分式方程—行程问题
分式方程的运用(行程问题)
解：设江水的流速是x千米/小时，那么， 轮船顺流航行的速度为(20+x)千米/小时， 轮船逆流航行的速度为(20-x)千米/小时，
100 顺流路程 顺流航速 20+x
逆流路程 60 逆流航速 20-x
x=5 经检验，x=5为原方程的根。 解得： 答：江水的流速是5千米/小时。
举一 反三
轮船在顺水中航行80千米所需的时 间 逆水中航行60千米所需的时间 间和逆水中航行60千米所需的时间 相同。已知水流的速度是3千米/小 时，求轮船在静水中的速度。 解：设轮船在静水中的速度为x 千米/小时，则 轮船在顺水中航行的速度为(x+3)千米/小时 轮船在逆水中航行的速度为(x-3)千米/ 速度=路程÷时间
=
×
例：一艘轮船在静水中的航速为20千 例题1 它沿江顺流航行100千米所 米/小时，它沿江顺流航行100千米所 用的时间，与逆流航行60千米所用的 时间相等 时间相等，问：江水的流速是多少？ 顺流航行100 逆流航行60 解：设江水 的流速为x 千米所用的时 千米所用的 千米/小时。 间 时间
度为x千米/小时。 s s 50 等量关系：时间相等 x vx 行程 思考：这是____问题 路程km 提速前 提速后 速度km/h 时间h
s 50 xv
s x
s
s 50
x xv
甲乙两地相距150千米，两车同时 例题3 大车比小车晚到 从甲地开往乙地，大车比小车晚到 5/4小时 5/4小时，若大车与小车的速度比 为2:3，求两车的速度。 解：设大车的速度为 2xkm/h， 则， 小车的速度为 3xkm/h。 路程km 速度km/h 大车 小车 150 150 2x 3x 时间 h
150 2x 150 3x
分式方程的应用行程问题
行程问题1.新化到长沙的距离约为200km，小王开着小轿车，张师傅开着大货车都从新化去长沙，小王比张师傅晚出发20分钟，最后两车同时到达长沙.已知小轿车的速度是大货车速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？解：设大货车的速度是x千米/时，则小轿车的速度是1.2x/时，由题意，得200 x −2001.2x=2060，解得x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，则1.2x=120．kk答：大货车的速度为100km/ℎ，小轿车的速度为120km/ℎ．【解析】设大货车的速度是x千米/时，则小轿车的速度是1.2x/时，根据时间关系列出方程，解方程即可．本题考查了分式方程分应用、分式方程的解法；根据时间关系列出方程是解决问题的关键．2.徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/ℎ，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？【答案】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据题意得：700t −7001.4t=80，解得：t=2.5，经检验，t=2.5是原分式方程的解，且符合题意，∴1.4t=3.5．答：A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时．【解析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据平均速度=路程÷时间结合A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/ℎ，即可得出关于t的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3.列方程解应用题八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．【答案】解：设骑车学生的速度为xkm/ℎ，由题意得，10x −102x=13，解得：x=15．经检验：x=15是原方程的解．答：骑车学生的速度为15km/ℎ．【解析】设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则汽车的速度为2xkm/ℎ，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列方程求解．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．4.从北京到某市可乘坐普通列车或高铁.已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米.如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时，求高铁的平均速度是多少千米/时？【答案】解：设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：520 x −4002.5x=3，解得：x=120，经检验x=120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)，答：高铁的平均速度是300千米/时．【解析】设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时，列出分式方程，然后求解即可．此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．5.一辆汽车计划从A地出发开往相距180千米的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？【答案】解：设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶1.5x千米，根据题意得：180x −1801.5x=4060，解得：x=90，经检验，x=90是原分式方程的根，且符合题意．答：原计划平均每小时行驶90千米．【解析】设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶1.5x千米，根据时间=路程÷速度结合结果比计划提前40分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6.正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度．【答案】解：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意得：3250.4x −325x=1.5，解得：x=325，经检验x=325是分式方程的解，且符合题意，则高铁的速度是325千米/小时．【解析】设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意列出方程，求出方程的解即可．此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．7.一艘轮船在静水中的最大航速为32km/ℎ，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行64km所用时间相等，江水的流速为多少？【答案】解：设江水的流速为Vkm/ℎ，根据题意可得：9632+V =6432−v，解得：V=6.4，经检验：V=6.4是原分式方程的解，答：江水的流速为6.4km/ℎ．【解析】设江水的流速为Vkm/ℎ，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速−水流速.根据顺流航行96千米所用时间，与逆流航行64千米所用时间相等，列方程求解．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.