【电子电路课件】第八章 相量法

def
1 T
∫
T
0
i 2 ( t )dt
有效值也称均 有效值也称均方根值 (root-mean-square，简记为 rms。) ， 。
电压有效值： 电压有效值：
U=
def
1 T
∫
T
0
u 2 ( t )dt
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2. 正弦电流、电压的有效值： 正弦电流、电压的有效值： 设 i(t)=Imsin(ω t + ψ )
•
U
ψu
ψi
I
•
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相量运算： 四. 相量运算： 1、 同频率正弦量相加减： 、 同频率正弦量相加减：
u1 ( t ) = 2 U 1 sin(ωt + ψ 1 ) = Im( 2 U 1 e jω t ) u2 ( t ) = 2 U 2 sin(ωt + ψ 2 ) = Im( 2 U 2 e jω t )
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例：u1 ( t ) = 6 2sin( 314t + 30 ) V
u2 ( t ) = 4 2sin( 314t + 60o ) V
ɺ U 1 = 6∠ 30o V ɺ U 2 = 4∠60o V
ɺ ɺ ɺ U = U 1 + U 2 = 6∠ 30 + 4∠ 60 = 5.196 + j 3 + 2 + j 3.464 = 7.196 + j 6.464 = 9.67∠ 41.9 o V
∴ u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) = 9.67 2sin( 314t + 41.9 o ) V
同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。 同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图 在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。 在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。
注意:只适用正弦量 注意 只适用正弦量
i ( t ) = I m sin(ωt + ψ ) = 2 I sin(ωt + ψ )
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8.2 复数及相量法的基础
两个正弦量 i1 i2
ω
Im1
ω
Im2
i1+ i2 → i 3
ω
ψ1
ψ2
Im3
ψ3
一、复数及运算： 复数及运算： 1. 复数 表示形式： Im 复数A表示形式 表示形式： b 0 a A Im b A |A|
ϕ >0， u 领先(超前 ，或i 落后(滞后 u ， 领先 超前)i 落后 滞后) 超前 滞后 ϕ <0， i 领先 超前 u，或u 落后 滞后 i 超前) 落后(滞后 滞后) ， 领先(超前 ，
u, i u i
ψu ψi ϕ
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0
ωt
4
特殊相位关系： 特殊相位关系： ϕ = 0， 同相： ， 同相： u, i u i
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8.3 电路定理的相量形式
一、电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系： 电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系： 1、电阻： 、电阻： i(t) + uR(t) R
已知 i ( t ) = 2 I sin(ωt + ψ )
则 u R ( t ) = Ri ( t ) = 2 RI sin(ωt + ψ )
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2
i
i(t)=Imsin(ω t+ψ) Im
ωt ψ
波形图
i i
00 0 0
0
t
ψ ψ ψ ψ =0 =π/2 ψ =-π/2
一般
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|ψ | ≤ π
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二、同频率正弦量的相位差 (phase difference)： ： 设 u(t)=Umsin(ω t+ψ u), i(t)=Imsin(ω t+ψ i) 相位差 ϕ = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i -
u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) = Im( 2 U 1 e jω t ) + Im( 2 U 2 e jω t )
= Im( 2 U 1 e
•
• •
•
•
jωt
+ 2U2 e
•
jω t
) = Im( 2 (U 1 + U 2 )e jω t )
•
•
ɺ ɺ ɺ 得： U = U1 + U2
U = 220∠ − 60o V
•
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例2. 已知 I = 50∠15o A, f = 50Hz . 试写出电流的瞬时值表达式。 试写出电流的瞬时值表达式。 解： i = 50 2sin( 314 t + 15o ) A
•
相量的几何意义： 相量的几何意义：
ɺ I = I∠ψ ↔ i ( t ) = 2 I sin(ωt + ψ )
Re
ɺ − jI
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子。 都可以看成旋转因子。
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ɺ −I
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正弦量的相量表示： 二. 正弦量的相量表示： 复函数
A( t ) = 2 Ie j(ωt +ψ )
= 2 Icos(ωt + ψ ) + j 2 Isin(ωt + ψ )
ɺ I = I∠ψ ↔ A( t ) = 2
A(t)是旋转相量 是旋转相量
ɺ I e jω t
相量 旋转因子
旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
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相量图： 三. 相量图：
ɺ i(t ) = 2Isin(ω +ψ i ) → I = I∠ψ i t
ɺ u(t ) = 2Usin(ωt +ψ u ) →U = U∠ψ u
取相量： 取相量： U = R I + jωL I
•
•
+ u(t) = U R 2 + ω 2 L2 ∠ψ u − arctg
I=
•
U = R + jωL
U∠ψ u R + ω L ∠arctg
2 2 2
ωL
R
i=
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2U R +ω L
2 2 2
sin(ωt + ψ u − arctg
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ψu =ψi +ϕ ωL ϕ = arctg
R
2
R 2 + (ω L) 2
ϕ
sin(ωt + ψ u − arctg
ωL
R +ω L 用相量法求： 用相量法求：
2
• •
i=
2U
2
ωL
R
R
)
i(t) R L
ωL
R
