多项式的带余除法

多项式带余除法

1.多项式带余除法定理：若()f x 和()g x 是[]F x 中的两个多项式，且()0g x ≠，则在()F x 中有唯一的多项式()q x 和()r x ，满足

()()()()f x q x g x r x =+

其中(())(())r x g x ∂<∂，或者()0r x =。

1) 此时()q x 称为()g x 除()f x 的商式，()r x 称为余式（非0余式的次数小于除式）。

2) 当()g x x a =-时，则()()r x f a =称为余元，式中a 的F 是的元素。此时带余除法具有形式()()()()f x q x g x f a =+，称为余元定理。 3) ()g x 是()f x 的因式的充分必要条件是()g x 除()f x 所得余式等于零。

4) 特别的，x a -是()f x 的因式的充分必要条件是()0f x =，这时称a 是

()0f x =的一个根。

5) 商式与余式的计算。

2.整除的概念与性质：对数域上的任意两个多项式()f x ，()g x ，如果存在多项式()h x 满足

()()()f x h x g x =

那么称()g x 能整除()f x ，或()f x 能被()g x 整除记作()|()g x f x 。此时称()g x 是()f x 的一个因式，()f x 是()g x 的一个倍式。 1) 1|(),()|(),()|0f x f x f x f x ,…

2) 若()()()()f x h x g x r x =+符合带余除法定理，则()|()g x f x 当且仅当余式()0r x =

3) 若()|()g x f x ，()|()f x h x 则()|()g x h x

4) 若()|(),1,2,3....i g x f x i s =，则对任意的1()[],()|()()s

i i i i u x F x g x u x f x =∈∑

5) 若()|()g x f x ，()|()f x g x 则，()()f x cg x =其中c 为非零常数

6) 多项式的整除性质与数域无关

经典例题

1.(中国人民大学1991)多项式()f x 除以(0)ax b a -≠所得余式__()b a f __ 解：设

()()()f x ax b q x A =-+ 将b a

x =代入上式，得()b a f A =，由商式和余式的唯一性即可。 2.（河南大学）设()f x 为一多项式，若

()()()f x y f x f y += ,x y R ∈

则()0f x =或()1f x =。

证：若()0f x =，则结论成立

若()0f x ≠由()2(2)f x f x =，知()f x 只能是零次多项式，令()f x A =，则

22(0)(00)(0),0A f f f A A ==+==≠

0A ∴=，此即()1f x =。

3.设432()2341,()1f x x x x g x x x =-++=-+，求()f x 除()g x 的商和余式 解：做带余除法

21x x -+43432323222234122224135133324

x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--++-+--++-+-+223x x --

∴所求商式及余式分别为2()23,()24q x x x r x x =--=+