航行问题常用的等量关系为：逆水速度=静水速度−水流速度，顺水路程=静水速度+水流速度．8.从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/ℎ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．【答案】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，根据题意得：6002x +45=480x，解得x=4经检验，x=4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．【解析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A地道B的速度=客车由普通公路的速度+45，列出方程，解出检验并作答．本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.根据速度=路程÷时间列出相关的等式，解答即可．9.小明的家距离学校1600米，一天小明从家里出发去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，正好在校门口追上了他，已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明的速度．【答案】解：设小明的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，根据题意得：1600x =16002x+10，解得x=80，经检验，x=80是原方程的根．答：小明的速度是80米/分．【解析】设小明的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，根据时间=路程÷速度结合爸爸比小明少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10.一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．【答案】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：240 x =1+240−x54x+2460，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根，答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．【解析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案．此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出汽车行驶的时间是解题关键．。
15.3.2分式方程的实际应用——工程、行程问题+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
拓展应用
解：设规定日期为x天，根据题意，得
1
x 3
1
3
1
x x4
x4
解得：x=12.
经检验：x=12是原方程的解且符合题意.
答：规定日期为12天.
回顾反思
1. 本节课探究了分式的哪些问题？
2. 在探寻分式方程的应用时，你经历了哪些数学活动？在
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：基本公式： 工作量=工时×工效以及它的两个变式 ；
回顾复习
(4)顺水逆水问题：顺水速度＝ 轮船速度+水流速度 ，
逆水速度＝ 轮船速度-水流速度 ；
(5)利润问题：基本公式： 利润=售价-进价，利润率=利润÷进价.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计
划每天铺设x米,下面所列方程正确的是( A )
720
720
2
x
( x 20%) x
720
720
C.
2
(1 20%) x
x
A.
720
720
2
(1 20%) x
x
720
720
D.
x 2 (1 20%) x
B.
拓展应用
x
x 2x
解得x=30,
经检验x=30为原方程的根且符合题意.
∴2x=60.
答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程
需60天.
课后作业
1.课本P154 习题15.3第3,5题.
分式方程应用(周五)—行程问题
————行程问题
例题4：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走， 过了40分钟，其余人乘汽车去， 结果他们同时到达， 结果乘汽车的一部分人先到10分钟，
已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
汽车所用的时间＝自行车所用时间－ 2 时
3
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时， 依题意得：
思考题：
乙分别从相距36千米的A、B两地同时相 向而行．甲从A出发到1千米时发现有东西 遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即 从A向B行进，这样二人恰好在AB中点处相 遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求二 人速度．
பைடு நூலகம்
15 15 2 3x x 3
即：
设元时单位 一定要准确
5 15 2 x x 3
得到结果记 15＝45－2x 住要检验。 2x=30 x=15 经检验，15是原方程的根，并符合题意 由x＝15得3x=45 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时
行程问题基本关系：S=vt
检测：
供电局的电力维修工要到30 千米远的郊区进行电力抢修,技术 工人骑摩托车先走,15分钟后,抢修 车装载着所需材料出发,结果同时 到达.已知抢修车的速度是摩托车 的1.5倍,求这两种车的速度.
练习3、甲、乙二人同时从张庄出发，步行
15千米到李庄。甲比乙每小时多走1千米， 结果比乙早到半小时。二人每小时各走多少 千米？ 练习4、某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓 ,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘 汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是 自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.
练习1：农机厂到距工厂15千米的向阳村检 修农机，如果他们同时出发，结果乘汽车 的一部分人早20分钟到达，已知汽车的速 度是自行车的3倍，求两车的速度。 练习2：八年级学生去距离学校10千米的博 物馆参观，一部分骑自行车同学先走，20 分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们 同时到达，已知汽车速度是自行车速度的2 倍，求骑车同学的速度。
5.4 分式方程的应用——行程问题
题型剖析
一、顺逆流问题
例2 一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已
知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水
中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意得
80 80 1. x2 x2
方程两边同乘（x-2)(x+2)得 80x+160 －80x+160=x2 －4.
