2.4一些常见曲线的参数方程
曲线的参数方程
曲线的参数方程曲线是数学中的一种图形，通常可以由一个或多个方程表示。
在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的特征和性质。
参数方程通过引入一个或多个参数，将曲线上的点表示为参数的函数。
本文将介绍曲线的参数方程的概念、应用和一些常见的参数方程示例。
参数方程的概念参数方程通常表示为以下形式：x = f(t) y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同的点。
参数方程提供了一种曲线上每个点的坐标的参数化表示方法。
与直角坐标系方程不同，参数方程可以描述一些非常复杂的曲线，如椭圆、双曲线、螺线等。
通过选择合适的参数函数和参数范围，可以细致地刻画曲线的形状和特性。
参数方程的应用参数方程在许多领域具有广泛的应用，尤其是在计算机图形学、物理学和工程学中。
以下是几个参数方程的应用示例：1. 计算机图形学在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维和三维图形的轨迹。
例如，在绘制动画和游戏中，可以使用参数方程来表示粒子、动画角色的路径等。
参数方程提供了一种简洁的方式来生成复杂的图形效果。
2. 物理学在物理学中，参数方程用于描述质点在空间中运动的路径。
例如，当质点沿着曲线运动时，可以使用参数方程来确定质点在每个时刻的位置。
参数方程还可以应用于描述粒子在电磁场中的运动、弹道轨迹等。
3. 工程学在工程学中，参数方程常用于描述各种曲线和曲面。
例如，工程师可以使用参数方程来描述曲线的轮廓、曲线的弯曲性质以及曲线上不同点的坐标。
参数方程还可以用于描述曲线的焦点、渐近线等重要属性。
常见的参数方程示例以下是几个常见的参数方程示例：1. 二维直线方程对于二维直线，可以使用如下的参数方程：x = at + b y = ct + d其中a、b、c和d为常数，代表直线的斜率和截距。
2. 圆的参数方程对于圆，可以使用如下的参数方程：x = r * cos(t) y = r * sin(t)其中r为半径，t为参数，可以取0到2π之间的值。
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。
设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。
那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。
由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。
3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。
①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。
参数方程公式大全
参数方程是描述曲线上任意一点的坐标(x, y)作为某个变量t的函数的方程组。
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x, y)都是某个变数t的函数x=f(t), y=φ(t)，且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程组称为这条曲线的参数方程。
常见参数方程公式
圆：
参数方程：x = a + r cosθ, y = b + r sinθ (θ∈ [0, 2π))，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。
椭圆：
参数方程：x = a cosθ, y = b sinθ (θ∈ [0, 2π))，其中a 为长半轴长，b为短半轴长。
双曲线：
参数方程：x = a secθ, y = b tanθ (θ为参数)，其中a为实半轴长，b为虚半轴长。
抛物线：
参数方程：x = 2pt, y = 2pt (p为焦点到准线的距离，t为参数)，或者x = 2pt^2, y = pt (t为参数)。
直线：
参数方程：x = x' + tcosα, y = y' + tsinα (t为参数)，其中(x', y')为直线上的一个点，α为直线的倾斜角。
参数方程与普通方程的互化公式
cos²θ + sin²θ = 1。
ρ = x² + y²。
ρcosθ = x。
ρsinθ = y。
其他公式：曲线的极坐标参数方程ρ=f(t), θ=g(t)。
常见曲线的参数方程
双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两 焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
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contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时 间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微 性等性质，这些性质决定了曲线 的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
常见曲线的参数方程PPT课件
2a
x
.
6
y
o
Mt a
A
C
x
x AC OMsint y OCOMcost
a(t sint)
a(1cost)
这就是旋轮线的参数方程。
7
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
8
.
9
10
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。 在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
a
o
a
xHale Waihona Puke 16y.a
o
来看动点的慢动作
a
x
17
y
a
o 来看动点的慢动作
a
x
2a
.
18
参数方程
y
r = a (1+cosθ) r
o
P
x
2a
.
19
y
5.星形线(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆
内缘无滑动地
滚动，动圆圆
周上任一点
所画出的曲线。
–a
o
a 4
ax
20
y
.
–a
o
来看动点的慢动作
ax
21
y
–a
o
问答
问题提问与解答
HERE COMES THE QUESTION AND ANSWER SESSION 45
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46
参数方程的简单应用
5 .参数方程与普通方程的互化。
6 .参数方程的应用。
1.曲线的参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数
x f (t ), y (t ),
(1)
并且对于t 的每一个允许值，由方程组 (1) 确定的点M( x, y )，都在这条曲线上， 那么方程组 (1) 就叫做这条曲线的参数 方程。
B
O
y
A
O D
x
C
x 2 例4： 已知点P(x,y)是椭圆 y 1 4 上一点，求 2x+y 的最值
解：设P(2cosθ,sinθ), 则 2x+y= 4cosθ+sinθ
4 1 17 ( cos sin ) 17 17值为： 17，最小值为： 17
课堂小结
利用椭圆的参数方程来表示椭圆 上点的坐标，使其只含有一个变量， 在求最值的问题中比较简便. 对于一些求轨迹方程的问题，借 助参数联系曲线上点的横纵坐标的关 系，建立曲线的参数方程，消去参数， 得到普通方程.
5.参数方程与普通方程的互化
(1)参数方程 普通方程
消去参数
普通方程; 参数方程.
设适当的参数
(2)参数方程化为普通方程的方法: ①代入法:从x=f(t)中解出t用x表示,代人到 y=g(x)中,就得到普通方程。 ②公式法:利用三角公式或代数公式消去参数, 就得到普通方程.
