分数阶小波包时频域的信号去噪新方法_黄雨青

信号，波形采样 1 024 点，噪声为高斯白噪声。如图 2 所示。
WT 去噪处理中，设计了 7 个输入信噪比，分别选取了 常用的 db 和 sym 系列小波基函数，采用 2 到 5 层变换分 解，对比其输出信噪比，最终选取 db4 小波基函数，采用 4 层变换分解； FRFT 去噪处理中，选取分数阶 p = 0． 96。 4． 1． 1 最优分数阶 p 值选取
1） 与小波作乘积；
2） 与 chirp 信号作乘积；
3） 做 Fourier 变换；
4） 再与 chirp 信号作乘积；
5） 与复相位因子相乘。
根据分析可知以上的分数阶小波包变换是一个可逆
的变换，因此可以用于信号去噪处理。
3 分数阶小波包时频域的信号去噪
3． 1 基于 FRWPT 的信号去噪算法
设带噪信号可以表示为：
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仪器仪表学报
第32 卷
Dp （ vk ） ，v 域为分数阶小波包时频域。 3） 在最优分数阶小波包时频域内，对变换后的信号
Xp （ vk ） 作窄带通滤波，采用软阈值法，取使去噪效果最 好的阈值作为带宽阈值：
{ y^ = Th（ X，t） =
sgn（ X） （ | X | － t） 0
| X|≥t | X| ＜ t
第 32 卷 第 7 期 2011 年 7 月
仪器仪表学报
Chinese Journal of Scientific Instrument
Vol. 32 No. 7 Jul． 2011
分数阶小波包时频域的信号去噪新方法*
黄雨青，王友仁，罗 慧，孔德明
（ 南京航空航天大学自动化学院 南京 210016）
{ } SNRin
= 10lg
∑s2 （ t） ∑d2（ t）
（ 7）
{ } ∑s2（ t）
SNRout = 10lg
^
∑［s（ t） － s（ t） ］2
（ 8）
式中： s（ t） 为原始信号，d（ t） 为噪声信号，^s（ t） 为经过
去噪处理之后的输出信号。
对信号进行去噪处理，输出信噪比越高，输出信号就
越接近原始信号，则该去噪方法去噪效果越好。
4 应用实例研究
将本文提出的 FRWPT 去噪算法与 FFT、WT、FRFT 去噪算法分别用于 MATLAB 中的具有代表性的仿真信 号 Bumps 和实际语音信号“北京”的去噪处理，进行实验 比较。 4． 1 仿真信号去噪及其结果
在 MATLAB 软件环境下，仿真设计了具有代表性的 Bumps
New signal de-noising method based on fractional wavelet packet transform in time-frequency domain
Huang Yuqing，Wang Youren，Luo Hui，Kong Deming
（ College of Automation Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）
摘 要： 为了提高信号去噪的效果，提出了一种基于分数阶小波包变换（ FRWPT） 的信号去噪新方法。该方法根据输出信号信 噪比的大小，用迭代法寻找分数阶小波包变换的最优分数阶 p 值，通过分数阶小波包变换将带噪信号映射到最优分数阶小波包 时频域内，对变换后的信号进行窄带通滤波，最后通过分数阶小波包逆变换对信号进行重构，实现分数阶小波包时频域内的信 号去噪。以带噪 Bumps 信号和语音信号为例的去噪实验结果表明，采用该方法去噪后的信号信噪比明显提高，在抑制噪声的 同时可以有效保持细节信息。 关键词： 信号去噪； 分数阶小波包变换； 小波变换； 分数阶 Fourier 变换 中图分类号： TN206 文献标识码： A 国家标准学科分类代码：510． 40
－∞
a
（ 1）
由式（ 1 ） 可 以 看 出，FRWPTFα 是 一 个 时 间-频 率 函 数，也就是信号 f（ t） 的时频分析。其中 α = pπ /2，p 即为
分数阶数，取值范围为 （ 0，1］。当 α
=
π 2
时，FRWPT
为
波包变换。
波包变换（ WPT） 可以看作是短时傅里叶变换和连
续小波变换的“混合”，即：
x（ t） = s（ t） + d（ t）
（ 4）
式中： s（ t） 表示原始信号，d（ t） 表示干扰噪声。根据线
性变换的叠加原理可知，两个加性混合且相互独立的信
号的 FRWPT 等 于 它 们 各 自 的 FRWPT 之 和。因 此，式
（ 4） 两边同时做 FRWPT 可得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Xp（ vk） = Sp（ vk） + Dp（ vk）
Abstract： In order to improve the de-noising effect in signal de-noising，a novel signal de-noising method based on fractional wavelet packet transform （ FRWPT） is proposed in this paper． The optimal fractional order of FRWPT is obtained with an iterative algorithm according to the SNR of output signals． Noisy signal is transformed into optimal factional wavelet packet time-frequency domain using an optimal FRWPT． Then，the transformed signal is filtered with a narrow band-pass filter． Finally，the signal is reconstructed with an inverse FRWPT． De-noising results of noisy Bumps signal and speech signal show that the SNR of the output signals can be effectively improved． The results also show that the proposed method can preserve detail information effectively and reduce noise at the same time． Key words： signal de-noising； fractional wavelet packet transform； wavelet transform； fractional Fourier transform
