无穷等比数列各项的和答案

无穷等比数列各项的和
1.无穷数列{
2
3n 1
2
++n }（n =1,2,3,……）的各项和是___________. 2.求值：（1）∞→n lim n n
⎪⎭⎫
⎝⎛-+-+-++++319131121814121
（43）（2）∞→n lim ()n n 39312842-+-+-++++ （0） 3.求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和=_________. 解：0.3， 0.03， 0.003，…的首项10.3a =，公比0.1q = 所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=
0.31
10.13
=-
4.求下列无穷等比数列各项的和： （1）； ,83,21,32,98--
（2） ，，，，75
4154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.求和（1）1+
+++
2
21
212
1= （2）
+⋅++++++++-12
31211218161413121n n = 6.无穷等比数列{}n a ：（1）所有奇数项和为36，偶数项和为12，则公比为 ，首项是 （2）数列中每一项都是它后面所有项和的4倍，且625
16
5=
a ，则它的所有偶数项的和为 （3）())(,1*211N n a a k a a n n n ∈++==++ ，则k 的取值范围
7.设S n 是无穷等比数列的前n 项和,若∞→n lim S n =
4
1
,则首项a 1的取值范围是
A. （0，41）
B.（0，21）
C.（0，41）∪（21,41）
D.（0，41）∪（2
1
，1）
8.已知无穷等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q 且有∞
→n lim （
2
1
)21=--n q q a ，则首项a 1的取值范围是___________.
9.已知数列()n
n t a 21-=，若∞
→n lim ()n a a a +++ 21存在，则t 的的取值范围
10.若∞
→n lim （1+αtan +()()
1
2
tan tan -++n αα ）存在，求α的取值范围
11.一个球自高为6m 的空中自由下落，每次着地后回弹高度为原来高度的三分之一，到球停
在地面上为此，球经过的路程的总和为
12.等比数列{}n a ，公比为正，（1）求∞
→n lim
n
n
a a a a a a ++++++ 7621
（2）求∞
→n lim （
2
222121n
n
a a a a a a +++++ ）
13. 将无限循环小数化为分数.（1）。

72.0 （2）。

603.0
（3）。

832.1 (4)811.0
答案：(1)3/11 (2)34/111
14.求 +++0100.0010.001
.0之和(答案：891
100
) 15.等比数列{}n a 中，*1
11,5
6,2.0N n a a a n n n ∈=+=++，求∞
→n l i m （n a a a +++ 21）（1
4
）
16.已知0483log log 22=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+x x ,求 +++2
1x x 之和(答案：2)
17.首项为a ,公比为)0(>q q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，记2
2221n
n a a a T +++= ，求∞→n lim n n T S （1
,11,010,1q a q
q a q ⎧=⎪⎪
+⎪<<⎨⎪>⎪⎪⎩
）
A
18.在直角三角形ABC 中，∠B 是直角，tanC=0.5,AB=a 在直角三角形ABC 内作一系列的正方形，求所有这些 正方形的面积之和 （
2
45
a ）
A
B C 19.如图，在边长为l 的等边△AB C 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆O n 的面积为a n ，(n ∈N *). (Ⅰ)证明{a n }是等比数列；
（Ⅱ）求∞
→n lim （a 1+a 2+a 3+…+a n )的值.
1、无穷等比数列各项的和： （3）
，，
，1
31311
313+--+和为_______（4）)1(,,,,1
32<--x x x x ，和为_______ 答案：
=
(2)
11x +．（当x=0时，原式＝1,否则 原式＝1
1x
+） 2..等比数列{}n a 中，11>a ，且满足∞
→n lim n S =
1
1
a ，那么1a 的的取值范围 3.化循环小数为分数 (1) (1)。

92.0=_____ （2）。

714.0=_______ 5（1）∞
→n lim （1
253-++++n a
a a a ）=2，求a 的值
（2）∞
→n lim ()()()
[]1
12
22221---++-+-+n n x x x x x x 存在，求x 取值范围。

(1,1⋃）
6.如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，
求所有这些三角形的面积的和. 7.如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是
h
h 第4题
（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和 （2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；
（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2
8.首项为1，公比为)0(>q q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，求
∞→n lim 1+n n S S
1,0
1()1,1q q q <≤⎧⎪⎨>⎪⎩
9. 已知数列{}n a 满足n n n a a a 22
1+-=+且9.01=a ，令()n n a b -=1lg ，求数列{n
b 1}所有项的和。

（-2）
8在△ABC 中，BC=a ,AC=b,AB=c,把BC 边n 等份，从B 到C 的分点分别为n n P P P P (,,,121- 与C 重合），求∞
→n lim
)(1
22221n AP AP AP n
+++
A （222336
c b a +-）
B C 9已知双曲线)0,0(1>>=y x xy 与直线x y =相交点1A ，过点1A 作直线x y =的垂线与x 轴相交于点1B ；过点1B 作x y =的平行线与双曲线相交于点2A ，如此反复下去，得到点1A ，
1B ，2A ，2B ，…，求∞
→n lim ︳
n
n n n B B B B 11
-+︳（提示：n B ；答案：1）
8.在数列{a n }中，若∞
→n lim (3n －1)a n =1,则∞
→n lim na n =___________.
9.设数列{a n }，{b n }均为等差数列，（公差都不为零），∞
→n lim
n
n
b a =3,则∞
→n lim
n
n
a n
b b b 3221⋅⋅⋅⋅++=___________.
10.已知∞→n lim （1
1
2++n n －an －b ）=0，则a =___________,b =___________.
9.设一数列的通项公式为n n a (35x)=-，若n n lim a →∞
存在，求实数x 的取值范围
2．
n n a
a )1(lim -∞→等于( ) A.－1
B.0
C.1
D.不能确定
3.已知|a |＞|b |，且n n n n n n n n a
b a a b a +<++∞→-∞→11lim lim (n ∈N *
)，那么a 的取值范围是( ) A.a ＜－1
B.－1＜a ＜0
C.a ＞1
D.a ＞1或－1＜a ＜0
4.计算x
x x r r +-∞→11lim (r ＞0)
5.已知等比数列{a n }的公比为q (q ≠－1)，其前n 项的和为S n ,若集合N={S |S =∞
→n lim n
n
S S 2}，则N 等于 A.{0，1}
B.{1，
21 } C.{0，2
1
} D.{0，1，
2
1
}
例5已知扇形AOB 的半径为a ，中心角为锐角θ。

从A 向半径OB 作垂线，垂足为1B ；由
1B 作弦AB 的平行线，与OA 相交于1A 。

反复如此做，得到△AB 1B ，
1211,,+∆∆n n n B B A B B A 它们的面积分别为,,,,,21 n S S S 求所有这些三角形的面积
之和。

(答案：2
tan 22θ⋅a )
例6过点0B （0，1）作x 轴的平行线，与直线x y 2=相交于点1A ，过点1A 作y 轴的平行线，与直线3+-=x y 相交于点1B ；过点1B 作x 轴的平行线，与直线x y 2=相交于点2A ，过点2A 作y 轴的平行线，与直线3+-=x y 相交于点2B ；…；如此无限到继续下去。

求：（1）点()n n n y x A ,；（2） ++++=22211110B A A B B A A B S 。

(答案：（1）
()
())2
112,2111(1
--+-+n n
n n
（2）S=5 ) 19.若()0x ,x x 1x lim
2n
1
2n n ≠=++∞→求x 的取值范围.
20．若3133lim 1
1=++++∞→n n n n n a
a ,求a 的取值范围.
24.若求,1a <求)]
1()1)(1)(1[(lim 24
2n
a a a a n +---+++∞→.。