常用的三角公式有:sin2x+cos2x=1; Sec2x-tg2x=1; csc2x-ctg2x=1;
2
2
2
b （1）当 0 b c 时，有 0 2 1 c 2 b 当 sin 2 时， |PB|2取得最大值 c 2 2 a 2 a 为 ( ) ，即|PB|取得最大值为 . c c 2 b （2）当 0 c b 时，有 2 1 c 当sinθ=-1 时， |PB|取得最大值为2b.
数学的参数方程公式有哪些
数学的参数方程公式有哪些直线参数方程是高中数学在解析几何这一模块中非常重要的知识点,也是整个高中数学的一大难题,接下来店铺为你整理了数学参数方程公式，一起来看看吧。
数学参数方程公式数学参数方程概念一般在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数：x=f(t),y=g(t)，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
圆的参数方程x=a+r cosθ y=b+r sinθ (a,b)为圆心坐标 r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=a cosθ y=b sinθ a为长半轴长 b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数直线的参数方程x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.数学学习技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。
上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。
首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用“不清楚立即翻书”之举。
认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目，由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
2.4一些常见曲线的参数方程
t1
,1
1 2
t1
),
B(1
3 2
t
2
,1
1 2
t
2
)
将直线的参数方程代入圆的方程 x2 y2 4
并整理得 t 2 ( 3 1)t 2 0
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
| PA| | PB|
(
3 2
t1)2
(
1 2
t1
)2
(
3 2
t 2 )2
如下图轮子在滚动过程中会形成如下图形设b为圆心圆周上的定点为m开始时位于o处圆在直线上滚动时点m绕圆心滚动作圆周运动转过角后圆与直线相切于点a线段oa的长等于弧ma的长即oar这就是圆周上定点m在圆b沿直线滚动过程中满足的几何条件我们把该曲线的叫平摆线简称摆线又称旋轮线根据题意建立如图直角坐标系设圆的半径为r设开始时定点m在原点圆滚动了从点m分别作abx轴的垂线垂足为cd设点m的坐标为xy取为参数依题意得cbabacdmmcoadaoaodcossin10一
1.曲线 x 1 t 2, y 4t 3 与X轴交点的直角坐标为（）
Α(1,4) Β( 25 ,0) C(1,3) D( 25 ,0)
16
16
2.直线 x 2 3t上对应两点间的距离为（）
y -1 t
Α.1 Β. 10 C10 D2 2
x 3 t sin200
使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方 便，因此大多数齿轮采用这种齿形.设计 这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程.
1.当
时，θ 求π2出, 32渐π 开线
常见的参数方程
常见的参数方程常见的参数方程参数方程是一种描述曲线的方式，它是用参数t来表示曲线上的点坐标。
在二维平面中，一个曲线可以用两个参数x和y来表示，即(x(t),y(t))。
在三维空间中，一个曲线可以用三个参数x、y和z来表示，即(x(t), y(t), z(t))。
一、直线的参数方程直线是最简单的曲线之一，它可以用两个点来确定。
假设有两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，那么这条直线的参数方程可以表示为：x = x1 + (x2 - x1)ty = y1 + (y2 - y1)t其中t是一个实数，取值范围为0到1。
当t=0时，对应的点为P1；当t=1时，对应的点为P2。
二、圆的参数方程圆是一个非常重要且常见的几何图形，在计算机图形学中也经常使用。
一个半径为r、圆心坐标为(a, b)的圆可以用以下参数方程表示：x = a + rcos(t)y = b + rsin(t)其中t是一个实数，取值范围为0到2π。
当t=0时，对应圆上最右边的点；当t=π/2时，对应圆上最上面的点；当t=π时，对应圆上最左边的点；当t=3π/2时，对应圆上最下面的点。
三、椭圆的参数方程椭圆是一个比较复杂的曲线，它可以用以下参数方程表示：x = a cos(t)y = b sin(t)其中a和b分别是椭圆在x轴和y轴方向上的半径。
当a=b时，这个椭圆就变成了一个圆。
四、抛物线的参数方程抛物线是一个非常重要且常见的曲线，在物理学和工程学中经常使用。
一个开口朝上或开口朝下的抛物线可以用以下参数方程表示：x = at^2y = bt其中a和b是常数，控制着抛物线在x轴和y轴方向上的形状。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
五、双曲线的参数方程双曲线是一个非常特殊且复杂的曲线，在数学中有着广泛的应用。
一个双曲线可以用以下参数方程表示：x = a sec(t)y = b tan(t)其中a和b是常数，控制着双曲线在x轴和y轴方向上的形状。
第2章2.3~2.4 椭圆与双曲线的参数方程
2.3 椭圆的参数方程2.4 双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角. (2)中心在C (x 0，y 0)的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数).2.双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)，规定φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 【思维导图】【知能要点】 1.椭圆的参数方程. 2.双曲线的参数方程.题型一 椭圆的参数方程1.和圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角不同，椭圆参数方程⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1 (a >b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).【例1】 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解 由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6，0)，B (0，3). 由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ. 由此消去θ得到（x －2）24＋(y －1)2＝1即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点.(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程. 解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2. 又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3， 于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0).(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)， 线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程.题型二 双曲线的参数方程与椭圆类似，双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ (φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点M 的离心角.【例2】 直线AB 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的中心O ，与双曲线交于A ，B 两点，P 是双曲线上的任意一点.求证：直线P A ，PB 的斜率的乘积为定值. 证明 如图所示，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos α，b tan α，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b tan θ.