第二专题整数的速算与巧算

【第二专题】整数的速算与巧算

前面专题初步讲解一些四则混合运算的性质和简单的运算技巧，但这仅仅是运算的基础，本专题将更深入地介绍一些特定的速算、巧算的方法，以提高计算的效率、节省计算时间，锻炼记忆力，提高综合分析、判断能力，提高解决复杂问题的能力。

【必会知识点】

一、基本运算定律

⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：()()

++=++

a b c a b c

⑶乘法交换律：a b b a

⨯=⨯

⑷乘法结合律：()()

⨯⨯=⨯⨯

a b c a b c

⑸乘法分配律：()

⨯+=⨯+⨯（反过来就是提取公因数）

a b c a b a c

⑹减法的性质：()

--=-+

a b c a b c

⑺除法的性质：()

÷⨯=÷÷

a b c a b c

+÷=÷+÷

a b c a c b c

()

-÷=÷-÷

()

a b c a c b c

（8）其他性质：

a-(b-c)=a-b+c=a+c-b

a-(b+c)=a-b-c

a÷(b÷c)=a÷b×c=a×c÷b

[积不变性质]：同时乘以（或除以）同一个非零数，积不变，即：

a×b=(a×n)×(b÷n)=(a÷n)×(b×n)(n≠0)

[商不变性质]：被除数和除数除以（或乘以）同一个非0的数，商不变，即：a÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷n)÷(b÷n)(n≠0)

[在连除时，可以交换除数位置，商不变]，如a÷b÷c=a÷c÷b

[在乘除混合运算中，被乘数、乘数（或除数）必须连同运算符号一起交换位置（即带符号搬家）[，如：

a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a

上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，【尤其是】可以从右到左逆着用．

二、在乘除运算中，去掉和添加括号的规则

【去括号原则：】

1、括号前是“×”，去括号后，括号的乘除符号不变，

即：a×（b×c）=a×b×c， a×（b÷c）=a×b÷c

2、括号前是“÷”，去括号后，括号的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”，即：a÷（b×c）=a÷b÷c， a÷（b÷c）=a÷b×c；

【添括号原则：】

1、加括号时，括号前是“×”，原符号不变；但此时括号不能有加减运算，只能有乘除运算；

即：a×b×c=a×（b×c），a×b÷c=a×（b÷c）；

2、括号前是“÷”，其中“×”号变成“÷”号，“÷”变为“×”，

但此时括号不能有加减运算，只能有乘除运算．

即，a÷b÷c=a÷（b×c）， a÷b×c=a÷（b÷c）。

（13）两个数之积除以两个数之积等于分别相除后在相乘，

即，（a×b）÷（c×d）=（a÷c）×（b÷d）=（a÷d）×（b÷c）

【多背勤背，灵活运用，尤其逆运算】

【概念】

1．什么是补数？

两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。

如：1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。

又如：11+89=100，33＋67=100，

22+78=100，44+56=100， 55+45=100，这些都互为补数。

对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。如： 87655→12345， 46802→53198， 87362→12638

【要求】补数要达到看见一个数马上想到他的补数的程度【必背的固定算式】

A、式中含有25、125、（或4、8）的情况的4×25=1×4×25=100，

8×25=2×4×25=200,

12×25=3×4×25=300

16×25=4×4×25=400

20×25=5×4×25=500

24×25=6×4×25=600

28×25=7×4×25=700

32×25=8×4×25=800

36×25=9×4×25=900

8×125=1×8×125=1000，

16×125=2×8×125=2000,

24×125=3×8×125=3000

32×125=4×8×125=4000

40×125=5×8×125=5000

48×125=6×8×125=6000

987×9＋5=8888

9876×9＋4=88888

98765×9＋3=888888

987654×9＋2=8888888

9876543×9＋1=88888888

③计算结果为“10……”的

19＋9×9=100

118＋98×9=1000

1117＋987×9=10000

11116＋9876×9=100000

111115＋98765×9=1000000

1111114＋987654×9=10000000 11111113＋9876543×9=100000000 111111112＋98765432×9=1000000000 1111111111＋987654321×9=

④数字142857循环的

142857×2=285714

142857×3=428571

142857×4=571428

142857×5=714285

142857×6=857142

142857×7=999999

其他的可以化为（n-2,3,4,5,6的形式），转化为加法算式

如142857×11=142857×（6+5）

=142857×6+142857×5=857142+714285=1571427

C、几个质数连乘积的，（啥叫质数？需要学会）

质数（素数）：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这样的数叫做质数（素数）

互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。（如：5和6，8和9等）

7×11×13=1001