11、分形与非线性科学研究

实验：听一听混沌
x0 0.1），由迭代 练习 14 选取初值 x（如 0
产生迭代序列xk 1 4 xk (1 xk ), k 0,1, ，根 据 xk , k 0,1, 的大小 确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序 列。
有程序！
程序！
clear all,clc x(1)=0.1; for k=2:100000 x(k)=4*x(k-1)*(1-x(k-1)); end fs=[8000 11025 22050 44100]; wavplay(x,fs(1))
中产生极大的差别，或者说，起初小
的误差引起灾难性后果。
• 洛伦兹在他的玩具天气模型中发现了 这一特性。
一个数学实验——关于混沌特性
• 对初值的敏感性
xk 1 4 xk (1 xk ), k 0,1,
练习：任取两个初值使它们之间的差的绝 对值不超过 0.1, 在迭代他们是否逐渐分 开？如果两个初值的差的绝对值不超过 0.01, 0.001, 0.0001 结果如何？由此得出 迭代对初值是否敏感？
定义： （Lyapunov指数）
问题：如何计算一阶迭代方程的Lyapunov指数
因为： df ( n ) ( x0 ) df ( x0 ) df ( x1 ) df ( x2 ) df ( xn 1 ) ... dx dx dx dx dx 其中：x1 f ( x0 ), x2 f ( x1 ) f ( 2) ( x0 ),...
2
xk 1 1 2xk 2 , k 0,1,
引入变换： 因此： 因此解为：
因此： 因此：
伪随机序列
关于Logistic差分模型的其他特征值
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an an 1 定义：F1 an 1 an
① 当n → ∞时，F1 → 4.669 （Fergenbaum第一常数）
（1）一维
（2）二维
0
dx 3 x px 分岔点 例1：计算 dt
step1 : 令f x px，则：
3Байду номын сангаас
f 2 3 x p0 x f x0 p step2 : 求解得：x 0, p 0
Step3：则（x＝0，p＝0）是系统分岔点
例2：Lorenz方程
( x y )＝0 step1 : 令x y xz＝0 xy bz＝0
step2 : 求解： A（0， 0， 0），B( b( 1) , b( 1) , 1) C (－ b( 1) ,－ b( 1) , 1)
p
A1：x02＝
稳定 稳定
A2：x03＝ p 系统存在两个个吸引子。
例2：Lorenz方程
x ( x y ) y x y xz xy bz z
微分方程组稳 定性判断：
（1）当 < 1时，系统存在一个平衡态：A：(0,0,0) A是稳定的，故系统存在一个吸引子。 （2）当1 < < 1.345时，系统存在三个平衡态： A：(0,0,0) 不稳定 稳定 稳定

不稳定 稳定 稳定
（2）当1 < < 1.345时，系统存在三个平衡态： A：(0,0,0)
A1：( b( 1) , b( 1) , 1)
A2：( b( 1) , b( 1) , 1)
系统存在两个个吸引子及一个排斥子。
3、分岔点的条件
分岔点的一个充要条件 ： f 0 x f 0 Re (rm ) 0 f 0 g 0
dx 3 x px 例1： dt
dx 方程： f ( x, p), 平衡点x0是否稳定的判断条件： dt f （ 1 ）若 | x x0 0, 不稳定 x f （2）若 | x x0 0, 稳定 x
（1）当p 0时，系统存在一个平衡态：A：x01＝0 A是稳定的，故系统存在一个吸引子。 （2）当p > 0时，系统存在三个平衡态： A： x01＝0 不稳定
② 定义△n为周期2n的分岔值与周期2 n－1的分岔值之差，
则：
n F2 2.5029078750 9 n1
（ Fergenbaum第二常数）
另一个混沌举例
例： Lorenz方程
x ( x y ) y x y xz xy bz z
p
A1：x02＝
稳定 稳定
A2：x03＝ p
系统存在两个个吸引子。
例2：Lorenz方程
x ( x y ) y x y xz xy bz z
（1）当 < 1时，系统存在一个平衡态：A：(0,0,0) A是稳定的，故系统存在一个吸引子。 失稳

