上海进才中学北校八年级数学上册第一单元《三角形》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 在AB 上，将△ABC 沿CD 折叠，点B 落在AC 边上的点B′处，若'20ADB ∠=︒，则∠A 的度数为（ ）
A ．25°
B ．30°
C ．35°
D ．40° 2．如图，ABC 中，将A ∠沿D
E 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多
少度（ ）
A ．60°
B ．75°
C ．85°
D ．90° 3．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（ ） A ．18
B ．19
C ．20
D ．21 4．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．13，11，12
B ．3，2，1
C ．5，12，7
D ．5，13，5 5．下列长度的线段能组成三角形的是（ ） A ．2，3，5 B ．4，6，11 C ．5，8，10 D ．4，8，4 6．如图，在ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，D
E AC ⊥，若
40,60B C ︒︒∠=∠=，则ADE ∠的度数为（ ）
A ．30︒
B ．40︒
C ．50︒
D ．60︒ 7．在△ABC 中，∠A ＝x °，∠B ＝(2x ＋10)°，∠C 的外角大小(x ＋40)°，则x 的值等于（ ） A ．15
B ．20
C ．30
D ．40 8．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、C
E 相交于点D ，则BDC
∠的度数是（ ）
A．65︒B．75︒C．85︒D．105︒
9．长度分别为2，3，4，5的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）
A．8 B．5 C．6 D．7
10．在ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则（）
A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°
11．下列说法正确的有（）个
①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线；②连接C、D两点的线段叫两点之间的距离；③两点之间直线最短；④射线上点的个数是直线上点的个数的一半；⑤n
n-条对角线，这些对角线把这个边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3
n边形分成了()2
n-个三角形．
A．3 B．2 C．1 D．0
12．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（）
A．50°B．65°C．35°D．15°
二、填空题
13．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分割成17个三角形，则n＝______．
14．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是________
∠的度15．如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，那么APB
数为______°．
16．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．
17．鹿鸣社区里有一个五边形的小公园，如图所示，王老师每天晚饭后都要到公园里去散步，已知图中的∠1=95︒，王老师沿公园边由A 点经B→C→D→E ，一直到F 时，他在行程中共转过了_____度．
18．一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则BFD ∠的度数是______．
19．如图，若//AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，90BED ∠=，则BFD ∠=______．
20．如图，线段AD ，BE ，CF 两两相交于点H ，I ，G ，分别连接AB ，CD ，EF ．则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．
三、解答题
21．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于点E ，∠ABC ＝∠ACE ．
（1）求证：AB//CE ；
（2）猜想：若∠A ＝50°，求∠E 的度数．
22．如图，已知点D ，E 分别在ABC 的边AB ，AC 上，//DE BC ．
（1若80ABC ∠=︒，40AED ∠=︒，求A ∠的度数：
（2）若180BFD CEF ∠+∠=︒，求证：EDF C ∠=∠．
23．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点P ，根据下列条件，求BPC ∠的度数．
（1）若40ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，则BPC ∠=______；
（2）若110ABC ACB ∠+∠=︒，则BPC ∠=______；
（3）若90A ∠=︒，则BPC ∠=______；
（4）从以上的计算中，你能发现已知A ∠，求BPC ∠的公式是：BPC ∠=______（提示：用A ∠表示）．
24．已知：在RT △ABC 中，∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，AE 是∠CAB 的角平分线，AE 与CD 交于点F ．
（1）如图1，求证：∠CEF ＝∠CFE ．
（2）如图2，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，请直接写出图中与∠CAE 互余的所有角．
25．在ABC 中，,20A B C A B ∠+∠=∠∠-∠=︒，
