高等数学上册第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
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2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
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结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
高等数学 第三章 第4节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数(中央财经大学)
例
d y 设 x + x y + y = 4, 求 . 2 dx
2 2
2
解
对方程两边关于 x 求导:
2 x + y + x y′ + 2 y y ′ = 0
故 2x + y y′ = − x + 2y
想想如何求二阶导数？
解
(
)
1 2 1+ t 2 d y = 2 = = 2 2t 2 ′ 4t dx (ln(1 + t ) ) 1 + t 2
⎛ t ⎞′ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠
⎛ 1 + t 2 ⎞′ 2t 2 − 1 − t 2 ⎜ 3 ⎜ 4t ⎟ ⎟ 2 t 4 −1 d y 4t ⎝ ⎠ = = = 3 3 ′ 2t 8t dx (ln(1 + t 2 ) ) 1+ t 2
故
1 (1 − x)(1 − 2 x)(1 + x ) y′ = 3 3 (1 + 5 x)(1 + 8 x)(1 + x 4 )
⎧ −1 −2 2x 5 8 4 x3 ⎫ − − − ⎨1 − x + 1 − 2 x + 2 1 + 5x 1 + 8 x 4⎬ 1+ x 1+ x ⎭ ⎩
2
四、 隐函数及参数方程 确定的函数的高阶导数
F ( x, f (x) ) ≡ 0
对上式两边关于 x 求导：
d F ( x , y) = 0 dx
然后, 从这个式子中解出 y ′, 就得到隐函数的导数.
例
求由方程 F ( x , y ) = xy − e x + e y = 0 ( x ≥ 0 ) 所确定的隐函数的导数 y′, 并求 y′
高数第二章第4节
首页 上页 7 求 椭圆 在t = 相应 的点 处 4 y = b sin t 的切 线 方程 . π 解 当 t = 时, 椭圆上的相应点M 0的坐标是： 4 y
a 2 x0 = a cos = , 4 2 π b 2 y0 = b sin = 4 2
y
3
0
(2,
•
3 3) 2
4 x
3 dy 将x = 2, y = 3代入上式,得切线的斜率 2 dx 3 3 3=− ( x − 2), 故切 线 方 程 为 y − 2 4
x=2
3 =− , 4
即 3 x + 4 y − 8 3 = 0.
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6
1 例4 求由方程x − y + sin y = 0所确定的隐函 2 2 d y 数 y 的二 阶 导数 2 . dx 解 由隐函数求导方法，得 dy 2 dy 1 dy 1− + cos y = 0 ⇒ dx = 2 − cos y dx 2 dx dy −2sin y 2 d y d 2 dx ( )= 所以 2 = 2 dx 2 − cos y （2 − cos y） dx 2 −2sin y −4sin y 2 − cos y = = 3 2 （2 − cos y） （2 − cos y） 7
3
而有些隐函数不能表为显函数的形式
例如 : 方程e y − xy = 0就不能化成显函数 y = f ( x ) 的 形式 .
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
3
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隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
3.4 隐函数及参数方程所确定函数的导数
dy y dy x y x 0 e e dx dx dy e x y 由原方程知 x 0 时 , y 0 , 解得 , dx x e y
dy dx
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
x2 y 2 3 例3 求椭圆 1在点(2, 3 )处的切线方程. 16 9 2
sec2
dt
作业 P88 T1(3) T2(3) T4(3) T5(1)
于是
即
4x 4x 2x y ' y( 2 4 2 ), x 2 x 1 x 1
( x 2) 4x 4x 2x y' 4 ( 2 4 2 ) 2 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 x 1
2 2 3
3
二、参数方程所确定的函数的导数 若方程 x ( t )和 y ( t ) 确定y与x间的函数 关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，应用复合函数的求
导法可得一个含有 y 的方程，解出 y 即得隐函数 的导数.
例1
设y y ( x)是由方程 sin xy ln( x y ) 0所确定
dy 的隐函数，求 . dx 解 方程两边对x求导，注意到y是x的函数，有
1 y cos( xy)( y xy) 0 x y
x ( t ), y ( t ), t ( , )
所确定的函数． 例如，不计空气阻力时，抛射体的运动轨迹 可表示为 x v t
1 1 2 y v2 t gt 2
若消去参数t, 有
v2 g 2 y x x 2 v1 2v1
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数-文档资料
对数求导法适用于多个函数相乘或幂指函数 求导。
例6 y = x x (x > 0), 求 y . 解 两边取对数, 得 lny = xlnx. 上式两边同时对
x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得,
1 y ln x 1, y
于是 y = y (1 + lnx) = x x (1 + lnx).
