2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(十四)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（十四）
文科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内，复数1i
i
+对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】A 【解析】
()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222-+===+++-，对应点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
，i 1i ∴+在第一象限，故选A. 2.已知集合{}1,3A =，{}
2
0B x x mx n =-+=，若A
B A =，则n =（ ）
A. 4
B. -4
C. 3
D. -3
【答案】C 【解析】
由题知1和3是方程20x mx n -+=的两根，故可求n . 【详解】因为A
B A =，所以A B ⊆，所以1和3是方程20x mx n -+=的两根，
由韦达定理得133n =⨯=. 故选：C
【点睛】本题主要考查了集合的运算，子集的概念，属于基础题. 3.“3
cos 2
α=
”是“1cos22α=”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】 由1cos22α=
可得3
cos α=±，再由充要条件的概念可判定结果. 【详解】由1cos22α=
可得2
12cos 12α-=，解得：3cos α=±，
所以“3
cos 2
α=”是“1cos22α=”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查了二倍角公式，充要条件的判定.解题的关键是对充要条件概念的理解.
4.已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中生需抽取的20名学生，则抽取的学生总人数为（ ）
A. 40
B. 60
C. 120
D. 360
【答案】B
【分析】
计算分层抽样的抽取比例，求出所抽取的学生人数即可. 【详解】由题得抽取的学生总人数为()20
900054007200607200
++⨯=人. 故选：B
【点睛】本题主要考查了分层抽样的
计算，是基础题. 5.在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足1
2BD DC =，则AD =（ ） A.
1233
+b c B.
21
33
b c + C. 4133b c - D. 1122
b c +
【答案】A 【解析】 【分析】
由条件即得(
)
1112
3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+
=+-=+. 【详解】12BD DC =，1
3
BD BC ∴=，
故有(
)
1112
3333
AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+
-=+. 故选：A
【点睛】本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题.
6.圆2266x y x y +=+上到直线 2 0x y +-=的距离为1的点的个数为（ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
由圆的方程确定出半径和圆心坐标，求出圆心到已知直线的距离，即可判断圆上到直线 2 0x y +-=的距离为1的点的个数.
【详解】由2
2
66x y x y +=+得()()2
2
3318x y -+-=，即圆心为()
3,3，半径为
则圆心到直线 2 0x y +-=
的距离d =
=
所以圆2
2
66x y x y +=+上到直线 2 0x y +-=的距离为1的点的个数为4. 故选：D
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，是基础题.
7.已知方程sin cos x x a +=在区间[]0,2π上恰有三个解，则a =（ ） A.
2 B. 1 C.
2 D. 22
【答案】B 【解析】 【分析】 由题可转化为2sin 4y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭与y a =在区间[]0,2π上仅有三个交点，结合图象即可得出结果.
【详解】sin cos 2sin 4x x x π⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，
∴由题可得2sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭与y a =在区间[]0,2π上仅有三个交点，如图：
得1a =. 故选：B
【点睛】本题主要考查了三角方程的解，函数图象的交点，考查了转化与化归和数形结合的思想.
8.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，且()10f -=，则(21)()0
x
f x -⋅>的解集为（ ） A. ()
(),11,-∞-+∞ B. ()()1,00,1-
C. ()(),10,1-∞-⋃
D. ()()1,01,-⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可得不等式的解集. 【详解】
函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，且()10f -=，
()f x ∴在(),0-∞上单调递减，且()10f =，
显然0x =不是(21)()0x f x -⋅>的解，故此不等式可转化为：
()()21001x
f x f ⎧->⎪⎨
>=⎪⎩或()
()21001x f x f ⎧-<⎪
⎨<=-⎪⎩， 解得：1x >或10x -<<. 故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性，考查了学生转化问题的能力.
9.某兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中选2人参加公益活动，则至少选中一名女生的概率为（ ） A.
1
10
B.
310
C.
710
D.
910
【答案】C 【解析】 【分析】
由题知从此兴趣小组中任选2人参加公益活动共有2510C =个结果，至少选中一名女生有211
2327C C C +=个
结果，由此能求出至少选中一名女生的概率.
【详解】由题知从此兴趣小组中任选2人参加公益活动共有2
510C =个结果，至少选中一名女生有
2
112
3
2
7C C C +=个结果，所以至少选中一名女生的概率为
211232257
10C C C C +=. 故选：C
【点睛】本题主要考查了组合的应用，古典概率的计算，考查了学生分类讨论的思想. 10.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）
A.