知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：
15 15 2 . 3x x 3
解得
x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45. 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
练一练
3. A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出 发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车， 小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公 共汽车早到40分钟到达B地.求两种车的速度.
四、耽搁问题 例4 某人驾车从A地到B地，出发2小时后车子出了点 毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他 将车速增加到后来的1.6倍，结果按时到达，已知A、 B两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.
练一练 4.一列火车从车站开出，预计行程为450千米， 当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站， 因此耽误30分钟，后来把速度提高了20％，结 果准时到达目的地，求这列火车原来的速度。
48 48 9 x4 x4
二、同时不同地 例2 哥哥和弟弟100米赛跑，弟弟在哥哥前面20米， 他们同时出发也同时到达终点，已知哥哥比弟弟快
0.3m/s，他们的速度分别为多少m/s？
三行
分式方程的应用行程问题2022-2023学年人教版八年级数学上册
11 分式方程的应用2——行程问题班级：________ 姓名：________一、行程类应用题例1.某列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶150km，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？（用含v的式子表示）练习1.某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度．练习2．一队学生去校外参观，在他们出发后30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？例2．一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.例3．刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？练习3．两个小组攀登一座450m高的山，第二组的攀登速度是第一组的a倍．（1）若两个小组同时开始攀登，当a＝1.2时，第二组比第一组早15min到达顶峰，求两个小组的攀登速度；（2）元旦假期这两个小组去攀登另一座hm高的山，第二组比第一组晚出发30min，结果两组同时到达顶峰，问第二组的平均攀登速度比第一组快多少？（用含a，h的代数式表示）例4：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里。
（1）若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？（2）小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？（3）两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？练习4．初夏五月，小明和同学们相约去森林公园游玩．从公园入口处到景点只有一条长15km的观光道路．小明先从入口处出发匀速步行前往景点，1.5h后，迟到的另3位同学在入口处搭乘小型观光车（限载客3人）匀速驶往景点，结果反而比小明早到45min．已知小型观光车的速度是步行速度的4倍．（1）分别求出小型观光车和步行的速度．（2）如果小型观光车在某处让这3位同学下车步行前往景点（步行速度和小明相同），观光车立即返回接载正在步行的小明后直接驶往景点，并正好和这3位同学同时到达．求这样做可以使小明提前多长时间到达景点？（上下车及车辆调头时间忽略不计）二、工程问题中分式方程与一元一次方程的综合应用例5．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40min到达目的地，（1）求前1小时行驶的速度；（2）汽车出发时油箱有油7.5升油，到达目的地时还剩4.3升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多0.3升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？练习5.初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？三、工程问题中分式方程与不等式的综合应用例6．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家里，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校，已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车的速度是步行速度的3倍．(1)求小明步行的速度（单位：米／分）(2)下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？例7．甲，乙两车由A地同时出发驶往B地，A、B两地的距离为600千米，若乙车比甲车每小时多行驶20千米，则乙车到达B地时，甲车离B地100千米．（1）求甲、乙两车的速度；（2）乙车到达B地后，立即沿原路以原速返回A地，甲车到达B地后停留20分钟，然后沿原路先以原速返回，行驶一段路程后每小时提速80千米，若甲车不早于乙车回到A地，求甲车从B地返回A地提速前最少行驶多少千米．练习6．某种型号油电混合动力汽车，从A地到B地，只用燃油行驶，需用燃油76元；从A地到B地，只用电行驶，需用电26元，已知每行驶1千米，只用燃油的费用比只用电的费用多0.5元．（1）若只用电行驶，每行驶1千米的费用是多少元？（2）若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少需用电行驶多少千米？。
分式方程的应用——行程问题(人教版)八年级数学上册PPT课件
解：（1）设第一次购进水果x千克， 依题意可列方程：
解得x=200． 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意. 答：第一次购进水果200千克.
（2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售 一段时间后，将最后剩下的 50 千克按照标 价的半价出售，售完全部水果后，利润不低 于 3 100 元，则最初每千克水果的标价至少 是多少元/千克？
依题意，得
解得x＝70. 经检验，x＝70是所列分式方程的解，且符合题意. 所以（1+50%）x＝105． 答：公路升级以后汽车的平均速度为105 km/h.
