复杂网络基础理论--网络拓扑结构与静态特征 ppt课件
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与图论的研究有所不同，复杂网络的研究更侧重于 从各种实际网络的现象之上抽象出一般的网络几何量 ，并用这些一般性质指导更多实际网络的研究，进而 通过讨论实际网络上的具体现象发展网络模型的一般 方法，最后讨论网络本身的形成机制。
统计物理学在模型研究、演化机制与结构稳定性方 面的丰富的研究经验是统计物理学在复杂网络研究领 域得到广泛应用的原因；而图论与社会网络分析提供 的网络静态几何量及其分析方法是复杂网络研究的基 础。
复杂网络基础理论
第二章 网络拓扑结构与静态特征
第二章 网络拓扑结构与静态特征
2.1 引言 2.2 网络的基本静态几何特征 2.3 无向网络的静态特征 2.4 有向网络的静态特征 2.5 加权网络的静态特征 2.6 网络的其他静态特征 2.7 复杂网络分析软件
2
2.1 引言
识”，数值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ就等于ki（ki－1）／2。
11
2.2.2 集聚系数
如何根据无向无权简单图的邻接矩阵A来求节点vi的 集聚系数Ci？
显然，邻接矩阵二次幂A2的对角元素 表示的是与 节点vi相连的边数，也就是节点vi的度ki。而邻接矩阵三 次幂A3的对角元素 ＝∑（aij·ajl·ali）（j≠l）表示的是从 节点vi出发经过三条边回到节点vi的路径数，也就是与 节点vi相连的三角形数的两倍（正向走和反向走）。因 此，由集聚系数的定义可知
网络的直径D定义为所有距离dij中的最大值
6
2.2.1 平均距离
平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之 间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离 程度，即网络有多小，计算公式为
对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简 化为
很多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却小得
惊人，这就是所谓的小世界效应。
3
2.1 引言
静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观统 计平均值。
在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结。 由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们将 分开讨论无向、有向与加权网络。
返回 目录 4
2.2 网络的基本静态几何特征
2.2.1 平均距离 2.2.2 集聚系数 2.2.3 度分布 2.2.4 实际网络的统计特征
5
2.2.1 平均距离
1.网络的直径与平均距离 网络中的两节点vi和vj之间经历边数最少的一条简单
路径（经历的边各不相同），称为测地线。 测地线的边数dij称为两节点vi和vj之间的距离（或叫
测地线距离）。 1／dij称为节点vi和vj之间的效率，记为εij。通常效率
用来度量节点间的信息传递速度。当vi和vj之间没有路 径连通时，dij＝∞，而εij＝0，所以效率更适合度量非 全通网络。
13
2.2.2 集聚系数
下面以节点v1的集聚系数计算为例：采用第一种定 义可知，节点v1与3个节点直接连接，而这3个节点之间 可能存在的最大边数为3（3－1）／2，而实际存在的
边数为1，由此可得C1＝2／［3（3－1）］＝1／3。
若采用第二种定义可知：与相连的三角形数为N1Δ ＝１，而与v1相连的三元组数为N1Λ＝3，故C1＝1／3。
12
2.2.2 集聚系数
【例2.1】计算下面简单网络的直径、平均距离和各节 点的集聚系数。
解：首先计算出所有节点对的距离：d12＝1；d13＝1； d14＝2；d15＝1；d16＝2；d23＝1；d24＝1；d25＝2；d26 ＝2；d34＝2；d35＝2；d36＝1；d45＝3；d46＝1；d56＝3 。由此可得直径和平均距离为
也可以利用式
计算，因为邻接矩
阵A的前三次幂为
14
2.2.2 集聚系数
故 ＝2， ＝3，从而 同理可得其他各节点的集聚系数为
C2＝1／3；C3＝1／3；C4＝0；C5＝0；C6＝0 由此很容易算出该网络的集聚系数
15
2.2.3 度分布
1.节点的度 在网络中，节点vi的邻边数ki称为该节点vi的度。 对网络中所有节点的度求平均，可得到网络的平均
8
2.2.1 平均距离
