实数系完备性基本定理的等价性分析

－
A | ≤Bn
－
An ，又因为
lim （
n→∞
Bn
－
An ）
= 0，所以 A =
B，记作 P = A = B，则存在唯一一点 P，使得 P∈［An ，Bn ］，
n = 1，2，3…，所以证明成立．
（ 三） 从区间套定理出发，证明有限覆盖定理
证明 反证法： 假设在 M 中不能选出有限个开区间去
覆盖［A，B］． 将［A，B］等分为两个子区间，则其中至少有一
个子区间不能用 M 中有限个开区间来覆盖． 记不能覆盖的
区间为［A1 ，B1 ］，则［A1 ，B1］［A，B］，且 B1
－ A1
=
1 2
（B－
A） ． 再将［A1 ，B1］等分为两个子区间，同样，其中至少有一个 子区间不能用 M 中有限个开区间来覆盖． 记不能覆盖的区间
为［A2 ，B2 ］，则［A2 ，B2］［A1 ，B1 ］，且
区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则．
定理一： 确界原理，A 为集合，且 A 为非空数集，若集合
A 有上界或下界，则集合 A 必有上确界或下确界．
定理二： 单调有界定理，在实数系中，无论单调递增数
列或单调递减数列，必有极限存在．
定理三： 区间套定理，若｛ ［An ，Bn ］，An ，Bn ∈Ｒ｝ 是一个 区间套，则存在唯一一点 P，使得 P∈［An，Bn］，n = 1，2，3，…．
高教视野
GAOJIAO SHIYE
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实数系完备性基本定理的等价性分析
◎万 骏 （ 三峡大学，湖北 宜昌 443002）
【摘要】本文阐述了实数系完备性的 6 个基本定理，依 次证明，从而证明其等价性．
【关键词】区间套定理； 有限覆盖定理； 聚点定理； 柯西 收敛准则
一、引 言
实数系的完备性可以证明实数系的连续性，反之，实数
少有一个点为集合 S 的聚点，即有界无限点集 S 至少有一
个聚点．
（ 五） 从聚点定： 设 an →X，则对任意的 α 大于 0，存在一
个正整数 Y，当 k ＞ Y 时，有 | ak
－ X|
＜
α 2
，从 而 当
m，n
＞
Y
时，有 | an － am | ≤ | an － X | + | X － am | ＜ α． 充分性： 设数列｛ Xn ｝ 满足条件： 对任意的 α 大于 0，总
存在一个自然数 Y，使得当 m，n ＞ Y 时，都有 | Xm － Xn | ＜ α． 取 α = 1，则存在自然数 Y1 ，当 n ＞ Y1 时，有 | Xn － XY1 + 1 | ＜ 1， 从而 | Xn | ＜ | XY1 + 1 | + 1，令 Ｒ = max｛ | X1 | ，| X2 | ，…，| XY | ， | XY | + 1｝ ，则 对 任 意 n = 1，2，3，…，有 | Xn | ≤ Ｒ，即 ｛ Xn ｝ 有界．
B2
－
A2
= 22 （
1 b－
a）
．
依此类推，不断进行，得到一个闭区间列｛ ［An ，Bn ］｝ ，
它满足［An ，Bn］［An + 1 ，Bn + 1 ］，n = 1，2，3，…．
Bn
－
An
=
2n（
1 B－
A）
→0，（ n→∞
）
，
即｛ ［An ，Bn ］｝ 是一个闭区间套，内部每一个闭区间都 不能用 M 中有限个开区间来覆盖．
根据区间套定理可知，存在唯一的一点 P∈［An ，Bn ］， n = 1，2，3，…． 由于 M 是［A，B］的一个开覆盖，所以有开区
间（ α，β） ∈M，使得 P∈（ α，β） ． 由区间套定理可知，当 n 逐
渐变大时，有［An ，Bn］（ α，β） ． 表明 M 中的某一个开区间 （ α，β） 可以覆盖［An ，Bn ］，与假设“在 M 中不能选出有限个 开区间去覆盖［A，B］”相矛盾． 从而证明在 M 中一定可选出
因为数列｛ An ｝ 单调递增，所以存在 n ＞ n0 ，有 Z － ε ＜ An0 ≤An ≤Z ＜ Z + ε，所以，An →Z（ n→∞ ） ．
（ 二） 从单调有界原理出发，证明区间套定理
证明 由定理三区间套的定义可知，各闭区间的端点
满足： A1 ≤A2 ≤…≤An ≤…≤Bn ≤…≤B2 ≤B1 ．
定理四： 有限覆盖定理，设［A，B］为闭区间，M 为［A，B］
的一个开覆盖，则在 M 中一定可选出有限个开区间，构成
［A，B］上的一个开覆盖．
定理五： 聚点定理，全称为维尔斯特拉斯聚点定理，在
实数系中，有界无限点集 S 至少有一个聚点．
定理六： 柯西收敛准则，数列｛ Xn ｝ 收敛的充分必要条件 是： 对任意的正数 α，存在正整数 N，当 n ＞ N，m ＞ N 时，有
| Xn － Xm | ＜ α． 三、证 明
（ 一） 从确界原理出发，证明单调有界定理
证明 设数列｛ An ｝ 单调递增，且有上界． 那么存在 B ＞ 0，对任意的正整数 n，有 An ＜ B．
令 P = ｛ An | n∈N｝ ，由确界原理知，P 有上确界，记为 Z，则 ZsupP∈Ｒ，从而对任意的 ε ＞ 0，存在正整数 n0 ，使得 Z － ε ＜ An0 ≤Z 成立．
显而易见，｛ An ｝ 单调递增，且有上界，由单调有界定理
可知，数列｛
An ｝
必有极限存在，lim n→∞
An
=
A．
同理，｛ Bn ｝ 单调递减，且有下界，数列｛ Bn ｝ 必有极限存
在，lim n→∞
B
n
=
B．
且对任意 n∈N，有 An ≤A，B≤Bn ，则 A，B∈［An ，Bn ］，那
么
0≤| B
δ） ，P∈［－ Y，Y］｝ ，则 M 为 S 的一个开覆盖． 依据有限覆盖
定理，在 M 中一定可选出有限个开区间覆盖［－ Y，Y］． 记为
Mi = ｛ Pi ，δ｝ ，Pi ∈［－ Y，Y］，从而覆盖 S． 因 Mi 内至多含有 S 中有限个点，与假设“假设［－ Y，
Y］中任何一点都不是 S 的聚点”矛盾． 故区间［－ Y，Y］中至
有限个开区间，构成［A，B］上的一个开覆盖．
（ 四） 从有限覆盖定理出发，证明聚点定理
证明 反证法： 设有界无限点集为 S． 则存在大于 0 的
正数 Y，使得 S［－ Y，Y］，假设［－ Y，Y］中任何一点都不是
S 的聚点．
那么对任意一点 P∈［－ Y，Y］，一定存在 δ（ P） 大于 0，
使得在 C（ P，δ） 中最多有 S 的有限个点． 记为 M = ｛ C（ P，
系的连续性也可 证 明 实 数 系 的 完 备 性，完 备 性 和 连 续 性 是
实数系的重要特 征，在 对 实 数 系 完 备 性 基 本 定 理 进 行 等 价
性分析时，我们首先要了解 6 个基本定理，然后彼此之间进
行循环证明，从而分析其等价性．
二、六大定理
通常所说的六大定理是指： 确界原理、单调有界定理、