（1）求A ∠，B ，C ∠的度数；
（2）ABC 按角分类，属于什么三角形ABC 按边分类，属于什么三角形？ 26．如图1，已知ACD ∠是ABC 的一个外角，我们容易证明ACD A B ∠=∠+∠，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，DBC ∠与ECB ∠分别为ABC 的两个外角，则
DBC ECB ∠+∠_______180A ∠+︒（横线上填“>”、“<”或“=”）．
初步应用：（2）如图3，在ABC 纸片中剪去CED ，得到四边形ABDE ，1135∠=︒，则2C ∠-∠=_______．
（3）解决问题：如图4，在ABC 中，BP 、CP 分别平分外角DBC ∠、ECB ∠，P ∠与A ∠有何数量关系？请尝试证明．
（4）如图5，在四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分外角EBC ∠、FCB ∠，请利用上面的结论直接写出P ∠与A ∠、D ∠的数量关系．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用翻折不变性，三角形内角和定理和三角形外角的性质即可解决问题．
【详解】
∵∠ACB ＝90°，
∴∠A ＋∠B ＝90°，
∵△CDB′是由△CDB 翻折得到，
∴∠CB′D ＝∠B ，
∵∠C B′D ＝∠A ＋∠ADB′＝∠A ＋20°，
∴∠A ＋∠A ＋20°＝90°，
解得∠A ＝35°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．C
解析：C
【分析】
根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．
【详解】
解：∵将A ∠沿DE 翻折，
∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，
∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，
∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，
解得102.5ADE ∠=︒，
∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，
∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．
3．A
解析：A
【分析】
设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列方程求解即可．
【详解】
设多边形的边数为n，
由题意得，（n−2）•180＝160•n，
解得：n＝18，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．【详解】
解：根据三角形的三边关系，
A、11+12＞13，能组成三角形，符合题意；
B、1+2=3，不能组成三角形，不符合题意；
C、5+7=12，不能组成三角形，不符合题意；
D、5+5＜13，不能组成三角形，不符合题意；
故选A．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
5．C
解析：C
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+6＜11，不能组成三角形，不符合题意；
C、5+8>10，能组成三角形，符合题意；
D、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
6．C
解析：C
【分析】
根据三角形内角和180︒求出∠BAC ，再由AD 是ABC ∆的角平分线求得∠DAC ，最后利用直角三角形的两个锐角互余求出∠ADE ，问题得到解决．
【详解】
解：∵40,60B C ︒︒∠=∠=，
∴BAC=180B-C=80∠︒-∠∠︒，
∵AD 是ABC ∆的角平分线， ∴1DAC=BAC=402
∠∠︒， ∵DE AC ⊥，
∴90DAC=50ADE ∠=︒-∠︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，正确理解三角形中角之间的关系是解本题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列出方程求解即可．
【详解】
解：∵∠C 的外角=∠A+∠B ，
∴x+40=2x+10+x ，
解得x=15．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵∠CEA =60︒，∠BAE =45︒，
∴∠ADE = 180︒−∠CEA −∠BAE =75︒，
∴∠BDC =∠ADE =75︒，
故选：B
【点睛】
本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
9．C
解析：C
【分析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【详解】
解：①长度分别为5、4、5，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、7、5，不能构成三角形；
③长度分别为2、3、9，不能构成三角形；
④长度分别为7、3、4，不能构成三角形；
⑤长度分别为3、5、6，能构成三角形，且最长边为6；
⑥长度分别为2、4、8，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
10．D
解析：D
【分析】
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可判断．【详解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴必有一个内角等于90°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．
11．C
解析：C
【分析】
分别利用直线、射线、线段的定义、角的概念和角平分线的定义以及多边形对角线的求法分析得出即可．