容易用数学归纳法证明 据此，若D为网络直径，则两节点vi和vj之间的距离dij可 以表示为
9
2.2.2 集聚系数
首先来看节点的集聚系数定义。假设节点vi与ki个节 点直接连接，那么对于无向网络来说，这ki个节点间可 能存在的最大边数为ki（ki－1）／2，而实际存在的边 数为Mi，由此我们定义Ci＝2Mi／［ki（ki－1）］为节 点vi的集聚系数。
有边连接的完全图。对于完全随机网络来说，当节点 数很大时，C→O（1／N）。而许多大规模的实际网络 的集聚系数通常远小于1而大于O（1／N)。对于社会网 络来说，通常随着N→∞，集聚系数C→O（1），即趋 向一个非零常数。
节点vi的集聚系数也可定义为Ci＝NiΔ／NiΛ。式中NiΔ 代表与节点vi相连的“三角形”数目，数值上就等于Mi ；NiΛ代表与节点vi相连的“三元组”数目，即节点vi与 其它两个节点都有连接，即“至少与其他两个分别认
对于有向网络来说，这ki个节点间可能存在的最大 弧数为ki（ki－1），此时vi的集聚系数Ci＝Mi／［ki（ki －1）］。
将该集聚系数对整个网络作平均，可得网络的平均 集聚系数为
10
2.2.2 集聚系数
显然，0≤C≤1。当C＝0，所有节点都是孤立节点， 没有边连接。当C＝1时，网络为所有节点两两之间都
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2.2.1 平均距离
2.距离与邻接矩阵的关系 定义
对于无权简单图来说，当l＝1时， 。容易证明无权 简单图邻接矩阵A的l次幂Al的元素 表示节点vi和vj之间 通过l条边连接的路径数。当l＝2时，容易推出
式中，U表示单位指示函数，即当x＞0，U（x）＝1； 否则U（x）＝0。当i＝j时，δij＝1；否则δij＝0。
度＜k＞
无向无权图邻接矩阵A的二次幂A2的对角元素 就 是节点vi的邻边数，即 。实际上，无向无权图邻接 矩阵A的第i行或第i列元素之和也是度。从而无向无权 网络的平均度就是A2对角线元素之和除以节点数，即
＜k＞＝tr（A2）／N。式中，tr（A2）表示矩阵A2的迹
，即对角线元素之和。 16
2.2.3 度分布
统计物理学在模型研究、演化机制与结构稳定性方 面的丰富的研究经验是统计物理学在复杂网络研究领 域得到广泛应用的原因；而图论与社会网络分析提供 的网络静态几何量及其分析方法是复杂网络研究的基 础。
复杂网络基础理论
第二章 网络拓扑结构与静态特征
第二章 网络拓扑结构与静态特征
2.1 引言 2.2 网络的基本静态几何特征 2.3 无向网络的静态特征 2.4 有向网络的静态特征 2.5 加权网络的静态特征 2.6 网络的其他静态特征 2.7 复杂网络分析软件
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2.1 引言
识”，数值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ就等于ki（ki－1）／2。
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2.2.2 集聚系数
如何根据无向无权简单图的邻接矩阵A来求节点vi的 集聚系数Ci？
显然，邻接矩阵二次幂A2的对角元素 表示的是与 节点vi相连的边数，也就是节点vi的度ki。而邻接矩阵三 次幂A3的对角元素 ＝∑（aij·ajl·ali）（j≠l）表示的是从 节点vi出发经过三条边回到节点vi的路径数，也就是与 节点vi相连的三角形数的两倍（正向走和反向走）。因 此，由集聚系数的定义可知
网络的直径D定义为所有距离dij中的最大值
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2.2.1 平均距离
平均距离（特征路径长度）L定义为所有节点对之 间距离的平均值，它描述了网络中节点间的平均分离 程度，即网络有多小，计算公式为
对于无向简单图来说，dij＝dji且dii＝0，则上式可简 化为
很多实际网络虽然节点数巨大，但平均距离却小得
惊人，这就是所谓的小世界效应。
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2.1 引言
静态特征指给定网络的微观量的统计分布或宏观统 计平均值。
在本章中我们将对网络的各种静态特征做一小结。 由于有向网络与加权网络有其特有的特征量，我们将 分开讨论无向、有向与加权网络。
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2.2 网络的基本静态几何特征
2.2.1 平均距离 2.2.2 集聚系数 2.2.3 度分布 2.2.4 实际网络的统计特征
