13全等三角形典型例题

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2023八年级数学上册第十三章全等三角形13

(2)解:如图,∵△ACD≌△BCE,
∴∠E=∠D=47°.
∵∠1+∠2+∠3=180°,∠1=∠2=∠3,
∴∠1=∠2=∠3=60°,
∴∠B=180°-∠3-∠E=73°.
1. [2021武汉洪山区期末]如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于
点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为 (
= ,
∴△ABP≌△DCP(SAS).
(3)存在这样的v值,使得△ABP与△PQC全等.
①∵∠B=∠C,∴当BP=CQ,AB=PC时,△ABP≌△PCQ,
∵AB=6 cm,∴PC=6 cm,∴BP=10-6=4(cm),∴2t=4,解得t=2,
∴CQ=BP=4 cm,由v×2=4,解得v=2.
确的是 (
)
A.①②均正确
C.①错误、②正确
B.①正确、②错误
D.①②均错误
答案
=
3.A ∵OA=OD,AC=DE,∴OA+AC=OD+DE,即OC=OE.在△AOE和△DOC中,ቐ∠ = ∠
=
∴△AOE≌△DOC(SAS),∴DC=AE,∠C=∠E,∵∠2=∠1+∠E,∴∠2=∠1+∠C,故①②均正确.
是否存在这样的v值,使得△ABP与△PQC全等?若存在,请求出v的值;若不存在,请说明
理由.
答案
5.解:(1)(10-2t)
(2)当t=2.5时,△ABP≌△DCP.
∵当t=2.5时,BP=2.5×2=5(cm),
∴PC=10-5=5(cm),
= ,
在△ABP和△DCP中,ቐ∠ = ∠ = 90°,
在△ACE和△BCD中,ቐ∠ = ∠,

三角形全等证明题60题(有答案)