t a
，那么 ‖ψa‖ = ‖ψ‖ =
1。因为 WPT 是加窗的 Fourier 变换，即 ψa，所以可以得
到 FRWPT 恒等式的分解形式为：
+∞ +∞
∫ ∫－∞ －∞ dudb（ Fαf） （ u，a，b） （ Fαg） * （ u，a，b） =
∫∫ ∫ ∫ dudb kα（ u，t） ψα（ t － b） f（ t） dt × kα（ u，t'） ψα（ t' －
黄雨青 等： 分数阶小波包时频域的信号去噪新方法
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近年来，分数阶 小 波 变 换 成 为 一 种 新 的 信 号 处 理 方 法。1997 年 Mendlovic 和 Zalevsky 首次提出了分数阶小 波变换的定义形式［11］，1998 年 Huang Ying 提出了一种 分数阶小波包变换的定义［12］，并证明了该变换满足能量 守恒定律，这两种分数阶小波变换的定义都是基于 WT 和 FRFT。WT 是对信号时频域的 多 分 辨 率 分 析，FRFT 是对传统 FFT 的推广。分数阶小波变换结合了二者的优 点，将多分辨 率 分 析 理 论 推 广 到 时 域-广 义 频 域。近 年 来，分数阶小波变换开始初步用于光谱分析［13］以及通过 光学实现用于图像加密［14-16］，其他领域尚未得到广泛应 用，还有待进一步研究和推广。
本文根据文献［12］的 FRWPT 理论，提出了一种基 于 FRWPT 的信号去噪方法，根据估计信号的信噪比用迭 代法寻找最优分数阶 p 值，对带噪 Bumps 信号以及语音 信号进行最优 FRWPT 去噪，通过与基于传统 FFT、WT、 FRFT 的信号去噪方法作对比分析，证明了本文方法不仅 能有效去除噪声而且减小了信号的失真。
（ 6）
式中： t 为阈值。
4） 对滤波后的信号作 p 阶的分数阶小波包逆变换，
还原时域波形，便可得到抑制噪声之后的信号。
3． 2 设定去噪效果评价指标
为了检验算法的去噪效果，引入信噪比，本文用输入
信噪比（ SNRin ） 和输出信噪比（ SNRout ） 分别表示输入 带噪信号的信噪比和输出信号的信噪比，分别定义如下：
∫ ∫∫ b） g（ t'） dt' = db δ（ t － t'） ψα（ t － b） ψ*α （ t' － b） ×
∫∫ f（ t） g* （ t'） dtdt' = dbdt | ψα（ t － b） | 2 f（ t） g* （ t） =
‖ψα‖［f，g］ = ［f，g］
（ 3）
FRWPT 的计算步骤如下：
∫ ( ) 1
+∞
e －jut ψ
t－b
f（ t） dt
槡2πa －∞
a
（ 2）
由式（ 2） 可以看出，WPT 就是一个加窗信号的 Fou-
rier 变换，加窗函数是经 a 展宽和经 b 平移的小波。 FRWPT 能够满足能量守恒定律，证明如下［12］：
( ) 如果定义 ψa（ t） = 1 ψ 槡a
收稿日期： 2010-09 Received Date： 2010-09 * 基金项目： 航空科学基金（ No． 2009ZD52045） 、江苏省研究生科研创新计划项目（ No． CX10B_098Z） 、南京航空航天大学基本科研业务费专 项科研项目（ No． NS2010065） 资助项目
第7 期
2 分数阶小波包变换定义及算法
文献［12］提出了一种基于 FRFT 和 WT 的概念定义 的分数阶小波包变换。
根据该定义一个给定信号 f（ t） 的 FRWPT 为：
槡 （ Fαf） （ u，a，b） =
1 － jcotαej u2/2 cotα × 2π
∫ ( ) +∞ ψ
t－b
f（ t） ej t2 /2 e dt cotα jut cscα
1引 言
含噪信号的去 噪 一 直 是 电 子 测 量、仪 器 仪 表 及 信 号 处理领域一个重要的问题。目前，常用的去噪方法按实 现的空间可分为空间域去噪、频率域去噪和时频变换域 去噪。前两类去噪方法要么完全在空间域展开，要么完 全在频率域展开，造成了顾此失彼的局面，虽然抑制了噪
声，却损失了边缘细节信息特征。时频分析技术的发展， 为信号去噪提供了一些新的途径，时频变换域去噪主要 有小波变换 （ WT） 去 噪［1-6］、分 数 阶 Fourier 变 换［7］ （ FRFT） 去噪［8-9］等方法。其中，WT 作为一种有效的时间、空 间和尺度分析方法［10］，克服了 Fourier 变换 （ FFT） 的 不 足，成为目前研究开发的一个前沿热点。但是，基于 WT 的去噪法会忽略信号的细节、突变等部分细小的重要成 分，导致信号中有用成分的丢失。
（ 5）
式中： Xp （ vk ） 、Sp （ vk ） 和 Dp （ vk ） 分 别 表 示 离 散 信 号
x（ n） 、s（ n） 和 d（ n） 的离散 FRWPT，p 表示 FRWPT 的阶
数。
FRWPT 用于信号去噪的具体实现流程如图 1 所示。
图 1 FRWPT 去噪流程 Fig． 1 The flow chart of de-noising process using FRWPT
FRWPT 去噪方法的具体实现步骤如下： 1） 输入带噪信号 x（ t） ，根据输出信号的信噪比，采用迭 代法，p 值范围从 0 到 1（ p = 1 时，做波包变换） ，迭代步长 为 0． 01，寻找使输出信噪比达到最大的最优分数阶 p 值。 2） 对带噪信号 x 作 p 阶 FRWPT，映射到最优分数阶 小波包时频域，得到变换后的信号 Xp （ vk ） = Sp （ vk ） +