【详解】
解：①把一个角分成两个角的射线叫做这个角的角平分线，故原说法错误；
②连接C、D两点的线段的长度叫两点之间的距离，故原说法错误；
③两点之间线段最短，故原说法错误；
④射线上点的个数与直线上点的个数没有关系，故原说法错误；
⑤n 边形从其中一个顶点出发连接其余各顶点，可以画出()3n -条对角线，这些对角线把这个n 边形分成了()2n -个三角形，此说法正确．
所以，正确的说法只有1个，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了直线、射线、线段的定义以及角的概念和角平分线的定义等知识，正确把握相关定义是解题关键．
12．C
解析：C
【分析】
先根据平行线的性质，得出A DOE ∠=∠，再根据DOE ∠是OCE ∆的外角，即可得到C ∠的度数．
【详解】
解：∵AB//CD ，45A ∠=︒，
∴45DOE ∠=︒，
∵DOE E C ∠=∠+∠，
∴501535C DOE E ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，正确得出DOE ∠的度数是解题的关键．
二、填空题
13．19【分析】根据从n 边形的一个顶点出发连接这个点与其余各顶点可以把一个n 边形分割成（n-2）个三角形的规律作答【详解】解：∵一个多边形从一个顶点出发连接其余各顶点可以把多边形分成(n-2)个三角形∴
解析：19
【分析】
根据从n 边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个n 边形分割成（n-2）个三角形的规律作答．
【详解】
解：∵一个多边形从一个顶点出发，连接其余各顶点，可以把多边形分成(n-2)个三角形， ∴n -2=17，
∴19n =．
故答案为：19．
【点睛】
本题主要考查多边形的性质，解题关键是熟记多边形顶点数与分割成的三角形个数的关系．
14．10<L<16【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围再根据不等式的性质求出答案【详解】设第三边长为x∵有两条边分别为3和5∴5-
3<x<5+3解得2<x<8∴2+3+5<x+3+5<8+3
解析：10<L<16
【分析】
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据不等式的性质求出答案．
【详解】
设第三边长为x，
∵有两条边分别为3和5，
∴5-3<x<5+3,
解得2<x<8，
∴2+3+5<x+3+5<8+3+5，
∵周长L=x+3+5,
∴10<L<16,
故答案为: 10<L<16．
【点睛】
此题考查三角形三边关系，不等式的性质，熟记三角形的三边关系确定出第三条边长是解题的关键．
15．60【分析】先由题意得到∠A=∠B=根据直角三角形两锐角互余求得结果【详解】∵飞机P在目标A的正上方飞行员测得目标B的俯角为
30°∴∠A=∠CPB=∵CP∥AB∴∠B=∠CPB=∴=-∠B=故答案为
解析：60
【分析】
先由题意得到∠A=90︒，∠B=30，根据直角三角形两锐角互余求得结果．
【详解】
∵飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30°，
∴∠A=90︒，∠CPB=30,
∵CP∥AB，
∴∠B=∠CPB=30,
∠=90︒-∠B=60︒,
∴APB
故答案为：60．
【点睛】
此题考查直角三角形两锐角互余的性质，理解飞行员测得目标B 的俯角为30°得到∠B=30是解题的关键．
16．6【分析】根据DE 分别是三角形的中点得出G 是三角形的重心再利用重心的概念可得：2GD ＝AG 进而得到S △ABG ：S △ABD ＝2：3再根据AD 是△ABC 的中线可得S △ABC ＝2S △ABD 进而得到答案【详
解析：6
【分析】
根据D ，E 分别是三角形的中点，得出G 是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD ＝AG 进而得到S △ABG ：S △ABD ＝2：3，再根据AD 是△ABC 的中线可得S △ABC ＝2S △ABD 进而得到答案．
【详解】
解：∵△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，
∴2GD ＝AG ，
∵S △ABG ＝2，
∴S △ABD ＝3，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴S △ABC ＝2S △ABD ＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．
17．275【分析】王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数由多边形的外角和即可求解【详解】解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数∵多边形的外角和为360°∴
解析：275
【分析】
王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，由多边形的外角和即可求解．
【详解】
解：王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数，
∵多边形的外角和为360°，
∴他在行程中共转过了()36018095275︒-︒-︒=︒，
故答案为：275．
【点睛】
本题考查多边形的外角和，明确王老师每次转过的角度之和为该五边形的外角和减去∠1的外角度数是解题的关键．
18．15°【分析】先根据直角三角板的性质得出∠B及∠CDE的度数再由补角的定义得出∠BDF的度数根据三角形内角和定理即可得出结论【详解】解：∵图中是一副直角三角板∴∠B=45°∠CDE=60°∴∠BDF
解析：15°
【分析】
先根据直角三角板的性质得出∠B及∠CDE的度数，再由补角的定义得出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠B=45°，∠CDE=60°，
∴∠BDF=180°-60°=120°，