全等三角形证明题专项练习60题(有答案）1．已知如图，△ABC≌△ADE,∠B＝3０°,∠Ｅ=20°，∠ＢＡE＝105°，求∠ＢAC的度数.∠BＡC=_________ ．2.已知:如图,四边形ABCD中,ＡB∥CD,AＤ∥BC.求证:△ABD≌△ＣDＢ．3．如图,点E在△AＢC外部，点D在边BＣ上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3,AＣ=AE，请说明△ABC≌△AＤE的道理．４.如图,△ABC的两条高AＤ,BE相交于H，且ＡＤ=BD．试说明下列结论成立的理由．（1）∠DＢH=∠DAC；（2)△ＢDH≌△ＡDC.5.如图，在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，且DＥ＝DF,则AB＝AC，并说明理由．７．如图所示，Ａ、Ｄ、F、Ｂ在同一直线上,AF=ＢＤ，ＡＥ=BC，且AE∥BC.求证:△AEF≌△ＢCD.8.如图，已知ＡB=AＣ,AD=AＥ,BE与ＣD相交于O，△AＢＥ与△ＡCD全等吗？说明你的理由.9．如图,在△AＢC中，ＡB=AC,D是BC的中点,点E在ＡD上，找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的．10.如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC.11.已知ＡC=ＦE,BＣ＝DE，点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABＣ≌△FDＥ，应增加什么条件？并根据你所增加的条件证明：△ＡBC≌△FＤＥ.１２.如图，已知ＡB=AC,ＢD＝CE,请说明△AＢＥ≌△AＣＤ.13．如图,△ABC中,∠AＣB＝90°,AC=ＢC，将△AＢC绕点Ｃ逆时针旋转角α（０°＜α<90°）得到△Ａ1Ｂ１Ｃ,连接BB1.设CB１交AＢ于D，A1B1分别交AB，AＣ于E，F,在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明.（△ＡBC与△A1B１C１全等除外)14．如图,ＡＢ∥DE,AC∥DF,ＢE=CF．求证:△ＡＢＣ≌△ＤEＦ.15．如图,ＡB=AＣ,AD＝AE,AB，DＣ相交于点M，AC,BＥ相交于点N，∠DAB=∠EAC.求证:△ＡDＭ≌△AＥN．16.将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），Ｂ、C、E三点在同一条直线上,连接DC．求证：△ABE≌△ACD.1７．如图,已知△ABC是等边三角形,Ｄ、Ｅ分别在边BC、ＡＣ上，且ＣD＝ＣE，连接ＤE并延长至点F,使EＦ=ＡE，连接ＡF、ＢＥ和CF.请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示,并选择一对加以证明.18.如图,已知∠1=∠２，∠3=∠4,EC＝AＤ.(1）求证:△ABＤ≌△EBC．(2)你可以从中得出哪些结论？请写出两个．１9．等边△ABC边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BＣ于点E,过点E作EＦ⊥ＡC于点Ｆ．(１)若AＤ=2,求ＡF的长；（2)求当AD取何值时，ＤE=EＦ.２０．巳知：如图，AB=AＣ，D、E分别是AB、AC上的点,AD=AＥ,BE与CD相交于G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形?并将它们写出来.（Ⅱ）请你选出一对三角形,说明它们全等的理由(根椐所选三角形说理难易不同给分,即难的说对给分高,易的说对给分低）2１.已知：如图，AＢ=DC，AC＝BD，AC、BD相交于点E,过E点作ＥF∥BC,交CＤ于Ｆ，(1）根据给出的条件,可以直接证明哪两个三角形全等?并加以证明.（2）EF平分∠DEC吗？为什么?22.如图，己知∠1＝∠２,∠ABC=∠DCB,那么△ABC与△DCB全等吗？为什么？２３．如图,B，F,Ｅ，D在一条直线上,ＡB=CＤ，∠Ｂ=∠D，ＢF=ＤE．试证明：（１）△DＦC≌△BEA;(2)△AFE≌△CEF.2４.如图,AＣ＝ＡE,∠BAF=∠BＧＤ=∠EAＣ，图中是否存在与△ＡＢE全等的三角形？并证明．25．如图,D是△ABC的边BC的中点,CＥ∥AB,Ｅ在AD的延长线上．试证明：△ABD≌△ECD．２６．如图，已知AB=CD，∠B＝∠Ｃ，AＣ和BD相交于点O，E是AＤ的中点，连接OE．（1)求证:△AOＢ≌△DOC;(２）求∠ＡEＯ的度数．27.如图,已知AB∥DE,ＡＢ＝DE，AＦ=DＣ．（1）求证：△ＡBF≌△DＥＣ;（2)请你找出图中还有的其他几对全等三角形.(只要直接写出结果，不要证明)２８．如图：在△AＢC中,ＢＥ、ＣF分别是ＡC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC，在CＦ的延长线上截取CG=AB，连接ＡD、ＡG.（1)求证:△ＡＢD≌△ＧCA;(2）请你确定△ADＧ的形状，并证明你的结论．29．如图，点Ｄ、Ｆ、E分别在△ABC的三边上，∠1=∠２＝∠3,DＥ=ＤF,请你说明△ADE≌△ＣＦD的理由．30．如图，在△AＢC中,∠ABＣ＝90°，BE⊥ＡC于点E，点Ｆ在线段ＢE上,∠1=∠2,点D在线段EＣ上，给出两31．如图，在△ABC中,点D在AB上,点Ｅ在BC上，ＡB=BＣ,BD=BE,EA=ＤC,求证：△BEA≌△BDC．３2．阅读并填空:如图,在△ABC中,∠ACB＝９0°，AC=BC,BE⊥ＣE于点E，AD⊥CE于点Ｄ.请说明△ADC≌△CＥＢ的理由．解:∵BE⊥CE于点E(已知)，∴∠E=90°＿________，同理∠AＤＣ=90°，∴∠E=∠ＡDC（等量代换).在△ADＣ中,∵∠1＋∠2+∠ADC=1８0°_＿____＿__，∴∠１+∠２=９0°____＿__＿＿.∵∠ＡCＢ=9０°(已知)，∴∠3＋∠2＝9０°，∴____＿＿＿＿_ ．在△ＡDC和△CEB中，.∴△AＤＣ≌△CEB (Ａ.A．S）3３．已知:如图所示，ＡＢ∥DE，AB=DE,AF=DC．（1)写出图中你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2)选择你在（１)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．３４．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DＥ交AC于点F,若∠1＝∠２=∠3，AC＝ＡE.试说明下列结论正确的理由:(１)∠C=∠E;(2)△ABＣ≌△ADE.35．如图,在Rt△ＡBC中，∠ＡＣB=9０°,ＡＣ=BC,D是斜边AB上的一点,AE⊥CD于E,BＦ⊥CD交CＤ的延长线于F．求证:△ＡCＥ≌△CBF.36.如图,在△ABC中,D是BＣ的中点,DＥ∥CA交AB于E，点Ｐ是线段AC上的一动点,连接PＥ.探究：当动点Ｐ运动到ＡＣ边上什么位置时,△AＰE≌△EDＢ?请你画出图形并证明△APE≌△EDＢ．37.已知:如图，AD∥ＢC，AD=BC,Ｅ为ＢC上一点,且AE=AB.求证：（1)∠DＡＥ=∠B；（2)△ＡＢＣ≌△EAD．38．如图，D为ＡＢ边上一点，△ABＣ和△EＣD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ＤCE＝90°,ＣＡ＝ＣB,ＣＤ=CＥ,图中有全等三角形吗？指出来并说明理由.３９．如图，AB=AC,ＡD=ＡE,∠BＡC=∠DAE．求证:△AＢＤ≌△ACE.40．如图,已知D是△ABＣ的边BC的中点，过Ｄ作两条互相垂直的射线,分别交AB于Ｅ,交ＡC于F,求证:BE+CF>ＥＦ.4１.如图所示，在△MNP中,H是高MQ与NE的交点,且QN=QM，猜想ＰＭ与ＨＮ有什么关系?试说明理由．４2.如图,在△AＢC中，Ｄ是BC的中点,过D点的直线GF交AＣ于Ｆ,交AC的平行线BG于G点,DE⊥GF，交ＡB于点Ｅ,连接ＥG.(１）求证：ＢG＝CF;（2)请你判断BE＋ＣＦ与EF的大小关系，并证明你的结论．43.如图，在△ＡBＣ中,∠ACB＝90°，ＡＣ＝BC,ＢE⊥CE于E,AD⊥ＣE于D,ＡＤ=2.５cｍ,DE=1.7cm,求BE的长.44.如图,小明在完成数学作业时,遇到了这样一个问题,AB＝CD,ＢＣ=AD，请说明：∠A=∠C的道理,小明动手测量4５.如图，AＤ是△ＡBC的中线,CE⊥AD于E，BF⊥AＤ,交AD的延长线于F．求证:CE=ＢF．４6.如图,已知AB∥CD，ＡＤ∥BC,Ｆ在DC的延长线上，AM=CＦ，FM交DA的延长线上于E.交BC于N，试说明：AＥ=CN.47．已知:如图，△AＢC中,∠C＝9０°,ＣM⊥AＢ于M,AＴ平分∠BAC交CＭ于D,交ＢC于Ｔ，过D作ＤE∥ＡB 交BC于E,求证：CT=BE.４8．如图，已知AB＝AD,AC＝ＡＥ，∠ＢAＥ＝∠DAＣ.∠B与∠D相等吗?请你说明理由．49.Ｄ是AB上一点,DF交AC于点Ｅ，DE=EＦ,ＡE＝CＥ，求证:ＡＢ∥CF．5１.如图,在△ABC中,AＣ⊥BC,AC=BＣ,Ｄ为AＢ上一点,AF⊥ＣD交于CＤ的延长线于点F，BE⊥ＣD于点E，求证：EF=CF﹣AF．52．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AＢ=ＡC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于Ｄ,ＥC⊥MN于E. （1)求证：BD=AE;（２）若将MＮ绕点A旋转，使MＮ与ＢC相交于点O,其他条件都不变，BD与ＡE边相等吗？为什么?(3）BD、CE与ＤＥ有何关系?５３.已知:如图,△ABＣ中,AＢ=AC，ＢD和CＥ为△ABC的高,ＢD和CＥ相交于点O.求证：OB=OC.54.在△ＡBC中，∠ACＢ=９０°，D是ＡB边的中点，点F在AＣ边上,DE与CF平行且相等．试说明AE=DF的理由．55．如图,在△ABC中,D是边ＢC上一点，ＡD平分∠ＢAＣ，在AB上截取AE＝ＡC,连接DE,已知DE＝2cｍ,BD=3ｃm,求线段ＢC的长．5６．如图:已知∠B=∠C,AＤ=AE,则AB=AＣ,请说明理由．57．如图△AＢC中,点D在AC上，E在AB上，且AＢ=AＣ,BC=ＣD，AD=DＥ=BＥ.（1)求证△ＢＣE≌△DＣE；(2)求∠EDC的度数．5８．已知:∠Ａ=9０°，AB=ＡＣ，BD平分∠ABC，CE⊥ＢD，垂足为E．求证:BD=２CＥ.59．如图,已知:AB=CＤ，AD=BC,过BD上一点O的直线分别交DA、BＣ的延长线于E、F．(1）求证:∠E=∠F;(2）OE与ＯF相等吗？若相等请证明,若不相等，需添加什么条件就能证得它们相等?请写出并证明你的想法.60.如下图，AD是∠BAC的平分线，ＤE垂直AＢ于点Ｅ，ＤF垂直AＣ于点Ｆ,且BＤ=DC.求证：BＥ＝CF．ﻬ全等三角形证明题专项练习60题参考答案:1.∵△ABC≌△AＤE 且∠B≠∠Ｅ，∴∠C=∠Ｅ,∠Ｂ=∠D;∴∠BＡC=1８０°﹣∠Ｂ﹣∠C=１80°﹣３0°﹣20°＝13０°.2.∵AB∥ＣD,AD∥BＣ，∴∠ABD=∠CDＢ、∠ＡDB=∠CＢD.又ＢD=DB,∴△ABＤ≌△ＣＤB（ASＡ）．3.△ＡDF与△ＡEF中，∵∠2=∠３，∠AFE＝∠CＦD，∴∠E=∠Ｃ.∵∠1＝∠2,∴∠BAＣ=∠DAE．∵ＡC＝AE,∴△ABＣ≌△ADE.4.（１）∵∠ＢＨD=∠AHE,∠BDH=∠AＥH=9０°∴∠DBH+∠BHD＝∠HＡE+∠ＡHE=９0°∴∠DBH=∠HAE∵∠ＨAE=∠ＤAC∴∠ＤBH=∠DAC;(2)∵ＡＤ⊥BＣ∴∠ADB=∠ＡDC在△BDH与△AＤC中，∴△ＢDH≌△AＤC.5．∵DE⊥AB,DＦ⊥ＡC，∴△DBE与△DCＦ是直角三角形，∵BＤ=ＣD,DＥ=DF,∴Rt△DBＥ≌Rt△DCF（ＨＬ），∴∠B=∠C,∴AB=ＡC.6．∵ＡE是∠BＡC的平分线,∴180°﹣∠ＢAE=1８0°﹣∠CＡＥ,即∠DAB=∠DAC;又∵AB=AＣ，AD=AD，∴在△ＡBＤ和△ACＤ中，∴△ABＤ≌△ACD(SＡＳ)7．∵AE∥BC,∴∠Ｂ=∠C.∵AＦ=ＢD，AE=ＢC，∴△AEＦ≌△BCD(SAS）．8．△ABE与△ACＤ全等．理由:∵AB=AC，∠Ａ=∠A(公共角）,ＡＥ=AD,∴△ABＥ≌△ACＤ.9．图中的全等三角形有:△ＡBD≌△ACD,△AＢＥ≌△ＡＣE,△ＢDE≌△CDE.理由：∵Ｄ是ＢC的中点,∴BD=ＤＣ,ＡB=AC,AＤ=AD∴△ＡＢＤ≌△ACD（ＳＳS);∵AＥ=AE,∠BAE=∠ＣＡE,ＡＢ＝ＡC,∴△ABE≌△ACＥ(SAＳ);∵BE=CE,BD=DC,DＥ=DE，∴△BDＥ≌△CDE（SSS).10.：∵∠1=∠2,∴∠ＡCB=∠ＤCE，在△ABC和△ＤＥC中,，∴△AＢC≌△DＥC(SＡＳ）11．增加AB=DF.在△ABC和△ＦDE 中，∴△ＡBC≌△FDE(SSＳ)．1２.∵AB=AＣ，BD＝CE,∴AD=AE．又∵∠Ａ=∠A,∴△ABＥ≌△ＡCD（SAS). １3．△CBＤ≌△ＣA1F证明如下:∵AC＝BC，∵△ABC绕点C逆时针旋转角α（0°<α＜9０°）得到△A1B1Ｃ1, ∴∠A1=∠Ａ，A１C=AC,∠ACA1=∠BCB1=α．∴∠A１=∠AＢC（1分),A1C=BC.∴△ＣBＤ≌△ＣA1F(ＡSA）14．∵ＡB∥ＤE,ＡＣ∥ＤＦ,∴∠Ｂ=∠DEＦ，∠Ｆ=∠ACB．∵BE=ＣF，∴BE＋ＣE=CＦ+EC.∴BC＝ＥF.∴△ABC≌△DEＦ(AＳＡ).１5.∵AB=AＣ,AＤ=AE,∠DAB=∠EAＣ，∴∠DAC＝∠ＡEＢ，∴△ACＤ≌△ABＥ,∴∠D=∠E,又AD=ＡE,∠DＡB=∠ＥＡＣ,∴△ＡDM≌△ＡEN16.∵△AＢＣ和△ADE均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AＤ＝AE,∠ＢAC=∠DAＥ＝９0，即∠ＢＡC＋∠CAＥ=∠DAE+∠CAE,∴∠BAE＝∠CAD，在△AＢE和△ACD中,,∴△ＡBE≌△ＡCＤ17.答:△ＢDE≌△FEC,△BCE≌△FＤＣ，△ABＥ≌△ACF；证明:（以△ＢDE≌△FEＣ为例)∵△ABC是等边三角形,∴BＣ＝AC，∠ACＢ＝６０°，∵CD=CE,∴△EDＣ是等边三角形,∴∠EＤC=∠DEC=60°,∴∠BDＥ=∠ＦＥC＝12０°，∵CD＝CE,∴BＣ﹣CD＝AC﹣CＥ,∴BD=ＡE，又∵EF＝AＥ,∴ＢＤ=ＦE，在△ＢDE与△FＥC中,∵，∴△BDＥ≌△FEC(ＳAS）.１8.(１)证明如下:∵∠ＡBＤ=∠１＋∠ＥBC,∠CBＥ=∠２+∠ＥBＣ,∠1＝∠2．∴∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＥ.在△ABD和△EBC中∴△AＢＤ≌△EBC(AAS)；(2)从中还可得到AB=BC,∠BAＤ=∠BEC19．（1）∵AB=8,AD＝2∴BＤ=ＡB﹣AD=6在Rｔ△ＢＤE中∠BDＥ=90°﹣∠Ｂ=30°∴BE=ＢＤ=3∴CE＝BＣ﹣BE=5在Rt△CFＥ中∠CEF=90°﹣∠C＝30°∴CF=CE＝∴ＡＦ＝AＣ﹣ＦC=;（2）在△BDE和△EFC中，∴△BDＥ≌△CＦE（AAS)∴BE＝CF∴BE=ＣF=EC∴BE=BＣ=∴BD=2BＥ＝∴AD=AＢ﹣ＢＤ=∴AD＝时,ＤE=ＥＦ2０．（1）图中全等的三角形有四对，分别为:①△DBG≌△EGC,②△AＤＧ≌△AEＧ，③△AＢＧ≌△ACG，④△ABＥ≌△ACD；（4分)（Ⅱ）∵ＡB=AC,AＤ=AE,∠A是公共角,∴△ABE≌△ACD(SAS)④；∵AB=AC,AD=AE，∴AB﹣AD＝ＡC﹣AE，即BD=CE;由④得∠B＝∠C,又∵∠DGB=∠EGC（对顶角相等），BＤ=CE（已证）,∴△DBG≌△ＥGC（AAS)①;由①得BG＝CG，由④得∠B=∠C,又∵AB＝AC,∴△ＡBＧ≌△ACG(SAS)③；由①得ＢG=CG,且ＡＤ=AE，AＧ为公共边,∴△ADG≌△AEG（SSS)②;21．（1）△ABC≌△ＤCＢ．证明：∵AＢ=CＤ，AC=BD,BＣ=CB，∴△ABC≌△DCＢ.(ＳＳS）(2）EＦ平分∠DＥＣ．理由：∵EF∥BC,∴∠DEF=∠ＥBC，∠ＦＥC=∠ＥＣB；由(1）知：∠EBＣ＝∠EＣB;∴∠DEF＝∠FEC；∴FE平分∠DEC22．△ABC≌△DCB.理由如下：∵∠ＡＢC＝∠DCB,∠1=∠2，∴∠DＢC＝∠ACＢ．∵BＣ=ＣB，∴△AＢC≌△DCB23．（1)∵BF=DＥ，∴BＦ＋ＥＦ=ＤE+EＦ．即BＥ=DF.在△DFC和△BEA中,∵，∴△DFC≌△ＢEA（SAＳ).(２)∵△DＦC≌△ＢＥA，∴CF＝ＡE，∠ＣＦD=∠AEB.∵在△AFE与△CEF中,∵，∴△AFE≌△CEF（SAS)２4．△ABＦ与△DFＧ中,∠BAF=∠BGD,∠ＢＦA=∠ＤFG, ∴∠Ｂ=∠Ｄ,∵∠ＢAF=∠EＡC,∴∠BAE=∠ＤＡＣ,∵AC=ＡＥ,∠BAE=∠ＤＡC，∠B=∠D，∴△BAE≌△DＡC.答案：有.△ＢAE≌△ＤAＣ25．∵CE∥ＡB,∴∠ＡBD=∠ＥＣＤ.在△AＢＤ和△ＥＣＤ中，, ∴△ABD≌△EＣD(ASＡ）26.（１)证明:在△AＯB和△COD中∵∴△AOＢ≌△COD(AAS）（２)解:∵△AOB≌△ＣOD,∴AＯ=DＯ∵E是AD的中点∴OE⊥AD∴∠ＡEO=90°27.1)证明：∵ＡＢ∥ＤE，∴∠A=∠D.∵AＢ=DE,ＡF=DC,∴△ＡBＦ≌△ＤEＣ．(2)解:全等三角形有:△ＡBC和△ＤEF；△ＣBＦ和△ＦＥC 28．证明：（１)∵ＢE、CF分别是AC、ＡＢ两边上的高,∴∠AFC=∠AEＢ＝９０°（垂直定义)，∴∠AＣG＝∠ＤBＡ（同角的余角相等),又∵BD＝CA，AB＝GC,∴△AＢD≌△GCA;(2)连接DG，则△ADG是等腰三角形．证明如下：∵△ABD≌△GCA，∴ＡG=ＡD，∴△ADＧ是等腰三角形．2９.解：∵∠4＋∠6＝１８０°﹣∠3,∠５＋∠6＝１８0°﹣∠2,∠3=∠２, ∴∠4+∠6=∠5+∠6,∴∠4=∠5，∵在△ADE和△ＣFD中，，∴△AＤＥ≌△ＣFD(ＡAＳ）.30．①DＦ∥ＢＣ．证明：∵BE⊥ＡC，∴∠BＥＣ=９0°,∴∠C+∠CBE＝9０°，∵∠AＢC=90°，∴∠ABＦ+∠CBE＝9０°,∴∠C=∠AＢF，∵DＦ∥ＢC，∴∠C=∠ADF,∴∠ＡBF=∠ＡＤF,在△AFD和△AFＢ中∴△ＡＦＤ≌△AFＢ（AAS）.31.在△BEA和△ＢＤC中：，故△BEA≌△BＤC(SSS).３2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥ＣＥ于点E，AＤ⊥ＣＥ于点D．请说明△ADC≌△CＥB的理由．解:∵BE⊥CE于点E（已知）,∴∠E=９0°（垂直的意义),同理∠ＡDC=9０°,∴∠E=∠ADC(等量代换）.在△AＤC中，∵∠1+∠２+∠ADC＝１8０°（三角形的内角和等于180°) ，∴∠1+∠2=90°(等式的性质）．∵∠ACＢ＝90°(已知）,∴∠３+∠2=90°，∴∠1=∠3（同角的余角相等) .在△AＤC和△CＥB中,.∴△ＡＤＣ≌△CEＢ（A．A.Ｓ)33．(１)△ABF≌△ＤEC，△ＡBＣ≌△DEF，△BＣF≌△EFC；（2分）（2)△ABF≌△DEC,证明:∵AB∥ＤＥ，∴∠Ａ=∠D，(3分)在△ＡＢF和△DＥＣ中,(4分）∴△ABF≌△DEC．(5分)34．(1)△ADF与△AEF中,∵∠2=∠3,∠AFE=∠CFD,∴∠C=∠Ｅ；(2)∵∠1＝∠2，∴∠ＢＡC＝∠ＤAE.∵AＣ＝AE，又∠C=∠E,∴△ＡBC≌△ADE．35.∵AE⊥ＣD,∴∠AEＣ＝90°,∴∠AＣE+∠CＡE=90°，（直角三角形两个锐角互余)∵∠ＡCE+∠ＢCF=９0°，∴∠ＣAＥ＝∠ＢＣF，(等角的余角相等)∵ＡE⊥CD,BＦ⊥CＤ，∴∠AＥC=∠ＢＦＣ＝90°,在△ＡCE与△CBF中,∠CAE=∠BCＦ,∠AＥC=∠BＦC，ＡC=BＣ, ∴△ACE≌△CBF(ＡAS）.36．当动点P运动到ＡC边上中点位置时，△ＡPE≌△EＤB，∵DE∥CA,∴△ＢED∽△ＢＡC，∴＝,∵Ｄ是BC的中点,∴＝,∴=，∴E是AB中点，∴ＤE=AＣ,BE=AE,∵ＤＥ∥AC,∴∠Ａ=∠ＢＥD，要使△ＡPE≌△ＥDB,还缺少一个条件DＥ＝AP,又有DE=AＣ，∴P必须是ＡC中点．37．（1）∵ＡE＝AＢ,∴∠B＝∠ＡEB,又∵ＡD∥BC，∴∠AEB＝∠DＡE，∴∠DＡE=∠B;（２)∵∠DAE＝∠B，AD＝BC,ＡE=AB,∴△ABＣ≌△EAD．38．△AＣE≌△BＣD.∵△ABＣ和△ＥCD都是等腰直角三角形,∴∠ECD=∠ACB=9０°,∴∠ＡCE=∠BCＤ(都是∠ACD的余角),在△AＣＥ和△BＣD中，∵，∴△AＣE≌△ＢCD．3９．∵∠BAC=∠DＡE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAＤ,即∠ＢAD=∠EAC，在△ABD和△AＣE中，∴△ABＤ≌△ＡCＥ.40.证明:延长FD到M使MD=DF，连接BＭ，EM. ∵D为BC中点,∴BD=ＤC.∵∠ＦDC=∠BＤM，∴△BDＭ≌△CＤF.∴BM=FC.∵ＥD⊥DF,∴ＥM=EF．∵BE+BＭ>EM，∴BE+FC>EＦ．4１.PM=ＨN．理由：∵在△ＭNP中，H是高MQ与ＮE的交点，∴∠ＭEH=∠NQH=90°，∠MQP=∠ＮQH=９０°∵∠MＨE＝∠NＨＱ（对顶角相等）,∴∠ＥＭH＝∠QNH（等角的余角相等）在△MPQ和△NHQ中，，∴△MPQ≌△NHQ(ＡSA）,∴MP=NH．４2．(1)∵ＢG∥ＡＣ,∴∠ＤBＧ=∠DCＦ．∵Ｄ为ＢC的中点，∴BD＝CD又∵∠BDG=∠CDＦ,在△ＢGD与△ＣFＤ中,∵∴△BGＤ≌△CFD（ASA).∴ＢG＝CF.(2）ＢE+ＣF＞EF.∵△BGD≌△ＣFD，∴ＧＤ＝ＦＤ,BG＝CＦ．又∵DE⊥FＧ,∴EＧ=ＥF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EＢＧ中,BE+BＧ>EG,即BＥ+CＦ＞EF.4３．∵BE⊥ＣE于E,AD⊥CE于D∴∠E=∠AＤC=9０°∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ＡCＥ=90°∴∠BCE＝∠ＤAC∵ＡC=BC∴△ACD≌△ＣBＥ∴CE=ＡD,ＢＥ=CＤ=2.5﹣1．7＝0.8(cm)４4.∵ＡB=ＣD,BC=AD,又∵BD=DB,在△ABＤ和△ＣDB中，∴△ABD≌△CDＢ，∴∠A＝∠C．45.∵AD是△ＡＢC中BC边上的中线，∴ＢD=ＣＤ．∵CE⊥AD于E，BF⊥AD，∴∠BFD=∠CED．在△ＢFD和△CEＤ中,∴△ＢＦD≌△CED（AＡS)．∴CＥ=BF4６．∵ＡD∥ＢC，∴∠E=∠ENＢ，∵∠ＥNＢ＝∠CNＦ,∴∠E=∠CNＦ，∵AB∥CD，∴∠A=∠B,∵∠C=∠Ｂ,∴∠ＥAB=∠DCＢ,∵ＡM=CF,∴△AME≌△CFＮ，∴AE＝CＮ．4７．证明:过T作TF⊥AＢ于F,∵AＴ平分∠BAC,∠ACＢ＝９0°，∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ACB=９０°,CＭ⊥AＢ，∴∠ＡDＭ＋∠ＤＡＭ＝9０°,∠ＡTC+∠CAＴ=90°, ∵ＡＴ平分∠BＡC，∴∠DAM=∠CA T，∴∠ADM=∠AＴC，∴∠CDT=∠CＴＤ,∴CD=CT，又∵CＴ＝TF（已证)，∴CD＝ＴＦ,∵ＣＭ⊥AB,DE∥ＡB，∴∠CDE=９0°，∠B＝∠ＤEC，在△CDＥ和△ＴFＢ中，, ∴△CDE≌△TFＢ（AAS），∴CE=TＢ，∴ＣE﹣ＴE=TB﹣ＴE，即CT=BE．４8.∵∠BAE=∠DAC∴∠ＢＡE＋∠CＡE=∠DAC＋∠CAE即∠ＢAＣ=∠DＡE又∵AB＝AD，AC=AE，∴△ABC≌△ADE（SAS）∴∠B=∠D（全等三角形的对应角相等)49.∵DE=EF，AＥ＝CE，∠AＥD＝∠FＥＣ，∴△AEＤ≌△ＦEC．∴∠ADE=∠CFE.∴AD∥ＦC.∵D是AB上一点,∴AB∥CF50．∵BE∥CF,∴∠CMF=∠ＢＭＥ，∠ＦＣM=∠EＢM．又∵BE＝ＣＦ，∴△CFM≌△ＢEＭ.∴CM=BM．即AＭ是△ＡＢC的中线5１．∵AC⊥BC，BＥ⊥CＤ，∴∠ACＦ＋∠ＦCB=∠FCB+∠ＣBE=９0°. ∴∠FCA=∠EＢＣ．∵∠BEC=∠CFA=９0°,ＡC=BC，∴△BEC≌△CFＡ.∴CE=AF.∴EF=CF﹣CE＝CF﹣AF52.解：（1）证明:由题意可知，BＤ⊥MN与D，ＥC⊥MN与E，∠BAC＝９0°, 则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ＥＣA,在△ＡＢD与△ＣEA中,∵，∴△ABD≌△ＣＥＡ,∴ＢD=AE;(2）若将ＭN绕点A旋转，与BＣ相交于点Ｏ,则BD,CE与ＭN垂直，∴△ABD与△CＥA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，∴BD与ＡE边仍相等；（3)∵△ABＤ≌△CEA,∴BD＝AＥ，AD＝EC，∴DＥ＝BD+EC或ＤE=ＣＥ﹣ＢD或DＥ＝BD﹣CE．５3．∵ＡB=AＣ，∴∠AＢC＝∠ACB，∵ＢＤ、CE分别为△ＡＢC的高,∴∠ＢEＣ＝∠BDC＝9０°，∴在△BEC和△CDB中,∴△BEC≌△ＣDＢ,∴∠1=∠2,∴OＢ=ＯC54．解:连接CＤ，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠ＤＡC=∠DＣF∵DE与ＣF平行且相等∴∠ＥDA=∠DＡC∴∠EDA=∠DＣＦ在△ＡED和△CＦD中CD＝AD,∠ＥＤA=∠DCF，ＤE＝ＣＦ∴△AED≌△ＣFD∴AE=ＤF.55．∵ＡD平分∠BAC∴∠ＢAD＝∠ＣAD在△ＡDＥ和△ADC中∵∴△ADE≌△AＤC(SAS）∴ＤＥ=DＣ∴BＣ=BＤ＋DＣ=ＢD+DＥ=2＋３=5(cｍ）56．在△AEB与△AＤC中,. ∴△AＥＢ≌△ADＣ(AAS）.∴AＢ＝AC(全等三角形,对应边相等）57．（1）证明：在△BCE和△DCE中∴△BCＥ≌△DＣE（SSＳ）.(２）解:∵ＡD=ＤE，∴∠A＝∠AED;∴∠ＥDC=∠Ａ＋∠AED=２∠A,设∠A=x，根据题意得，５x＝18０°，解得ｘ=36°∴∠EDC=２∠A=72°58．证明:延长CE、BA交于点Ｆ.∵CE⊥BD于E，∠ＢAＣ＝9０°,∴∠AＢD=∠ＡCF．又AB=AＣ,∠BAD＝∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF,∴BD=CF.∵BＤ平分∠ABＣ，∴∠CBＥ=∠ＦBE.有ＢE=BE，∴△ＢＣE≌△BFE,∴CE=EＦ，∴CE=BＤ,∴BＤ=2CE.5９.（１）证明：在△ABＤ和△CDB中∵AＢ=ＣD,ＡD=BＣ,ＢD=ＤＢ,∴△ABD≌△CDＢ（SSS），∴∠ADＢ＝∠DＢC，∴DE∥BF．∴∠E=∠F．(2)答：当O是ＢD中点时,ＯE＝OF．证明如下：∵O是BＤ中点,∴OＢ=OＤ．又∵∠AＤB＝∠DＢC,∠Ｅ=∠F，∴△ODＥ≌△OＢF（AAS)．∴OE＝OF．（当ＡE=CＦ时也可证得60.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠E＝∠DFC＝90°.∵AD平分∠EＡＣ,∴DE＝DF.在Rt△DBE和Rt△DCＦ中，∴Rt△DＢE≌Ｒt△ＣDF(ＨＬ)．∴BE=CF.。