16
B.
13
C.
12
D.
56
【答案】D 【解析】 【分析】
由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，如图：
运用体积公式计算可得.
【详解】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，如图：
所以该几何体的体积为：115111326
-⨯⨯⨯=. 故选：D
【点睛】本题主要考查了三视图，几何体体积的计算.解题的关键是能将三视图还原成几何体，考查学生的空间想象能力.
11.在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:4C y x =的焦点，M 在C 上，直线MN 与x 轴平行且交y 轴于点N .若ONM ∠的角平分线恰好过MF 的中点，则MF =（ ） A. 1 B.
2
C. 2
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
由题知焦点()1,0F ，设MF 的中点为P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，设MF t =，由抛物线定义与几
何图形性质可得1
2，t MN t MP =-=，2
NP t =，在MNP ∆中，由余弦定理得：()()2
2
222121cos 45222t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，解出t 即得结果. 【详解】
由题知焦点()1,0F ，设MF 的中点为P ，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，
设MF t =，则由抛物线定义可知：1
2，t MN t MP =-=，()122
t
PQ MN OF =+=， 又NP 为ONM ∠的角平分线，所以2
2
NP =
， 在MNP ∆中，由余弦定理得：()()2
2
222121cos 45222t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 解得：2t =，所以2MF =. 故选：D
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.
12.已知三次函数3
22()3(0)3
x f x ax a x a =+->的导函数为()f x '，
若方程[()]0f f x '=有四个实数根，则实数a 的范围为（ ） A. 1353⎛ ⎝⎭
B. 19,95⎛⎫
⎪⎝⎭ C. 1350,,3⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
D. 190,,95⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】
令()0f x '=得3x a =-或x a =，可得()f x 在(),3a -∞-上单调递增，在()3,a a -单调递减，在(),a +∞上单调递增，算出()f x 的极值，又方程[()]0f f x '=有四个实数根可转化为方程()3f x a =-，或方程
()f x a =共有四个实数根，结合函数图象列出a 满足的条件即可.
【详解】
()()()22233f x x ax a x a x a '=+-=+-，
∴由()0f x '=得3x a =-或x a =，又0a >，
所以()f x 在(),3a -∞-上单调递增，在()3,a a -单调递减，在(),a +∞上单调递增，
()f x ∴的极大值为()339f a a -=，()f x 的极小值为()35
3
f a a =-；
又[()]0f f x '=有四个实数根，故方程()3f x a =-，或方程()f x a =共有四个实数根，
∴333
95393a a a a a ⎧<⎪⎨-<-<⎪⎩或3
33533593
a a a a a ⎧->-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩或339533a a a a ⎧=⎪⎨-=-⎪
⎩， 解得：
135
3a <<
. 故选：A
【点睛】本题主要考查了导数的应用，考查了函数与方程的思想，数形结合，转化与化归的思想.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x ，y 满足约束条件220,
10,0,x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
则32z x y =+的最小值为_______________
【答案】-18
【分析】
先作出不等式组表示的可行域，由目标函数32z x y =+的几何意义结合图形即可求出z 的最小值. 【详解】不等式组表示的可行域如图：
由220
10
x y x y --=⎧⎨
-+=⎩得()4,3A --，
由图知直线32z x y =+过点()4,3A --时，()()min 342318z =⨯-+⨯-=-. 故答案为：-18
【点睛】本题主要考查线性规划，考查了学生的作图能力，考查了数形结合的思想.
14.在正方体，1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，则异面直线1D E ，1A B 所成角的正弦值为___________________. 【答案】
13
【解析】 【分析】
由异面直线所成角的定义，可得1ED C ∠为异面直线1D E ，1A B 所成角，解三角形即可得异面直线1D E ，
1A B 所成角的正弦值.
【详解】
连1D C ，因为11//A B D C ，所以1ED C ∠为异面直线1D E ，1A B 所成角， 设正方体的棱长为2，
在1Rt D EC ∆
中，1
113，DC CE D E ===， 11sin 3ED C ∴∠=.
故答案为：1
3
【点睛】本题主要考查了利用平移法求异面直线所成角，考查了学生的空间想象能力.
