复变函数论及其应用9

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2 2 一、(1) 1,π; (2) ( 2k 1)πi , k Z , e ( i) 2 2
3
(3) π,4 ; (4) u,v 在D内可微，且满足C—R方程 (5)
10 ; (6) 可去奇点 3
(8)
(7) 0;
ωt0 cos ωt0 cos 2
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二、验证 u( x , y ) 2( x 1) y 是 z 平面上的调和函数，并求以 u( x , y ) 为实部的解析函数，使 f ( 2) i 。
解: (1)
u xx 0, u yy 0, uxx u yy 0,
故 u(x,y) 为调和函数
v x2 2 x y2 c
f ( z ) 2( x 1) y i( x 2 2 x y 2 c )
当 x 2, y 0 时 , f ( z ) i , c 1
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f ( z ) 2( x 1) y i( x 2 x y 1)
3 z2 z1
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七、用拉氏变换求解方程： y y t , y ( 0) 1, y(0) 2 解： (1) 对方程两边取拉氏变换得：
1 s Y ( s ) sy (0) y(0) Y ( s ) 2 s 1 2 s Y ( s) s 2 Y ( s) 2 s s2 1 Y ( s) 2 2 2 s 1 s ( s 1) s 2 1 1 Y ( s) 2 2 2 2 s 1 s 1 s s 1
τ
f2(τ)
当 t 0 时,
f1 ( t ) * f 2 ( t ) 0;
当 t 0 时,
f2(t-τ)
t
τ
f2(-τ) f1(τ)
f1 ( t ) * f 2 ( t ) e τ ( t τ )dτ
0
(t 1) e
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t
t
f2(t-τ) f2(-τ)
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一、填空题。
1 3i 的模为 (1) 2
(2)
3
.
，辐角主值为
π 3 i 4 的值为
.
。
Ln( 1) 的值为
，e
.
.
。
(3) 映射w = z3 - z 在z = i 处的旋转角为
，
.
伸缩率为
.
。
(4) 函数 f ( z ) u( x , y ) i v ( x , y ) 在区域D内解析的 充要条件为
z
1 在 ( z 1)( z 2)
z 1 与 z 2 处展开为
1 e sin z (1). z 1 z 3 d z 2π i
(2).
z 2
ze
1 z 1
dz
dθ (3). 0 1 sin 2θ
π
(4). 0

cosx dx 2 2 ( x 1)( x 9)
n
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1 e z sin z 四、(1). z 1 z 3 d z 2π i
解: 方法一: 利用留数求解
z=0 为二级极点,
1 e z sin z 原式 2πi lim ( z 2 ) 3 z 0 2πi z
方法二: 利用高阶导数公式求解
1
1 z 原式 (e sin z ) z 0 2!
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(5).已知 f1 (t ) e t u(t ) ，f 2 ( t ) tu( t ) ， 四、 求 f1 ( t ) * f 2 ( t )。 解: f1 ( t ) * f 2 ( t )
f1(τ)
f1 (τ ) f 2 (t τ )dτ

2 2
7
三、将函数 f ( z ) 洛朗级数。
1 在 ( z 1)( z 2)
z 1 与 z 2 处展开为
解: (1) 在 z=1 处
当 0 | z 1 | 1 时,
1 1 n f (z) ( z 1) ( z 1)n 1 ( z 1)(1 ( z 1)) ( z 1) n 0 n 0
(5).已知 f1 (t ) e t u(t ) ，f 2 ( t ) tu( t ) ，求 f1 ( t ) * f 2 ( t ) 。
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4
五、求区域 D { z : Re z 0, 0 Im z 1} 在映射 w
i 下的像。 z
六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。
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三、将函数 f ( z ) 洛朗级数。
1 在 ( z 1)( z 2)
z 1 与 z 2 处展开为
解: (2) 在 z=2 处
当 0 | z 2 | 1 时,
f (z)
n0
( 1)n ( z 2)n 1

当 | z 2 | 1 时,
1 n 2 f ( z ) ( 1) ( ) z2 n0
f ( z )在上半平面有两个一级 z1 i , z2 3i , 极点
e iz e 1 Re s[ f ( z ), z1 ] 2 2 [( z 1)( z 9) ] z i 16i
e3 Re s[ f ( z ), z2 ] 48i
1 3 1 e 1 e 3 π( 3e e ) 原式 Re[2πi ( )] 2 16i 48i 48
2
(2)取拉氏逆变换得：
y( t ) cos t t 3 sin t
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八、设函数 f (z ) 在 z R 上解析，证明：
R 2 | z |2 f (ξ ) ξ R (ξ z )( R 2 z ξ ) d ξ f ( z ), (| z | R) 2π i
ℱ [ f ( t )]
1 t0 t0 f ( t ) [δ( t t0 ) δ( t t0 ) δ( t ) δ( t )] ， 2 2 2
.
。
3
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二、验证 u( x , y ) 2( x 1) y 是 z 平面上的调和函数，并求以 u( x , y ) 为实部的解析函数，使 f ( 2) i 。 三、将函数 f ( z ) 洛朗级数。 四、计算下列各题：
π