全等三角形的基础和经典例题含有答案

第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。

例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。

A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

八年级数学第13章全等三角形综合练习含答案初中数学

第3题FE DCBA第4题FEDCBA第5题ED CBA第6题EDCBAABCDO第7题第8题DCBA八年级数学第十三章全等三角形测试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共24分）1.下列说法错误的是（）A.全等三角形的对应边相等B.全等三角形的角相等C.全等三角形的周长相等D.全等三角形的面积相等2.下列两个三角形一定是全等三角形的是（）A.大小相同的两个三角形B.形状相同的两个三角形C.有两个角和这两个角所夹的边对应相等的两个三角形D.周长相等的两个三角形3.如图，已知△ABC和△DEF是全等三角形，则图中相等的线段有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组4.如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，则∠C的对应角为（）A. ∠FB. ∠BACC. ∠AEFD. ∠D5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点在BC上，且有AD＝AE，BD＝CE.，若∠BAD＝30°，∠DAE＝50°，则∠BAC的度数为（）A. 130°B. 120°C. 110°D. 100°6.如图所示，△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是（）A.∠B＝∠CB.∠D＝∠EC.∠DAE＝∠BACD.∠CAD＝∠DAC7.如图所示，AD、BC相交于点O，已知∠A＝∠C，要根据“ASA”证明△AOB≌△COD，还要添加一个条件是（）A. AB＝CDB. AO＝COC.BO＝DOD.∠ABO＝∠CDO8.如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC.∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°第9题O D C B A 第10题D C B A 第11题C B N M P A 第15题FE D C B A 第16题O D C B A 第17题E D C B A 9.如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ， AC 与BD 相交点O ，则图中面积相等的三角形共有（）A. 2对B. 4对C. 6对D. 8对10.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝36°，∠C ＝72°，BD 是∠ABC 的平分线，则∠BDC 的度数为（）A. 36°B. 48°C. 60°D. 72°11.如图所示，P 是∠BAC 的平分线的点，PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，则下列结论：⑴PM ＝PN ；⑵AM ＝AN ；⑶△APM 与△APN 的面积相等地；⑷∠PAN ＋∠APM ＝90°.其中，正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个.12.满足下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（）A.两腰对应相等B.一腰和顶角对应相等C.一腰和底边相等D.一腰和该腰上的中线对应相等二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）13.在△ABC 中，∠B ＝∠C ，若与△ABC 全等的一个三角形中有一个角为92°，则△ABC 三个角的度数分别为∠A ＝；∠B ＝；∠C ＝ .14.已知△ABC ≌△DEF ，BC ＝EF ＝6，△ABC 的面积为18，则EF 边上的高为 .15.如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，F 是BC 上一点，BD ⊥AF 交AF 的延长线于D ，CE ⊥AF 于E ，已知CE ＝5，BD ＝2，则ED ＝ .16.如图，OA ＝OC ，OB ＝OD ，则图中有对全等三角形.17.如图所示，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，分别过B 、C 作经过点 A 的直线的垂线BD 、CE ，若BD ＝3cm ，CE ＝4cm ，则DE ＝ .18.△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，已知BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，则点⑵D C O B A ⑶B D C O A ⑷F E D C B A O D C B A 21E D C B A ⑴D C B A D 到AB 的距离为 .19.判定两个直角三角形全等的各种条件：⑴一锐角和一边；⑵两边对应相等；⑶两锐角对应相等.其中能得到两个直角三角形全等的条件是 .20.将直角三角形ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转一定的角度到△DEC 的位置，若E 点在AB 边上，且∠DCB ＝160°，则∠AED ＝ .三、解答题：（本大题共52分）21.（每小题2分，共8分）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.根据下列全等三角形写出对应的边和角.⑴ △ABC ≌△CDA 对应边是，对应角是；⑵ △AOB ≌△DOC ，对应边是，对应角是；⑶ △AOC ≌△BOD ，对应边是，对应角是；⑷ △ACE ≌△BDF ，对应边是，对应角是 .22.（本小题5分）如图，在△ABC 和△DCB 中，AC 与BD 相交于点O ，AB ＝DC ，AC ＝BD. 求证：△ABC ≌△DCB.23.（本小题5分）已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2，求证：⑴△ABC ≌△ADE ⑵∠B ＝∠D.F E D C B A F E D C B A ②①G F E D C B A G F E D C B A G F E DC B A 24.（本小题5分）如图，分别过点C 、B 作△ABC 的BC 边上的中线AD及延长线的垂线，垂足分别为E 、F.求证：BF ＝CE.25.（本小题10分）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，EF 与AD 交于G.求证：AD 是EF 的垂直平分线.26.（本小题9分）已知：如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ，AF ⊥直线BD 于F. 求证：EF ＝CE －AF.27.（本小题10分）如图①A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E 、F 分别作DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F.⑴ AB ＝CD ，求证：GE ＝GF. ⑵ 将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动到如图②，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.G F E D C B A F E D C B A ②①G F E D C B A G F E D C B A 参考答案：一、选择题：1.B ；2.C ；3.D ；4.A ；5.C ；6.C ；7.B ；8.C ；9.D ；10.D ；11.D ；12.A ；二、填空题：13. 92°、44°、44°；14. 6；15. 3；16. 4；17. 7cm ；18. 3；19. ⑴⑵；20.70°；三、解答题：21.略；22.略；23.略；24.略； 25. 证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ∴DE ＝DF在Rt △ADE 和Rt △ADF 中∴Rt △ADE ≌Rt △ADF ∴AE ＝AF又∵DE ＝DF ，AE ＝AF∴AD 是EF 的垂直平分线.26. 证明：由条件可证：△ABF ≌△BEC∴AF ＝BE ，FB ＝EC又∵BF ＝EF ＋BE ∴EC ＝EF ＋AF ∴EF ＝CE －AF.27. 证明⑴.∵AE ＝CF AE ＋EF ＝CF ＋EF∴AF ＝CE由条件可证Rt △AFB ≌Rt △CED以下略.证明⑵上述结论成立.其理由如下：由条件可证Rt △ABE ≌Rt △CDF 可得到：BE ＝DF. 以下略.。