∵AB 过原点O ，∴A ，B 的坐标关于原点对称， 于是有B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a cos θ，－b tan θ，从而：k P A ·k PB ＝b （tan α－tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α－1cos θ·b （tan α＋tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α＋1cos θ ＝b 2（tan 2 α－tan 2 θ）a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2 α－1cos 2 θ＝b 2a 2为定值.【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x ，y 都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果.2.如图所示，设M 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上任意一点，O 为原点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点.探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？解 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x . 不妨设M 为双曲线右支上一点，其坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，b tan φ，则直线MA 的方程为 y －b tan φ＝－b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a cos φ.①将y ＝ba x 代入①，解得点A 的横坐标为 x A ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.同理可得，点B 的横坐标为x B ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.设∠AOx ＝a ，则tan α＝ba .所以，▱MAOB 的面积为S ▱MAOB ＝|OA |·|OB |sin 2α ＝x A cos α·x B cos α·sin 2α＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2φ－tan 2φ4cos 2α·sin 2α ＝a 22·tan α＝a 22·b a ＝ab 2.由此可见，平行四边形MAOB 的面积恒为定值，与点M 在双曲线上的位置无关.题型三 参数方程的应用若曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数.【例3】 设飞机以匀速v ＝150 m/s 做水平飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0，588)，B 为目标，坐标为(x 0，0).记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝588－12gt 2 (g ＝9.8 m/s 2)，即⎩⎨⎧x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2， 这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0， 即588－4.9t 2＝0，解得t 0＝230.由此得x 0＝150×230＝30030≈1 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.3.青海省玉树县发生7.1级地震，灾区人民的安危牵动着全国人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区.现在一架救援飞机在离灾区地面593 m 高处以150 m/s 的速度作水平飞行.为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？解 如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t 的水平位移为x ，垂直距离为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150t ，y ＝593－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2). 令y ＝0，得t ≈11 s ，代入x ＝150 t ，得x ≈1 650 m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约1 650米时开始投放物资，可使其准确落在指定位置.1.已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值. 解 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数).代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85).所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.2.点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，求点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离. 解 设P (4cos θ，3sin θ)， 则d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5.即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－245，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2).3.已知弹道曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20t cos π6，y ＝20t sin π6－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度. 解 (1)令y ＝20t sin π6－12gt 2＝0， 即4.9t 2－10t ＝0. 解得t ＝0或t ≈2.所以炮弹从发射到落地所需时间约为2秒.(2)由y ＝10t －4.9t 2，得y ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－10049t ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t －50492＋25049.所以当t ＝5049时，y max ＝25049≈5.1.所以炮弹在运动中达到的最大高度为5.1米.4.已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，M 点到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数.证明 设d 1为M 点到渐近线y ＝x 的距离，d 2为M 点到渐近线y ＝－x 的距离， 因为M 点在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α，tan α.d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α－tan α2，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α＋tan α2，d 1·d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos 2α－tan 2α2＝12，故d 1与d 2的乘积是常数.[P 36思考交流] 参照求圆的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)的方法，给出椭圆另一种形式的参数方程(如图).答 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1其中a ＞b ＞0，则点A 的坐标为(－a ，0)，设AP 的斜率为k .直线AP 的方程为y ＝k (x ＋a )由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋a ），x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得直线AP 与椭圆的交点的横坐标，x 1＝－a ，x 2＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k2. 直线AP 与椭圆交点的纵坐标为y 1＝0，y 2＝2ab 2k b 2＋a 2k2即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k 2，2ab 2k b 2＋a 2k 2. ∵点P 是椭圆任意的不同于A 的点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k2，y ＝2ab 2kb 2＋a 2k2(k 为参数)，上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程.