大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

11.

•、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

1

设 f ( x) (A ) f (0) 2.

设 (x) sin x ),则在x 0处有(

(B ) f (0) 1 (C ) f (0) 0 (D ) -—-，

(x) 3 33 x ，则当 x 1时( 1 x cos x(x (x)与(x)

是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (A )

等价无穷小； (C ) (x)是比(

x)高阶的无穷小;

无穷小. (D ) f (x)不可导. (B ) (x)与(

x)是 (x)是比(

x)咼阶的 x

3.若F(x) 0 (2t x)f(t)dt ，其中f (x)在区间上(

1,1)二阶可导且 f (x) (A )

(B )

(C )

0，则(). 函数F (x)

必在x 0处取得极大值； 函数F (x)必在x 0处取得极小值； 函数F(x)在x °处没有极值，但点(0,F (0))为曲线y

F(x)的拐点； 4. (D)函数F (x)在x 0处没有极值，点(0，F(0))也不是曲线y F(x)的拐点。 设f (x)

是连续函数，且 f (x)

2

—2 2

(C ) x

4小题，每小题

,则 f(x)(

5.

2

x

(A ) 2

(B ) 填空题(本大题有

2

lim (1 3x)K

x 0

1 4分，共16分)

(D ) x 2

6.

已知■co 空是f(x)的一个原函数

x 则 f (x)

7. lim n

—(cos 2

— n n cos 2 j L

n

2

n cos -

n

8.

9. 10.

2

x arcsin x 1

dx

—丄 $1 x 2

2

解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)

设函数y y (x)

由方程e

x y

求— x(1 sin( xy)

1

确定，求y (x)以及y (o ).

设 f (x)

7

x . 厂dx. x 7

)

xe x

， ，2x x 2

，

、 1

求 3 f (x)dx •

f

(xt)dt |计他 A

，且

x 0 x

, A 为常数.求

g(x)

并讨论g(x)

在x 0处的连续性.

y(1)

13.求微分方程xy 2y

x|nx

满足八'

四、解答题(本大题10分)

14. 已知上半平面内一曲线 y y (x) (x o )，过点(0,1)，且曲线上任一点 M(X 0,y 0)处切

线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线X X 。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

15. 过坐标原点作曲线

y ln x

的切线，该切线与曲线y ln x

及x 轴围

成平面图形D.

(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)

16. 设函数f (x )在°」上连续且单调递减，证明对任意的q [°,1]

，

q

1

f (x) d x q f (x)dx

.

f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0

17. 设函数f (x)在0,上连续，且0

证明：在0

，内至少存在两个不同的点1

，2

，使

f (

°

f ( 2)

0.

(提

x

F(x) f(x)dx

示：设

、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、 填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 /COSX 、2

6 - ( ------- ) c —

—

5. e .

6. 2 x .

7. 2 .

8. 3

三、 解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9.解：方程两边求导

e x y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0

g(x )

12.设函数f(x)连续，

1

9的解.

e x y ycos(xy) e x y x cos(xy) 0 y (0) 1

y(x) x 0, y

10.解： u 7

x 7x 6dx

du 原式 1 (1

u)

du

1/1 2 7 u(1 u)

7 u u

1

7仲 |u| 2ln |u 1|) c

lln |x 7 1 2ln|1 1 x 7| C

7

1

7 0 11.解: 3

f(x)dx

3

xd( e

12.解: x

xe

xe 3

1 0

3

x

dx

〔2x x 2dx

、、1 — dx

cos 2 d (令 x

2

1 sin )

-2e 3

4 由 f(0) g(x )

1

f (xt )dt 0 知

g (0)

0。 x

f (u)du xt u 0 x (x

0)

xf(x)

g(x )

g(0) lim

x

x

f (u)du 0 ___________

"2 x x

f(u)du

(x 0)

xf(x) f(x) 100 g(x) 00

lim x 0 2x

x

f (u)du 0 ___________ ~2 x

A

2 , g (x)在x 0处连续。

dy

13.解:dx

2 -y x

-dx x

In y e

'xln 3

1

y(1)

护

-dx

e x I n xdx

Cx 2 四、解答题(本大题 ^xln 3 10

分) x

2 yd x 0

C)

14.解：由已知且y 将此方程关于x 求导得

y 2y

2 特征方程：r r 2 0 解出特征根:

1

,

「2 2.