3.2一般形式的柯西不等式(优秀经典公开课比赛课件)
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其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反 （即两个向量共线）时成立．
定理 3：（三角形不等式）设 x1, y1, x2 , y2 , x3 , y3 为任意实数，则： (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 (x1 x3 )2 ( y1 y3 )2
其中等号当且仅当 , 共线时等号成立；即 0 ,或存在 一个实数 k ,使得 ai kbi ( i 1, 2,3 )时，等号成立.
问题 5：你会用柯西不等式证明下面的不等式吗？ 等号成立的条件呢？
（1） a b ≥ ab(a,b R ) 2
（2） a2 b2 c2 ≥ 1 (a b c)2 3
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
abc
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
a
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
解 : a b 1,
∴ 1 1 (a b)( 1 1) ≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
ab
a
b
即 a b 1 时， 1 1 取得最小值 4 . 2 ab
问题 4:类比二维空间的柯西不等式，你能 提出三维柯西不等式吗？会证明吗？
猜想：
设xi , xi R(i 1, 2,3) ，则
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
∴(a2 b2 c2 )2 (ab bc ca)2,
∴a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca
∴a2 b2 c2 ab bc ca 等号成立时当且仅当a b c
问题 6:
已知 a,b,c R,且a b c 1 ,你能求出 1 1 1 的最小值吗？
证明(2)
(a2 b2 c2 )(12 12 12 )
(a 1 b 1 c 1)2 (a b c)2
a2 b2 c2 1 (a b c)2 3
等号成立时当且仅当a b c
证明(3) (a2 b2 c2 )(b2 c2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ) (ab bc ca)2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
解疑：
令 (x1, x2, x3), ( y1, y2, y3) , 由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
(x12 x22 x32 ) ( y12 y22 y32 ) ≥ x1y1 x2 y2 x3 y3 , ∴(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2 ,
(3) a2 b2 c2 ≥ ab bc ca
证明(1) a 0,b 0,
(a b)(a b) ( ab ab)2 (2 ab)2,
∴(a b)2 ≥(2 ab )2 ,
∴a b ≥ 2 ab
即: a b ≥ ab 2
等号成立时当且仅当a b
∴a2 b2 ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
(2)证明: ∵(a2 b2 )(12 12 ) ≥ (a b)2,
∴2(a2 b2 ) (a b)2
∴a2 b2 ≥ 1 (a b)2 2
等号成立时当且仅当a b
问题 3:已知 a,b R, 且a b 1 ,你能求出 1 1 的最小值吗？ ab
1、了解柯西不等式及证明方法； 2、初步学会用柯西不等式分析解决一些简单问 题。
探究新知：
定理 1：（二维柯西不等式）
设 a,b,c, d 均为实数，则 (a 2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 ， 等号当且仅当 ad bc 时成立．
定理 2：（向量形式）
设 ， 为平面上的两个向量，则 ≥ ，
其中等号当且仅当存在实数 k ,使得 y1 kx1, y2 kx2, , yn kxn
时成立.
证明： 构造二次函数：
f ( x) ( x1x y1)2 ( x2 x y2 )2
(xn x yn )2 ,则
f (x) (x12 x22 xn2 )x2 2(x1 y1 x2 y2 xn yn )x ( y12 y22 yn2 )
定理 3：（三角形不等式）设 x1, y1, x2 , y2 , x3 , y3 为任意实数，则： (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (x2 x3 )2 ( y2 y3 )2 (x1 x3 )2 ( y1 y3 )2
其中等号当且仅当 , 共线时等号成立；即 0 ,或存在 一个实数 k ,使得 ai kbi ( i 1, 2,3 )时，等号成立.
问题 5：你会用柯西不等式证明下面的不等式吗？ 等号成立的条件呢？
（1） a b ≥ ab(a,b R ) 2
（2） a2 b2 c2 ≥ 1 (a b c)2 3
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
abc
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9
a
b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
解 : a b 1,
∴ 1 1 (a b)( 1 1) ≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
ab
a
b
即 a b 1 时， 1 1 取得最小值 4 . 2 ab
问题 4:类比二维空间的柯西不等式，你能 提出三维柯西不等式吗？会证明吗？
猜想：
设xi , xi R(i 1, 2,3) ，则
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
∴(a2 b2 c2 )2 (ab bc ca)2,
∴a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca
∴a2 b2 c2 ab bc ca 等号成立时当且仅当a b c
问题 6:
已知 a,b,c R,且a b c 1 ,你能求出 1 1 1 的最小值吗？
证明(2)
(a2 b2 c2 )(12 12 12 )
(a 1 b 1 c 1)2 (a b c)2
a2 b2 c2 1 (a b c)2 3
等号成立时当且仅当a b c
证明(3) (a2 b2 c2 )(b2 c2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ) (ab bc ca)2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2
解疑：
令 (x1, x2, x3), ( y1, y2, y3) , 由于空间向量中 ≥ 也成立 .所以
(x12 x22 x32 ) ( y12 y22 y32 ) ≥ x1y1 x2 y2 x3 y3 , ∴(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2 ,
(3) a2 b2 c2 ≥ ab bc ca
证明(1) a 0,b 0,
(a b)(a b) ( ab ab)2 (2 ab)2,
∴(a b)2 ≥(2 ab )2 ,
∴a b ≥ 2 ab
即: a b ≥ ab 2
等号成立时当且仅当a b
∴a2 b2 ≥ 2ab
等号成立时当且仅当a b
(2)证明: ∵(a2 b2 )(12 12 ) ≥ (a b)2,
∴2(a2 b2 ) (a b)2
∴a2 b2 ≥ 1 (a b)2 2
等号成立时当且仅当a b
问题 3:已知 a,b R, 且a b 1 ,你能求出 1 1 的最小值吗？ ab
1、了解柯西不等式及证明方法； 2、初步学会用柯西不等式分析解决一些简单问 题。
探究新知：
定理 1：（二维柯西不等式）
设 a,b,c, d 均为实数，则 (a 2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd)2 ， 等号当且仅当 ad bc 时成立．
定理 2：（向量形式）
设 ， 为平面上的两个向量，则 ≥ ，
其中等号当且仅当存在实数 k ,使得 y1 kx1, y2 kx2, , yn kxn
时成立.
证明： 构造二次函数：
f ( x) ( x1x y1)2 ( x2 x y2 )2
(xn x yn )2 ,则
f (x) (x12 x22 xn2 )x2 2(x1 y1 x2 y2 xn yn )x ( y12 y22 yn2 )