边际与弹性

例2
设某产品生产 Q
单位的总成本
C
(Q)
1100
Q2 1200
，
求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本；
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率；
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9020
C(Q) 1100 1775
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量的相对改变量
y0
f ( x0 )
x 之比 y
x0
x
y0 x0
为函数从
x0到
x0
x两点间的平均相对变化
第六节 边际与弹性
一、 边际的概念
定义: 如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x)内
的平均变化率为y ；在 x x
x0处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0 )
f (x0 )
，
经济学中称它为 f (x)在 x x0处的边际函数值.
相应定义了一个函数：边际函数
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
销 售 1 5 个 单 位 时 , 总 收 益 R
5
Q 2
(2 0 Q )
2 5 5
Q 1 5
5
Q 1 5
平均R收 益 R(Q) 25517
Q15 Q Q15 15
边际 R (Q 收 ) 益 (2 02Q ) 14
Q 1 5
5 Q 15
当 销 售1量 5个从 单 位 增 20个 加单 到位 时 收 益化的率平为均
时的边际C成 (Q) 本1.5 Q900
2. 边际收益总收益R函 (Q)的 数导数
R(Q)LimRLimR(QQ)R(Q)
Q0Q Q0
Q
称为边际收. 益函数
设 P 为价 PP (格 Q )， ， 因此
R (Q )P Q Q P (Q )， R (Q )P (Q )Q P (Q )
3. 边际利润 总利润L函 (Q)数 的导数
设在点 x x0处， x从 x0 改变一个单位时 y 的增量y 的准确值为y xx0 ，当 x 改变量很小时，则由微分的应用
x1
知道， y 的近似值为
y
x x0 x1
dy
f
(
x)x
x x0 x1
f ( x0 )
当x 1时，标志着 x从 x0减小一个单位.
例1 设函数 y 2x2 ，试求 y在 x 5时的边际函数值．
L(Q)LimLLimL(QQ)L(Q)
Q0Q Q0
Q
称为边际. 利润
边际利润表示：若已经生产了Q单位产品， 再生产一个单位产品所增加的总利润．
一般情况下，数 总 L(Q利 )等润 于函 总收益函数
R(Q)与总成本 C(函 Q)之 数差．即
L(Q)R(Q)C(Q),则边际利润为: L(Q)R(Q)C(Q)
RR(20)R(15) 32025513
Q 2015
5
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分 析后，得出总利润 L(Q) (元)与每月产量 Q (吨)的 关系为 L L(Q) 250Q 5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释．
解 边际利 L(Q )润 2为 51 0Q 0,则
4. 边际需求 若 Qf(P)是 需 求 函 数 ， 则 需 求 量 Q 对 价 格 P
的 导 数 dPf(P)称 为 边 际 需 求 函 数 . dQ
显 然f， (P)
1
f 1(Q)
例 6某 商 品 的 需 求 函 数 为 Q Q (P ) 7 P 52， 求 P4
时 的 边 际 需 求 ， 并 说 明 经 济 意 义 ．
Q
边际收 R (Q )益 5(2函 Q )e数 2(0Q 6)
例 3 设某产品的需求函数为P 20 Q，其中P 为价格，Q为销售量，
5
求销售量为 15 个单位时的总收益，平均收益与边际收益．并求销售量
从 15 个单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率．
解 总收 R 益 Q(Q P 为 )2Q 0Q 2
解 y4x,y|x520
该值表明：当 x 5时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位），y 改变 20 个单位（增加或
减少 20 个单位）．
Байду номын сангаас
二、 经济学中常见的边际函数
1)边际成本
总成本 C(Q )函 的数 导数
C(Q )Li m CLiC m (QQ )C(Q )
Q 0Q Q 0
Q900
1200
平均成本为 C(Q)
17751.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为
C (Q )C (10 ) C 0 (90)0 1 09 1 97 3 1 7 .55 8 Q 10 9 00 00 100
(3)边 际 成C本 (Q) 函 2Q数 Q,当 Q900 1206 000
显然,边际利润可由边际收入与边际成本决定,
C(Q)
0
R(Q)C(Q) 时, L(Q)0
C(Q)
0
例4. 当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的
需求函数为P
P(Q)
10e
Q
2，其中Q为需求量，P为价格，
且最大需求量为6．求该商品的收益函数和边际函数．
解
Q
收 益 R (Q ) 函 P Q 1 数 Q 02 e (0Q 6 )
解 Q ( P ) d P 2 P ,当 P 4 时 的 边 际 需 求 为 Q ( P ) 8
d Q
P 4
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下降）1个 单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
定义： 设函数 y f ( x)在点 x0处可导，且 x0 0，称函数的
Q
2)边际平均成本：
平 均 成 C(本 Q)的 导 数
C(Q)CQ (Q)
QC(QQ)2C(Q)称
为
平
均
边.
际
成
本
总 成 C (Q )等 本于 固 C 0与 定可 成 C 变 1(本 Q )之 成和 本， 即C ： (Q )C 0C 1(Q )
而边际成本则为：
C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q) 这样可以看出，边际成本与固定成本无关．