华师大版八年级数学上：第13章《全等三角形》单元测试含答案解析初二数学试题试卷

第13章全等三角形一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE =S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= ．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．13．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．14．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．第13章全等三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．2．如图，正方形ABCD中，点E是AD边中点，BD、CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE =S△CHD；④∠AHB=∠EHD．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先根据正方形的性质证得△BAE ≌△CDE ，推出∠ABE=∠DCE ，再证△ADH ≌△CDH ，求得∠HAD=∠HCD ，推出∠ABE=∠HAD ；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE 中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正确．根据tan ∠ABE=tan ∠EAG=，得到AG=BG ，GE=AG ，于是得到BG=4EG ，故②正确；根据AD ∥BC ，求出S △BDE =S △CDE ，推出S △BDE ﹣S △DEH =S △CDE ﹣S △DEH ，即；S △BHE =S △CHD ，故③正确；由∠AHD=∠CHD ，得到邻补角和对顶角相等得到∠AHB=∠EHD ，故④正确；【解答】证明：∵四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点， ∴AE=DE ，AB=CD ，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAE 和△CDE 中∵，∴△BAE ≌△CDE （SAS ）， ∴∠ABE=∠DCE ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH 和△CDH 中，，∴△ADH ≌△CDH （SAS ）， ∴∠HAD=∠HCD ， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD ，∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°﹣90°=90°， ∴AG ⊥BE ，故①正确；∵tan ∠ABE=tan ∠EAG=，∴AG=BG，GE=AG，∴BG=4EG，故②正确；∵AD∥BC，∴S△BDE =S△CDE，∴S△BDE ﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE =S△CHD，故③正确；∵△ADH≌△CDH，∴∠AHD=∠CHD，∴∠AHB=∠CHB，∵∠BHC=∠DHE，∴∠AHB=∠EHD，故④正确；故选：D．【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直；②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．二、填空题3．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出结论．【解答】解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3，故答案为3．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键．4．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=2，点E，F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF．当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF= ．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形．【专题】压轴题．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，证明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根据勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易证△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值．【解答】解：过点F作FG⊥AC于点G，如图所示，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（AAS），∴CG=BC=2，∵AC==4，∴AG=4﹣2，∵△AGF∽△CBA∴，∴AF==，FG==，∴AE=2﹣=，∴AE+AF=+=．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的综合性，难易适中．5．如图，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度数是90°．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ODA与∠BAE的关系，根据余角的性质，可得∠ODA与∠OAD的关系，根据直角三角形的判定，可得答案．【解答】解：由ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAB=∠B=90°．在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴∠BAE=∠ADF．∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠OAD+∠ADO=90°，∴∠AOD=90°，故答案为：90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，余角的性质，直角三角形的判定．6．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= 4 cm．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图，作MD⊥BC于D，延长DE交BG的延长线于E，构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是①②．（请写出正确结论的序号）．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．【专题】压轴题．【分析】由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．【解答】解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD=DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF=AB=AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；∴∠FEA=∠ADF，∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，在△FEB和△CDF中，．∴△FEB≌△CDF（SAS），选项①正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为：①②．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E．（1）求证：DE=AB．（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G．若BF=FC=1，试求的长．【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；矩形的性质；弧长的计算．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；（2）连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，∴∠EAD=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，在△ADE和△FAB中，，∴△ADE≌△FAB（AAS），∴DE=AB；（2）解：连接DF，如图所示：在△DCF和△ABF中，，∴△DCF≌△ABF（SAS），∴DF=AF，∵AF=AD，∴DF=AF=AD，∴△ADF是等边三角形，∴∠DAE=60°，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°，∴∠ADE=30°，∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1，∴DE=AE=，∴的长==．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数以及弧长公式；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．9．如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ABC=∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD，在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．10．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由SAS证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可．【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴∠A=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．11．如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求证：BC=FD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF．【解答】证明：∵AB∥EF，∴∠A=∠E，在△ABC和△EFD中∴△ABC≌△EFD（SAS）∴BC=FD．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形全等的判定方法，难度适中．12．如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根据余角的性质，可得∠ADE=∠BAF，根据全等三角形的判定与性质，可得BF与AE的关系，再根据等量代换，可得答案．【解答】解：线段AF、BF、EF三者之间的数量关系AF=BF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°．∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF．在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE （AAS），∴BF=AE．∵AF=AE+EF，AF=BF+EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，等量代换．13．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】（1）根据三角形中位线，可得DF与CE的关系，DB与DC的关系，根据SAS，可得答案；（2）根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案．【解答】证明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC．∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF．在△CDE和△DBF中，∴△CDE≌△DBF （SAS）；（2）∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，（1）利用了三角形中位线的性质，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位线的性质，平行四边的性的判定与性质．14．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是关键．15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】证明题．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．16．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC．求证：DM=DN．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先根据等腰三角形的性质得到AD是顶角的平分线，再利用全等三角形进行证明即可．【解答】证明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC，∴AM=AN，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠MAD=∠NAD，在△AMD与△AND中，，∴△AMD≌△AND（SAS），∴DM=DN．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质进行证明．17．在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】证明题．【分析】由在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，∴OB=OD，在△AOB和△EOD中，，∴△AOB≌△EOD（AAS），∴OA=OE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．18．们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD．对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F．求证OE=OF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；新定义．【分析】欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．【解答】证明：∵在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。

全等三角形经典例题与答案13道

1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4 即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=22.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD=1/2AB延长CD与P，使D为CP中点。

连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB∴ACBP为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP为矩形∴AB=CP=1/2AB3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF和EF∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。

∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC过C作CG∥EF交AD的延长线于点G CG∥EF，可得，∠EFD＝∠CGD DE＝DC ∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD EF＝CG ∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG 又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E ∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB ∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF ∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE7. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E 在AD上。

专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(原卷版)

专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。

结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。

专题13 利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题(解析版)