di ( t ) u( t ) = Ri ( t ) + L dt
1 I= T
∵
1 I= T
def
∫
T
0
i 2 ( t )dt
∫
T
0
2 I m sin 2 ( ωt + ψ ) dt
∫
T
0
sin ( ωt + ψ ) dt =
2
∫
T
0
1 − cos 2(ωt + ψ ) 1 dt = t 2 2
T 0
1 = T 2
1 2 T Im Im ⋅ = ∴ I= = 0.707Im T 2 2 Im = 2I
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ωL
R
)
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小结： 小结：
① 正弦量 时域 正弦波形图 相量 频域 相量图
相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 ② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 N
线性
ω1 ω2
N
线性
ω
非 线性
不适用 ③ 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线 性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。 性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。
ψ
Re 0 a Re
A = a + jb
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A = Ae jψ =| A | ∠ψ
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2. 复数运算： 复数运算： (1)加减运算 加减运算——直角坐标 加减运算 直角坐标 (2)乘除运算 乘除运算——极坐标 乘除运算 极坐标 3. 旋转因子： 旋转因子： 复数 ejψ = cos ψ + jsin ψ = 1∠ψ ∠ Aejψ A逆时针旋转一个角度ψ ，模不变 逆时针旋转一个角度
第八章
相量法
8.1 正弦量 8.2 复数及相量法的ห้องสมุดไป่ตู้础 8.3 电路定理的相量形式
EMAIL：lyffz4637@ ：
8. 1 正弦量
正弦量的三要素： 一. 正弦量的三要素： i _ + u
i(t)=Imsin(ω t +ψ )
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值 Im 振幅、 振幅 最大值) 角频率(angular frequency) ω (2) 角频率 (3) 初相位 初相位(initial phase angle) ψ
若对A(t)取虚部： 取虚部： 若对 取虚部
Im[ A( t )] = 2 Isin(ωt + ψ )
i = 2 Isin(ωt + ψ ) ↔ A( t ) = 2 Ie j(ωt +ψ )
A(t)还可以写成 还可以写成
•
A(t ) = 2 I e
jψ
e
jω t
ɺ = 2 I e jω t
复常数 对应的相量 相量。 称 I = I∠ψ 为正弦量 i(t) 对应的相量。
ɺ U
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这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域： 这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域： i1 ± i2 = i3 时域 频域
ɺ ɺ ɺ I1 ± I 2 = I 3
时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自 时域：在变量是时间函数条件下研究网络， 变量分析电路。 变量分析电路。 频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络， 频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为 自变量分析电路。 自变量分析电路。 向量法： 变换” 为相量后再进行分析, 向量法：将正弦时间函数 “变换” 为相量后再进行分析 属于频域分析。 属于频域分析。
π
2
A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
A1 ⋅ A2 = A1 A2 ∠ψ1 +ψ 2
e
j
= cos
π
π
e
j( − ) 2
2 2 π π = cos( − ) + j sin( − ) = − j 2 2
+ j sin
π
Im
ɺ I
=+j
ɺ + jI
0
e
j ( ±π )
= cos( ±π ) + j sin( ±π ) = −1
ɺ = Im[ 2 I jω e jω t ]
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相量法的应用： 五. 相量法的应用： 求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解 求解正弦电流电路的稳态解 微分方程的特解) 微分方程的特解 例： u( t ) = U m sin(ωt + ψ u ) i(t) R di ( t ) 一阶常系数 u( t ) = Ri ( t ) + L 解: + dt 线性微分方程 u(t) L 自由分量(齐次方程通解 齐次方程通解)： 自由分量 齐次方程通解 ： Ae-(R/L) t 强制分量(特解 ： 强制分量 特解)：Imsin(ω t+ψ i) 特解
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i ( t ) = 2 I sin(ωt + ψ ) ⇔ I = I∠ψ 相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
•
•
正弦量的相量表示: 正弦量的相量表示
u( t ) = 2U sin(ωt + ψ ) ⇔ U = U∠ψ 例1. 已知 i = 141.4 sin( 314t + 30 o )A u = 311.1sin(314t − 60 o )V 试用相量表示 i, u 。 解： • I = 100∠30o A
ϕ = ± π (± 180o ) ，反相： 反相： ±
u, i i 0 u
0 u, i u i 0
ωt
ωt
ϕ = 90° ° ωt
u 领先 i 90° ° i 落后 u 90° °
规定： 规定： | ϕ | ≤ π (180°) °
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有效值(effective value)： 三. 有效值 ： 1. 定义： I = 定义：
Im
ɺ U
Im
ɺ U
ɺ U2 ɺ U1 ɺ U1
ɺ U2
60
41.9
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41.9
30
Re
16
60
30
Re
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2、 正弦量的微分，积分运算： 、 正弦量的微分，积分运算：
ɺ i↔I
di ɺ ↔ jω I dt
ɺ i↔I
1 ɺ I ∫ idt ↔ jω
证明： 证明： di d ɺ = Im[ 2 Ie jω t ] dt dt d ɺ = Im [ 2 Ie jω t ] dt
U m sin(ωt + ψ u ) = RI m sin(ωt + ψ i ) + ωLI m cos(ωt + ψ i ) = ( RI m ) 2 + (ωLI m ) 2 sin(ωt + ψ i + ϕ )
U m = ( RI m ) + (ωLI m )
2 2
⇒ Im =
Um R 2 + ω 2 L2