三级拓展延伸练
11. 某列车平均提速 80 km/h，用相同的时间， 该列车提速前行驶 300 km，提速后比提速前 多行驶 200 km，求该列车提速前的平均速 度.
3. （例 2）A，B 两座城市相距 40 千米，甲骑 自行车从 A 城出发前往 B 城，1 小时后，乙 才骑摩托车从 A 城出发前往 B 城，已知乙的 速度是甲的 2.5 倍，且乙比甲早 30 分钟到 B
城，求甲、乙两人的速度各是多少.
解：设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为2.5x 千米/ 时． 根据行驶时间的等量关系，得 解得x＝16. 检验：当x＝16时，2.5x≠0. 所以x＝16是原分式方程的解，且符合题意. 所以乙的速度为2.5x＝40. 答：甲的速度为16 千米/时，乙的速度为40 千米/时．
解：设轿车的速度是x千米/时，则货车的速度是 （x-20）千米/时. 由题意，得 解得x＝120. 经检验：x＝120是原分式方程的解，且符合题意. 所以x-20＝100. 答：轿车的速度是120千米/时，货车的速度是100 千米/时．
2. A 市到 B 市的距离为 210 千米，小刘开着小 轿车，小张开着大货车，都从 A 市去 B 市. 小
分式方程应用题 ----行程问题
15.2.分式方程的应用—行程问题一、教材分析：“可化为一元一次方程的分式方程应用题”既是解一元一次方程的延伸，又是后续学习复杂应用题的基础，也是学生感到畏难的学习内容之一。
究其原因：学生不懂得如何审题，理不清题目中复杂的数量关系，无法准确找到由未知到已知的钥匙------等量关系。
如何突破这一难点？我通常引导学生采用列表分析法。
二、学情分析：通过课前预习调查，发现学生存在的问题有：（1）思维不够清晰，无法正确列出方程；（2）单位不统一时不做变换（3）速度的单位未摆脱小学局限，没有能够转移到千米/小时、米/秒表示；（4）验根的二重性；（5）做题不够细心，答非所问或恰好相反。
因此，本节课要教会学生用找、设、列、解、验、答六步处理此类问题。
三、学习目标：1、知识与技能：分析题意找出等量关系，会列出分式方程解决实际问题；理解分式方程应用题验根的重要性及掌握分式方程应用题的步骤。
2、过程与方法：通过解决实际问题提高学生把实际问题转化为数学问题，把数学文字语言转化为符号语言的能力。
3、情感态度与价值观：加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识。
四、教学过程：（一）回顾旧知：1、在前面我们学过的应用题有哪些类型？2、解分式方程应用题的一般步骤是什么？3、行程类问题的数量关系：路程=速度×时间，速度=路程÷速度，时间=路程÷速度。
4、在水流行程问题中，已知静水速度和水流速度顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度-水流速度（二）自主探究行程问题（1）1、甲、乙二人要走15千米的路，甲的速度是乙的速度的1.2倍，甲比乙少用0.5小时。
甲、乙二人的速度各是多少？（学生读题、审题、设元、找相等关系、列方程）分析：设乙的速度是x千米/小时，则甲的速度是1.2x 千米/小时根据等量关系“甲比乙少用0.5小时”，则有甲的时间+0.5=乙的时间x2.115+0.5 =x 15 解：设乙的速度是x 千米/小时，则甲的速度是1.2x 千米/小时，根据题意，得：x 2.115+0.5=x 15 解得，x=5经检验，x=5是原分式方程的解并符合题意。
分式方程行程问题公式
分式方程行程问题公式
分式方程是数学中一种含有分式的方程，行程问题是指涉及到时间、速度和距离的问题。
我们可以通过一个实例来演示分式方程在行程问题中的应用。
假设小明和小红同时从相同的起点出发，小明以每小时10公里的速度向东行驶，小红以每小时8公里的速度向西行驶。
我们需要求他们相遇所需的时间。
设小明和小红相遇所需的时间为t小时。
根据行程问题的描述，小明从起点出发后行驶的路程可以表示为：10t公里，而小红从起点出发后的行驶路程可以表示为：8t公里。
因为他们在相同时间相遇，根据分式方程的概念，我们可以设置以下等式：10t = 8t
接下来，我们可以解这个方程：
10t - 8t = 0 （将8t移到等号右边，得到10t - 8t = 0）
2t = 0 （化简方程，得到2t = 0）
t = 0 （将2t除以2，得到t = 0）
根据方程的解，我们可以得出结论：小明和小红相遇所需的时间为0小时，即他们从起点出发时已经相遇。
通过这个例子，我们展示了如何利用分式方程解决行程问题中的公式，我们设置了方程10t = 8t，并通过对方程进行化简和求解得出结果。
在实际问题中，我们可以根据给定的条件并使用类似的方法来解决行程问题。
八年级上册数学人教版 15.3 分式方程解行程问题 课件
检验：将x=3代入原方程中，分母x-3和x2-9的值都为0，分式无意义.