1专题13 利用全等三角形的性质解决线段的证明与计算问题知识对接考点一、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.考点二、怎样解运用全等三角形性质的问题证明两条线段相等或两个角相等时，常证明两条线段或两个角所在的三角形全等,运用全等三角形的性质，即全等三角形的对应边相等、对应角相等得到.专项训练一、单选题1．（2021·福建九年级）如图，点E ，F 在线段BC 上，ABF 与DEC 全等，点 A 和点D ，点B 和点C 是对应点，AF 和DE 交于点 M ，则与EM 相等的线段是（）A ．BEB ．EFC ．FCD ．MF【答案】D 【分析】根据ABF 与DEC 全等，点A 和点D ，点B 和点C 是对应点，可得AFB DEC ∠=∠，则有EM FM =．【详解】解：∵ABF 与DEC 全等，点A 和点D ，点B 和点C 是对应点， ∵AFB DEC ∠=∠， ∵EM FM =，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键．2．（2021·山东九年级）如图，在菱形ABCD 中，6AB =，60BCD ∠=︒，E 是AD 中点，BE 交AC 于点F ，连接DF ，则DF 的长为（）A ．4BC ．D ．【答案】C 【分析】连接DB ，四边形ABCD 为菱形，∵BCD =60°，可得∵ABD 为等边三角形，求出AF 的长度，再证明∵AEF ∵∵DEF ，即可求出DF 的长度．【详解】如图：连接DB∵四边形ABCD 为菱形，∵BCD =60°， ∵∵BCD =∵BAD =60°，∵AB =AD ，∵DAC =∵BAC =12∵DAB =30°，即∵ABD 为等边三角形，又E 为AD 的中点， ∵BE ∵AD ，∵AE =12AD =12AB =3，cos ∵EAF =AE AF = cos AF 又在∵AEF 和∵DEF 中，∵AEF =∵DEF =90°，AE =DE ，EF =EF ，3∵∵AEF ∵∵DEF ， ∴DF =AF故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及特殊锐角三角函数值，熟悉并灵活运用以上性质式解题的关键．3．（2021·天津和平·）如图，在AOB 中，15,6,OAB AOB OB OC ∠=∠=︒=平分AOB ∠，点P 在射线OC 上，点Q 为边OA 上一动点，则PA PQ +的最小值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】在射线OB 上截取一点Q '，使得OQ OQ '=，则OPQ OPQ ∆≅∆'，可得PQ PQ ='．作AH OB ⊥于H ．可得PA PQ PA PQ +=+'，推出当A 、P 、Q '共线，且垂直OB 时，PA PQ +'的值最小，最小值为AH ，【详解】解：在射线OB 上截取一点Q '，使得OQ OQ '=，则OPQ OPQ ∆≅∆'，可得PQ PQ ='．作AH OB ⊥于H ． ∵'PA PQ PA PQ +=+，∵当A 、P 、Q '共线，且垂直OB 时，PA PQ +'的值最小，即最小值为AH ∵15OAB AOB ∠=∠=∵6OB AB ==，30OA B AO H B A B ∠+∠=∠=，在Rt ABH 中， ∵·sin303AH AB ==，+的最小值为3，∵PA PQ故选C．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、全等三角形，等腰三角形的性质、三角函数等知识，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．4．（2021·江苏南通田家炳中学九年级）如图，在直角坐标系中，已知点A(6，0)，点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边∵ABC，连接OC，则OC的最小值（）A B．3C．D．【答案】B【分析】以OA为对称轴作等边∵AMN，由“SAS”可证∵ANC∵∵AMB，可得∵AMB=∵ANC=60°，由直角三角形的性质可求∵AEN=30°，EO= ，则点C在EN上移动，当OC'∵EN时，OC'有最小值，即可求解．【详解】解：如图，以OA为对称轴作等边∵AMN，延长CN交x轴于E，∵∵ABC是等边三角形，∵AMN是等边三角形，∵AM=AN，AB=AC，∵MAN=∵BAC，∵AMN=60°=∵ANM，∵∵BAM=∵CAN，∵∵ANC∵∵AMB（SAS），∵∵AMB=∵ANC=60°，∵∵ENO=60°，∵AO=6，∵AMB=60°，AO∵BO，∵MO=NO=∵∵ENO=60°，∵EON=90°，5∵∵AEN=30°，， ∵点C 在EN 上移动，∵当OC'∵EN 时，OC'有最小值，此时，O'C=12EO=3，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，锐角三角函数，确定点C 的运动轨迹是解题的关键．5．如图，已知：在∵ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边的中点，G 、H 是对角线BD 上的两点，且BG ＝DH ，则下列结论中不正确的是（）A ．GF ∵FHB ．GF ＝EHC ．EF 与AC 互相平分D ．EG ＝FH【答案】A 【分析】连接EF 交BD 于O ，易证四边形EGFH 是平行四边形，然后证明是否得出选项．【详解】连接EF 交BD 于点O ，在平行四边形ABCD 中的AD=BC ，∵EDH=∵FBG ， ∵E 、F 分别是AD 、BC 边的中点， ∵DE∵BF,DE=BF=12BC ，∵四边形AEFB 是平行四边形,有EF∵AB ， ∵点E 是AD 的中点，∵点O 是BD 的中点，根据平行四边形中对角线互相平分，故点O 也是AC 的中点，也是EF 的中点，故C 正确，又∵BG=DH,∵∵DEH∵∵BFG ， ∵GF=EH ，故B 正确，∵DHE=∵BGF ，∵∵GHE=∵HGF ， ∵∵EHG∵∵FGH ， ∵EG=HF ，故D 正确，∵GF∵EH ，即四边形EHFG 是平行四边形，而不是矩形，故∵GFH 不是90度， ∵A 不正确．故选A. 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质.6．如图，ABC DEC ≌△△，A 和D ，B 和E 是对应点，B 、C 、D 在同一直线上，且5CE =，7AC =，则BD 的长为（）A ．12B ．7C ．2D ．14【答案】A 【分析】7根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，ABC DEC ∆≅∆，A 和D ，B 和E 是对应点，B 、C 、D 在同一直线上，且5CE =，7AC =，5BC EC ∴==，7CD AC ==，12BD BC CD ∴=+=．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 7．如图：若ABE ACF ≌，且5,2==AB AE ，则EC 的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．5【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得AC=AB=5，由EC=AC ﹣AE 求解即可．【详解】解：∵ABE ACF ≌，AB=5， ∵AC=AB=5， ∵AE=2，∵EC=AC ﹣AE=5﹣2=3，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、线段的和与差，熟练运用全等三角形的性质是解答的关键． 8．如图，ABC ADE △≌△，点D 在边BC 上，则下列结论中一定成立的是（）A．AC DE==B．AB BDC．ABD ADB∠=∠∠=∠D．EDC AED【答案】C【分析】根据全等三角形的性质可直接进行排除选项．【详解】△≌△，解：∵ABC ADE∵AB=AD，BC=DE，AC=AE，∵B=∵ADE，∵C=∵E，∵∵ABD=∵ADB，故A、B、D都是错误的，C选项正确；故选C．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9．如图，∵ACE∵∵DBF，AE//DF，AB＝3，BC＝2，则AD的长度等于（）A．2B．8C．9D．10【答案】B【分析】根据全等三角形的对应边相等解答．【详解】解：由图形可知，AC＝AB＋BC＝3＋2＝5，∵∵ACE∵∵DBF，∵BD＝AC＝5，9∵CD ＝BD−BC ＝3， ∵AD ＝AC ＋CD ＝5＋3＝8，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．（2021·河北）如图，已知平行四边形ABCD ，3CD cm =，依下列步骤作图，并保留作图痕迹：步骤1：以B 为圆心，BE 长为半径画弧∵，分别交AB ，BC 于点E ，F ；步骤2：以A 为圆心，以BE 长为半径画弧∵，交AD 于点G ；步骤3：以G 为圆心，以EF 长为半径画弧∵，弧∵和弧∵交于点H ，过H 作射线，交BC 于点M ．则下列叙述不正确．．．的是：（）A ．AMC C ∠=∠B ．AM CD =C ．AM 平分BAD ∠ D ．BEF AGH ∆∆≌【答案】C 【分析】由作图痕迹，可以得到∵EBF∵∵GAH ，从而有∵EBF=∵GAH ，因此可以判断A 、B 、D 正确，因为C 不一定成立，故可以得到解答．【详解】解：如图，连结E 、F 和G 、H ，由已知，在∵EBF 和∵GAH 中，AG=EB ，AH=BF ，HG=EF ，∵∵EBF∵∵GAH ，故D 正确； ∵∵EBF∵∵GAH ，∵∵EBF=∵GAH ，由平行四边形的性质可得：∵AMB=∵GAH ，∵∵EBF=∵AMB ，∵AB=AM ，又由平行四边形的性质可得：AB=CD ，∵AM=CD ，故B 正确；∵∵AMB+∵AMC=180°，∵∵EBF+∵AMC=180°，又由平行四边形的性质可得：∵EBF+∵C=180°，∵∵AMC=∵C ，故A 正确； ∵∵BAM=∵MAD 不一定成立，∵C 不正确，故选C ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和应用，熟练掌握作一个角等于已知角的作法和依据是解题关键．二、填空题11．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，E 为CD 上一点，连接AE ，将∵ADE 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 上，记为D ′，再将∵D ′CE 沿D ′E 折叠，若点C 的对应点C ′落在AE 上，则AB 的长为___．【分析】由折叠的性质得到ADE AD ED CE D C E ∆∆⎧⎨∆∆'''⎩'≌≌，能得到345∠=∠=∠，再用平角的性质得到34560∠=∠=∠=︒，再由1490∠+∠=︒，得到1230∠=∠=︒，可以求出6∠，最后可以求出cos AB AD BAD ''=⨯∠．【详解】如图：由折叠的性质得：ADE AD E D CE D C E ∆∆⎧⎨∆∆'''⎩'≌≌11∵123435AD AD ∠=∠∠=∠=⎧⎨∠=∠'⎩；； ∵345∠=∠=∠ ∵345180∠+∠+∠=︒ ∵34560∠=∠=∠=︒ ∵1490∠+∠=︒ ∵1230∠=∠=︒∵6901230∠=︒-∠-∠=︒ ∵'Rt ABD 中，'30BAD ∠=︒∵cos cos AB AD BAD AD BAD '''=⨯∠=⨯∠2==【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的性质，三角函数，掌握它们的性质是解题的关键．12．（2021·江苏扬州市·九年级二模）如图，Rt ∵ABC ∵Rt ∵FDE ，∵ABC ＝∵FDE ＝90°，∵BAC ＝30°，AC ＝4，将Rt∵FDE 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD +BE 的最小值为___．【答案】【分析】根据平面直角坐标系，可以假设(E m ，则(1D m +，，则BD BE +求BD BE +的最小值，相当于在x 轴上找一点(,0)R m ，使得R 到(1M -，，N 的距离和的最小值，如图1中，作点N 关于x 轴的对称点N '，连接MN '交x 轴题意R ，连接RN ，此时RM RN +的值最小，最小值MN ='的长．【详解】解：建立如图坐标系，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AC =，30BAC ∠=︒， 122BC AC ∴==，AB ==∴斜边AC 上的高ABC FDE ∆≅∆，4EF AC ∴==，斜边EF∴可以假设(E m ，则(1D m +，，BD BE ∴+欲求BD BE +的最小值，相当于在x 轴上找一点(,0)R m ，使得R 到(1M -，，N 的距离和的最小值，如图1中，作点N 关于x 轴的对称点N '，连接MN '交x 轴题意R ，连接RN ，此时RM RN +的值最小，最小值MN ='BD BE ∴+的最小值为故答案为：13【点睛】本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．13．（2021·浙江金华·九年级）如图，在ABC 中，1841B C ∠=︒∠=︒，，点D 是BC 的中点，点E 在AB 上，将BDE 沿DE 折叠，若点B 的落点B '在射线CA 上，则BA 与B D '所夹锐角的度数是________．【答案】80︒．【分析】根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得BD B D '=， DC DB '=，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得BDB '∠度数，在BOD 中根据内角和即可求得BA 与B D '所夹锐角的度数．【详解】如下图，连接DE ，BA 与B D '相交于点O ，将 ∵BDE 沿 DE 折叠， BDE B DE '∴△≌△，BD B D '∴=,又∵D 为BC 的中点，BD DC =，BD B D '∴=，41DB C C '∴==︒∠∠, BDB DB C C =''∴=+︒∠∠∠82,18080BOD B BDB '∴=︒--=︒∠∠∠, 即BA 与B D '所夹锐角的度数是80︒．故答案为：80︒．【点睛】本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键．14．（2021·广东）如图，点M 是Rt ∵ABC 斜边AB 的中点，过点M 作DM ∵CM ，交AC 于点D ，若AD ＝2，BC ＝5，则CD ＝_______【分析】延长CM ，使CD ＝MN ，连接AN ，证明()AMN BMC SAS ∆∆≌，由全等三角形的性质得出5BC AN ==，NAM B ∠=∠，由勾股定理求出DN =【详解】解：延长CM ，使CD ＝MN ，连接AN ，如图所示：∵点M 是Rt ABC ∆斜边AB 的中点， ∵AM BM =，在AMN ∆和BMC ∆中， AM BM AMN BMC MN CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵()AMN BMC SAS ∆∆≌，15∵5BC AN ==，NAM B ∠=∠， ∵//AN BC ， ∵90BCA ∠=︒， ∵90NAD ∠=︒，∵DN == ∵DM CM ⊥，CM MN =，∵CD DN ==【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，中垂线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（2021·浙江）如图，已知： Rt Rt 90ABC CEF ABC CEF ∠=∠=︒≌，，306A AC ∠=︒=，．现将CEF △绕点C 逆时针旋转α度，线段CF 与直线AB 交于点O ，连接OE ．则当OE OB =时，线段OA 的长为________．【答案】【分析】过E 作EH ∵CF 于H ，得出ABC CEF ≅，设OF=x ，则OC=6-x ，根据勾股定理得出结果．【详解】解：过E 作EH ∵CF 于H ， ∵ABC CEF ≅，∵6CF AC == ，30A ∠=︒， ∵9060EFC A ∠=︒-∠=︒，设OF =x ，则OC =6-x ，在Rt ∆OCB 中，2222(6)9OB OC BC x =-=--，在Rt ∆FEH 中，EH =EF FH =EF ·cos60º=32， ∵OH =x -32，在Rt ∆OEH 中，222223()2OE EH OH x =+=-+，又∵OE =OB ，∵2223()(6)92x x -+=--解得x =2，∵BO∵AO =AB -BO =故答案为【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理及特殊角的三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题16．（2021·云南）如图，AC ∵BD ，垂足点E 是BD 的中点，且AB =CD ，求证：AB //CD .【答案】详见解析【分析】17先证明,BE DE = 再利用斜边直角边公理证明()Rt ABE Rt CDE HL ≌，可得A C ∠=∠，从而可得答案．【详解】证明：∵点E 是BD 的中点 ∵BE ED =. ∵AC BD ⊥∵90AEB DEC ∠=∠=︒. 在Rt ABE △和Rt CDE △中AB CDBE ED =⎧⎨=⎩∵()Rt ABE Rt CDE HL ≌， ∵A C ∠=∠， ∵//AB CD ．【点睛】本题考查的是利用斜边直角边证明两个三角形全等，以及全等三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边的延长线上，点F 在CD 边的延长线上，且CE DF =,连接AE 和BF 相交于点M ．求证：AE BF = ．【答案】证明见解析．【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD ，∵ABE=∵BCF=90°，再证明BE=CF ，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．【详解】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∵AB=BC=CD ，∵ABE=∵BCF=90°，又∵CE=DF ，∵CE+BC=DF+CD 即BE=CF ，在∵BCF 和∵ABE 中，BE CF ABE BCF AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵ABE BCF △△≌（SAS ）， ∵AE=BF ．【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．（2021·吉林）综合与实践在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 为BC 边上的任意一点．将C ∠沿过点D 的直线折叠，使点C 落在斜边AB 上的点E 处．问是否存在BDE 是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD 的长度．探究展示：勤奋小组很快找到了点D 、E 的位置．如图2，作CAB ∠的角平分线交BC 于点D ，此时C ∠沿AD 所在的直线折叠，点E 恰好在AB 上，且90BED ∠=︒，所以BDE 是直角三角形．问题解决:（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD 的长度为．（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来．（3）在（2）的条件下，求出CD 的长．【答案】（1）3；（2）见解析；（3）247CD = 【分析】（1）由勾股定理可求AB 的长，由折叠的性质可得AC=AE=6，CD=DE ，∵C=∵BED=90°，由勾股定理可求解；（2）如图所示，当DE∵AC，∵EDB=∵ACB=90°，即可得到答案；（3）由折叠的性质可得CF=EF，CD=DE，∵C=∵FED=90°，∵CDF=∵EDF=45°，可得DE=CD=CF=EF，通过证明∵DEB∵∵CAB，可得DE BD＝，即可求解．AC BC【详解】（1）∵∵ACB=90°，AC=6，BC=8，∵10AB=，由折叠的性质可得：∵ACD∵∵AED，∵AC=AE=6，CD=DE，∵C=∵BED=90°，∵BE=10-6=4，∵BD2=DE2+BE2，∵（8-CD）2=CD2+16，∵CD=3，故答案为：3；（2）如图3，当DE∵AC，∵BDE是直角三角形，（3）∵DE∵AC，∵∵ACB=∵BDE=90°，由折叠的性质可得：∵CDF∵∵EDF，∵CF=EF，CD=DE，∵C=∵FED=90°，∵CDF=∵EDF=45°，∵EF=DE，∵DE=CD=CF=EF，∵DE∵AC，∵∵DEB∵∵CAB，19∵DE BD AC BC ＝， ∵886DE DE -＝， ∵DE=247， ∵247CD =【点睛】此题考查几何变换综合题，全等三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．19．（2021·陕西西北工业大学附属中学九年级）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，且B AEB ∠=∠．求证：AC DE =．【答案】证明见解析. 【详解】试题分析：由平行四边形的性质得：AB=DC ，180ABC BCD ∠+∠=︒，证得AEC BCD ∠=∠，从而可证AEC ∵DCE ，故可得结论.试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∵AB DC =，180ABC BCD ∠+∠=︒． ∵AB DC =，∵ABE AEB ∠=∠，AE DC =． ∵180AEC AEB ∠+∠=︒， ∵AEC BCD ∠=∠．又EC EC =， ∵AEC ∵DCE ， ∵AC ED =．20．（2021·广东九年级）如图，已知点E 、C 在线段BF 上，且BE =CF ，CM ∵DF ，（1）作图：在BC 上方作射线BN ，使∵CBN =∵1，交CM 的延长线于点A （用尺规作图法，保留作图痕迹，21不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：AC =DF ．【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【详解】试题分析：（1）∵以E 为圆心，以EM 为半径画弧，交EF 于H ，∵以B 为圆心，以EM 为半径画弧，交EF 于P ，∵以P 为圆心，以HM 为半径画弧，交前弧于G ，∵作射线BG ，则∵CBN 就是所求作的角．（2）证明∵ABC ∵∵DEF 可得结论．试题解析：（1）如图，（2）∵CM ∵DF ，∵∵MCE =∵F ，∵BE =CF ，∵BE +CE =CF +CE ，即BC=EF ，在∵ABC 和∵DEF 中，∵1{CBN BC EF MCE F∠∠∠∠＝＝＝ ∵∵ABC ∵∵DEF ，∵AC =DF ．【点睛】本题考查了基本作图-作一个角等于已知角，同时还考查了全等三角形的性质和判定；熟练掌握五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．21．定义：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，如图，筝形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．且AC 垂直平分BD ．（1）请结合图形，写出筝形两种不同类型的性质：性质1：；性质2：．（2）若AB ∵CD ，求证：四边形ABCD 为菱形．【答案】（1）对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）见解析【分析】（1）由筝形的定义即可得出结论；（2）由垂直平分线的性质得出AB=AD ，BO=DO ，同理：BC=DC ，由AS 证明∵AOB∵∵CDO ，得出AB=CD ，因此AB=CD=BC=AD ，即可得出四边形ABCD 为菱形．【详解】解：（1）由筝形的定义得：对角线互相垂直，即AC∵BD ；是轴对称图形，对称轴为AC ；故答案为对角线互相垂直，是轴对称图形；（2）∵AC 垂直平分BD ，∵AB ＝AD ，BO ＝DO ，同理：BC ＝DC ，∵AB∵CD ，∵∵ABO ＝∵ODC ，在∵ABO 和∵CDO 中，ABO ODC BO DOAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∵∵AOB∵∵CDO （ASA ），∵AB ＝CD ，∵AB ＝CD ＝BC ＝AD ，∵四边形ABCD 为菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定、筝形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握筝形的性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（2021·湖北黄石·）如图，D 是ABC 的边AB 上一点，//CF AB ， DF 交AC 于E 点，DE EF =．23（1）求证：ADE ∵CFE ；（2）若5AB =，4CF =，求BD 的长．【答案】（1）证明见详解；（2）1．【分析】（1）根据ASA 证明即可；（2）根据（1）可得ADE CFE ∆≅∆，即由AD CF =，根据BD AB AD AB CF 求解即可．【详解】（1）证明：//AB FC ，∴∠=∠ADE F ，在ADE ∆和CFE ∆中，ADE FDE EF AED CEFADE CFE ASA ；（2）由（1）得ADE CFE ∆≅∆AD CF ∴=∵541BD AB AD AB CF ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键． 23．（2021·江苏南京·南师附中新城初中）如图,在正方形ABCD 中,E ､F ､G ､H 分别是各边上的点,且AE BF CG DH ===．求证:（1）AHE BEF ≌△△; （2）四边形EFGH 是正方形．【答案】（1）见解析;（2）见解析【分析】（1）在正方形ABCD 中,由AE BF CG DH ===可得:AH BE CF DG ===,即可求证;（2）由（1）可用同样的方法证得EBF FCG △≌△,FCG GDH ≌△△,可得到FCG GDH ≌△△,然后证明90HEF ∠=︒,即可求证．【详解】（1）证明:∵四边形ABCD 为正方形,∵AB BC CD DA ===,90A B ∠=∠=︒．又∵AE BF DH CG ===,∵AH BE CF DG ===．∵()SAS AHE BEF ≌△△ （2）由（1）得,AHE BEF ≌△△, 同理,EBF FCG △≌△,FCG GDH ≌△△, ∵EF FG GH HE ===,AEH BFE ∠=∠,∵90B ∠=︒,∵90EFB FEB ∠+∠=︒,∵90AEH FEB ∠+∠=︒,∵90HEF ∠=︒,∵四边形EFGH 为正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定,三角全等的判断和性质,熟练掌握并会灵活应用相应知识点是解题的关键．25。

完整版)全等三角形经典例题(含答案)

完整版)全等三角形经典例题(含答案)全等三角形证明题精选1.在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

证明：△ADE≌△CBF；若AC与BD相交于点O，证明：AO=CO。

2.已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。

证明：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长。

3.在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE。

证明：BE=CD。

4.点O是线段AB和线段CD的中点。

证明：△AOD≌△BOC；AD∥BC。

5.点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD。

证明：∠B=∠D。

6.已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC。

证明：AE=BC。

7.在△ABE和△DEF中，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF。

证明：AF=DF。

8.点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。

证明：AB∥DE。

9.在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

证明：AE=CE。

10.点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF。

证明：DE=CF。

11.点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD。

证明：AE=FB。

12.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.证明：BD=CE；∠M=∠N。

13.在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD。

证明：AB=AC。

14.在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD。

证明：∠B=∠E。

15.在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

证明：AB=AC；若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长。

16.已知直角三角形ABC和直角三角形DBF，且它们相似，∠D=28°，求∠GBF的度数。

第13章全等三角形(13.1) 华东师大版八年级数学上册同步练习(含答案)