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2.2.1 平均距离
1.网络的直径与平均距离 网络中的两节点vi和vj之间经历边数最少的一条简单
路径（经历的边各不相同），称为测地线。 测地线的边数dij称为两节点vi和vj之间的距离（或叫
测地线距离）。 1／dij称为节点vi和vj之间的效率，记为εij。通常效率
用来度量节点间的信息传递速度。当vi和vj之间没有路 径连通时，dij＝∞，而εij＝0，所以效率更适合度量非 全通网络。
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2.2.2 集聚系数
下面以节点v1的集聚系数计算为例：采用第一种定 义可知，节点v1与3个节点直接连接，而这3个节点之间 可能存在的最大边数为3（3－1）／2，而实际存在的
边数为1，由此可得C1＝2／［3（3－1）］＝1／3。
若采用第二种定义可知：与相连的三角形数为N1Δ ＝１，而与v1相连的三元组数为N1Λ＝3，故C1＝1／3。
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2.2.2 集聚系数
【例2.1】计算下面简单网络的直径、平均距离和各节 点的集聚系数。
解：首先计算出所有节点对的距离：d12＝1；d13＝1； d14＝2；d15＝1；d16＝2；d23＝1；d24＝1；d25＝2；d26 ＝2；d34＝2；d35＝2；d36＝1；d45＝3；d46＝1；d56＝3 。由此可得直径和平均距离为
也可以利用式
计算，因为邻接矩
阵A的前三次幂为
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2.2.2 集聚系数
故 ＝2， ＝3，从而 同理可得其他各节点的集聚系数为
C2＝1／3；C3＝1／3；C4＝0；C5＝0；C6＝0 由此很容易算出该网络的集聚系数
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2.2.3 度分布
1.节点的度 在网络中，节点vi的邻边数ki称为该节点vi的度。 对网络中所有节点的度求平均，可得到网络的平均
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2.2.1 平均距离
容易用数学归纳法证明 据此，若D为网络直径，则两节点vi和vj之间的距离dij可 以表示为
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2.2.2 集聚系数
首先来看节点的集聚系数定义。假设节点vi与ki个节 点直接连接，那么对于无向网络来说，这ki个节点间可 能存在的最大边数为ki（ki－1）／2，而实际存在的边 数为Mi，由此我们定义Ci＝2Mi／［ki（ki－1）］为节 点vi的集聚系数。
有边连接的完全图。对于完全随机网络来说，当节点 数很大时，C→O（1／N）。而许多大规模的实际网络 的集聚系数通常远小于1而大于O（1／N)。对于社会网 络来说，通常随着N→∞，集聚系数C→O（1），即趋 向一个非零常数。
节点vi的集聚系数也可定义为Ci＝NiΔ／NiΛ。式中NiΔ 代表与节点vi相连的“三角形”数目，数值上就等于Mi ；NiΛ代表与节点vi相连的“三元组”数目，即节点vi与 其它两个节点都有连接，即“至少与其他两个分别认
对于有向网络来说，这ki个节点间可能存在的最大 弧数为ki（ki－1），此时vi的集聚系数Ci＝Mi／［ki（ki －1）］。
将该集聚系数对整个网络作平均，可得网络的平均 集聚系数为
10
2.2.2 集聚系数
显然，0≤C≤1。当C＝0，所有节点都是孤立节点， 没有边连接。当C＝1时，网络为所有节点两两之间都
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2.2.1 平均距离
2.距离与邻接矩阵的关系 定义
对于无权简单图来说，当l＝1时， 。容易证明无权 简单图邻接矩阵A的l次幂Al的元素 表示节点vi和vj之间 通过l条边连接的路径数。当l＝2时，容易推出
式中，U表示单位指示函数，即当x＞0，U（x）＝1； 否则U（x）＝0。当i＝j时，δij＝1；否则δij＝0。
度＜k＞
无向无权图邻接矩阵A的二次幂A2的对角元素 就 是节点vi的邻边数，即 。实际上，无向无权图邻接 矩阵A的第i行或第i列元素之和也是度。从而无向无权 网络的平均度就是A2对角线元素之和除以节点数，即
＜k＞＝tr（A2）／N。式中，tr（A2）表示矩阵A2的迹
，即对角线元素之和。 16
2.2.3 度分布