思考：为什么x=3不是分式方程的根？
针对练习：
练习1.
解方程
2 x3
3. x
2. 解方程
x 1
3
.
x 1 (x 1)(x 2)
解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9.
解得 x=9.
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1.
检验：当x＝3时，x2－4≠0. 所以x＝3是原分式方程的解．
小结：
最简公分母
分式
整式
方程
方程
有解
无解
简记为：“一化二解三检验”.
检验
最简二次根式≠0 是分式方程的解
最简二次根式=0 分式方程无解（增根）
巩固训练：
计算（. 1）. 2x 1 2 x2 2x
（2） 2 3 x5 x
解：方程两边同时乘以（x 2） 2x (x 2) 2
思考：1.该实际问题属于什么类型的问题？涉及哪几个量？
2.如何设未知数？ 你能完成表格吗？
效率 工作量 时间
3.你能列出方程吗？
900
甲 x 60 900 x 60
乙 x 600 600 x
情景导入
1.因新冠疫情防控需要，现要对某小区进行全员核酸检测，现有甲、乙两 支医疗队参与核酸采样工作，已知甲医疗队比乙医疗队平均每小时可多 采样60份，甲医疗队采样900份与乙医疗队采样600份所用的时间相等， 则甲医疗队和乙医疗队每小时各可采样多少份？
课题：15.3分式方程 难点名称：列分式方程解决行程问题
1
分式方程应用行程问
当题目中涉及到两个或两个以上 的对象（如甲、乙两人或两车） 运动时，可以通过设立分式方程
来表示他们之间的行程关系。
设立分式方程的关键是找到各对 象之间的等量关系，通常可以利 用速度、时间和路程之间的关系
来建立方程。
求解分式方程
01
02
03
04
分式方程的求解通常包括去分 母、解整式方程和验根三个步
骤。
例题二：追及问题
题意解析
追及问题中，一个物体以较快的速度从后面追赶另一个物体 ，经过一段时间后可以追上。
解题思路
设追赶物体的速度为$v_1$，被追赶物体的速度为$v_2$，追 及时间为$t$，则追赶物体在追及时间内行驶的路程为$v_1t$ ，被追赶物体在追及时间内行驶的路程为$v_2t$。由于追赶 物体要追上被追赶物体，因此有$v_1t = v_2t + d$，其中 $d$为两物体之间的初始距离。
求解与验证
根据分式方程的特点，选择合适的解法 进行求解。常用的解法有去分母法、换
元法等。
在求解过程中，要注意运算的准确性和 规范性，避免出现计算错误。
得到解后，要验证解的合理性。将解代 入原方程进行检验，看是否符合题目的 条件和要求。同时，也要考虑实际问题
的意义，排除不符合实际情况的解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
反思与优化
解题思路
根据题意，设两个物体的速度分别为$v_1$和$v_2$，相遇时间为$t$，则它们各 自行驶的路程分别为$v_1t$和$v_2t$。由于它们在相遇点的路程和等于两地之间 的距离$d$，因此有$v_1t + v_2t = d$。
例题一：相遇问题
解题步骤 2. 解方程求出相遇时间$t$；
1. 根据题意设立方程； 3. 利用相遇时间求出各自行驶的路程。
分式方程——行程问题
分式方程：行程问题题型一、利用路程、速度、时间关系列方程1、核酸检测时采集的样本必须在4小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效，A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30km、36km,A、B两个采样点的送检车有如下信息：信息一:B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的1.2倍：信息二:A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时.设A采样点送检车的平均速度是Xkm∕h,若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，请问B采样点采集的样本会不会失效？2、21印度尼西亚雅万高铁起自首都雅加达，终至旅游名城万隆，全长约线144公里，比雅加达至万隆的普通铁路短36公里，全线采用中国技术、中国标准，是“一带一路”建设的标志性项目.已知高铁平均速度是普通列车平均速度的4倍，高铁比普通列车快2小时15分钟.⑴那么高铁与普通列车的平均速度分别为多少？3.为了充分保护乘客的安全，从2011年8月16日起，部分高铁实行了不同程度降速.京沪高铁全长1400千米，平均速度降50千米每小时，行驶的时间比原来增加了40分钟，求京沪高铁降速后的速度4、甲、乙两车站相距450km,一列货车从甲车站开出3h后，因特殊情况在中途站多停了一会，耽误了30min,后来把货车的速度提高为原来的1.2倍，结果准时到达乙站，求这列货车原来的速度.5、交通是经济的脉络和文明的纽带，截至2020年底，我国高速铁路运营里程五年间翻了近一番，稳居世界第一，居民出行更加便捷，据悉，甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度6、某年4月中旬后，广深铁路高速列车提速25%,提速后乘客从广州坐火车到深圳将缩短15min.广州、深圳两市距离150km.求提速前的列车速度7、A1B两地之间的距离为18Okm,一辆汽车从A地去往B地，出发1小时后，汽车出现故障，停车修理时间为40分钟，若想要按照原计划时间到达B地，汽车速度需提高到原来的1.5倍，求汽车原来的速度是多少？8、甲乙两地间的一条公路全长为150千米，一辆公共汽车沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，2小时后，一辆小汽车也沿着这条公路从甲地出发驶往乙地，但中途因故停车半小时,结果小汽车与公共汽车同时到达乙地，已知小汽车的速度是公共汽车的3倍，求两车的速度，9、在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐，元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的1.6倍.⑴若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？