15.现有三张卡片每张卡片上分别写着北京、上海、广州三个城市中的两个且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观.
甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去广州”. 乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去上海” 则甲、丙同去的城市为____________________ 【答案】上海 【解析】
分析】
由题知三张卡片共有（北京，上海），（北京，广州），（上海，广州）这三种情况，通过分析即可得出结果. 【详解】由题知三张卡片共有（北京，上海），（北京，广州），（上海，广州）这三种情况，根据甲的说法可知丙选的卡片为（北京，上海），又根据乙的说法可知乙选的卡片为（北京，广州），则甲为（上海，广州），所以甲、丙同去的城市为上海. 故答案为：上海
【点睛】本题主要考查了组合的应用，考查了学生的逻辑推理能力.
16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=，D 是AC 边上一点，2CD AD =，且BD BC ⊥，BD =ABC ∆的面积为_______________.
【解析】 【分析】
设ACB α∠=，根据题意表示出AD =，60BAD α∠=-，由正弦定理得：()
sin 30sin 60AD BD α=-解出30α=，由三角形面积公式求出ABC ∆的面积.
【详解】
设ACB α∠=，因为BD BC ⊥，3BD =3
sin CD α
=， 又2CD AD =，120ABC ∠=，
在ADB ∆中，3
AD =
，60BAD α∠=-，30ABD ∠=，
由正弦定理得：()
sin 30sin 60AD BD
α=-，即得()sin sin 60αα=-，
解得：30α=，则333，AC BC ==， 所以ABC ∆的面积为
193
333sin 302⨯⨯=
93
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生运算求解能力.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且12a =，312S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令21n a
n b =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T
【答案】（1）2n a n =；（2）144
3
n n T n +-=+
【解析】 【分析】
（1）利用3S 求解2a ，结合1a 可求出公差d ，从而写出n a ； （2）求出41n n
b =+，采用分组求和法求出n T .
【详解】（1）
31232312S a a a a =++==，24a ∴=，
又12a =，得公差212d a a =-=，2n a n ∴=； （2）22
141n n
n b =+=+，
则()()()()2
2
4
4441414144414……n n
n
n T n n -⋅=++++++=++++=+-
1443
n n +-=+.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，等比数列的求和，考查了学生的运算求解能力.
18.如图所示，已知多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，ACDE 为正四面体，且//BF DE .
（1）求证：//CE 平面ABF ； （2）求二面角C AB F
--的
余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）1
3
- 【解析】 【分析】
（1）通过证明平面//CDE 平面ABF 来证明//CE 平面ABF ；
（2）如图，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法计算二面角C AB F --的余弦值.
【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形， 所以//AB CD ， 又AB
平面ABF ，CD ⊄平面ABF ，所以//CD 平面ABF ，
同理可得//DE 平面ABF ，
因为,CD DE ⊂平面CDE ，CD DE D =，
所以平面//CDE 平面ABF
因
CE ⊂平面CDE ，所以//CE 平面ABF .
（2）以菱形ABCD 的两条对角线所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示：
设2AB =，则(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)B C D ，
因为ACDE 为正四面体，所以点E 坐标为32633⎛- ⎝⎭， 2326(3,1,0),33DC DE ⎛== ⎝⎭
， 因为平面//CDE 平面ABF ，
所以平面CDE 与平面ABF 的法向量相同. 设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则
00DC n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即302326
0x y x z +=+= 可取21,3,2n ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭. 可取()0,0,1m =为平面ABC 的法向量.
所以2
12cos ,3||
32
m n
m n m n -
⋅<>=
==-‖， 所以二面角C AB F --的余弦值为13
-.
【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的证明，二面角大小的求解，考查了运用空间向量来求解二面角问题，考查了学生的空间想象和运算求解能力.
