销售发票存根进行了编号：1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号为1,2，…，10的前10张发票存根中随机抽取一张，然后再按系统抽样的方法依编号逐次产生第二张、第三张、第四张、…，则抽样中产生的第二张已编号的发票存根，其编号不可能是（）A . 19B . 17C . 23D . 132. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 已知是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若是异面直线，，，，则．其中真命题是（）A . ①和④B . ①和③C . ③和④D . ①和②3. （2分） (2016高二上·自贡期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，DD1的中点，异面直线A1M和C1N所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°4. （2分）棱台上下底面面积分别为16和81，有一平行于底面的截面面积为36，则截面截的两棱台高的比为（）A . 1：1B . 1：2C . 2：3D . 3：4二、填空题 (共12题；共13分)5. （1分）函数y=ln（x﹣1）的定义域为________6. （1分） (2019高二下·上海期中) 若，则X的值为________7. （1分） (2019高二下·电白期末) 若 ax2+ 的展开式中x5的系数是—80，则实数a=________.8. （1分）设地球半径为R，在纬度为α弧度的纬线圈上有A，B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为πRcosα，则A，B两地之间的球面距离为________9. （1分） (2019高三上·上海期中) 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数 ________10. （1分） (2020高二上·长春开学考) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________.11. （2分） (2019高二下·珠海期中) 母线长为的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于________．12. （1分） (2019高二下·景德镇期中) 若则________13. （1分） (2020高二下·开鲁期末) 有甲、乙两台机床生产某种零件，甲获得正品乙不是正品的概率为，乙获得正品甲不是正品的概率为，且每台获得正品的概率均大于，则甲乙同时生产这种零件，至少一台获得正品的概率是________.14. （1分） (2017高二上·常熟期中) 已知线段AB的长为2，动点C满足（μ为常数，μ＞﹣1），且点C始终不在以点B为圆心为半径的圆内，则μ的范围是________．15. （1分） (2017高一上·滑县期末) 在空间直角坐标系中，设A（0，1，2），B（1，2，3），则|AB|=________．16. （1分） (2018高一上·如东期中) 记号表示中取较大的数，如 .已知函数是定义域为的奇函数，且当时， .若对任意，都有，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共5题；共65分)17. （15分） (2020高二下·大庆期末) 某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加不太主动参加合计班级工作班级工作学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650(参考公式：，其中 )（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由.(参考下表)P(K20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k)k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82818. （10分） (2017高三下·武邑期中) 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面A1B1C1 ， D为AC 的中点，A1B1=BB1=2，A1C1=BC1 ，∠A1C1B=60°．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BDC1；（Ⅱ）求多面体A1B1C1DBA的体积．19. （10分） (2018高一上·漳平月考) 已知二次函数的最小值等于4，且（1）求函数的解析式；（2）设函数，且函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；（3）设函数，求当时，函数的值域．20. （15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为a正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC中点，AC与BD交于O点．（1）求证：BC⊥平面PCD；（2）求点C到平面BED的距离．21. （15分） (2019高二下·吉林期末) 已知函数（Ⅰ）若，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若，判断与的大小关系并证明.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共13分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共65分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、。