∴∠BFD=180°-45°-120°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．19．45°【分析】如图作射线BF与射线BE根据平行线的性质和三角形的外角性质可得∠ABE+∠EDC＝90°然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案【详解】解：如图作射线BF与射线BE∵AB∥
解析：45°
【分析】
如图，作射线BF与射线BE，根据平行线的性质和三角形的外角性质可得∠ABE+∠EDC＝90°，然后根据角平分线的定义和三角形的外角性质即可求出答案．
【详解】
解：如图，作射线BF与射线BE，∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，
∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠1+∠3＝1
2∠ABE+1
2
∠EDC＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，
∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
20．360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可【详解】解：
∵∠BHI=∠A+∠B∠DIF=∠C+∠D∠FGH=∠E+∠F∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B +∠C+∠D+∠E+∠
解析：360°
【分析】
根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可．
【详解】
解：∵∠BHI=∠A+∠B，∠DIF=∠C+∠D，∠FGH=∠E+∠F，
∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
∵∠BHI+∠DIF+∠FGH=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为：360°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于360°．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）25°
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE，得到∠ABC=∠ECD，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案．
【详解】
（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACE，
∴∠ABC＝∠ECD，
∴AB∥CE；
（2）∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝1
2∠ACD﹣1
2
∠ABC＝1
2
∠A＝25°．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角性质及平行线的判定、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
22．（1）60A ∠=︒；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得80ADE ABC ∠=∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求得A ∠的度数；
（2）根据三角形外角的性质可得BFD EDF DEF ∠=∠+∠，再结合
180BFD CEF ∠+∠=︒可得180EDF DEC ∠+∠=︒，根据两直线平行同旁内角互补即可证明结论．
【详解】
解：（1）∵//DE BC ，80ABC ∠=︒，
∴80ADE ABC ∠=∠=︒，
∵40AED ∠=︒，
∴18060AE A ADE D ∠=︒-∠=∠-︒；
（2）∵BFD EDF DEF ∠=∠+∠,180BFD CEF ∠+∠=︒，
∴180EDF DEF CEF ∠+∠+∠=︒，即180EDF DEC ∠+∠=︒，
∵//DE BC ，
∴180C DEC ∠+∠=︒，
∴EDF C ∠=∠．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理．能正确理解定理，根据图形得出角度之间的关系是解题关键．
23．（1）130°；（2）125°；（3）135°；（4）1902A ︒+
∠． 【分析】
（1）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；
（2）依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；
（3）依据∠A=90°，可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC 的度数；
（4）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB 的度数，依据∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，可得∠2+∠4的度数，依据三角形内角和定理，即可得到∠BPC=90°+
12
∠A ． 【详解】
解：如下图所示，
（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，
∴∠2+∠4=20°+30°=50°，
∴△BCP 中，∠P=180°-50°=130°，
故答案为：130°；
（2）∵∠ABC+∠ACB=110°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，
∴∠2+∠4=12
×110°=55°， ∴△BCP 中，∠P=180°-55°=125°，
故答案为：125°；
（3）∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ，
