2.4一些常见曲线的参数方程
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
π 1.已知直线L经过点P（1，1），倾斜角为 α 6 （1）写出直线的参数方程；
x 2 y 2 4相交于两点A,B， （2）设直线与圆
求点P 到A,B两点的距离之积。 2.圆的直径AB上有两点C,D，且 |AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，
求|PC|+|PD|的最大值.
因为|AC|=|BD|=4，所以
C,D的坐标为: C ( 1,0), D(1,0)
因为点P在圆上,可设点P的坐标为
P (5 cosθ ,5 si nθ )
所以： | PC | | PD | (5 cosθ 1)2 (5 sinθ )2 (5 cosθ 1)2 (5 sinθ )2
（2）因为点A,B都在直线上，可设对应的 参数分别t1,t2，则点A,B的坐标分别为
3 1 A(1 t1 ,1 t1 ), 2 2
3 1 B(1 t 2 ,1 t 2 ) 2 2
2 2 将直线的参数方程代入圆的方程 x y 4
并整理得 t 2 ( 3 1)t 2 0
笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲 线，这条曲线的形状怎样？
我们来解决新课导入中的问题：
y
M B
θ
先分析动点（笔尖）所满
足的几何条件，如图所示，
设开始时绳子外端为 于点A，
o
A x
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一
导入新课
如果在自行车的轮子上喷一
个白色印记，那么当自行车在笔
直的道路上行驶时，白色印记会
画出什么样的曲线呢？
教学目标
知识与能力
1.直观的认识摆线的形状， 体会它在生活中的应用 2.培养同学们分析曲线的能力
过程与方法
1.通过参数方程的感性认识，初步了解摆线.
情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律. 2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.
3.将参数方程 y si nθ
转化为
直角坐标方程是___，该曲线上的点与
定点A(-1,-1)距离的最小值是____
θ 4.O是坐标原点，P是椭圆 y 2 sinθ （ 是参数）
上离心角为
π 6
x 3 cosθ
所对应的点，那么直线OP
的倾斜角的正切值是______
三.解答题（本大题共2小题，每小题17 分）
C10
D2 2
3.直线
x 3 t sin 20 0 y t cos 20
（t为参数）的倾斜角是（） 0
A.200
B. 700
C.1100
0 D.160
x 3 3 cos 4.椭圆 （ 是参数的 两个交点的坐标是（） y 1 5 sin
A.(3,5), (-3,-3)
一.选择题：
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
二.填空题：
1.
2 x 1 t 2 2 y t 2
7 2. 4
3.( x 1)2 y 2 1; 5 1
2 3 4. 9
三.解答题：
1.解：（1）直线的参数方程为
3 x 1 t （ t 是参数） 2 1 y 1 t 2
坐标为（x,y）取 θ 为参数,依题意得
x OD OA DA OA MC rθ r sinθ y DM AC AB CB r r cosθ
因此摆线的参数方程为
x r (θ sinθ ) y r (1 cosθ )
y
百度文库
（θ 为参数）
M
26 10cosθ 26 10cosθ 52 2 262 100cos2 θ
当 cos θ 0 时
(| PC | | PD |)max 52 52 2 26
所以 | PC | | PD | 最大值为
2 26
导入新课
把一条没有弹性的细绳绕在
一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅
曲线上的点是（）
A.(2,7)
1 2 B.( , ) 3 3
1 1 C.( , ) 2 2
D.(1,0)
二.填空题（每小题6分，共24分）
1.直线x+y=1的一个参数方程是____ 2.椭圆 y 2 4 sinθ θ 为参数）的离心率为___ （
x 5 3 cosθ
x 1 cosθ
5.直线
x 1 2t y 2 t
B.(3,3), (3,-5) D.(7,-1), (-1,-1)
C.(1,1), (-7,1)
12 B. 5 5
是参数被圆 x 2 y 2 9截得的弦长是（）
12 A. 5
9 C. 2 5
9 D. 10 5
x s i nθ
6.在方程 y cos 2θ（ θ 为参数）所表示的
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
3 2 1 2 3 2 1 2 | PA | | PB | ( t1 ) ( t1 ) ( t 2 ) ( t 2 ) | t1t 2 | 2 2 2 2 2
2.解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为
x 5 cosθ y 5 s i nθ
O
.B
A x
一.选择题（本题每小题7分，共42分）
1.曲线 x 1 t 2 , y 4t 3 与X轴交点的直角坐标为（）
Α(1,4)
2.直线
x 2 3t y -1 t
25 Β( ,0) 16
C(1,3)
25 D( ,0) 16
上对应两点间的距离为（）
Α.1
Β. 10
M
O
.B
θ
A
这就是圆周上定点M在圆B沿直线滚动
过程中满足的几何条件，我们把该曲线
的叫平摆线，简称摆线，又称旋轮线
M
O
.B A
y 根据题意建立如图
M 直角坐标系，设圆的半径为r，
设开始时定点M 在原点，
O
.B A x
圆滚动了θ 后与x轴相切于点A，圆心在点B,
从点M分别作AB,x轴的垂线，垂足为C,D,设点M的
教学重难点
重点
1.认识摆线。
难点
1.体会数形结合的意义。
我们来解决新课导入中的问题： 如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图形， 设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时位于O 处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心滚动作圆 周运动，转过 θ 角后，圆与直线相切于点A， 线段OA的长等于弧MA的长， 即OA=r ,
x 2 y 2 4相交于两点A,B， （2）设直线与圆
求点P 到A,B两点的距离之积。 2.圆的直径AB上有两点C,D，且 |AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，
求|PC|+|PD|的最大值.