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A． 6
B． 3
C． 3
D． 6
4．设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，（ ）
A．若 α⊥β，m α，n β，则 m⊥n
B．若 α//β，m α，n β，则 m//n
C．若 m⊥n，m α，n β，则 α⊥β
D．若 m⊥α，m//n，n//β，则 α⊥β
a 1 b1
17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＋c＝1．
若 cosC＋(cosA－ 3 sinA)cosB＝0，则 b 的取值范围是______．
18．设函数 f (x)（x∈R）满足| f (x)＋1－x |≤ 2 ，| f (x)－x |≤ 3 ，则 f (x)＝______．
中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 A＝{1，2，m}，B＝{3，4}．若 A∩B＝{3}，则实数 m＝（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．条件“t≥0”是“函数 f (x)＝x²＋tx－t 有零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．直线 x＋ 3 y＋1＝0 的倾斜角等于（ ）
设 f (x)＝a·b．
（Ⅰ）求 f ( π )的值； 3
（Ⅱ）求函数 f (x)的最小正周期及单调递增区间．
高二数学•第 3 页（共 4 页）
21．（本题满分 10 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧
面 PAD 是正三角形，AD⊥CD，AD＝DC＝2BC＝2，PC＝2 2 ．
C．Sn≥n2
D．Sn≥2n－1
10．下列不等式成立的是（ ）
A．sin5＞cos5
B．sin(－5)＞cos(－5)
C．－sin5＜cos(－5)
D．sin(－5)＜－cos5
11．已知椭圆
C1：
x2 m2
＋y2＝1（m＞1）与双曲线
C2：
x2 n2
－y2＝1（n＞0）的焦点
重合，e1，e2 分别为曲线 C1，C2 的离心率，则（ ）
23．（本题满分 11 分）已知抛物线 Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点 F 到直线
l：x－y＋2＝0 的距离为 3 2 ． 2
（Ⅰ）求抛物线 Γ 的方程；
（Ⅱ）过点(1，0)作直线 PA 交抛物线 Γ 于 P，A 两点，过点 A 作直线 BC 交抛
物线 Γ 于点 B，交 x 轴于点 C．若点 A 为线段 BC 的中点，求| PB |的最
（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD；
P
（Ⅱ）求直线 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值．
A
D
B
C
（第 21 题）
22．（本题满分 10 分）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，anan＋1＝λSn－1，其中 an≠0，λ 是常数，n∈N*． （Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ； （Ⅱ）是否存在 λ，使得数列{an}为等差数列？并证明．
则（ ）
A．存在某个位置，使得 DE BF
B．存在某个位置，使得∠FDB＝ π 4
C．存在某个位置，使得平面 DEF 平面 DAC D．存在某个位置，使得 α＝ π
6
二、填空题：本大题共 7 小题，第 13~16 每题 3 分，第 17~19 每题 4 分，共 24 分。
13．log220－
5
5
19．若平面向量 a，b 满足| a |＝| 2a＋b |＝2，则 a·b 的取值范围是______．
三、解答题：本大题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
20．（本题满分 9 分）已知向量
a＝( 2sin( π x) ，－ 3 )，b＝(sinx，2cos2x－1)（x∈R）． 2
2x y 0，
5．已知实数
x，y
满足

x

y

3

0，则
x－3y
的最大值是（
）
y 0，
A．－5
B．0
C．3
D．5
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6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． π ＋ 4 33
B．π＋ 4 3
C． π ＋4 3
D． 2π ＋4 3
7．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，若点 P 是
2
11 正视图
2
11 侧视图
俯视图 （第 6 题）
线段 AD1 的中点，则异面直线 CP 与 BC1 所
成的角等于（ ）
A． π 6
B． π 4
C． π 3
D． π 2
8．若将函数 y＝2sin2x 的图象向左平移 π 个单位长度，则平移后的图象的对称轴 12
A．m＞n 且 e1e2＞1 C．m＜n 且 e1e2＞1
B．m＞n 且 e1e2＜1 D．m＜n 且 e1e2＜1
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12．在正四面体 D－ABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点 E 在棱 AB 上，满足
AE＝2EB，点 F 为线段 AC 上的动点．设直线 DE 与平面 DBF 所成的角为 α，
小值．
y
P
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
x
A
B （第 23 题）
高二数学•第 4 页（共 4 页）
2018 年杭州市高二年级教学质量检测
考生须知：
数学试题卷
杭州小姜小范提供
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。满分 100 分，考试时间 90 分钟。 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，
超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项
1 2
log225＝______．
14．已知双曲线
C： x2 a2

y2 b2
＝1（a＞0，b＞0）的离心率为
3 ，则双曲线 C 的渐
近线方程为______．
15．已知 AB 为圆 C：x2＋y2－4x－5＝0 的弦，设点 P(3，1)为 AB 的中点，则直线
AB 的方程为______． 16．若正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则 a b 的最大值为______．
方程为（ ）
A． x kπ π （k∈Z） 26
C． x kπ π （k∈Z） 2 12
B． x kπ π （k∈Z） 26
D． x kπ π （k∈Z） 2 12
9．已知数列{an}满足 a1=1，an+1－an≥2（n∈N*），则（ ）
A．an≥2n＋1 B．an≥2n－1
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