命题　定理与证明【A层基础夯实】知识点1　命题是分式;③过点P作直线l 1.(2024·保定期中)下列句子:①负数没有相反数;②2x3x+5的平行线;④两个单项式的和一定是多项式.其中是命题的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(易错警示题·概念不清)下列命题中是假命题的是( )A.对顶角相等B.两直线平行,同旁内角互补C.同位角相等D.三角形的内角和是180°3.(2024·宁波期中)能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是( )4.指出下列命题的条件和结论,并判断它们是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.(1)两个角的和等于平角时,这两个角互为补角;(2)内错角相等;(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.知识点2　定理与证明5.“同角或等角的补角相等”是( )A.定义B.基本事实C.定理D.假命题6.下列能作为证明依据的是( )A.已知条件B.定义和基本事实C.定理和推论D.以上三项都可以7.请举出一个关于角相等的定理:.8.推理填空:如图,已知∠B=∠CGF,∠BGC=∠F.求证:∠B+∠F=180°,∠F+∠BGD=180°.证明:∵∠B=∠CGF(已知),∴AB∥CD().∵∠BGC=∠F(已知),∴CD∥EF(),∴AB∥EF(),∴∠B+∠F=180°().又∵∠BGC+∠BGD=180°(),∠BGC=∠F(已知),∴∠F+∠BGD=180°().【B层能力进阶】9.下列命题:①各边相等的多边形是正多边形;②正多边形是轴对称图形;③正六边形的每个外角均为60°;④正n边形有(n-3)条对角线.其中是真命题的个数为( )A.4B.3C.2D.110.下列命题是定理的是( )A.内错角相等B.同位角相等,两直线平行C.一个角的余角不等于它本身D.在同一平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直11.(2024·上海期中)把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……,那么……”的形式是.12.说明命题“若a>b,则ac>bc”是假命题的一个反例的c的值可以是.13.(2024·漳州期中)(1)如图,“若∠1=∠2,则AB∥CD”,该命题是(填“真命题”或“假命题”).(2)若上述命题为真命题,请说明理由;若上述命题为假命题,请你再添加一条件,使该命题成为真命题,并说明理由.【C层创新挑战(选做)】14.(推理能力)【阅读】在证明命题“如果a>b>0,c<0,那么a2+bc>ab+ac”时,小明的证明过程如下:证明:∵a>b>0,∴a2>,∴a2+bc>.∵a>b,c<0,∴bc>,∴ab+bc>,∴a2+bc>ab+ac.【问题解决】(1)请将上面的证明过程填写完整;(2)有以下几个条件①a>b,②a<b,③a<0,④b<0.请从中选择两个作为已知条件,得出结论|a|>|b|.你选择的条件序号是,并给出证明过程.　命题　定理与证明【A层基础夯实】知识点1　命题是分式;③过点P作直线l 1.(2024·保定期中)下列句子:①负数没有相反数;②2x3x+5的平行线;④两个单项式的和一定是多项式.其中是命题的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个2.(易错警示题·概念不清)下列命题中是假命题的是(C)A.对顶角相等B.两直线平行,同旁内角互补C.同位角相等D.三角形的内角和是180°3.(2024·宁波期中)能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是(C)4.指出下列命题的条件和结论,并判断它们是真命题还是假命题,如果是假命题,举出一个反例.(1)两个角的和等于平角时,这两个角互为补角;【解析】(1)条件:两个角的和等于平角,结论:这两个角互为补角,是真命题. (2)内错角相等;【解析】(2)条件:两个角是内错角,结论:这两个角相等,是假命题.如图,∠1与∠2是内错角,∠2>∠1.(3)两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.【解析】(3)条件:两条平行线被第三条直线所截,结论:同旁内角互补,是真命题.知识点2　定理与证明5.“同角或等角的补角相等”是(C)A.定义B.基本事实C.定理D.假命题6.下列能作为证明依据的是(D)A.已知条件B.定义和基本事实C.定理和推论D.以上三项都可以7.请举出一个关于角相等的定理:　两直线平行,同位角相等(答案不唯一)　.8.推理填空:如图,已知∠B=∠CGF,∠BGC=∠F.求证:∠B+∠F=180°,∠F+∠BGD=180°.证明:∵∠B=∠CGF(已知),∴AB∥CD(　同位角相等,两直线平行　).∵∠BGC=∠F(已知),∴CD∥EF(　同位角相等,两直线平行　),∴AB∥EF(　平行公理的推论　),∴∠B+∠F=180°(　两直线平行,同旁内角互补　).又∵∠BGC+∠BGD=180°(　平角的定义　),∠BGC=∠F(已知),∴∠F+∠BGD=180°(　等量代换　).【B层能力进阶】9.下列命题:①各边相等的多边形是正多边形;②正多边形是轴对称图形;③正六边形的每个外角均为60°;④正n边形有(n-3)条对角线.其中是真命题的个数为(C)A.4B.3C.2D.110.下列命题是定理的是(B)A.内错角相等B.同位角相等,两直线平行C.一个角的余角不等于它本身D.在同一平面内,有且只有一条直线与已知直线垂直11.(2024·上海期中)把命题“关于某个点中心对称的两个三角形全等”改写成“如果……,那么……”的形式是　如果两个三角形关于某个点中心对称,那么这两个三角形全等　.12.说明命题“若a>b,则ac>bc”是假命题的一个反例的c的值可以是　0(答案不唯一)　.13.(2024·漳州期中)(1)如图,“若∠1=∠2,则AB∥CD”,该命题是假命题(填“真命题”或“假命题”).【解析】(1)由题中图形可知,∠1,∠2既不是同位角也不是内错角,即使∠1=∠2也不能得到AB∥CD,故该命题为假命题;(2)若上述命题为真命题,请说明理由;若上述命题为假命题,请你再添加一条件,使该命题成为真命题,并说明理由.【解析】(2)添加BE∥DF(答案不唯一).理由如下:∵BE∥DF,∴∠EBD=∠FDN.又∵∠1=∠2,∴∠EBD-∠1=∠FDN-∠2,即∠ABD=∠CDN,∴AB∥CD.【C层创新挑战(选做)】14.(推理能力)【阅读】在证明命题“如果a>b>0,c<0,那么a2+bc>ab+ac”时,小明的证明过程如下:证明:∵a>b>0,∴a2> ,∴a2+bc> .∵a>b,c<0,∴bc> ,∴ab+bc> ,∴a2+bc>ab+ac.【问题解决】(1)请将上面的证明过程填写完整;(2)有以下几个条件①a>b,②a<b,③a<0,④b<0.请从中选择两个作为已知条件,得出结论|a|>|b|.你选择的条件序号是 ,并给出证明过程.【解析】(1)∵a>b>0,∴a2> ab,∴a2+bc> ab+bc.∵a>b,c<0,∴bc>ac,∴ab+bc> ab+ac,∴a2+bc>ab+ac.(2)选择②④.证明如下: ∵a<b,b<0,∴a<0,∴|a|=-a,|b|=-b.∵a < b,∴-a>-b,∴|a|>|b|.。

全等三角形经典题目测试含答案

全等三角形经典题目测试含答案(总19页)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March一．选择题（共13小题,共39分）1．（2013•贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm2．（2011•芜湖）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（）（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）A．B．4C．D．3．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7D．3.54．（2010•岳阳）如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件中，错误的一组是（）A．B C=BD，∠BAC=∠BAD B．∠C=∠D，∠BAC=∠BADC．∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD D．B C=BD，AC=AD5．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4B．3C．6D．56．（2009•西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（S．S．S．）B．（S．A．S．）C．（A．S．A．）D．（A．A．S．）7．（2009•芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）（第7题）（第8题）A．330°B．315°C．310°D．320°8．（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．P O平分∠APB C．O A=OB D．A B垂直平分OP9．（2009•江苏）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组10．（2008•新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（）A．h1＞h2B．h1＜h2C．h1=h2D．无法确定11．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）（第11题）（第12题）（第13题）A．3B．4C．5D．612．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个13．如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（）A．B B′⊥AC B．B C=B′C C．∠ACB=∠ACB′D．∠ABC=∠AB′C二．填空题（共7小题，共21分）14．（2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是_________．（第14题）（第15题）15．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．16．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=_________cm．（第16题）（第17题）（第18题）17．（2011•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_________度．18．（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有_________对全等三角形．19．（2008•大兴安岭）如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：_________，使OC=OD（只添一个即可）．20．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=_________度．三．解答题（共6小题，共60分）21．（2013•陕西）如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．求证：AC=OD．22．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．23．（2011•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．24．（2012•密云县二模）已知：如图，∠C=∠CAF=90°，点E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于点D．求证：AB=FE．25.如图，在∆ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.⑴求证：BE=CE；⑵若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC,垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变.求证：∆AEF≌∆BCF.26.（10分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B．EAF ADE一．选择题（共13小题）1．（2013•贺州）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm考点：全等三角形的判定与性质．分析：求出∠FBD=∠CAD，AD=BD，证△DBF≌△DAC，推出BF=AC，代入求出即可．解答：解：∵F是高AD和BE的交点，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD，在△DBF和△DAC中∴△DBF≌△DAC，∴BF=AC=8cm，故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△DBF≌△DAC．2．（2011•芜湖）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（）A．B．4C．D．考点：全等三角形的判定与性质．分析：先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应边相等就可得到答案．解答：解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故选：B．点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．3．（2011•恩施州）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）A．11 B．5.5 C．7D．3.5考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．解答：解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∴△DEF≌△DNM（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S△DNM=S△DEF=S△MDG==5.5故选B．点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．4．（2010•岳阳）如图，要使△ABC≌△ABD，下面给出的四组条件中，错误的一组是（）A．B C=BD，∠BAC=∠BAD B．∠C=∠D，∠BAC=∠BADC．∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD D．B C=BD，AC=AD考点：全等三角形的判定．分析：根据全等三角形的判定方法，对每个选项分别分析、解答出即可；解答：解：A、BC=BD，∠BAC=∠BAD，又由图可知AB为公共边，不能证明△ABC和△ABD全等，故本项错误，符合题意；B、∠C=∠D，∠BAC=∠BAD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；C、∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意；D、BC=BD，AC=AD，又AB=AB，能证明△ABC和△ABD全等，故本项正确，不符合题意．故选A．点评：本题主要考查了全等三角形的判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5．（2010•鄂州）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4B．3C．6D．5考点：角平分线的性质；三角形的面积．分析：首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果．解答：解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF=DE=2．又∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，AB=4，∴7=×4×2×AC×2，∴AC=3．故选B．点评：本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的大小是一种很好的方法，要注意掌握应用．6．（2009•西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（S．S．S．）B．（S．A．S．）C．（A．S．A．）D．（A．A．S．）考点：全等三角形的判定．专题：作图题．分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．解答：解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选A．点评：此题是一道综合题，不但考查了学生对作图方法的掌握，也是对全等三角形的判定的方法的考查．7．（2009•芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320°考点：全等三角形的判定与性质．专题：网格型．分析：利用正方形的性质，分别求出多组三角形全等，如∠1和∠7的余角所在的三角形全等，得到∠1+∠7=90°等，可得所求结论．解答：解：由图中可知：①∠4=×90°=45°，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等∴∠1+∠7=90°同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°故选B．点评：考查了全等三角形的性质与判定；做题时主要利用全等三角形的对应角相等，得到几对角的和的关系，认真观察图形，找到其中的特点是比较关键的．8．（2009•临沂）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．P O平分∠APB C．O A=OB D．A B垂直平分OP考点：角平分线的性质．分析：本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．解答：解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB∴PA=PB∴△OPA≌△OPB∴∠APO=∠BPO，OA=OB∴A、B、C项正确设PO与AB相交于E∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE∴△AOE≌△BOE∴∠AEO=∠BEO=90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D．点评：本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到△OPA≌△OPB，进而求得△AOE≌△BOE是解决的关键．9．（2009•江苏）如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组考点：全等三角形的判定．分析：要判断能不能使△ABC≌△DEF一定要熟练运用判定方法判断，做题时注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等，要根据已知条件的位置来选择判定方法．解答：解：根据全等三角形的判定方法可知：①AB=DE，BC=EF，AC=DF，用的判定方法是“边边边”；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，用的判定方法是“边角边”；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F用的判定方法是“角边角”；④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E，用的判定方法是“角角边”；因此能使△ABC≌△DEF的条件共有4组．故选D．点评：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA，HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．（2008•新疆）如图，△ABC中BC边上的高为h1，△DEF中DE边上的高为h2，下列结论正确的是（）A．h1＞h2B．h1＜h2C．h1=h2D．无法确定考点：全等三角形的判定与性质．分析：本题可通过构建全等三角形进行求解．过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；因此只要证明△AMC≌△FNE，即可得出h1=h2．解答：解：过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，则有AM=h1，FN=h2；在△AMC和△FNE中，∵AM⊥BC，FN⊥DE，∴∠AMC=∠FNE；∵∠FED=115°，∴∠FEN=65°=∠ACB；∵又AC=FE，∴△AMC≌△FNE；∴AM=FN，∴h1=h2．故选C．点评：本题主要考查了全等三角形的判定几性质；做题中通过作辅助线构造了全等三角形是解决本题的关键，也是一种很重要的方法，要注意学习、掌握．11．（2007•义乌市）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A．3B．4C．5D．6考点：角平分线的性质．分析：已知条件给出了角平分线还有PE⊥AC于点E等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．解答：解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3．故选A．点评：本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质．做题时从已知开始思考，想到角平分线的性质可以顺利地解答本题．12．（2006•十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：全等三角形的判定．分析：∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或夹已知角的另一边．解答：解：∠1=∠2，AC=AD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．故选B．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．13．（2005•乌兰察布）如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上．下列条件中不能推出AB=AB′的是（）A．B B′⊥AC B．B C=B′C C．∠ACB=∠ACB′D．∠ABC=∠AB′C考点：角平分线的性质．分析：根据已知条件结合三角形全等的判定方法，验证各选项提交的条件是否能证△ABC≌△AB′C即可．解答：解：如图：∵AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，A：若BB′⊥AC，在△ABC与△AB′C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，∠ACB=∠ACB′，∴△ABC≌△AB′C，AB=AB′；B：若BC=B′C，不能证明△ABC≌△AB′C，即不能证明AB=AB′；C：若∠ACB=∠ACB′，则在△ABC与△AB'C中，∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′；D：若∠ABC=∠AB′C，则∠ACB=∠ACB′∠BAC=∠B′AC，AC=AC，△ABC≌△AB′C，AB=AB′．故选B．点评：本题考查的是三角形角平分线的性质及三角形全等的判定；做题时要结合已知条件在图形上的位置对选项逐个验证．二．填空题（共7小题）14．（2013•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是15．考点：角平分线的性质．分析：过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可．解答：解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，故答案为：15．点评：本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．15．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=4：5：6．考点：角平分线的性质．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=3cm．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC﹣CE，代入数据计算即可得解．解答：解：∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，，∴△ABC≌△FEC（ASA），∴AC=EF，∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm．故答案为：3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．17．（2011•资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=45度．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．分析：根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．解答：解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．故答案为：45点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．18．（2011•郴州）如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有3对全等三角形．考点：全等三角形的判定．分析：根据题意，结合图形，可得知△AEB≌△ADC，△BED≌△CDE，△BOD≌△COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．解答：解：①△AEB≌△ADC；∵AE=AD，∠1=∠2=90°，∠A=∠A，∴△AEC≌△ADC；∴AB=AC，∴BD=CE；②△BED≌△CDE；∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵∠ADC=∠AEB，∴∠CDE=∠BED，∴△BED≌△CDE．③∵BD=CE，∠DBO=∠ECO，∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COE．故答案为3．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目19．（2008•大兴安岭）如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：∠C=∠D或AC=BD，使OC=OD（只添一个即可）．考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．△AOD和△BOC中，由于∠BAC=∠ABD，可得出OA=OB，又已知了∠AOD=∠BOC，因此只需添加一组对应角相等即可得出两三角形全等，进而的得出OC=OD．也可直接添加AC=BD，然后联立OA=OB，即可得出OC=OD．解答：解：∵∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC；∴当∠C=∠D时，△AOD≌△BOC；∴OC=OD．故填∠C=∠D或AC=BD．点评：本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．20．（2005•荆门）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3=135度．考点：全等三角形的判定与性质．专题：网格型．分析：根据对称性可得∠1+∠3=90°，∠2=45°．解答：解：观察图形可知，∠1所在的三角形与角3所在的三角形全等，∴∠1+∠3=90°，又∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135°．点评：主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．三．解答题（共6小题）21．（2013•陕西）如图，∠AOB=90°，OA=OB，直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D．求证：AC=OD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据同角的余角相等求出∠A=∠BOD，然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠A+∠AOC=90°，∴∠A=∠BOD，在△AOC和△OBD中，，∴△AOC≌△OBD（AAS），∴AC=OD．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．22．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．求证：△ABC≌△MED．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED．解答：证明：∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°，∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，在△ABC与△MED中，，∴△ABC≌△MED（AAS）．点评：此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．23．（2011•乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：△BEC≌△CDA．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据垂直的定义以及等量代换可知∠CBE=∠ACD，根据已知条件∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明△BEC≌△CDA．解答：证明：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BEC=∠CDA=90°，在Rt△BEC中，∠BCE+∠CBE=90°，在Rt△BCA中，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△BEC和△CDA中，∠BEC=∠CDA，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△BEC≌△CDA．点评：本题考查了全等三角形的判定定理，本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中．24．（2008•台州）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF；EF=|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠BCA=180°，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．专题：几何综合题．分析：由题意推出∠CBE=∠ACF，再由AAS定理证△BCE≌△CAF，继而得答案．解答：解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∴∠CBE=∠ACF，∵CA=CB，∠BEC=∠CFA；∴△BCE≌△CAF，∴BE=CF；EF=|BE﹣AF|．②所填的条件是：∠α+∠BCA=180°．证明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE=180°﹣∠BEC=180°﹣∠α．∵∠BCA=180°﹣∠α，∴∠CBE+∠BCE=∠BCA．又∵∠ACF+∠BCE=∠BCA，∴∠CBE=∠ACF，又∵BC=CA，∠BEC=∠CFA，∴△BCE≌△CAF（AAS）∴BE=CF，CE=AF，又∵EF=CF﹣CE，∴EF=|BE﹣AF|．（2）EF=BE+AF．点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识．注意对三角形全等，相似的综合应用．25．（2005•扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）根据已知可利用AAS证明①△ADC≌△CEB，由此可证②DE=AD+BE；（2）根据已知可利用AAS证明△ADC≌△CEB，由此可证DE=AD﹣BE；（3）根据已知可利用AAS证明△ADC≌△CEB，由此可证DE=BE﹣AD．解答：解：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣CE=BE﹣AD．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得出结论．26．（2012•密云县二模）已知：如图，∠C=∠CAF=90°，点E在AC上，且AE=BC，EF⊥AB于点D．求证：AB=FE．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：首先证明∠B=∠2，再加上条件AE=BC，∠FAF=∠BCA，可利用ASA证明△ABC≌△FEA，再根据全等三角形对应边相等可得AB=FE．解答：证明：∵EF⊥AB于点D，∴∠ADE=90°．∴∠1+∠2=90°，又∵∠C=90°，∴∠1+∠B=90°．∴∠B=∠2，在△ABC和△FEA中，，∴△ABC≌△FEA（ASA）∴AB=FE．。

