人教版 初中数学 第12章 专题练习-二倍角模型

第12章 专题练习-二倍角模型
姓名___________班级__________学号__________分数___________
1．（5401）如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＋BD ＝AC ，求∠B ∶∠C 的值．
D
C
B
A
2．（5644）已知：如图，在等腰△ABC 中，∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，求证：BC ＋CD ＝AB ；
E
D
C
B
A
3．（1335）已知：如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，且AC ＝AB + BD ，求∠B ︰∠C 的值．
D
C
B
A
4．（8581）如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，∠1＝∠B ，求证：AB ＝AC ＋CD ；
A
B
C
D
E 1
※5．（5655）已知：如图，△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是∠BAC 的角平分线，求证：AB + BD ＝AC ；
C
B
A
D
※6．（11647）在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，如图①，当∠C ＝90°，AD 为∠ABC 的角平分线时，在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证AB ＝AC ＋CD ，
(1)如图②，当∠C ≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：
(2)如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
A
B
C
E D
图①
图②
A
B
C
D A
D
B
C F
图③
第12章 专题练习-二倍角模型答案
1．（5401）延长AB 到M ，使BM ＝BD ，△ADM ≌△ADC ，∠B ∶∠C ＝2∶1； 2．（5644）证明:∵BD 是∠ABC 的平分线 ∴∠CBD ＝∠EBD ∵DE ⊥AB
∴∠C ＝∠DEB ＝90° 在△BCD 和△BED 中 ∠CBD ＝∠EBD ∠C ＝∠DEB BD ＝BD
∴△BCD ≌△BED ∴BC ＝BE
∵△ABC 是等腰三角形 ∴∠A ＝45° ∴AD ＝AE ∴BC ＋CD ＝AB ；
3．（1335）如图，在AC 上取AE ＝AB ，连DE
D
C
B
A
E
∵AD 为∠BAC 的平分线 ∴∠BAD ＝∠EAD 在△BAD 和△EAD 中
AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
△BAD ≌△EAD ∴∠B ＝∠AED
∵AC ＝AB + BD ，AC =AE +EC ∴EC ＝ED ∴∠C ＝∠EDC ∵∠C +∠EDC ＝∠AED ∴∠C ＝12∠AED ＝1
2∠B
∴∠B ︰∠C ＝1︰2；
4．（8581）证明： ∵∠1＝∠B
∴∠AED ＝2∠B ，DE ＝BE 2分 ∴∠C ＝∠AED 3分 在△ACD 和△AED 中
CAD EAD AD AD
C AE
D ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACD ≌△AED 5分
∴AC ＝AE ，CD ＝DE ，∴CD ＝BE ． 6分 ∴AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋C D ． 8分
5．（5655）证明：如图，在AC 上取点E ，使AE ＝AB 连DE
E
C
B
A
D
∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD ＝∠DAE 在△BDA 和△EDA 中 AE ＝AB ∠BAD ＝∠DAE AD ＝AD
∴△BDA ≌△EDA ∴∠B ＝∠DEA ∵∠B ＝2∠C
∠DEA ＝∠C + ∠EDC ∴DE ＝CE ∴AB + BD ＝AC ；
6．（11647）考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
分析：(1)首先在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证△ADE ≌△ADC (SAS )，则可得∠AED ＝∠C ，ED ＝CD ，又由∠ACB ＝2∠B ，易证DE ＝CD ，则可求得AB ＝AC ＋CD ；
(2)首先在BA 的延长线上截取AE ＝AC ，连接ED ，易证△EAD ≌△CAD ，可得ED ＝CD ，∠AED ＝∠ACD ，又由∠ACB ＝2∠B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝C D ． 解答：解：(1)猜想：AB ＝AC ＋C D ．
证明：如图②，在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ， ∵AD 为△ABC 的角平分线时， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∵AD ＝AD ，
∴△ADE ≌△ADC (SAS )， ∴∠AED ＝∠C ，ED ＝CD ，
∵∠ACB ＝2∠B ， ∴∠AED ＝2∠B ， ∴∠B ＝∠EDB ， ∴EB ＝ED ， ∴EB ＝CD ，
∴AB ＝AE ＋DE ＝AC ＋CD ． (2)猜想：AB ＋AC ＝CD ．
证明：在BA 的延长线上截取AE ＝AC ，连接ED ． ∵AD 平分∠F AC ， ∴∠EAD ＝∠CAD ．
在△EAD 与△CAD 中，AE ＝AC ，∠EAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ， ∴△EAD ≌△CA D ．
∴ED ＝CD ，∠AED ＝∠ACD ． ∴∠FED ＝∠ACB ．
又∠ACB ＝2∠B ，∠FED ＝∠B ＋∠EDB ，∠EDB ＝∠B ． ∴EB ＝E D ．
∴EA ＋AB ＝EB ＝ED ＝CD ． ∴AC ＋AB ＝CD ．
A
B
C
E D 图①
图②
A
B
C
D A
D
B
C F
图③
E E
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．。