备战中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)含答案解析

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．

【答案】（1）y=-2x-3；（2）．

【解析】

试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标

代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与

x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴

线段FH的长．

考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．

2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C （0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x 轴一个动点，若∠MNC＝90°，请求出m的取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣

2,23）

5

5 4

m

-≤≤

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣3

2

）2﹣

5

4

，然后根

据n的取值得到最小值．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），

∴

10

3

b c

c

--+=

⎧

⎨

=

⎩

，解得b＝2，c＝3．

故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

即B（3，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b′，

则

3

30

b

k b

'

'

=

⎧

⎨

+=

⎩

，

解得：k=-1,b’=3

故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），

∴D（t，﹣t2+2t+3），

∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，

∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，

当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，

∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，

∴直线CD 的解析式为y ＝x +3， 解2

3

23y x y x x =+⎧⎨

=-++⎩得03x y =⎧⎨

=⎩或1

4x y =⎧⎨=⎩

∴D （1，4）， 此时P （1，2）；

当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为3，

代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；

当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴

＝﹣t 2+3t ，

解得t ＝0或t ＝3，

此时P （3）；

综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴E （1，4），

设N （1，n ），则0≤n ≤4， 取CM 的中点Q （2m ，3

2

）， ∵∠MNC ＝90°，

∴NQ ＝1

2

CM ， ∴4NQ 2＝CM 2，

∵NQ 2＝（1﹣

2m ）2+（n ﹣3

2

）2，

∴4[（1﹣

2m ）2+（n ﹣3

2

）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣32）2﹣5

4

， ∵0≤n ≤4， 当n ＝

32时，m 最小值＝﹣5

4

，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣

5

4

≤m ≤5．

【点睛】

此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

3．若三个非零实数x ，y ，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x ，y ，z 构成“和谐三组数”．

(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由； (2)若M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数y ＝

k

x

(k 为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，求实数t 的值；

(3)若直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，与抛物线y ＝ax 2+3bx+3c(a≠0)交于B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点．

①求证：A ，B ，C 三点的横坐标x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；