19.科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.为了比较注射A ，B 两种疫苗后产生的抗体情况，选200只小鼠做实验，将这200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中一组注射疫苗A ，
另一组注射疫苗B.下表1和表2分别是注射疫苗A 和疫苗B 后的实验结果. 表1：注射疫苗A 后产生抗体参数的频率分布表 抗体参数
[)65,70
[)70,75
[)75,80
[)80,85
频数 30
40
20
10
表2：注射疫苗B 后产生抗体参数的频率分布表 抗体参数 [)65,70
[)70,75
[)75,80
[)80,85
[)85,90
频数 10
25
20
30
15
（1）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种疫苗后抗体参数的中位数大小；
（2）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射疫苗A 后的抗体参数与注射疫苗B 后的抗体参数有差异”. 表3：
抗体参数小于
75
抗体参数不小于
75 合计
注射疫苗A a = b = 注射疫苗B c = d = 合计
n =
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
()2P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）作图见解析；注射疫苗A 后抗体参数的中位数小于注射疫苗B 后抗体参数的中位数（2）填表见解析；有99.9%的把握认为“注射疫苗A 后的抗体参数与注射疫苗B 后的抗体参数有差异” 【解析】 【分析】
（1）由题中数据完成频率分布直方图，可由图知射疫苗A 后抗体参数的中位数小于注射疫苗B 后抗体参数的中位数；
（2）完成列联表，代入算出2K 的
观测值，从而判断有99.9%的把握认为“注射疫苗A 后的抗体参数与注
射疫苗B 后的抗体参数有差异”. 【详解】解 （1）
图1注射疫苗A 后产生抗体参数的频率分布直方图图2注射疫苗B 后产生抗体参数的频率分布直方图 可以看出注射疫苗A 后的抗体参数的中位数在70至75之间，而注射疫苗B 后的抗体参数的中位数在75至80之间，所以注射疫苗A 后抗体参数的中位数小于注射疫苗B 后抗体参数的中位数.
（若考生计算两种抗体参数中位数的估计值分别为72.50，78.75然后比较大小，也应给分.） （2）
抗体参数小于
75
抗体参数不小于75
合计 注射疫苗A 75a = 30b =
100 注射疫苗B
35c = 65d =
100
2
2
200(70653530)24.5610010010595
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，
由于210.828K >，所以有99.9%的把握认为“注射疫苗A 后的抗体参数与注射疫苗B 后的抗体参数有差异”.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，数字特征以及独立性检验的基本思想及应用，考查了学生的数据分析和运算求解能力.
20.已知椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，左，右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △是面积为4的
直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过1F 作直线与椭圆交于P ，Q 两点，求2PQF 面积的最大值.
【答案】（1）22
184
x y +=（2）【解析】 【分析】 （1）由题得4
bc b c =⎧⎨
=⎩
解出b c ，，即得椭圆的标准方程；
（2）当直线PQ 斜率不存在时，易知2PQF S ∆=PQ 的方程为
()2y k x =+，联立椭圆标准方程，利用韦达定理及弦长公式表示出||PQ ，用点到直线距离公式算出点
()
22,0F 到直线():2PQ y k x =+的距离d =
，则2PQF ∆的面积
2
1||212k S PQ d k
=⋅=+，即可求出最大值. 【详解】解：
（1）由已知可得4bc b c =⎧⎨=⎩
，
解得2b =，2c =.
所以椭圆的标准方程方程为22
184
x y +=.
（2）设()11,P x y ，()22,Q x y . ①当直线PQ 斜率k 不存在时
(P -
，(2,Q -，2PQF ∆
的面积S =②当直线PQ 斜率k 存在时
可设直线PQ 的方程为()2y k x =+，联立方程22
184
(2)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
， 消元得
()2
2
22128880k x
k x k +++-=，
所以2122812k x x k -+=+，2122
88
12k x x k
-=+. 所以
||PQ =
=
=
=
)22
112k k
+=
+，
点()22,0F 到直线():2PQ
y k x =+的距离d =
.
所以2PQF ∆
的面积2
1|||212k S PQ d k
=⋅=+
==
显然斜率0k ≠，若0k =时，2,,P Q F 共线，不能形成2PQF .
所以2
12
(1,)k +∈+∞，(
S ∈.
综上所述，(
S ∈.
所以2PQF
面积的最大值为【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的相关知识，考查了弦长的计算，面积的最值问题，考查了学生的运算求解能力.
21.设曲线22()1x f x e ax bx =---在()()
1,1f --处的切线方程为2230.x e y -+= （1）求a ，b 的值；
（2）求证：()f x 有唯一极大值点0x ，且
041
()44
e f x e -<<. 【答案】（1）1a =，2b =（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由题知：()()221121f e
f e ⎧
-=⎪⎪⎨⎪-=
⎩
'⎪，解方程组即得a ，b 的值；
（2）求出
()()，f x f x '''，利用导数与零点存在性定理判断出()f x 有唯一极大值点0x ，且有
()0200012e 220,2
x f x x x '=--=>-，则()22
000000121f x x x x x x =+---=--求其范围即可.