其中参数k 表示直线AP 的斜率.也由此可以看出，由于参数的选取不同，参数方程也不同. [P 37思考交流]1.双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ中，参数的几何意义是什么？答 参数的几何意义是以原点为圆心，a 为半径的圆的半径的旋转角. 2.试求双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程.答 如图：分别以a ，b 为半径，原点为圆心作同心圆. 设OA ＝a ，OB ＝b ，A 为圆上任一点.∠AOx ＝φ(参数)，B 为圆与y 轴的交点，过B 作平行于x 轴的直线交OA 的延长线于B 1点，在Rt △OBB 1中，∠BB 1O ＝φ，BB 1＝btan φ. 过A 的切线交y 轴于A 1点，A 1P ⊥y 轴，A 1P ⊥B 1P . 设点P 的坐标为(x ，y )，在Rt △OAA 1中，∠OA 1A ＝φ，OA ＝a ，OA 1＝asin φ. x ＝BB 1＝b tan φ，y ＝OA 1＝asin φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sin φ(其中φ为参数)，∴y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan φ，y ＝a sin φ(φ为参数).3.试求抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程.(1)以抛物线上一点(x ，y )与其顶点连线斜率的倒数t 为参数. (2)以抛物线上任意一点(x ，y )的纵坐标y 0为参数. 答 (1)抛物线y 2＝2px ，p 为焦点到准线的距离. 抛物线上任意一点M (x ，y )，∠MOx ＝α，则yx ＝tan α代入y 2＝2px 中y ·tan α＝2p .∴y ＝2p tan α.x ＝y 22p ＝12p ·（2p ）2tan 2 α＝2p tan 2α.设t ＝1tan α，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .其中t 为参数.几何意义是抛物线上任意一点与抛物线顶点的连线的斜率的倒数.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 即为所求.(2)⎩⎨⎧x ＝y 22p ，y ＝y 0(y 0为参数).几何意义是抛物线上任意点的纵坐标.【规律方法总结】1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数φ的几何意义都是曲线上点M 的离心角；抛物线参数方程中参数t 的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.3.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.一、选择题1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析 注意参数范围，可利用排除去.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cos 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C. 答案 D2.下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C.(2，3)D.(1，3)解析 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证得，选B. 答案 B3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4.答案 C4.已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π6解析 M 点的坐标为(2，23)，∴k ＝3，tan α＝3，α＝π3.答案 A二、填空题5.曲线⎩⎨⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________. 解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案 (1，0)，(－5，0)6.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3tan φ，y ＝1cos φ(φ为参数)的渐近线方程是________. 解析 将参数方程化为普通方程是y 2－（x －3）29＝1， a ＝1，b ＝3，渐近线的斜率k ＝±13，双曲线的中心为(3，0)，∴渐近线方程为y＝±13(x －3).答案 y ＝±13(x －3)7.二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________. 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4，0).答案 (－4，0)8.过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P ，Q 两点，则|FP |·|FQ |的值为________.解析 因双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1，∴a ＝b ＝2.∴c ＝a 2＋b 2＝4＋4＝2 2.故右焦点为F (22，0).∴可设过F (22，0)，倾斜角为105°的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋t cos 105°，y ＝t sin 105°(t 为参数).代入双曲线方程x 2－y 2＝4，整理得32t 2＋(23－2)t －4＝0， ∴|FP |·|FQ |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－432＝833. 答案 833三、解答题9.已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值.解 圆心O 1坐标为(0，2)，Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ， |QO 1|2＝1cos 2φ＋(tan φ－2)2＝1cos 2φ＋tan 2φ－4tan φ＋4＝2tan 2φ－4tan φ＋5.设t ＝tan φ，|QO 1|2＝2t 2－4t ＋5＝2(t －1)2＋3≥3，∴|QO 1|min ＝3，∴PQ 两点间的距离的最小值为3－1.10.已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为255.11.已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值.证明 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1).则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|. MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ. ∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4. 即|OP |·|OQ |＝4为定值.12.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过动点M (a ，0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A ，B ，|AB |≤2p .(1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值.解 设直线l 的方程为y ＝x －a 代入y 2＝2px 中，得：x 2－2(a ＋p )x ＋a 2＝0.(1)设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(a ＋p )，x 1x 2＝a 2.∴|AB |＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝24（a ＋p ）2－4a 2＝28ap ＋4p 2≤2p ，∴2(8ap ＋4p 2)≤4p 2，解得a ≤－p 4. (2)A ，B 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即为(a ＋p ，p )，斜率为－1，垂直平分线方程为y －p ＝－(x －a －p )＝－x ＋a ＋p .y ＝0时，x ＝a ＋2p ，∴点N 的坐标为(a ＋2p ，0)，∴点N (a ＋2p ，0)到直线AB 的距离为|2p |2＝2p ， 则S △NAB ＝12·2p ·28ap ＋4p 2＝p 8ap ＋4p 2＝2p ·p 2＋2ap ＝2p 2pa ＋p 2，当a 最大时，S △NAB 取最大值，故a ＝－p 4时，S 取最大值为2p 2.。
高中数学 2.4 一些常见曲线的参数方程