step3 : 代入Jacobi 矩阵 : J z y

1 x
0 x b
J对应的特征方程： (b )[ 2 (1 ) (1 )] 0
1 b,
(1 ) 2 4 (1 ) 2,3 2 得分岔的条件： ＝ 1 ，＝ 1 (1 )
step4：求J对应的特征方程 step5：令特征根的实部为零
补充3：分岔图的计算过程（p36 图2.5）
Logistic差分方程： xn+1 = a xn(1-xn)
x 失稳 周期2 周期1 周期1 B 1 3 C D 3.449 C1 C2 D1 D2 ？ 3.545 a
A 0
12分岔
24分岔
A1：( b( 1) , b( 1) , 1)
A2：( b( 1) , b( 1) , 1)
系统存在两个个吸引子及一个排斥子。
2、分岔的定义
• 指由于参数的变化，系统因原平衡态失
稳而进入新的平衡态的过程。
dx 3 x px 例1： dt
（1）当p 0时，系统存在一个平衡态：A：x01＝0 A是稳定的，故系统存在一个吸引子。 失稳 （2）当p > 0时，系统存在三个平衡态： A： x01＝0 不稳定
dx 设： f ( x), x ( x1 , x2 ,..., xn ), (n 1,2), T tr ( J ), | J | dt
×平衡点稳定性判断： （1）稳定的条件：T<0，且>0 （2）不稳定的条件：T>0，或<0 ××平衡点稳定性的临界情况（近似线性方程组与非线 性方程组稳定性不一定一致）：T＝0，＝0 ×××平衡点的分类： （1）结点：两特征根为同号、不等的实根 （2）鞍点（不稳定）：特征根是两个异号的实根 （3）焦点（振动，远离或趋近平衡点）：特征根是 不等的复数根，且实部不为零。 （4）中心点（周期振动）：特征根为纯虚数，即实 部为零。
复习：不动点稳定性判断
L （ 1 ）计算 Floquet 算子： | x x0 x
（2）稳定性判断： 当|| < 1 当|| > 1 当||＝1 不动点稳定 不动点不稳定 不动点为分岔点
1、一阶Lyapunov指数
① 如何度量非线性特性？——Lyapunov指数 考虑一阶迭代方程： N次迭代后的误差：
练习 12 帐篷函数的迭代对初值是否敏 感？ 找出帐篷函数的周期点。
• 其它函数的迭代 对以下函数的迭代行为做探讨，并与函 数 f ( x) a x (1 x) 的迭代行为相比较。
1. 2. 3. 4. f ( x) a ( x a ) f ( x) x 2 2 f ( x ) a sin( x ) f ( x) x 4 a
因此： 1 n 1 / 1 n 1 LE | f ( xi ) | ln | f / ( xi ) | n i 0 n i 0 或：LE lim
补充1：关于混沌 page 34
--非线性科学
关于混沌
1. 确定论的三种定常状态： ① 静止运动 ② 周期运动 ③ 准周期运动 2. 混沌：由确定性非线性耗散动力系统所产 生的不确定行为的现象。 3. 出现混沌的维数：三维以上的自治动力系 统
（1）对初始条件的敏感依赖性
• 混沌系统的典型特征。
• 指初始条件的微小差别在最后的现象
程序演示： lorenz.m
补充2：关于分岔 page 34
--非线性科学
分岔
• 1、吸引子
• 2、分岔的定义
• 3、分岔点的条件
1、吸引子
• 吸引子：稳定的定态 • 排斥子：不稳定的定态 • 非线性动力系统与线性动力系统的 区别：复杂性 • 复杂性表现：存在多个吸引子
1、复习：稳定性与分类
48分岔
当a>3.57时，出现混沌。
回顾：离散动力系统的不动点
① 离散动力系统：x n＋1＝L（xn） ② 不动点：任意次迭代后不变的点： xn+k = … =xn+2 = xn+1 = xn ③ 不动点满足的方程：x＝L（x）
关于周期为k的不动点
• 周期1的不动点：x＝L（x） • 周期2的不动点：x＝L（L（x））＝L2（x） • …… • 周期k的不动点：x＝Lk（x）
其中: 为Jacobi 矩阵的特征值 f1 f1 f1 ... xn x1 x2 f f 2 f 2 2 ... xn Jacobi 矩阵：J x1 x2 .......... .......... .......... . f n f n f n ... x x x 2 n x 1
关于混沌的定义
关于混沌的定义
注： 1、前两个极限说明子集 的点X1，X2S相当分散 而又相当集中； 2、第三个极限说明子集 不会趋近于任意周期点．
关于混沌的定义
注： 这个定理本身只预言有非 周期轨道存在，既不涉及 这些非周期点的集合是否 具有非零测度，也不涉及 哪个周期是稳定的。因此， Li-Yorke定义的缺陷在于 集合S的勒贝格测度有可 能为零，即这时混吨是不 可观测的，而人们感兴趣 的则是可观测的情形，即 此时S有一个正的测度。
d＝0.1
d＝0.01
d＝0.001
d＝0.0001
• 非随机性 仍然考虑迭代
xk 1 4 xk (1 xk ), k 0,1,
练习：从不同的初值 x0 (0,1) 出发，统计迭 代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中 的点的个数，你得到的结果是随机的吗？
进一步，将区间分成任意等份，统计迭代 点列落于每个子区间的点的个数？结果如 何？
x ( x y ) y x y xz xy bz z
Exam ple : A(0,0,0)代入Jacobi 矩阵 : 则J z y 0 0 1 x x b 0 1 0 0 b
模拟100次，每次迭代落在（0， 0.5）区间的频率
伪随机现象！
其它函数——迭代实验
• 锯齿函数
2 x S ( x) 2 x 1 0 x 1/ 2 1/ 2 x 1
练习 11 锯齿函数的迭代对初值是否敏感？ 找出锯齿函数的周期点。
• 帐篷函数
0 x 1/ 2 2x T ( x) 2(1 x) 1/ 2 x 1
关于Logistic模型混沌特性的研究
• Logistic 模型
xk 1 xk (1 xk ), k 0,1,
写成标准形式：
xk 1 1 axk , k 0,1,
2
Ulam-von Neumann映射：当a = 2时
xk 1 1 2xk , k 0,1,