工程力学课件(华中科技大学)

例6.3 钢螺栓内径12mm, 节距为 1mm，ES=210GPa； 钢螺栓内径12mm, mm， 210GPa； 铝撑套外径为30mm, 内径20mm， 70GPa, 铝撑套外径为30mm, 内径20mm，EL=70GPa, 长 150mm。 150mm。[σ]钢=200MPa,[σ]铝=80MPa。装配时螺母 200MPa,[σ 80MPa。 拧至尺寸后 再拧紧1 尺寸后, 校核螺栓、撑套的强度。 拧至尺寸后, 再拧紧1/4圈。校核螺栓、撑套的强度。 解：1)平衡分析 若螺栓为刚性 1)平衡分析 拧紧后撑套缩短，如图。 拧紧后撑套缩短，如图。 事实上撑套压缩时螺栓受 拉伸长，平衡位置如图。 拉伸长，平衡位置如图。 --(1) --(1) 有： FNS=FNL=F 2)变形几何协调条件 有： 变形几何协调条件 --(2) δS+δL=∆, δ ∆ ∆=1×1/4=0.25mm × 是拧紧1/4圈所移动的距离 圈所移动的距离。 ∆是拧紧 圈所移动的距离。
W +
G
FN
∫
x 0
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γπ r x2 dx = σ 0 π r x2
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γπr γπ x2=2σ0πrxdrx/dx σ
上式即为： 上式即为： dx=(2σ0/γrx)drx σ γ 积分， 从x=0, rx=r0；到x=x, rx=rx积分， 得到： 得到： 2σ 0 rx
x=
W
r0 rx
o x h
γ
ln(
r0
)
dx
0
最后有: 最后有
r x = r0 e
γx / 2σ
可见， 关系是非线性的， 越大 越大， 越大。 可见，x—rx关系是非线性的，x越大，rx越大。 若按上述结果设计截面半径r 若按上述结果设计截面半径 x，则圆柱内任一截面上 的应力均为σ0。 的应力均为σ 等强度设计可充分发挥材料的潜力。但是， 等强度设计可充分发挥材料的潜力。但是，复杂的几 何形状不利于加工， 何形状不利于加工，实际设计中往往采用几何形状相 对简单的近似等强度设计 等强度设计。 对简单的近似等强度设计。如用台阶代替曲线。 13
危险截面：
工作应力σ 工作应力σ大、许用应力[σ]小的截面。 许用应力[ 小的截面。 截面 危险截面满足强度条件。 处处满足强度条件 危险截面满足强度条件。 段为钢制， 和 如：杆AB段为钢制，BC和 段为钢制 CD为铜制。轴力如图。 为铜制。 为铜制 轴力如图。 AB段：轴力最大，σAB大； 段 轴力最大，
例6.4 试设计顶端承重W的等强度圆柱。 r0 试设计顶端承重W的等强度圆柱。 等强度设计：构件各截面应力相等。 等强度设计：构件各截面应力相等。 解：在x=0处，截面半径为 0, 压应力为 处 截面半径为r W=σ0πr02. σ0=W/πr02. 或 π σ 距顶端x 半径为r 截面内力为： 距顶端x处，半径为rx, 截面内力为：
FN = W + G = W +
W
o x h
rx
dx
∫
x
0
γπ r dx
2 x
---(1)
W
等强度设计，截面 处应力也应等于 处应力也应等于σ 等强度设计，截面x处应力也应等于σ0。有： FN=σ0πrx2 ---(2) σ 由(1)、(2)二式有： (1)、(2)二式有 二式有： 二端对x微分后得： 二端对x微分后得：
和CD， [σ]铜=70MPa；AC段截面积 A1=100mm2 , CD， =70MPa；AC段截面积 CD段截面积 A2=50mm2 ；试校核其强度。 CD段截面积 试校核其强度。 解：画轴力图。 画轴力图。 求各段应力： 求各段应力： 用 N-mm-Mpa 单位系 σAB=9×103/100=90MPa × σBC=-6×103/100=-60MPa × × σCD=4×103/50=80MPa.