因为|AC|=|BD|=4，所以
C,D的坐标为: C ( 1,0), D(1,0)
因为点P在圆上,可设点P的坐标为
P (5 cosθ ,5 si nθ )
所以： | PC | | PD | (5 cosθ 1)2 (5 sinθ )2 (5 cosθ 1)2 (5 sinθ )2
（2）因为点A,B都在直线上，可设对应的 参数分别t1,t2，则点A,B的坐标分别为
3 1 A(1 t1 ,1 t1 ), 2 2
3 1 B(1 t 2 ,1 t 2 ) 2 2
2 2 将直线的参数方程代入圆的方程 x y 4
并整理得 t 2 ( 3 1)t 2 0
笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲 线，这条曲线的形状怎样？
我们来解决新课导入中的问题：
y
M B
θ
先分析动点（笔尖）所满
足的几何条件，如图所示，
设开始时绳子外端为 于点A，
o
A x
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一
导入新课
如果在自行车的轮子上喷一
个白色印记，那么当自行车在笔
直的道路上行驶时，白色印记会
画出什么样的曲线呢？
教学目标
知识与能力
1.直观的认识摆线的形状， 体会它在生活中的应用 2.培养同学们分析曲线的能力
过程与方法
1.通过参数方程的感性认识，初步了解摆线.
情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律. 2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.
3.将参数方程 y si nθ
转化为
直角坐标方程是___，该曲线上的点与
定点A(-1,-1)距离的最小值是____
θ 4.O是坐标原点，P是椭圆 y 2 sinθ （ 是参数）
上离心角为
π 6
x 3 cosθ
所对应的点，那么直线OP
的倾斜角的正切值是______
三.解答题（本大题共2小题，每小题17 分）
C10
D2 2
3.直线
x 3 t sin 20 0 y t cos 20
（t为参数）的倾斜角是（） 0
A.200
B. 700
C.1100
0 D.160
x 3 3 cos 4.椭圆 （ 是参数的 两个交点的坐标是（） y 1 5 sin
A.(3,5), (-3,-3)
一.选择题：
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
二.填空题：
1.
2 x 1 t 2 2 y t 2
7 2. 4
3.( x 1)2 y 2 1; 5 1
2 3 4. 9
三.解答题：
1.解：（1）直线的参数方程为
3 x 1 t （ t 是参数） 2 1 y 1 t 2
坐标为（x,y）取 θ 为参数,依题意得
x OD OA DA OA MC rθ r sinθ y DM AC AB CB r r cosθ
因此摆线的参数方程为
x r (θ sinθ ) y r (1 cosθ )
y
百度文库
（θ 为参数）
M
26 10cosθ 26 10cosθ 52 2 262 100cos2 θ
当 cos θ 0 时
(| PC | | PD |)max 52 52 2 26
所以 | PC | | PD | 最大值为
2 26
导入新课
把一条没有弹性的细绳绕在
一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅
曲线上的点是（）
A.(2,7)
1 2 B.( , ) 3 3
1 1 C.( , ) 2 2
D.(1,0)
二.填空题（每小题6分，共24分）
1.直线x+y=1的一个参数方程是____ 2.椭圆 y 2 4 sinθ θ 为参数）的离心率为___ （
x 5 3 cosθ
x 1 cosθ
5.直线
x 1 2t y 2 t
B.(3,3), (3,-5) D.(7,-1), (-1,-1)
C.(1,1), (-7,1)
12 B. 5 5
是参数被圆 x 2 y 2 9截得的弦长是（）
12 A. 5
9 C. 2 5
9 D. 10 5
x s i nθ
6.在方程 y cos 2θ（ θ 为参数）所表示的
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
3 2 1 2 3 2 1 2 | PA | | PB | ( t1 ) ( t1 ) ( t 2 ) ( t 2 ) | t1t 2 | 2 2 2 2 2
2.解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为
x 5 cosθ y 5 s i nθ
O
.B
A x
一.选择题（本题每小题7分，共42分）
1.曲线 x 1 t 2 , y 4t 3 与X轴交点的直角坐标为（）
Α(1,4)
2.直线
x 2 3t y -1 t
25 Β( ,0) 16
C(1,3)
25 D( ,0) 16
上对应两点间的距离为（）
Α.1
Β. 10
M
O
.B
θ
A
这就是圆周上定点M在圆B沿直线滚动
过程中满足的几何条件，我们把该曲线
的叫平摆线，简称摆线，又称旋轮线
M
O
.B A
y 根据题意建立如图
M 直角坐标系，设圆的半径为r，
设开始时定点M 在原点，
O
.B A x
圆滚动了θ 后与x轴相切于点A，圆心在点B,
从点M分别作AB,x轴的垂线，垂足为C,D,设点M的
教学重难点
重点
1.认识摆线。
难点
1.体会数形结合的意义。
我们来解决新课导入中的问题： 如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图形， 设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时位于O 处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心滚动作圆 周运动，转过 θ 角后，圆与直线相切于点A， 线段OA的长等于弧MA的长， 即OA=r ,