新思维全等三角形(1--13题)

全等三角形1.在Rt △ ABC 中，90ACB =∠，BC=2cm ，CD ⊥ AB ，在AC 上取一点E ，使EC=BC ，过点E 作EF ⊥ AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm ，则AE= cm ．解析：90ACB =∠，90ECF BCD +=∴∠∠，CD AB ∵⊥90BCD B +=∴∠∠ECF B =∴∠∠（等角的余角相等），在FCE △和ABC △中，，()ABC FEC ASA ∴△≌△AC EF =∴，AE AC CE =-∵，2BC cm =，5EF cm =，523AE cm cm cm =-=∴故答案为3提示:根据直角三角形的两锐角互余的性质求出ECF B =∠∠，然后利用“角边角”证明ABC △和FCE △全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF ，再根据AE AC CE =-，代入数据计算即可得解．2.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若1∠：2∠：3∠=28：5：3，则α∠的度数为度．解： 232853=∵∠1：∠：∠：： ∴ 设128x =∠，25x =∠，33x =∠，由123180++=∠∠∠得： 28x+5x+3x=180°，解得5x =，故1285140=⨯=∠，25525=⨯=∠，33515=⨯=∠， ABE ADC ABC ∵△和△是△分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，315DCA E ===∴∠∠∠，225EBA D ===∠∠∠，4251540EBA E =+=+=∠∠∠，523251540=+=+=∠∠∠，故45404080EAC =+=+=∠∠∠，EGF CAF 在△与△中，E DCA DFE CFA ==∠∠，∠∠EGF CAF ∴△∽△80EAC α==∴∠．故填80°．提示:本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．3.如图，将△OAB 绕点O 按逆时针方面旋转至△0A ′B ′，使点B 恰好落在边A ′B ′上．已知AB=4cm ，BB ′=1cm ，则A ′B 长是 3 cm ．4.如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF 丄BC ；②△ADG ≌△ACF ；③O 为BC 的中点；④AG ：DE=：4，其中正确结论的序号是 ①②③④ ．（错填得0分，少填酌情给分）．解：∵ 两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．∴∠ CAF=30°，∴∠GAF=60°，∴∠ AFB=90°，①AF 丄BC 正确；∵ AD=AC ，∠DAG=∠CAF ，∠ D=∠C=60°，∴ ②△ ADG ≌ △ ACF 正确；∵△ ADG ≌ △ ACF ，∴ AG=AF ，∵ AO=AO ，∠ AGO=∠AFO=90°，∴△ AGO ≌ △ AFO （HL ），∴∠ OAF=30°，∴∠OAC=60°，∴AO=CO=AC ，BO=CO=AO ，∴③O 为BC 的中点正确；假设DG=x ，∵∠DAG=30°，∴AG=x ，∴GE=3x ，④AG ：DE=：4正确；故答案为：①②③④．△ADG ≌△ACF 得出答案；③利用△AGO ≌△AFO ，得出AO=CO=AC ，进而得出BO=CO=AO ，即O 为BC 的中点；④利用假设DG=x ，∠DAG=30°，得出AG=x ，GE=3x ，进而得出答案．5.如图，ABC △中，AB=AC ，BD 平分ABC ∠，E 为BC 上一点，A ∠与DEC ∠互补，若BC=11cm ，则DEC △的周长为( )A.10cmB.11cmC.12cmD.13cm解析:∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD =∠∠A ∠与DEC ∠∴A DEB =∠∠于是在ABD △与△EBD 中有ABD EBD A BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠DEBABD EBD ∴△≌△AD DE AB BE ==∴，，AB AC =于是AC BE =11DEC DE DC CE AD DE CE AC CE BE CE =++=++=+=+=∴△周长提示:先证明ABD △与EBD △全等，然后利用各边之间的等量关系，即可求出周长.6.如图，已知ABC △的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和ABC △全等的图形是( )A.甲和乙B.甲和丙C.乙和丙D.只有丙解析:由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得，乙丙正确．故选C ．7.如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（）A.1B.2C.3D.4解：在△ ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，90AEH ADB ==∴∠∠;∵∠ EAH+∠ AHE=90°，∠ DHC+∠BCH=90°，∵∠ EHA=∠ DHC （对顶角相等），∴∠ EAH=∠DCH （等量代换）；BCE HAE ∵在△和△中3BEC HEABCE HAE BE HE =⎧⎪=⎨⎪==⎩∠∠∠∠()AEH CEB AAS ∴△≌△AE CE =∴34EH EB AE ===∵，431CH CE EH AE EH =-=-=-=∴故选A ．8.如图，在ABC △中，AC=BC ，90ACB =∠，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论: AD BF =①；CF CD =②；AC CD AB +=③；BE CF =④；2BF BE =⑤.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析①∵ BC=AC ，∠ ACB=90°，∴∠ CAB=∠ ABC=45°，∵ AD 平分∠ BAC ，∴ ∠ BAE=∠ EAF=22.5°，∵在Rt △ ACD 与Rt △ BFC 中，∠ EAF+∠ F=90°，∠ FBC+∠ F=90°，∴∠ EAF=∠ FBC ，∵BC=AC ，∠ EAF=∠ FBC ，∠ BCF=∠ AEF ，Rt ADC Rt BFC ∴△≌△，∴ AD=BF ；故①正确；②∵ ①中Rt ADC Rt BFC △≌△，CF CD =∴故②正确；Rt ADC Rt BFC ③∵①中△≌△，∴ CF=CD ，AC+CD=AC+CF=AF ，22.5CBF EAF ==∵∠∠，9067.5Rt AEF F EAF =-=∴△中，∠∠，∵∠ CAB=45°，∴ ∠ ABF=180°﹣∠ F ﹣∠ CAB=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；④由③可知，△ABF 是等腰三角形，∵BE ⊥AD ，∴ BE=BF ，∵在Rt BCF △中，若BE=CF ，则30CBF =∠，与②中22.5CBF =∠相矛盾，故BE ≠CF ，故④错误；⑤由③可知，△ABF 是等腰三角形，BE AD∵⊥∴BF BE2故⑤正确．所以①②③⑤四项正确．故选D．提示:①根据BC=AC，∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°，再由AD平分∠BAC可知∠BAE=∠EAF=22.5°，在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，可求出∠EAF=∠FBC，由BC=AC可求出Rt△ADC≌Rt△BFC，故可求出AD=BF；②由①中Rt△ ADC≌ Rt△ BFC可直接得出结论；③由①中Rt△ ADC≌ Rt△ BFC可知，CF=CD，故AC+CD=AC+CF=AF，∠CBF=∠EAF=22.5°，在Rt△ AEF中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，根据∠CAB=45°可知，∠ABF=180°﹣∠EAF﹣∠CAB=67.5°，即可求出AF=AB，即AC+CD=AB；④由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE=BF，在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF；⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答．9.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ ABQ≌△ ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．解析:证明：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP﹣∠BAP=∠BAC﹣∠BAP，即∠QAB=∠CAP；在△BQA和△CPA中，，∴△ BQA≌△ CPA（SAS）；∴ BQ=CP．(1)BQ=CP 仍然成立，理由如下：∵∠ QAP=∠ BAC ，∴∠ QAP+∠ PAB=∠ BAC+∠ PAB ，即∠ QAB=∠ PAC ；在△ QAB 和△ PAC 中，，∴△ QAB ≌ △ PAC （SAS ），∴ BQ=CP ．提示: 此题的两个小题思路是一致的；已知∠QAP=∠BAC ，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC ；而根据旋转的性质知：AP=AQ ，且已知AB=AC ，即可由SAS 证得△ABQ ≌△ACP ，进而得出BQ=CP 的结论．10.如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片ABC △，△A 1B 1C 1．﹙1﹚将ABC △，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠ B 1C 1C=∠B 1BC ．﹙2﹚若将ABC △，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ，试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．解析:(1)证明：由题意，知111ABC A B C △≌△.∴AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，∠2=∠7，∠A=∠1．∴∠3=∠A=∠1．∴BC 1∥AC ．∴四边形ABC 1C 是平行四边形．∴AB ∥CC 1．∴∠4=∠7=∠2．∵∠5=∠6，∴∠B 1C 1C=∠B 1BC ．(2)解：∠A 1C 1C=∠A 1BC ．理由如下：由题意，知111ABC A B C △≌△∴AB=A 1B 1，BC 1=BC ，∠1=∠8，∠A=∠2．∴∠3=∠A ，∠4=∠7．∵∠1+∠FBC=∠8+∠FBC ，11C BC A BA =∴∠∠114(180)2C BC =-∵∠∠，11(180)2A A BA =-∠∠∴∠4=∠A ． 42=∴∠∠56=∵∠∠ 111AC C A BC =∴∠∠11.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD ﹣BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．解析:（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE ．在△ADC 和△CEB 中，，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=DC+CE=BE+AD ；（2）证明：在△ADC 和△CEB 中，，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；（3）DE=BE ﹣AD ．易证得△ADC ≌△CEB ，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CD ﹣CE=BE ﹣AD ．提示:（1）由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE ，易得Rt △ADC ≌Rt △CEB ，所以AD=CE ，DC=BE ，即可得到DE=DC+CE=BE+AD ．（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE ，易得△ADC ≌△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，所以DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ．（3）DE 、AD 、BE 具有的等量关系为：DE=BE ﹣AD ．证明的方法与（2）相同12.如图，在ABC △中，AD 为边BC 上的中线，若5AB =，3AC =，则AD 的取值范围是_____________.解析: AD 延长 E 至,DE DA =使,BE 连接，BD CD =∵, BDE CDA =∠∠，DE DA =BDE CDA ∴△≌△EB AC =∴ ABE 在△中, AB EB AE AB EB -+＜＜53253AD -+∴＜＜14AD ∴＜＜13.如图,将ABC △绕着C 点按顺时针方向旋转20,B 点落在B '点位置,A 点落在A '点位置，若AC A B ''⊥,则______.A =∠解析:由题意知:20ACA '=∠；若AC A B ''⊥,则90A ACA ''+=∠∠,得90902070A ACA ''=-=-=∠∠；由旋转的性质知:70BAC A '==∠∠；故A ∠的度数是70°．提示:由旋转的角度易得20ACA '=∠，若A C AB ''⊥，则A '∠、ACA '∠互余，由此求得∠ACA ′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此BAC A '=∠∠，即可得解14.一分为二如图是一张等边三角形网格纸片，现要沿着一条经过点A 的格线把它剪成两张形状、大小相同的纸片.(1)请你在图上画出一种裁剪方案;(2)不同的裁剪方案共有_________种(若两种裁剪方法所得的纸片能够重合,则只算作一种方案)。