2.4一些常见曲线的参数方程课时过关·能力提升1已知一个圆的参数方程为≤θ≤2π),则圆的摆线方程中参数t对应的点与点之间的距离为AC-,可知圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为--把t代入参数方程中可得-即-故|AB|---2如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线” 其中的圆心依次按循环它们依次相连接则曲线的长是A.3πB.4πC.5πD.6π,可知是半径为1的圆的周长的长度为继续旋转可得是半径为2的圆的周长的长度为是半径为3的圆的周长的长度为是半径为4的圆的周长的长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.3我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线--关于直线对称的曲线的参数方程为--4已知一个圆的摆线方程是--则该圆的面积为渐开线方程为π-5给出直径为6的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.,一条半径所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系.因为圆的直径为6,所以半径为3,所以圆的渐开线的参数方程是-以圆周上的某一定点为原点,以过该定点的切线为x轴,建立平面直角坐标系,则摆线的参数方程为--6有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm,求齿廓线所在的渐开线的参数方程..22 mm,所以基圆的半径为11 mm,因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为7已知圆C的参数方程是-≤α≤2π),直线l的普通方程是x-y-(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后圆的渐开线方程.圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-的距离为d恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由圆的半径是6,可得渐开线方程是-★8已知一个参数方程是如果把当成参数它表示的图形是直线设斜率存在如果把当成参数它表示半径为的圆(1)请写出直线和圆的普通方程;(2)如果把圆心平移到(0,a),求出圆对应的摆线的参数方程.如果把a看成参数,可得直线的普通方程为:y-2=tan α(x-2),即y=x tan α-2tan α+2,如果把α看成参数,当a>0时,它表示半径为a的圆,其普通方程为(x-2)2+(y-2)2=a2.(2)因为圆的圆心在(0,a),圆的半径为a,所以对应的摆线的参数方程为--★9如图,若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上),当车轮滚动时,点Q的轨迹称为变幅摆线,取|AQ|或请推出的轨迹的参数方程Q(x,y),P(x0,y0),若A(rθ,r),则当|AQ|时,有代入--得点Q的轨迹的参数方程为--当|AQ|时,有代入--得点Q的轨迹方程为--。
常见的参数方程
常见的参数方程什么是参数方程参数方程是描述曲线形状的一种方法，它通过定义一个或多个参数来表示曲线上的点。
参数方程通常给出了x和y坐标的函数，而这些函数的输入是一个或多个参数的值。
通过改变参数的取值，可以得到曲线上的不同点，从而描绘出整个曲线的形状。
常见的参数方程1. 点的直角坐标形式到参数方程的转换可以通过使用参数方程将直角坐标形式的点转换为参数形式。
对于一个点(x0,y0)，它的参数方程可以表示为：x=x0+cos(t)y=y0+sin(t)其中，t是参数，可以是取值范围在[0,2π]之间的任意值。
2. 抛物线的参数方程抛物线是常见的曲线形状之一，它可以使用参数方程进行表示。
对于一个抛物线，它的参数方程可以表示为：x=t y=t23. 椭圆的参数方程椭圆是另一个常见的曲线形状，使用参数方程可以描述椭圆的轨迹。
对于一个椭圆，它的参数方程可以表示为：x=a⋅cos(t)y=b⋅sin(t)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
4. 螺旋线的参数方程螺旋线是一种具有特殊形状的曲线，它可以使用参数方程来表示。
对于一个螺旋线，它的参数方程可以表示为：x=a⋅cos(t)y=a⋅sin(t)z=b⋅t其中，a和b是常数，t是参数。
参数方程的优点和应用1.灵活性：参数方程可以描述各种曲线形状，包括直线、圆、椭圆、螺旋线等。
通过调整参数的取值，可以得到不同形态的曲线。
2.易于计算：参数方程的计算相对简单，只需要计算参数对应的x和y坐标即可。
这使得参数方程在计算机图形学和数学建模等领域得到广泛应用。
3.可视化：参数方程可以通过在参数空间上取值的方式来绘制曲线。
这样可以得到一个曲线的动态演化过程，使曲线的形态更加直观。
4.应用广泛：参数方程在物理学、工程学、计算机图形学等领域中被广泛应用。
例如，在机械设计中，参数方程可以用来描述运动曲线；在计算机图形学中，参数方程可以用来绘制三维曲线和曲面。
总结常见的参数方程包括点的直角坐标形式到参数方程的转换、抛物线的参数方程、椭圆的参数方程和螺旋线的参数方程。
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许的取值，由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，而联系变数x、y的变数t叫做参变数，简称参数。
参数方程的一般形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x、y是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
一些常见的参数方程包括：
圆的参数方程：x=a+r cosθ，y=b+r sinθ，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆半径，θ为参数。
椭圆的参数方程：x=a cosθ，y=b
sinθ，其中a为长半轴长，b为短半轴长，θ为参数。
双曲线的参数方程：x=a secθ，y=b tanθ，其中a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数。
抛物线的参数方程：x=2pt^2，y=2pt，其中p表示焦点到准线的距离，t为参数。
直线的参数方程：x=x'+tcosa，y=y'+tsina，其中x',y'表示直线经过的点，a表示直线的倾斜角，t为参数。
参数方程的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有重要的应用。
此外，在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。
总结来说，参数方程是数学中的一个重要工具，它可以用来表示各种复杂的曲线和曲面，并且在解决实际问题中具有广泛的应用。
学习和掌握参数方程的概念和应用，对于提高数学能力和解决实际问题都具有重要的意义。
参数方程
17 参数方程知识梳理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫做这条曲线的参数方程，其中变数t 称为参数．2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)． 要点整合1．极坐标方程与参数方程互化时，以普通方程(直角坐标方程)为联系达到相互转化． 2．在利用参数方程求解具体问题时，注意参数的几何意义和范围． 3．数形结合思想是求有关参数方程的最值问题的高效方法．题型一．参数方程化为普通方程(或极坐标方程)例1.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.消去参数的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．变式：在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，得ρ1＝1，θ1＝π3，设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎨⎧2ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π3＝33，θ2＝π3，得ρ2＝3，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2.题型二．直线的参数方程中参数几何意义的应用例2.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[解] (1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，由⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )， ∴a ＝1.根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长|M 1M 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2； ②弦M 1M 2的中点⇔t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|； ④1|M 0M 1|＋1|M 0M 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|. 