⑵粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场3.8公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？10、小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同第一天步行去上班结果迟到了5分钟,第二天骑自行车去上班结果早到10分钟已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍.⑴求小李步行的速度和骑自行车的速度：⑵有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障，小李立即跑步去上班(耽误时间忽略不计)为了至少提前3分钟到达则跑步的速度至少为多少千米每小时？11、小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km,线路二全程90km,汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时.(1)小东走线路一的平均速度是多少km/h;(2)当小东从线路一出发半小时后，邻居小北沿着路线二去同一旅游地旅行，小北至少以多少km/h的平均速度才能赶在小东前到达目的地(与小东一起到达最好).12、用电脑程序控制小型赛车进行50米比赛，“畅想号”和"和谐号”两辆赛车进入了决赛.比赛前的练习中，“畅想号”从起点出发8秒后，“和谐号”才从起点出发结果“和谐号”迟到2秒到达终点.已知“和谐号"是“畅想号”的平均速度的2.5倍“畅想号”的平均速度是多少？13、李丰跟随爸爸开车前往距离出发点240km的韶关老家，出发1小时内按原计划匀速行驶，之后速度提高至原来速度的1.5倍，最后比原计划提前60分钟到达韶关老家，求李丰爸爸开车出发1小时后的行驶速度14、列方程解应用题:甲、乙两地相距19千米某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍求步行的速度和骑自行车的速度.15、甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的郊野公园.已知甲同学的速度是乙同学速度的2倍，甲同学在路上因事耽搁了30分钟结果两人同时到达公园.问:甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？16、已知A、B两地相距240千米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，甲比乙早出发3小时，两人同时到达目的地，已知乙的速度是甲的速度的2倍⑴甲每小时走多少千米？⑵求甲乙相遇时乙走的路程17、小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同，第一天步行去上班结果迟到了5分钟第二天骑自行车去上班结果早到10分钟已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍∙(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度:(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障，小李立即跑步去上班(耽误时间忽略不计)为了至少提前5分钟到达。
分式方程--应用-行程问题
15.3(3)分式方程--应用-行程问题一．【知识要点】1.按照题目的要求把所要求的量用适当的式子表示出来。
二．【经典例题】1．某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，根据题意可列方程为 ______________ ．2．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为km/h．3．甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km”．从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为()A．1.2小时B．1.6小时C．1.8小时D．2小时三．【题库】【A】1.A,B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。
2.(本题满分8分)2017年12月6日，西成高速铁路正式开通运营.从成都到西安，可乘坐普通列车或高速列车，已知高速列车与普通列车的行驶路程分别为630千米和840千米，若高速列车与普通列车的平均速度均速度比是21：5，且乘坐高速列车比乘坐普通列车的时间缩短了13小时48分钟，求西成高速列车的平均速度.【B】1.甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km。
一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站。
求动车和特快列车的平均速度各是多少。
2．列方程解应用题：八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，走了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达．若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度．3．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（）。
分式方程的应用(二)--行程问题-八年级数学上册教学课件(人教版)
列分式方程解决行程问题 例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车 紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200公里时，发现小轿车只行驶 了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车 的速度分别为多少km/h？
0
180
200
分析：设小轿车的速度为x千米/小时
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，依题意得：
15 15 2 . 3x x 3
解得 x=15. 经检验，x=15是原方程的根. 由x＝15得3x=45.
