数学模型1

5. 对模型的了解程度
数 学 建 模 的 过 程
实际问题
模型假设
模型建立
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
第二讲 初等数学模型
例1. 椅子在不平的地面上放稳的数学讨论.
将一把椅子放在不平的地面上往往放不稳. 我
们可以通过稍稍挪动的办法将它放稳.
假设 1) 椅子的四条腿一样长；四 条腿着地点为几何点；四脚 连线为正方形. 2) 地面是连续曲面，即地面 高度连续变化.
·
A
B
·
r l
H θ C· θ
' B ·
L
例3. 确定性存贮模型.
例
工厂须定期订购并贮存一批原材料供生产之用 商店须成批采购并贮存一定量的商品以备销售
贮存是为了解决供应 (生产) 与需求 (消费) 之间 不协调的一种措施。 供应 (生产)
贮存
需求 (消费)
问题：如何最合理、最经济地进行贮存？
存贮问题 一般地，存贮量因需求而减少，因补充而增加。 问题：多长时间补充一次，每次补充多少数量？ 1）贮存费 2）订货费 3）货款 4）缺货损失费 存贮策略
B
y
C O

A
x
D
3) 相对于椅脚间距和椅腿长度地面是平坦的.
例2. 四足动物的身长和体重. 假设
1) 不考虑头尾，将动物躯干看作圆柱体； 记质量 m，长度 l，直径 d，断面积 S，体重 f 2) 进一步将圆柱形躯干类比为支撑在四肢上的弹 性梁； l 弹性梁在 f 作用下的最 S d 大下垂度为 为 3) 对每一种动物， l 常数. f
例2. 血管分支问题. 一条粗血管分成两条细血管，研究分支点处粗细 血管的半径的比例和分岔角度。 假设 1）分支点附近三条血管在一平面内，有一对称轴； 2）血液在血管中的流动，视为黏性流体在刚性管 道中的运动； 3）血液对血管壁提供营养的能量随管壁内表面积 及管壁体积的增加而增加；管壁体积取决于管壁 的厚度，而管壁厚度近似地与血管半径成正比。
4.0 5105
6.2 106
8.0 107
不同 V0, u下的每立方米水的成本 u V0 107 106 5105 3.0 0.0723 78.9032 0.2251 3.5 0.0683 9.8220 0.2031 4.0 0.0649 6.2138 0.1834 4.5 0.0663 5.4647 0.1842 5.0 0.0658 4.5102 0.1790
>4000 0.30 0.45 0.60
1 3 5
每千米燃料消耗（英镑）
冰山体积(m3) 船速(km/h)
105 8.4 10.8 13.2
106 10.5 13.5 16.5
107 12.6 16.2 19.8
1 3 5
三种拖船的日租金和最大运量 船 型 小 中 大
日租金(英镑) 最大运量(m3)
例 甲、乙两地相距750千米，轮船从甲到乙
顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小 时.问轮船的速度是多少？
解 用 x 和 y 分别表示船速和水的流速，则得
30( x y) 750, 50( x y) 750,
解得 x=20，y=5. 故船速为每小时20千米.
数学模型的分类 1. 建模的数学方法 2. 模型的应用领域 3. 模型的表现特性 4. 建立模型的目的
模型 (Model)
航模比赛
欧洲A400M军用运输机接受风洞试验
NF-3低速风洞翼型实验
三维飞行仿真系统
固 定 翼 飞 机 模 拟 软 件
FLSIM
直观模型 形象模型 物理模型
模型
抽象模型
百度文库
符号模型
思维模型
数学模型
数学模型
对于现实世界的一个对象，为了一个特定 的研究目的，根据其内在规律，做出一些必要的简化假设， 运用适当的数学工具所得到的一个数学结构。
费用
设订货周期 T，订货量 Q，
目标：使总费用 C( T, Q ) 达到最小。
模型Ⅰ ：确定性需求，不允许缺货 假设 1）需求稳定，每天需货量为 R； 2）每次订货量不变，订货费为 a； 3）每天每吨货物的贮存费为 k； 4）货物的单价不变； 5）相对于需求，供给能力无限大；不允许 缺货，当存贮量降到零时可立刻得到补充.
T

2a 2 Ra , Q Rk k
经济订购批量（Economic Ordering Quantity）公式
模型Ⅱ ：确定性需求，允许缺货 假设 1）需求稳定，每天需货量为 R； 2）每次订货量不变，订货费为 a； 3）每天每吨货物的贮存费为 k； 4）货物的单价不变； 5）相对于需求，供给能力无限大；允许 缺货，缺货每天每吨的损失费为l.
假设：
1.拖船航行中船速不变，航行中不考虑天气等因素 影响. 2.冰山形状为球形，球面各点融化速率相同. 3. 1m3的冰 0.85m3的淡水.
建模：
运输成本 ＝燃料消耗费用＋租金费用
冰山融化速率（m/天）
距南极距离(km) 船速(km/h)
0 0 0 0
1000 0.10 0.15 0.20
一门科学只有当它成功地应用数学时，才算达到了 真正完善的地步。 —— 卡尔.马克思 纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把 主要钥匙。 ——联合国教科文组织1992年里约热内卢宣言 “高技术”本质上是一种数学技术。 ——（美）E.David
第一讲 建立数学模型
原型 (Prototype)
歼击机（歼八）模型
例3. 双层玻璃窗的功效. 假设 1)窗户密封性能好，热量 的对流忽略不计，热量散 内 失只独立地考虑热传导， 不考虑热辐射； 2)室内外温度 T1 和 T2 保 持不变，热传导过程为稳 定状态； 内 3)玻璃材质均匀，热传导 系数为常数。
墙
T1 d Ta Tb
T2
d
l
外
热传导方向
墙
T1 2d T2
外
热传导方向
Q2 1 , Q1 8h 1
Q2/Q1 0.06
l h d
• •
2
4
0.03 0.02
O
•
6 h
热量损失比Q2/Q1与h的关系图
第三讲 简单的优化模型
例1. 冰山的运输.
波斯湾地区目前主要采用海水淡化方法提供国民用水， 成本大约为每立方米淡水0.1英镑. 有专家提出从相距 9600 千米的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水. 从 经济角度研究其可行性. 问题：比较运送冰山获得淡水所需的成本与海水淡化 的成本. 考虑因素：冰山运输成本：拖船租金、燃料消耗、冰 山运输中的融化损失. 选择拖船船型、船速，使冰山运输有最低成本，以此 最低成本与海水淡化成本作比较.