其中：|t 1|＋|t 2|＝（|t 1|＋|t 2|）2 ＝（t 1＋t 2）2－2t 1t 2＋2|t 1t 2|.变式：已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值与|AB |.解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－53，t 1t 2＝18.所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18， |AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝（－53）2－4×18＝3， 所以|MA |·|MB |＝18，|AB |＝ 3.题型三．极坐标方程与参数方程的综合应用例3.(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时点P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝||3cos α＋sin α－42＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.求参数方程中最值问题的三个策略(1)曲线方程上的点用参数方程表示；直线用普通方程表示；利用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的函数的最值；(2)当曲线是圆时，数形结合更快捷方便；(3)利用直线参数方程中参数的几何意义时，需特别注意方向性．变式： 以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，椭圆C ：x 216＋y 24＝1.(1)求点M 的直角坐标与曲线C 的参数方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点，P 是C 上的一个动点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)由tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2得cos θ＝255，sin θ＝55，又ρ＝5，∴x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝1，∴点M 的直角坐标为(2，1)．将a ＝4，b ＝2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos βy ＝b sin β可得椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos βy ＝2sin β(β为参数)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.∵M (2，1)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，代入上式可得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即直线l 的斜率k ＝－12.∴直线l 的普通方程为y ＝－12x ＋2.由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2x 216＋y 24＝1，解得A (0，2)，B (4，0)，∴|AB |＝25， 过椭圆C 上的动点P 作直线l 1∥l ，则当l 1与椭圆C 相切时可求点P 到直线l 的最大值． 设l 1的方程为：y ＝－12x ＋m ，代入x 216＋y 24＝1整理得2x 2－4mx ＋4m 2－16＝0，由Δ＝16m 2－8(4m 2－16)＝0，解得m ＝±2 2.显然当m ＝－22，P (－22，－2)时，点P 到直线l 距离最大为d ＝4（2＋1）5，从而(S △P AB )最大＝12|AB |·d ＝12×25×4（2＋1）5＝4(2＋1)．【真题演练】1.在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）． （1）若a =-1，求C 与l 的交点坐标； （2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ．解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），化为标准方程是：1922=+y x ； a =-1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y -3=0；联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0341922y x y x ， 解得⎩⎨⎧==03y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=25242521y x ，所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和)2524,2521(-．（2）l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）化为一般方程是：x +4y -a -4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π）， 所以点P 到直线l 的距离d 为： d =17=17，φ满足tan φ=43， 又d 的最大值d max =17，所以|5sin （θ+φ）-a -4|的最大值为17， 得：5-a -4=17或-5-a -4=-17， 即a =-16或a =8．2.在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为），（32π，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值答案：解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x =4， 设P （x ，y ），M （4，y 0），则x 4=y y 0，∴y 0=4yx ，∵|OM||OP|=16，∴ x 2+y 2 02=16， 即（x 2+y 2）（1+y 2x ）=16，∴x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2，即（x 2+y 2）2=16x 2，两边开方得：x 2+y 2=4x ，整理得：（x -2）2+y 2=4（x ≠0），∴点P 的轨迹C 2的直角坐标方程：（x -2）2+y 2=4（x ≠0）．（2）点A 的直角坐标为A （1， ，显然点A 在曲线C 2上，|OA|=2， ∴曲线C 2的圆心（2，0）到弦OA 的距离d = 4−1= 3， ∴△AOB 的最大面积S=12|OA|•（2+ 3）=2+ 3．3.在直角坐标系x O y 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧=+=kty tx 2，（t 为参数），直线l 2的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k m y m x 2，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：02)sin (cos =-+θθρ，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．答案：解：（1）∵直线l 1的参数方程为 y =kt x =2+t，（t 为参数）， ∴消掉参数t 得：直线l 1的普通方程为：y =k （x -2）①； 又直线l 2的参数方程为 y =m kx =−2+m，（m 为参数），同理可得，直线l 2的普通方程为：x =-2+ky ②；联立①②，消去k 得：x 2-y 2=4，即C 的普通方程为x 2-y 2=4； （2）∵l 3的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）- 2=0， ∴其普通方程为：x +y - ，联立 x 2−y 2=4x +y = 2得： y =− 22x =3 2，∴ρ2=x 2+y 2=184+24=5．∴l 3与C 的交点M 的极径为ρ= 5．。
高考参数方程归纳总结
高考参数方程归纳总结一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数表示自变量和因变量之间的关系。
在数学中，参数方程常用于描述曲线、曲面或其他几何体的运动和变化规律。
在高考中，参数方程也是一道经典的考题类型，要求考生对参数方程的性质和特点进行分析和应用。
二、常见的参数方程类型1. 二维平面曲线的参数方程二维平面曲线的参数方程常用于描述平面上的曲线轨迹。
常见的参数方程类型有：- 抛物线的参数方程：x = t, y = at²- 圆的参数方程：x = rcos(t), y = rsin(t)- 椭圆的参数方程：x = acos(t), y = bsin(t)- 双曲线的参数方程：x = asec(t), y = btan(t)2. 三维空间曲线的参数方程三维空间曲线的参数方程常用于描述空间中的曲线轨迹。
常见的参数方程类型有：- 直线的参数方程：x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct- 空间曲线的参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)3. 二维平面曲面的参数方程二维平面曲面的参数方程常用于描述平面上的曲面形状。