【详解】解：
（1）函数()f x 的导函数()222x
f x e
ax b '=--，
由题容易知()2
2
2
122f e a b e -'-=+-=
，① ()221
11f e a b e
--=-+-=
，② 解得1a =，2b =. （2）由（1）知()2221x
f x e
x x =---，()2222x f x e x '=--，()242x f x e ''=-，
由()y f x ''=单调递增，且()020f ''=>，14
202f e ⎛⎫
''-=-< ⎪⎝⎭，
知1,02m ⎛⎫
∃∈-
⎪⎝⎭
，使得()0f m ''=. 所以()f x '在(),m -∞单调递减，在(),m +∞单调递增. 因为()00f '=，所以()0f m '<.
因为1
12102f e -⎛⎫'-
=-> ⎪⎝⎭
，()0f m '<， 所以01,2x m ⎛⎫
∃∈-
⎪⎝⎭
，使得()00f x '=. 所以当()0,x x ∈-∞，()0f x '>，函数()f x 在()0,x -∞单调递增， 当()0,0x x ∈，()0f x '<，函数()f x 在()0,0x 单调递减， 当()0,x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+单调递增. 所以()f x 有唯一极大值点0x ，
且()0200012e 220,2
x
f x x x '=--=>-
. 所以()2
0000121f x x x x =+---
2
2
00111244x x x ⎛
⎫=--=-++< ⎪⎝
⎭，
且()0111424
4e
f x f e e -⎛⎫>-=-=
⎪⎝⎭. 综上所述，
()041
44
e f x e -<<. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，运用导数判断函数的单调性及求极值，零点存在性定理的应用，综合考查了学生对函数知识的运用. 22.（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos 2sin 10ρθρθ-+=，曲线C
的参数方程为2cos x a
y a
=⎧⎪⎨=⎪⎩（a 为参数）.
（1）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；
（2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，已知点(1,1)M ，求||||MA MB ⋅的值. 【答案】（1
2）25
16
【解析】 【分析】
（1）化直线的极坐标方程为普通方程，由点线距离公式求得距离最大值，（2）化直线l 的参数方程
11x y ⎧=+
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数），与曲线C 的普通方程联立得t 的一元二次方程，由t 的几何意义和韦达定理求MA MB ⋅的值即可
【详解】（1）设曲线C
上任意一点()
N 2cos θθ 直线l :x 2y 10-+=
d =
=
≤ ∴点N 到直线l
（2）直线l
的参数方程15
1x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
曲线22
x y C :143
+=
联系方程组，消元
216t t 505+-= 两根为1t ，2t 由t 的几何意义，1MA t =，2MB t =-
MA MB ∴⋅= 1225
t t 16
-=
【点睛】本题考查直线参数方程，椭圆参数方程，极坐标方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，熟记t 的几何意义，准确计算是关键，是中档题 23.已知函数()1 21f x x x =++-. （1）求不等式()3f x ≤的解集；
（2）若函数() y f x =的图象的最低点为(),m n ，正数a ，b 满足 2ma nb +=，求
21
a b
+的最小值. 【答案】（1）40,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（2）4
【解析】
【分析】
（1）运用零点分段法解此不等式即可；
（2）将函数()f x 转化为分段函数，可得图象的最低点为()1,2，所以22a b +=，利用基本不等式可求21a b
+的最小值. 【详解】解：
（1）当1x ≤-时，()313f x x =-+≤， 得23
x ≥-，所以x ∈∅， 当11x -<<时，()33f x x =-+≤，得0x ≥，
所以01x ≤<，
当1x ≥时，()313f x x =-≤，得43x ≤
， 所以413
x ≤≤， 综上所述，不等式的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. （2）由()31,13,1131,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩
，知函数图象的最低点为()1,2，
即1m =，2n =，所以22a b +=.
因为0a >，0b >，
21121(2)2a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
1414(4422
b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当21a b ==时等号成立， 所以21a b
+的最小值为4. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，基本不等式的应用.运用零点分段法求解绝对值不等式是常用方法，考查了学生的分类讨论的思想.。