(2)有两个一级极点 z1 3 2 2,
z2 3 2 2, (舍去)
π 1 ( 3)原式 2i 2πi z1 z2 2
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四、(4). 0

cosx dx 2 2 ( x 1)( x 9)
iz
e 解: 令 f ( z ) 2 ( z 1)( z 2 9)
主要内容
一、复数的几种表示及运算; 区域,曲线; 初等复变函数. 二、柯西-黎曼方程: (1) 判断可导与解析,求导数; (2) 构造解析函数. 三、柯西积分公式, 柯西积分定理, 高阶导数公式. 四、洛朗展式. 五、留数: (1) 计算闭路积分; (2) 计算定积分; 六、保形映射: (1) 求象区域; (2) 构造保形映射. 七、Fourier变换的概念,δ函数, 卷积. 八、利用Laplace变换求解常微分方程(组).
τ
f1(τ)
t
τ
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五、求区域 D { z : Re z 0, 0 Im z 1} 在映射 w 解:
i 下的像。 z
0 1 i 0
(z)
i 1 i 22 0
0 1 i 1 (1 i ) 2 i 1
1
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四、(2). z 2 z e
1 z 1
dz
解:
z=1 为本性奇点,
ze
1 z 1
(( z 1) 1)(1
1 1 1 ) 2 3 z 1 2!( z 1) 3!( z 1)
1 1 ( 1) 2 z 1
3 原式 2πi 3πi 2
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dθ (3). 0 四、 1 sin 2θ
π
dθ π d(2θ ) 2π dθ 解: (1)原式 0 1 - cos2θ 0 3 cos2θ 0 3 cosθ 1 2 dz dz 2i 2 | z | 1 | z | 1 z 2 6 z 1 z 1 3 iz 2z
i
3
3
-i
七、用拉氏变换求解方程： y y t , y ( 0) 1, y(0) 2
八、设函数 f (z ) 在 z R 上解析，证明：
R 2 | z |2 f (ξ ) ξ R (ξ z )( R 2 z ξ ) d ξ f ( z ), (| z | R) 2π i
R2 证明： (1) 奇点 ξ1 z , ξ 2 z 由于 | z | R , 故 ξ 2 在 | ξ | R外
R 2 | z |2 1 f (ξ ) (2) 左边= ξ R (ξ z ) R 2 zξ d ξ 2π i
R 2 | z |2 f (ξ ) f (z ) 2 π i 2 2π i R zξ ξ z
解: (1)
u xx 0, u yy 0, uxx u yy 0,
故 u(x,y) 为调和函数
(2) 方法二
ux 2 y v y , u y 2 x 2 v x
dv ( 2 x 2)dx 2 ydy d ( x 2 2 x y 2 )
当 | z 1 | 1 时,
1 1 1 f (z) ( z 1)(1 ( z 1)) ( z 1)2 1 1 z 1
1 1 n ( ) 2 ( z 1) n 0 z 1
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1 n 2 ( z 1) n 0
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当 x 2, y 0 时 , f ( z ) i , c 1
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f ( z ) 2( x 1) y i( x 2 x y 1)
2 2
6
二、验证 u( x , y ) 2( x 1) y 是 z 平面上的调和函数，并求以 u( x , y ) 为实部的解析函数，使 f ( 2) i 。
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(w)
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六、求把下图阴影部分映射到单位圆内部的保形映射。
(z)
i
3
3
(w)
-i
z 3 z1 z 3
w (z1)
z 3 i z 3 3 z 3 i z 3
3
z2 i w z2 i
(z2)
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.
。
2
1 (5) 在 z0 = 1+i 处展开成泰勒级数的 z(4 3 z )
收敛半径为
.
。 (何种类型的奇点)。
1 1 的 (6) z = 0 是 f ( z ) z e 1 z
(7)
.
|z| 1 4
求
e ( z π )3 ( z
z
1
2)
dz
.
。
(8) 已知
(2) 方法一
ux 2 y v y , v 2 ydy φ( x ) y 2 φ( x ) u y 2 x 2 v x φ( x )
φ( x ) x 2 x c, v x 2 x y c
2
2
பைடு நூலகம்
2
f ( z ) 2( x 1) y i( x 2 2 x y 2 c )