线面角、面面角ppt课件

3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影
是 底 面 Rt△ABC 斜 边 AC 的 中 点 O ， 若 PB=AB=1 ，
BC= ，求二面角P-A2 B-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE B C12 OE⊥AB ，因此 PE⊥AB
从一条直线引出的两个半平面所组成的图
形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面。
半
半
平 面
l
平 面
棱l
.
二面角的画法与记法
2、二面角的记法： 面1－棱－面2
（1）、以直线 l为棱
，以, 为半平面的
二面角记为：l
（2）、以直线AB 为棱，
以 , 为半平面的二面角
记为：AB
D1
C1
分析：找出AD1在平 面A1D1CB内的射源自文库。
A1
B1
O
OA
1 2
A D1
D
C
AD1O300.
A
B
求直线（或斜线）与平面所成的角关键
是确定斜线在平面的射影
其步骤是：一找，. 二证，三求。
半平面及二面角的定义
1、半平面： 平面内的一条直线，把这个平面分成
两部分，每一部分都叫做半平面。
2、二面角：
l
B
量的平，行一，个二并面且角方的平向面相角同多大，，那就么
O
B A
说这这（个两3）二个平面角面角是角相多是等少直度角。的的二二面面角角。叫做
直二面角。
（4）二面角的取值范围一般规定
为（0,π）。
.
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明此平面角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
N ∠MOM'就是MN
与平面β所成的角 N
M O M' β
移出图 N'
M6
4
1
O
N'
M'
解：当M，N在平面同则时有
OM 1
OM=2
sinMOM' 1 2
OM 6 4
cosMOM' 3.
.
2
二面角
如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、 β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º ∠BPM=∠BPN=45º ， 求此二面角的度数。
∴∠COD=90º
P aO
因此，二面角的度数为90º
.
AE B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE ，12 PB=1，PE
3 2
O
C
在Rt△POE中， OE ，22 PO
1 2
∴ tanPEO 2
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
.
2 2
线段MN长6，M到平面β的距离是1，N到平面 β的距离是4，求MN与平面β所成角的余弦值。
二面角的平面角必须满足：
注 1）角的顶点在棱上
意 2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
A
O B
.
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二面角的 平面角的定义、范围及作法
思考: AO的B 大小与点O在L上的位置
有关吗?为什么?
AOB= A O B
O
A
注关，:（等只1）角与二二定面面理角角的：的平张如面角果角大与一小点有个的关角位。置的无 两（边2）和二面另角一是个用它角的的平两面角边来分度别
1、平面的斜线和平面所成的角
平面的一条斜线 和它在平面上的射影 所成的锐角，叫做这 条直线和这个平面所 成的角。
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们 所成的角是0 的角。
直线和平面所成角的范围是[0，90]。
.
例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求AD1 和平面A1D1CB所成的角。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D Nβ
∴CO=a， DO= a ， PC
又∵∠MPN=60º
a ，2PD
a 2
C
∴CD=PC a 2
l
B
A
.
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
定义 从一点出发的两条射线 所组成的图形叫做角。
构成
边—点—边 （顶点）
表示法
∠AOB
.
二面角
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角。
面—直线—面 （棱）
二面角—l— 或二面角—AB—
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
.
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二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
B
2、已知P为二面角
内一点，且P到两个半
β
平面的距离都等于P到
B
p
棱的距离的一半，则这
个二面角的度数是多少？
O
α A
60º
ι
.