等差数列的性质第二课时复习过程

[解题过程] (1)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6， ∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15. ∴a4＝5，∴a2＋a6＝10，且a2a6＝9. ∴a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根
∴aa26＝＝19，， 或aa26＝＝91，. 若a2＝1，a6＝9, 则d＝2，∴an＝2n－3； 若a2＝9，a6＝1，则d＝－2.∴an＝13－2n. 故an＝2n－3或an＝13－2n.
(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 方法二：因为{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d， ∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d ＝5a1＋20d， 即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝90， ∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.
A．9
B．20
C．9.5
D．33
解析：方法一：∵a1＋a4＋a7＝45 ∴3a4＝45 又∵a2＋a5＋a8＝39 ∴3a5＝39 ∴d＝a5－a4＝13－15＝－2 a3＋a6＋a9＝3a6＝3(a5＋d)＝33，故选D.
方法二：∵{an}是等差数列， ∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，首项 为45，公差为39－45＝－6， ∴a3＋a6＋a9＝39－6＝33. 答案： D 3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________． 答案： －3 4 ． 在 等 差 数 列 {an} 中 ， a4 ＋ a5 ＝ 15 ， a7 ＝ 12 ， 则 a2 ＝ __________. 答案： 3
等差数列性质的应用
(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数 列的通项公式；
(2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450， 求a2＋a8.
(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再求出首项a1和 公差d，得出通项公式；
(2)既可以先求a5，也可以通过首项与公差求解．
5．在等差数列{an}中： (1)a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7； (2)a1－a4－a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13； (3)a3＋a11＝10，求a2＋a4＋a15. 解析： (1)∵a2＋a11＝a3＋a10＝a6＋a7， 而a2＋a3＋a10＋a11＝48， ∴2(a6＋a7)＝48，得a6＋a7＝24.
1．等差数列增减性
对于数列an＝a1＋(n－1)d (1)当d＞ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时，{an}为 递增数列 ； (2)当d＜0时，{an}为 递减数列 ； (3)当d＝0时，{an}为 常数列．
2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使 a，A，b成等差数列 ，
那么A叫作a与b的等差中项，且A＝
a＋b 2.
3．等差数列的其它常用性质
(2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8. 而a1＋a15－(a4＋a12＋a8)＝2， 即2a8－3a8＝2. ∴a8＝－2. ∴a3＋a13＝2a8＝－4. (3)∵a3＋a11＝2a7＝10， ∴a7＝5. 又a2＋a4＋a15＝a7＋a7＋a7＝3a7＝15. ∴a2＋a4＋a15＝15.
1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差 等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式为 an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)． 3．若数列{an}的通项公式为an＝3n＋1，则a1＋a6＝23，a2 ＋a5＝23，a3＋a4＝23.你能看出有什么规律吗？
性质1 性质2 性质3 性质4
若 al＝{an}为am等＋差an数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋ 若 a1＋{aan}n＝是a等2＋差数an列－1，＝则a32＋an＝aan－n－2 1＋＝a…n＋1 若 则{{apan}n，＋{qbbnn}}分是别以是以pdd1＋1，qdd22为为公公差差的的等等差差数数列列， 若 公差{an为}是等m差d数列的，等则差a数k，列ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成
第二课时 等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项(或通项)(重点， 难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重点) 3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可出现，多为中 低档题.
[题后感悟] 求等差数列的通项公式，必须求出首项a1与公 差d，为此，利用等差数列的性质，转化为等差数列的两项的方 程组求解. 等差数列的项与项数有着密切的联系，由m＋n＝k＋l ＝2w可得am＋an＝ak＋al＝2aw，在解决等差数列的有关问题中应 用非常简便．
1．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解析： (1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得 4a13＝48， ∴a13＝12.
1．下列说法中，正确的是( )
A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列 B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列 C．若存在自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}是等差数列 D．若{an}是等差数列，则对任意正整数n都有2an＋1＝an＋ an＋2 答案： D
2．若{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39， 则a3＋a6＋a9＝( )
(2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝＝41，3 或aa25＝＝143. ， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －a22＝4－313＝－3.