平面与平面的平行与垂直

【重点节】高三总复习---刘剑敏---2012

平面与平面的平行与垂直

一、考纲要求：掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；

二、知识网络：

三、基础过关

1．两个平面的位置关系：

2．两个平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(记忆口诀：线面平行，则面面平行)

3、两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的平行．

(记忆口诀：面面平行，则线线平行)

4．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为二面角，则这两个平面互相垂直．

5．两个平面垂直的判定：如果一个平面有一条直线另一个平面，则这两个平面互相垂直．

6．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面的垂直于它们的的直线垂直于另一个平面．

四、典型例题

例1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．

(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；

(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．

变式训练1：如图，α∥β，AB交α、β于A、B，

CD交α、β于C、D，AB⋂CD＝O，O在两平面之间，AO＝5，BO＝8，CO＝6．求CD．

A1

A

B

C

B1

C

E

F

M

N

D1

D

B

D

β

α

A C

O

空间两

个平面

两个平面平行

两个平面相

交

距离

两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质二面角

例2 . 已知平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且

n

m

FD CF EB AE ==．求证：EF ∥α∥β．

变式训练2：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．

求证：(1) AP ⊥MN ； (2) 平面MNP ∥平面A 1BD ．

例3.如图，平面α∥平面β，∆ABC ．∆A 1B 1C 1分别在α、β内，线段AA 1、BB 1、CC 1交于点O ，O 在α、β之间，若AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，OA :OA 1＝3:2． 求∆A 1B 1C 1的面积．

B 1 A 1

C 1 β

α B

C

A O

变式训练3：如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 是PD 的中点． 证明：PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；

例4、 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°．

求证：平面ABC ⊥平面BSC ．

变式训练4：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ；

⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°，

SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小．

C A

S D B D

E A C

B P A

S

B C

例5.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PD 的中点，又二面角P －CD －B 为45°．

⑴ 求证：AF ∥平面PEC ；

⑵ 求证：平面PEC ⊥平面PCD ；

⑶ 设AD ＝2，CD ＝22，求点A 到面PEC 的距离．

变式训练5：如图，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． 证明：AB ⊥平面VAD ；

五、小结

1、证明面面平行的方法： (1)定义法；(2)判定定理．

2．注意线线平行，线面平行，面面平行的相互转化：线∥线⇔线∥面⇔面∥面．

3、在证明两平面垂直时，一般方法是从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后再转化为线线垂直．“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．

C B

D F

P

A E C

B V D