9kN A 9kN 15kN B + C 10kN D + 4kN 4kN
FN图
-
BC段：与AB段同面积， 段 段同面积， 段同面积 FNBC <FNAB ， σBC < σAB ；但[σ]铜<[σ]钢； [ CD与BC材料同 FN小；面积 CD也小； σCD可大； 材料同, 面积A 也小； 可大； 与 材料同 故各段均可能为危险截面，都需要校核。 故各段均可能为危险截面，都需要校核。 若各段材料相同, 危险截面只有AB、 段 若各段材料相同 [σ]同，危险截面只有 、CD段。 对拉、 对拉、压许用应力不同的 σAB<[σ]拉 ；σBC<[σ]压 8 材料，应分别考虑， 材料，应分别考虑，即：
+ 向 6kN
例6.2 图中杆1为钢杆，截面积 A1 图中杆1为钢杆， 为木杆， [σ]钢=120MPa; 杆2为木杆， A2=100cm2, [σ木]压=15MPa; 试确定结构许用载荷Fmax 试确定结构许用载荷F =6cm2,
3m 杆1 4m α 杆2
C
F
研究C点 平衡方程求各杆内力 求各杆内力： 解：1)研究 点，列平衡方程求各杆内力： 研究 F1 ΣFy=F2cosα-F=0 α C F2 ΣFx=F2sinα-F1=0 α F 压力) 拉力) 得：F2=5F/4 (压力 ；F1=3F/4 (拉力 压力 拉力 2)由强度条件确定许用载荷 确定许用载荷: 由强度条件确定许用载荷 对于钢杆1， σ 对于钢杆 ，有 F1≤A1[σ]钢，即: 3F/4≤120×106×6×10-4 ⇒ F钢≤96×103N ≤ × × × 对于木杆2， 对于木杆 ，有 F2≤A2[σ木]压，即: σ 5F/4≤15×106×100×10-4 ⇒ F木≤120×103N ≤ × × × 3)保证结构安全，杆1、2均需满足强度要求，有： 3)保证结构安全 保证结构安全， 均需满足强度要求， 9 Fmax≤min( 钢, F木)=96kN min(F )=96kN
结构/构件强度的控制参量是应力。 结构/构件强度的控制参量是应力。
工作应力： 工作应力： σ 构件在可能受到的最大工作载荷作用下的应力。 构件在可能受到的最大工作载荷作用下的应力。 ( 由力学分析计算得到 ) 极限应力： 材料可以承受的强度指标。 极限应力： σys 、 σb 材料可以承受的强度指标。 延性材料： 脆性材料： 延性材料： σys ； 脆性材料： σb ( 通过材料力学性能的实验得到 ) 强度判据： ( 作用 ≤ 抗力 ) 强度判据： 结构或构件的工作应力≤ 结构或构件的工作应力≤ 材料的极限应力 σys 延性材料 σ≤ σb 脆性材料
安全系数 n 的确定： 的确定：
误差大、工作条件恶劣、破坏后果严重， 应越大 应越大。 误差大、工作条件恶劣、破坏后果严重，n应越大。 显然，安全系数越大越安全； 显然，安全系数越大越安全； 但是， 降低或W增加。经济效益下降。 但是， n大, [σ]小，P降低或W增加。经济效益下降。 在安全性、经济性和轻量化的要求中寻求优化。 在安全性、经济性和轻量化的要求中寻求优化。 n的选取，取决于对问题的认识程度，已往的经验。 的选取，取决于对问题的认识程度，已往的经验。 设计中，强度条件可一般地写为： 设计中，强度条件可一般地写为： σ≤[ σ≤[σ] 对于轴向拉压 轴向拉压杆 强度条件为 对于轴向拉压杆，强度条件为： σ=FN/A≤[σ] ≤ FN是轴力，A为横截面面积。 是轴力， 为横截面面积 为横截面面积。
第六章 拉压杆件的强度与连接件设计
6.1 强度条件和安全系数 6.2 拉压杆件的强度设计 6.3 剪切及其实用计算 6.4 挤压及其实用计算 6.5 连接件的强度设计
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第六章 拉压杆件的强度与连接件设计
6.1 强度条件和安全系数
为保证完成其正常功能， 为保证完成其正常功能，所设计的结构或构件 强度 —结构或构件抵抗破坏的能力 结构或构件抵抗破坏的能力 必须具有适当的强度和刚度。 必须具有适当的强度和刚度。 ，则强度足够。 承担预定的载荷而不发生破坏， 承担预定的载荷而不发生破坏 则强度足够。 所有的构件(不允许破坏机械 结构; 不允许破坏机械、 所有的构件 不允许破坏机械、结构 需要破坏时，如剪板、冲孔、安全堵等), 需要破坏时，如剪板、冲孔、安全堵等 都有必要的强度要求。 都有必要的强度要求。 刚度 —结构或构件抵抗变形的能力； 结构或构件抵抗变形的能力； 结构或构件抵抗变形的能力 变形应限制在保证正常工作所允许的范围内。 变形应限制在保证正常工作所允许的范围内。 结构和构件既要满足强度要求，也要满足刚度要求。 结构和构件既要满足强度要求，也要满足刚度要求。 工程中一般以强度控制设计，然后校核刚度。 工程中一般以强度控制设计，然后校核刚度。 2