常见的参数方程类型有：- 圆柱面的参数方程：x = acos(t), y = asin(t), z = bt- 双曲抛物面的参数方程：x = at, y = bt², z = ct4. 三维空间曲面的参数方程三维空间曲面的参数方程常用于描述空间中的曲面形状。
常见的参数方程类型有：- 球面的参数方程：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ- 椭球面的参数方程：x = a sinφcosθ, y = b sinφsinθ, z = c cosφ- 椭圆抛物面的参数方程：x = at², y = bt, z = ct三、参数方程的性质和应用1. 曲线的方向性在参数方程中，通过参数的增加方向可以确定曲线的运动方向。
19-20 第2章 2.4 一些常见曲线的参数方程
2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点)1．摆线(1)定义一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M的轨迹称为摆线．(2)参数方程⎩⎨⎧x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t )(t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆．(2)参数方程⎩⎨⎧x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？[提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同[解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．[答案] C2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π[解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t －3sin ty ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C.[答案] C3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ⎩⎨⎧x ＝4(cos t ＋t sin t )y ＝4(sin t －t cos t )4．给出某渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos t ＋3t sin ty ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π2时，对应的曲线上的点的坐标是________．[解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π2代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3.[答案] (3π2，3)线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程⎩⎨⎧x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t )(t 为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出a 的表达式，根据表达式求出a 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．[解] 令y ＝0，可得a (1－cos t )＝0，由于a >0， 即得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )． 代入x ＝a (t －sin t )，得x ＝a (2k π－sin 2k π)． 又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2， 即得a ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知a >0，所以a ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(t －sin t )y ＝1π(1－cos t )(t 为参数)；圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(cos t ＋t sin t )y ＝1π(sin t －t cos t )(t 为参数)．齿廓线所在的渐开线的参数方程．[思路探究] 直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．[解] 因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝11(cos t ＋t sin t )y ＝11(sin t －t cos t ).【例3】 当t ＝π4，π2时，求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos t ＋t sin t y ＝sin t －t cos t上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．[思路探究] 把t ＝π4，π2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而进一步求出两点间的距离．[解]把t ＝π4，π2分别代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22(1＋π4)y ＝22(1－π4)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1，即A 、B 两点坐标分别为(22(1＋π4)，22(1－π4))，(π2，1)， ∴|AB |＝ [22(1＋π4)－π2]2＋[22(1－π4)－1]2＝14 (5－22)π2－42π＋32－16 2.课时分层作业(八)(建议用时：45分钟)一、选择题 1．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④[解析] 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．[答案] C 二、填空题2．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝8cos t ＋8t sin ty ＝8sin t －8t cos t (t 为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数t ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为______．[解析] 圆的渐开线的参数方程由基圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为8，故直径为16.求当t ＝π4时对应的坐标只需把t ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝42＋2π，y ＝42－2π，由此可得对应的坐标为(42＋2π，42－2π)．[答案] 16 (42＋2π，42－2π)3．参数方程为⎩⎨⎧x ＝8(t －sin t )y ＝8(1－cos t )(0≤t ≤2π)的摆线的对称轴方程是________．[解析] ∵t ＝π时，y 有最大值16，此时x ＝8π，∴由摆线的特点知对称轴方程为x ＝8π.[答案] x ＝8π 三、解答题4．求圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝3(cos t ＋t sin t )y ＝3(sin t －t cos t )上与t ＝π4对应的点的直角坐标．[解]∵当t ＝π4时有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos π4＋π4sin π4)，y ＝3(sin π4－π4cos π4)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝38(42＋2π)，y ＝38(42－2π).∴对应的直角坐标为(38(42＋2π)，38(42－2π))．5．求摆线⎩⎨⎧x ＝t －sin ty ＝1－cos t (0≤t ≤2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标．[解] 由题意知：1＝1－cos t ，解得t 1＝π2，t 2＝3π2，对应交点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝(π2－1)＝π2－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32π＋1y 2＝1，交点为(π2－1,1)，(32π＋1,1)．6．当t ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos t ＋t sin t y ＝sin t －t cos t 上对应的点A 、B ，并求出A 、B 的距离．