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
0
180 200
300
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
100 120 100 90 x
解得x＝30 经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意.
答：小轿车提速为30千米/小时.
变式2：两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里， 小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头， 他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？
人教版 数学 八年级 上册
理解行程数量关系正确列出分式方程.
在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式 方程解决实际问题.
列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:清题意，并设未知数； 2.找:相等关系； 3.列:出方程； 4.解:这个分式方程； 5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）； 6.写:答案.
解：设小轿车提速为x千米/小时， 依题意得
s s 50 v xv
方程两边乘以xx v,得 sx v xx 50
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分式方程—行程问题
例1 A、B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度。
分析已知两车的速度之比为5∶2，所以设大车的速度为2x千米／时，小车的速度为5x千米／时，
已知路程，求速度，寻找时间的等量关系，由题意可知，大车早出发5小时，又比小车早到30分钟，实际大车行驶的时间比小车的时间多4.5小时，由此可得等量关系。
解：设大车的速度为2x千米／时，小车的速度为5x千米／时，
解这个方程，得x=9
经检验x=9是原方程的解
当x=9时，2x=18，5x=45
答：大车的速度为18千米／时，小车的速度为45千米／时。
例2 甲、乙二同学家住离学校3.6千米的A地。
他们同时出发去学校，甲同学出发行至100米时，发现书包忘在A地，便立即返回，取了书包后又立即从A地去学校。
这样甲、乙二人恰好同时到校。
又知甲比乙每小时多走0.5千米，求甲、乙两人的速度？
分析：等量关系是甲走(3.6＋0.1×2)千米的时间与乙走3.6千米的时间相等。
解：设乙速为x千米／时，则甲速为(x＋0.5)千米／时，100米=0.1千米
解得x=9
经检验x=9是原方程的解。
当x=9时，x＋0.5=9.5
答：甲速为9.5千米／时，乙速为9千米／时。
例3 船航行于相距32千米的两码头之间，逆水比顺水多用12小时，若水流速度比船
在静水中的速度少2千米／时，求水流速度及船在静水中的速度。
解：设船在静水中的速度是x千米／时，则水流速度是(x－2)千米／时，船在逆水时速度是［x－(x－2)］千米／时，船在顺水时速度是［x＋(x－2)］千米／时。
解这个分式方程，得：x=5
经检验：x=5是所列方程的根
x－2=3
答：水流速度是每小时3千米，船在静水中的速度是每小时5千米。
说明：航行问题是特殊的行程问题。
较一般行程问题，特殊在速度的合成上
例4 一轮船在河水中顺流航行100km，逆流航行64km，共用9h；另一次在同样的时间内顺流和逆流都航行80km，求轮船在静水中的速度和水流的速度。
分析：设轮船在静水中的速度(即船速)为xkm／h，水流速度为ykm／h，则顺水速度为(x＋y)km／h，逆水速度为(x－y)km／h。
根据时间的等量关系来列方程组。
相等关系：顺流100km的时间＋逆流64km的时间=9h。
顺流80km的时间＋逆流80km的时间=9h。
解：设轮船在静水中的速度为xkm／h，水流速度为ykm／h。
根据题意得
答：轮船在静水中的速度为18km／h，水流速度为2km／h。
说明：由于轮船的速度和水流的速度没有直接的关系，所以设两个未知数，列成方程组比较清楚。