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6.2 拉压杆件的强度设计
依据强度条件，进行强度设计，包括： 依据强度条件，进行强度设计，包括： 强度设计 σ=FN/A≤[σ] ≤σ 1) 强度校核 对初步设计的构件，校核是否满足强度条件。 对初步设计的构件，校核是否满足强度条件。 若强度不足，需要修改设计。 若强度不足，需要修改设计。 A≥FN/[σ] ≥ σ 2) 截面设计 选定材料，已知构件所承受的载荷时， 选定材料，已知构件所承受的载荷时， 设计满足强度要求的构件的截面面积和尺寸。 设计满足强度要求的构件的截面面积和尺寸。 FN≤A[σ] σ 3) 确定许用载荷 已知构件的几何尺寸，许用应力， 已知构件的几何尺寸，许用应力，计算结构或 构件所能允许承受的最大载荷。 构件所能允许承受的最大载荷。 7
3
依据强度判据，将工作应力限制在极限应力内，还 依据强度判据，将工作应力限制在极限应力内， 不足以保证结构或构件的安全。因为还有误差： 不足以保证结构或构件的安全。因为还有误差： 1) 力学分析的可能误差 包括载荷估计；分析、简化和计算误差； 包括载荷估计；分析、简化和计算误差；尺寸制 造误差等。 造误差等。 2) 材料强度指标的误差 包括实验误差，材料的固有分散性误差等。 包括实验误差，材料的固有分散性误差等。 3) 不可预知的其他误差 偶然超载，制造损伤，工作与实验条件不同等。 偶然超载，制造损伤，工作与实验条件不同等。 因此，实际许用应力 为 许用应力[σ 因此，实际许用应力 σ]为： [σ]≤σys/n 或 [σ]≤σb/n 安全系数 n>1，故极限应力大于许用应力。 ，故极限应力大于许用应力。 将极限应力与许用应力之差作为安全储备。 将极限应力与许用应力之差作为安全储备。 4
150mm 铝撑套 钢螺栓
∆ δS δL
FNL FNS
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3)力与变形的关系 由线弹性关系有： ) 由线弹性关系有： F F δS=FNSL/ESAS, δL=FNLL/ELAL, 注意到(1)式，由(2)、(3)式有： 注意到 式 、 式有： 式有 FL(1/ESAS+1/ELAL)=∆=0.25mm ∆ 单位系， 用(N、mm、MPa)单位系，可解得： 、 、 单位系 可解得： F=21236 (N)=21.2 (kN)
注意：杆中任一处均应满足强度条件。 注意：杆中任一处均应满足强度条件。
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强度设计的一般方法： 强度设计的一般方法：
平衡方程 设计目标 初步设计 变形几何条件 应力应变关系 内 力 应 力 强 度 条 件 强 度 计 算 满 NO 修改 意 设计 ？ YES
材料试验
极限应力
选取安全系数
许用应力
结束
1）构件处处都要满足强度条件。 危险截面？ 构件处处都要满足强度条件。 危险截面？ 2）系统中所有构件都要满足强度条件。最薄弱构件？ 系统中所有构件都要满足强度条件。最薄弱构件？ 3）认识水平越高、分析能力越强，安全储备可越少。 认识水平越高、分析能力越强，安全储备可越少。 4）强度不足时，可重新选材、加大尺寸或降低载荷。 强度不足时，可重新选材、加大尺寸或降低载荷。
--(3)
4) 应力计算与强度校核 螺栓应力为: 单位系， 螺栓应力为 用(N、mm、MPa)单位系，有: 、 、 单位系 F σS=F/AS=21236/(122π/4) 强度足够。 =187.8MPa<[σ]钢=200MPa, 强度足够。 σ 撑套应力为: 撑套应力为 F σL=F/AL=21236/(500π/4) π =54.1MPa<[σ]铝=80MPa， 强度足够。 σ ， 强度足够。 11