第十三章全等三角形单元测试题(含答案)-

第十三章全等三角形测试题教材基础知识针对性测试一、选择题1．如图1所示，已知OA=OB ，OC=OD ，AD ，BC 相交于E ，则图中全等三角形的个数是（）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5DACEBODACB DFAEB(1) (2) (3) 2．下列说法中正确的个数是（）．（1）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等；（3）全等三角形的周长相等；（4）周长相等的两个三角形全等；（5）全等三角形的面积相等；（6）面积相等的两个三角形全等． A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个3．如图2所示，△ABD ≌△CDB ，下面四个结论中，不正确的是（）． A ．△ABD 和△CDB 的面积相等; B ．△ABD 和△CDB 的周长相等 C ．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD; D ．AD ∥BC ，且AD=BC4．在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC 中与这个角对应的角是（）．A ．∠AB ．∠BC ．∠CD ．∠B 和∠C 5．如图3所示，DE=EF ，AB=15，CF=8，则BD=（）． A ．8 B ．7 C ．6 D ．5DF ACEBO DAE(4) (5) (6)6．如图4所示，AB ∥CD ，AD ∥CB ，AC 与BD 交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，•那么图中全等的三角形有（）．A ．5对B ．6对C ．7对D ．8对7．如图5所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD=CD ，BD=ED ，若∠ABC=54°，则∠E=（）． A ．25° B ．27° C ．30° D ．45°8．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，•则D 到AB 边的距离为（）．A ．18B ．16C ．14D ．129．如图6所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）． A ．SSS B ．SAS C ．AAS D ．ASA10．如图7，△ABC ≌△CDA 且AB=CD ，那么下列结论错误的是（）． A ．∠1=∠2 B ．AC=CA C ．∠D=∠B D ．AC=BCDACB 12FAC BE DFAC E(7) (8) (9) 二、填空题1．如图8所示，若△ABC ≌△EFC ，且CF=3cm ，∠EFC=60°，则BC=_______，•∠B=________． 2．如图9所示，已知∠ABC=∠DEF ，AB=DE ，要说明△ABC ≌△DEF ．（1）若以SAS 为依据，还须添加的一个条件为_________．（2）若以ASA 为依据，还须添加的一个条件为_________．（3）若以AAS 为依据，还须添加的一个条件为_________．3．如图10所示，AD=AE ，∠1=•∠2，•BD=•CE ，•那么有△ABD•≌______，•理由是___________．D AC 12DACBED ACB(10) (11) (12)4．如图11所示，AB=AD ，BC=DC ，AC ，BD 相交于E ，由这些条件写出2个你认为正确的结论（不再添加线段，不再标注其他字母）_____________．5．如图12所示，已知∠A=90°，BD 是∠ABC 的平分线，AC=10，DC=6，则D•点到BC 的距离是__________．6．如图所示，△ABC 中∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点P ，•则点P 到△ABC 三边的距离_________．三、解答题1．已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．P D ACM N2．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？为什么？P4D ACB3123．如图所示，AB=AD ，CB=CD ，则∠B=∠D 吗？为什么？DACBPAC B M4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB•是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合，过角尺顶点P 的射线OP 便是∠AOB 的平分线，为什么？PAB OMN探究应用拓展性训练1．（学科内综合题）如图所示，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD ，E 在AB 上．（1）判断点A 是否在∠CBD 的平分线上，并说明理由．（2）若CE=6cm ，求DE 的长度．DACBE2．（学科内综合题）如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO 的值．PA CO3．（与现实生活联系的应用题）湖岸上有A ，B 两个村庄，如图13-20所示，如何测量出AB 间的距离？请你设计方案，并说明设计理由．4．（探究题）如图所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE=CF ，过E ，F 分别作DE•⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．GDFACBEG DFA CBE5．（2002年海南卷）如图所示，AB=DB ，∠1=∠2，请你添加一个适当的条件，•使△ABC ≌△DBE ，则须添加的条件是__________．6．（2002年龙岩卷）如图，已知∠ABD=∠BDA=∠ADC=∠DCA=75°，•请你写出由已知条件能够推出的四个有关线段关系的正确结论（注意：不添加任何字母和辅助线，线段关系仅限于垂直、相等）：①_________；②_________；③__________；④___________．DA12EDACB答案:教材基础知识针对性训练一、1．C 解析：图中的全等三角形有△AOD≌△BOC，△AEC≌△BED，△AOE•≌△BOE，△OCE≌△ODE．提示：找出△AOD≌△BOC是解决问题的突破口，这对全等三角形为其他的全等三角形提供了必要的条件．2．C 解析：由全等三角形的定义及性质可知，全等三角形的对应边、•对应角都相等，周长、面积也都相同，但周长或面积分别相等的三角形未必全等，故选C．提示：深刻理解全等三角形的定义及性质是解决本题的前提．3．C 解析：∵△ABD≌△CDB，∴AB=CD，BD=DB，AD=CB，∠ADB=∠CBD，∴△ABD和△CDB的周长和面积都分别相等．∵∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC．4．A 解析：∵130°是钝角且三角形中最多有一个角是钝角，∴∠B=∠C≠130°．∴△ABC中与这个角对应的是∠A，故选A．提示：①全等三角形的对应角相等；②三角形最多有一个钝角．5．B 解析：∵AB∥FC，∴∠A=∠ECF．在△ADE与△CFE中，∠A=∠ECF，∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CEF，∴AD=CF=8．∵BD=AB-AD，∴BD=15-8=7．提示：利用角角边判断△ADE≌△CFE，从而求出AD=CF=8，进一步求出BD．6．C 解析：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC．又∵AD∥CB，∴∠ADB=∠DBC．在△ADB与△CBD中，∠ABD=∠BDC，∠ADB=∠DBC，BD=BD，∴△ADB≌△CBD（ASA），∴AB=CD，AD=BC．由此可继续得到△ACB≌△CAD，△ADE≌△CBF，△ADO≌△CBO，△AEB≌△CFD，△AOB ≌△COD，△AEO≌△CFO，共有7对，故选C．提示：本题的突破口是先找出△ADB≌△CBD或△ACB≌△CAD．7．B 解析：在Rt△ADB与Rt△EDC中，AD=CD，BD=ED，∠ADB=∠EDC=90°，∴△ADB≌△CDE，∴∠ABD=∠E．在Rt△BDC与Rt△EDC中，BD=DE，∠BDC=∠EDC=90°，CD=CD，∴Rt△BDC≌Rt△EDC，∴∠DBC=∠E．∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC，∴∠E=∠DBC=12×54°=27°．提示：本题主要通过两次三角形全等找出∠ABD=∠DBC=∠E．8．C 解析：如答图所示，作DM⊥AB于点D．∵BD：CD=9：7，且BC=32，∴CD=32×716=14．又∵AD平分∠CAB，DC⊥AC于点C，DM⊥AB于点M，∴CD=DM=14．提示：角平分线上的一点到角的两边的距离相等．9．D 解析：由图可知三角形保留了完整的两角及夹边，故可根据ASA画一个与原三角形完全一样的三角形．10．D 解析：∵△ABC≌△CDA，且AB=CD，∴∠2=∠1，∠D=∠B，AC=CA．故错误的是D．二、1．解析：∵△ABC≌△EFC，∴BC=CF=3cm，∠B=∠EFC=60°．答案：3cm 60°2．（1）BC=EF（BE=FC）（2）∠A=∠D （3）∠ACB=∠DFE 提示：此题答案不惟一，只要符合条件要求即可．3．△ACE（SAS）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等提示：由∠1=∠2，可得∠ADB=∠AEC．4．解析：∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ADC≌△ABC，∴∠DAC=∠BAC．由此可进一步得到△ADE≌△ABE，可以得到DE=BE，DB⊥AC等．答案：略（不惟一）5．解析：作DM⊥CB于点M，∵D在∠ABC的平分线上，且∠A=90°，∴DM=DA．又∵AC=10，DC=6，∴DM=DA=10-6=4．答案：4提示：利用角的平分线的性质可得D点到BC的距离即DA的长．CDBM6．解析：∵点P是∠ACM与∠ABC的平分线的交点，∴点P到AC与BC及AB的距离相等．答案：相等提示：两次运用角的平分线的性质．三、1．解析：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD与△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB．又∵PM⊥AD于M，PN⊥DC于点N，∴PM=PN．提示：易证BD平分∠ADC，故由角的平分线的性质可得PM=PN．2．解析：可以．∵在△ADB与△ACB中，∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4．∴△ADB≌△ACB，∴BD=BC．在△DBP与△CBP中，∵BD=BC，∠1=∠2，BP=BP∴△DBP≌△CBP（SAS）．∴PD=PC．提示：注意隐含条件──公共边的运用．3．解析：∠B=∠D，连结AC，在△ABC与△ADC中，AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B=∠D．提示：作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．4．解析：∵在△ONP与△OMP中，ON=OM，OP=OP，PN=PM，∴△ONP≌△OMP，∴∠NOP=∠MOP．提示：利用边边边证明△ONP≌△OMP．探究应用拓展性训练1．解析：（1）点A在∠CBD的平分线上．∵∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，∴点A在∠CBD的平分线上，即∠CBA=∠DBA．（2）在△CBE与△DBE中，BE=BE，∠CBA=∠DBA，BC=BD（由△ACB≌△ADB可得），∴△CBE≌△DBE，∴CE=DE=6cm．2．解析：作PD⊥OB于点D，∵P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于点C，∴PC=PD．∵∠OAP+∠OBP=180°，∴∠PBD+∠OBP=180°，∴∠OAP=∠PBD．在△ACP与△BDP中，∵PC=PD，∠OAP=∠PBD，∠PCA=∠PBD=90°，∴△ACP≌△BDP，∴AC=BD．在△OCP与△ODP中，∠PCO=∠PDB=90°，PC=PD，OP=OP，∴△OCP≌△ODP，∴OC=OD，∴AO+BO=OC+AC+OD-BD=2OC=8cm．3．可以，设计方案如答图，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，•连结AC，并延长到D，使CD=CA；连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，那么量出DE的长，•就是AB的距离．∵在△ACB与△DCE中，AC=CD，∠1=∠2，CB=CE，∴△ACB≌△DCE，∴AB=DE．所以DE的长就是两村庄的距离．提示：此题也可有别的设计方案．4．解析：∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，∴∠DEF=∠BFE=90°．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．在Rt△ABF与Rt△CDE中，AB=CD，AF=CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴BF=DE．在Rt△DEG≌Rt△BFG中，∠DGE=∠BGF，DE=BF，∴Rt△DEG≌Rt△BFG，21ECDB A∴EG=FG，即BD平分EF．若将△DEC的边EC沿AC方向移动到图2时，其余条件不变，上述结论仍旧成立，理由同上．提示：寻找AF与CE的关系是解决本题的关键．5．BE=BC6．①AB=AD ②AD=AC ③BD=DC ④AD⊥BC。

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例2：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。
已知：如图，AD是△ABC
的中线，求证：AD
1 2
(
AB
AC)
证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
A
∵ AD是△ABC 的中线
∴ BD＝CD
又 ∵ DE＝AD ADC EDB
B
D
C
∴ △ADC ≌ △EDB （SAS）
∴ AC = EB
C
又因为BE+DF=EF，所以EF=EG.
由EF=EG，AG=AF，AE=AE,
得出 △AEF≌△AEG （SSS）
所以 ∠GAE=∠FAE
因为 ∠BAF+∠FAD=∠BAF+∠GAB=∠GAF=90°，
所以 ∠EAF=1/2∠GAF=45°
截长补短法作辅助线
要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取“截长补短”法。
在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC
E
即 2AD < AB+AC ∴ AD 1 (AB AC) 2
一、判断题：
1、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（）
2、有两条边对应相等的两个直角三角形全等
（）
3、有一个角与一条边对应相等的两个三角形全等（）
4、只有一条高在三角形内部的三角形是直角三角形（）
例1: 如图所示，△ABC的两条高BD、CE 相交于点P，且PD＝PE。求证: AC＝AB。
证明：连结AP。因为∠PDA＝∠PEA＝90°， PD＝PE，PA＝PA，所以△PDA≌△PEA（HL）所以AD＝AE 因为∠CAE=∠BAD 所以△ACE≌△ABD（ASA）所以AC＝AB
例4：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
思路：利用全等变换中的“旋转”
A
D
证明：延长CB到G，使BG=DF.
由 BG=DF，∠ABG=∠D=90°，AB=AD,
F
得出 △ADF≌△ABG （SAS）
所以 ∠GAB=∠不能做一个直角三角形（）
6、有一边对应相等的两个等腰三角形全等
（）
例3：如图所示，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。求证：AB+BD=AC
思路1：延长AB到E，使BD=BE，证明 △AED≌△ACD。证明：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则 ∠E=∠BDE。 ∴ ∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E 又∵ ∠ABC=2∠C， ∴ ∠C=∠E ∵ ∠AD平分∠BAC， ∴ ∠1=∠2，又∵ AD=AD，∴ △ADE≌△ADC， ∴ AC=AE。即 AC=AB+BE=AB+BD。思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明 △AED≌△ABD。
截长法即在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。
所谓补短，即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。
三角形中辅助线的添法图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。