大学数学课后习题答案-习题1-习题4

习题1

1. （1）不能（2）不能（3）能（4）不能

2. （1）不正确；因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合．

（2）不正确；对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的．

（3）正确；集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合． 3. φ，}1{，}2{，}3{，}2,1{，}3,1{，}3,2{，}3,2,1{． 4. （1）}4,3,2,1,0{ （2）}4,3{ （3）)}1,1(),0,0(),1,1{(--

5. （1）},32|{Z x x x ∈<- （2）}012|{2

=+-x x x （3）},|),{(3

x y x y y x == 6. （1）}3,1{ （2）}5,3,2,1{ （3）φ （4）}6,5,4,3,2,1{ （5）}2{ （6）φ （7）}6,5,4{ （8）}6,5,4,3,1{ （9）}6,5,4,3,2,1{ （10）}6,4{ 7.

B

A U

B A B B B A B B A B B A B B A A A B B A A B B A A =======)()()()())(())()(()(φ

8. （1）)5,5(- （2）)0,2(- （3）),1[]3,(+∞--∞ （4）]2,1( （5）),4[+∞ （6）)4,(-∞

9. （1）}1{=B A ；]3,0[=B A ；)1,0[=-B A ． （2）]4,2[=B A ；]4,1[-=B A ；)2,1[-=-B A ． 10. （1）)25,23( （2）)2

5,2()2,23( ．

11. （1）不是．定义域不同 （2）不是．定义域不同 （3）不是．定义域不同 （4）是．在公共的定义域]1,1[-上，2111x y x x y -=⇔-⋅+= 12. （1）),2()2,2()2,(+∞---∞ （2）),1[]1,(+∞--∞ （3）]1,1(-

（4）),(+∞-∞ （5）)2,2(- （6）]5,1[ （7）))1(22

,

22

(

ππ

ππ

+++k k ， ,2,1,0±±=k （8）),1()1,1()1,2(+∞---

（9）),3()2,(+∞--∞ （10）]4,2[

13（1）55030)0(2-=-⨯+=f ；15131)1(2-=-⨯+=f ；

75)1(3)1()1(2-=--⨯+-=-f ；535)(3)()(22--=--⨯+-=-x x x x x f ； 53

1513)1()1(22

-+=-⨯

+=x

x x x

x f ． 14. 43)1(2)1()11()(22-=--+-=+-=x x x x f x f ； 324)1()1(22--=--=-x x x x f ．

15. πππ

π22

)

2sin()2(=--=

-f ，110)0(=+=f ，212)2(πππ=+=f ． 16. ),(+∞-∞=∈∀D x ，有211

11111)(2

22222=+++≤++=+-+≤x

x x x x x x f ． 17. （1）单调递减 （2）]2,(-∞上单调递增；),2[+∞上单调递减 （3）]1,(-∞单调递减；),1[+∞上单调递增 （4）单调递增 （5）)2

,

2

(ππ

ππ

k k ++-

（ ,2,1,0±±=k ）上

单调递增； （6）单调递增

18. （1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）偶函数 （4）奇函数 （5）非奇非偶函数 （6）偶函数 （7）非奇非偶函数 （8）奇函数 （9）偶函数 （10）奇函数 19. （1）对定义域内的任意x ，因为)()]()([2

1

)(x F x f x f x F =+-=-，所以)(x F 是偶函数；

（2）对定义域内的任意x ，因)()]()([2

1

)]()([21)(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-，所以)(x G 是偶函数．

20. （1）π （2）π2 （3）π （4）π2

21. （1）因为),(+∞-∞∈∀x ，有)2()()2(f x f x f +=+成立，令1-=x ，则有

)2()1()1(f f f +-=，又因为)(x f 是),(+∞-∞内的奇函数，所以)1()1(f f -=-，所以a f f 2)1(2)2(==，又)2(2)1()2())2()1(()2()3()5(f f f f f f f f +=++=+=，所以

a f 5)5(=．

（2）因为)(x f 是以2为周期的周期函数，所以)()2(x f x f =+，又已知

)2()()2(f x f x f +=+，所以0)2(=f ，由（1）知a f 2)2(=，所以0=a ．

22. （1）u y arcsin =，2

1x u += （2）u y =，v u ln =，x v =

（3）u y =，2

2v u +=，x v cos = （4）u e y =，v u arctan =，w v =

，

x w +=1 23. （1）k

b

x k y -=

1 （2）1-=x e y （3）32-=x y （4）x x y +-=11（1-≠x ）

24. （1）是 （2）是 （3）是 （4）不是

习题2

1. (1) 0 (2) 1 (3) 0 (4) 0 2．(1)3 (2)2 (3)0 (4) -∞ (5) ∞

3.两个无穷小的商是不一定是无穷小，例如：

2211

lim lim n n n n

n n →∞→∞

==∞ 4. 根据定义证明：

(1)x x y 1

cos =当0→x 时为无穷小；

证明：0ε∀>,δε∃=,当x δ<,1

cos x x x

ε≤≤ (2)x

x

y +=

1当1-→x 时为无穷大. 证明：0M ∀>,1M δ∃=+,当x δ<,111

1111x M M x x x

+=+≥->+-= 5. 求下列极限：

（1）1 （2）0 6. 计算下列极限： （1）0 （2）

2

1