[解] 将t ＝π2代入⎩⎨⎧x ＝cos t ＋t sin t y ＝sin t －t cos t ，得x ＝cos π2＋π2·sin π2＝0＋π2＝π2，y ＝sin π2－π2·cos π2＝1， ∴A (π2，1)，将t ＝π，代入⎩⎨⎧x ＝cos t ＋t sin t ，y ＝sin t －t cos t ，得x ＝cos π＋π·sin π＝－1， y ＝sin π－πcos π＝π， ∴B (－1，π)， ∴|AB |＝(π2＋1)2＋(1－π)2＝54π2－π＋2.7．已知一个圆的摆线方程是⎩⎨⎧x ＝4t －4sin ty ＝4－4cos t (t 为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[解] 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π， 该圆对应的渐开线的参数方程是： ⎩⎨⎧x ＝4cos t ＋4t sin ty ＝4sin t －4t cos t(t 为参数)． 8．如图2-4-1所示，设基圆半径为r ，渐开线的起点为A ，取圆心O 为极点，射线OA 为极轴．M (ρ，θ)为渐开线上任一点，过M 作基圆的切线MB ，B 是切点．设∠BOM ＝α，试用α做参数，写出渐开线在极坐标中的参数方程．[解] ∵MB 是切线，∴OB ⊥BM ，∴ρ＝rcos α.又︵BA ＝BM ，且BM ＝r tan α，∴θ＝r tan α－α.∴极坐标方程为⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝r cos α，θ＝r tan α－α.9．设有两个半径相同的圆，其中一个圆固定不动，另一个圆绕定圆无滑动地滚动，在动圆的圆周上有一定点M ，求滚动过程中点M 的轨迹方程．11/11 [解] 设圆半径为a ，取定圆的圆心为坐标原点，开始时两圆相切于A 点，射线OA 为x 轴的正半轴，建立坐标系(如右图所示)．当滚动角度θ(以弧度为单位)后，两圆切于B 点，动圆圆心为C ，定点M 的位置如图所示．记射线CM 与x 轴正向形成的任意角为α(图中为负值)．由于无滑动，得︵AB ＝︵BM ，因为两圆半径相等，所以∠AOB ＝θ，从而得α＝－(π－2θ)．向量CM →的坐标表达式为CM →＝(a cos α，a sin α)＝(－a cos 2θ，－a sin 2θ)，又OC →＝(2a cos θ，2a sin θ)，得OM →＝OC →＋CM →＝(2a cos θ－a cos 2θ，2a sin θ－a sin 2θ)．即⎩⎨⎧ x ＝2a cos θ－a cos 2θ，y ＝2a sin θ－a sin 2θ.用倍角公式，变形为x ＝2a cos θ－a (2cos 2θ－1)，x －a ＝2a cos θ－2a cos 2θ＝2a cos θ(1－cos θ)，y ＝2a sin θ(1－cos θ)，(x －a )2＋y 2＝4a 2(1－cos θ)2，所以M 的轨迹方程为(x －a )2＋y 2＝4a 2(1－cos θ)2.。
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3.将参数方程 y si nθ
转化为
直角坐标方程是___，该曲线上的点与
定点A(-1,-1)距离的最小值是____
θ 4.O是坐标原点，P是椭圆 y 2 sinθ （ 是参数）
上离心角为
π 6
x 3 cosθ
所对应的点，那么直线OP
的倾斜角的正切值是______
三.解答题（本大题共2小题，每小题17 分）
（2）因为点A,B都在直线上，可设对应的 参数分别t1,t2，则点A,B的坐标分别为
3 1 A(1 t1 ,1 t1 ), 2 2
3 1 B(1 t 2 ,1 t 2 ) 2 2
2 2 将直线的参数方程代入圆的方程 x y 4
并整理得 t 2 ( 3 1)t 2 0
笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲 线，这条曲线的形状怎样？
我们来解决新课导入中的问题：
y
M B
θ
先分析动点（笔尖）所满
足的几何条件，如图所示，
设开始时绳子外端为 于点A，
o
A x
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一
C10
D2 2
3.直线
x 3 t sin 20 0 y t cos 20
（t为参数）的倾斜角是（） 0
A.200
B. 700
C.1100
0 D.160
x 3 3 cos 4.椭圆 （ 是参数的 两个交点的坐标是（） y 1 5 sin
A.(3,5), (-3,-3)
教学重难点
重点
1.认识摆线。
难点
1.体会数形结合的意义。
我们来解决新课导入中的问题： 如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图形， 设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时位于O 处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心滚动作圆 周运动，转过 θ 角后，圆与直线相切于点A， 线段OA的长等于弧MA的长， 即OA=r ,
坐标为（x,y）取 θ 为参数,依题意得
x OD OA DA OA MC rθ r sinθ y DM AC AB CB r r cosθ
因此摆线的参数方程为
x r (θ sinθ ) y r (1 cosθ )
y
（θ 为参数）
M
导入新课
如果在自行车的轮子上喷一
个白色印记，那么当自行车在笔
直的道路上行驶时，白色印记会
画出什么样的曲线呢？
教学目标
知识与能力
1.直观的认识摆线的形状， 体会它在生活中的应用 2.培养同学们分析曲线的能力
过程与方法
1.通过参数方程的感性认识，初步了解摆线.
情感态度与价值观
1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律. 2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法.
因为|AC|=|BD|=4，所以
C,D的坐标为: C ( 1,0), D(1,0)
因为点P在圆上,可设点P的坐标为
P (5 cosθ ,5 si nθ )
所以： | PC | | PD | (5 cosθ 1)2 (5 sinθ )2 (5 cosθ 1)2 (5 sinθ )2
π 1.已知直线L经过点P（1，1），倾斜角为 α 6 （1）写出直线的参数方程；
x 2 y 2 4相交于两点A,B， （2）设直线与圆
求点P 到A,B两点的距离之积。 2.圆的直径AB上有两点C,D，且 |AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，
求|PC|+|PD|的最大值.
因为t1,t2是方程的解,从而t1t2=-2, 所以
3 2 1 2 3 2 1 2 | PA | | PB | ( t1 ) ( t1 ) ( t 2 ) ( t 2 ) | t1t 2 | 2 2 2 2 2
2.解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为
x 5 cosθ y 5 s i nθ
M
O
.B
θ
A
这就是圆周上定点M在圆B沿直线滚动
过程中满足的几何条件，我们把该曲线
的叫平摆线，简称摆线，又称旋轮线
M
O
.B A
y 根据题意建立如图
M 直角坐标系，设圆的半径为r，
设开始时定点M 在原点，
O
.B A x
圆滚动了θ 后与x轴相切于点A，圆心在点B,
从点M分别作AB,x轴的垂线，垂足为C,D,设点M的
26 10cosθ 26 10cosθ 52 2 262 100cos2 θ
当 cos θ 0 时
(| PC | | PD |)max 52 52 2 26
所以 | PC | | PD | 最大值为
2 26
导入新课
把一条没有弹性的细绳绕在
一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅
曲线上的点是（）
A.(2,7)
1 2 B.( , ) 3 3
1 1 C.( , ) 2 2
D.(1,0)
二.填空题（每小题6分，共24分）
1.直线x+y=1的一个参数方程是____ 2.椭圆 y 2 4 sinθ θ 为参数）的离心率为___ （
x 5 3 cosθ
x 1 cosθ
一.选择题：
1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C
二.填空题：
1.
2 x 1 t 2 2 y t 2
7 2. 4
3.( x 1)2 y 2 1; 5 1
2 3 4. 9
三.解答题：
1.解：（1）直线的参数方程为
3 x 1 t （ t 是参数） 2 1 y 1 t 2
O
.B
A x
一.选择题（本题每小题7分，共42分）
1.曲线 x 1 t 2 , y 4t 3 与X轴交点的直角坐标为（）
Α(1,4)
2.直线
x 2 3t y -1 t
25 Β( ,0) 16
C(1,3)
25 D( ,0) 16
Β. 10
5.直线
x 1 2t y 2 t
B.(3,3), (3,-5) D.(7,-1), (-1,-1)
C.(1,1), (-7,1)
12 B. 5 5
是参数被圆 x 2 y 2 9截得的弦长是（）
12 A. 5
9 C. 2 5
9 D. 10 5
x s i nθ
6.在方程 y cos 2θ（ θ 为参数）所表示的