∴∠2+∠4=12
×90°=45°， ∴△BCP 中，∠P=180°-45°=135°，
故答案为：135°；
（4）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点P ， ∴124(180)2
A ∠+∠=⨯︒-∠， ∴△BCP 中，11180(180)9022P A A =︒-
⨯︒-∠=︒+∠∠． 故答案为：1902
A ︒+
∠． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．
24．（1）见解析；（2）图中与∠CAE 互余的角有∠CEA ，∠GEA ，∠CFE ，∠DFA ．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠DAF ＝∠CAE ，再根据等角的余角相等、对顶角相等，可得∠CEF ＝∠CFE ；
（2）根据互余的两个角的和为90°求解即可．
【详解】
（1）证明：∵∠ACB ═90°，CD ⊥AB ，
∴∠DAF +∠AFD ＝90°，∠CAE +∠CEF ＝90°，
又∵AE 是∠CAB 的角平分线，
∴∠DAF ＝∠CAE ，
∴∠AFD ＝∠CEF ，
又∵∠AFD ＝∠CFE ，
∴∠CEF ＝∠CFE ；
（2）∵EG ⊥AB 于点G ，
∴∠DAF +∠GEA ＝90°，
由（1）可知∠DAF ＝∠CAE ，∠CAE +∠CEF ＝90°，∠CEF ＝∠CFE ＝∠DFA ，
∴图中与∠CAE 互余的角有∠CEA ，∠GEA ，∠CFE ，∠DFA ．
【点评】
本题考查了角平分线的定义和余角的定义，解决本题的关键是熟记余角的定义． 25．（1）∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；（2）ABC 按角分类属于直角三角形，按边分类属于不等边三角形
【分析】
（1）根据三角形内角和定理根据方程组即可解决问题．
（2）根据三角形的分类解决问题即可．
【详解】
（1）由题意得：
20180A B C A B A B C ∠+∠=∠⎧⎪∠-∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩
，
解得：553590A B C ∠=︒⎧⎪∠=︒⎨⎪∠=︒⎩
，
∴∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；
（2）∵∠C=90°，∠A=55°，∠B=35°，
∴按角分类，属于直角三角形，
按边分类，属于不等边三角形．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（1）= （2） 45° （3）1902
P A ∠=︒-∠；证明见解析 （4）1118022
P A D ∠=︒-∠-∠ 【分析】
（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC ＝∠A ＋∠ACB ，∠ECB ＝∠A ＋∠ABC ，两式相加可得结论；
（2）利用（1）的结论：∵∠2＋∠1−∠C ＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；
（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝1
2
∠DBC，∠BCP＝1
2
∠ECB，根据三角形内角和
可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，可得：∠P＝
90°−1
2
∠A；
（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180°−∠1，∠FCB＝180°−∠2，由角平分线得：∠3＝
1 2∠EBC＝90°−1
2
∠1，∠4＝1
2
∠FCB＝90°−1
2
∠2，相加可得：∠3＋∠4＝180°−1
2
（∠1＋∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．【详解】
（1）∠DBC＋∠ECB−∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，
∴∠DBC＋∠ECB＝2∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°＋∠A，
∴∠DBC＋∠ECB＝∠A＋180°，
故答案为：＝；
（2）∠2−∠C＝45°．
理由是：∵∠2＋∠1−∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2−∠C＋135°＝180°，
∴∠2−∠C＝45°．
故答案为：45°；
（3）∠P＝90°−1
2
∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝1
2∠DBC，∠BCP＝1
2
∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°−∠CBP−∠BCP＝180°−1
2
（∠DBC＋∠ECB），∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，
∴∠P＝180°−1
2（180°＋∠A）＝90°−
1
2
∠A；
（4）∠P＝180°−1
2
（∠A＋∠D）．
理由是：如图：
∵∠EBC＝180°−∠1，∠FCB＝180°−∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°−1
2∠1，∠4＝1
2
∠FCB＝90°−1
2
∠2，
∴∠3＋∠4＝180°−1
2
（∠1＋∠2），
∵四边形ABCD中，∠1＋∠2＝360°−（∠A＋∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°−（∠3＋∠4）＝1
2
（∠1＋∠2），
∴∠P＝1
2×[360°−（∠A＋∠D）]＝180°−
1
2
（∠A＋∠D）．
【点睛】
本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．。