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
例3 设 xy ex ey 0 确定了函数 y = y (x), 求 dy .
dx x0
解 方程两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数有
y xy ex ey y 0,
解得
dy ey y dx x ey ,
再由原方程知 x 0 时，y 0. 代入上式，得
dy dx
x0
ey y x ey
上式两边同时对 x 求导, 把 y 看成 x 的函数, 得
1 y cos x ln ln x sin x 1 1 ,
y
ln x x
y
ln
x sin x
cosxlFra bibliotek lnx
sin x x ln x
.
例8 设 x > 1, x 2, 3, 4, y (x 1)(x 2) , 求 y.
(x 3)(x 4)
2sin y y (2 cos y)2
高等数学上册第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
速度的水平分量为
vx
dx dt
，垂直分量为
vy
dy dt
vx
dx dt
v0
cos,
vy ddyt v0singt0
故炮弹速度大小：
v v x 2 v y 2(v 0 c o s)2 (v 0 s in g t0 )2
v022v0gtsing2t2
©
三、相关变化率
dx dt
v1
,
的导数。
解: 两边取对数 , 化为隐式
lny1lnx 2 3lnx 1 2ln4x 3
两边对求导得
y 1 3 2 y 3(x2) x1 4x
y(x3 1 )x 3( 42 x)2 3 (x 1 2)x3 14 2x
©
又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
©
按幂函数求导公式
2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
dx dy
1
1 e
x
方法2 等式两边同时对 y求导
1 ex
d d
x y
1 1 ex
©
例2 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
高等数学(上)04-隐函数的导数与由参数方程确定的函数的导数 答案详解
解：方程两边同时对 x 求导有， cos(x y) (1 y) 2yycos x y2 sin x
y cos(x y) y2 sin x 2y cos x cos(x y)
3． ln(x2 y2 ) arctan y x
解：方程两边同时对
x
求导有，
2x 2 yy x2 y2
1
1 y x
2
yx x2
y
y 2x y x 2y
4． ey 6xy x2 1 0
解：方程两边同时对 x 求导有， ey y 6y 6xy 2x 0
y
6y ey
2x 6x
y x
dx
e yln x ln x exln y x
y
七、求下列参数方程所确定的函数 y y(x) 的导数 dy ： dx
1．
x y
t3 3t
3t 1 5 5t3
1
解： dx 3(t2 1) ， dy 15t2 (t2 1)
dt
dt
dy
dy dx
f (t) tf (t) f (t)
f (t)
t
d2 dx
y
2
1 f (t)
注：计算参数方程二阶导前先对一阶导化简
则该曲线在 (1, 1) 点的切线斜率为1 由两曲线在该点相切，有 2 a 1 a 1，从而 b 1
五、求下列函数的导数：
1． y x x
解：法一（对数求导法）： ln y x ln x
1 y l nx y 2x
隐函数、参数方程的导数
小结
一、隐函数求导法则: 直接对方程两边求导，解出导数. 取对数求导法: 对方程两边取对数后，
按隐函数的求导法则求导. 二、参数方程求导:
实质上是利用复合函数求导法则. 三、相关变化率:
通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 间的关系.
25
思考题
1.设
x y
(t) (t)
，由
yx
(t) (t)
a(t a(1
sin t) cos t)
d2y dx 2
dt
1 cos t dx
dt
cos t 1 cos t sin t sin t
1
1 cos t 2
a 1 cos t
1
a 1 cos t 2 18
例8 不计空气的阻力, 以初速度v0 , 发射角
发射炮弹, 其运动方程为
x2 y2 1 显化 y 1 x2或y 1 x2
xy e x e y 0 不可显化
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
2
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y
y( x)的导数 dy , dy dx dx
x0 .
隐函数求导法: 对方程两边求导，
解 方程两边对x求导, 解出所求的导数
相关变化率 .
22
例9 一台摄像机安置在距火箭发射塔4000 米处，镜头始终对准火箭拍摄.假设火箭发 射后垂直上升到距地面3000米处时,其速率 为600米 / 秒.试求此时刻摄像机的仰角增加 率是多少?
相关变化率问题:
已知其中一个变化率时 如何求出另一个变化率?
3000米
4000米 23
解 设火箭上升t秒后, 其高度为h米,
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数教学重点：隐函数求导教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。
前面我们遇到的函数，例如y = sinx, y = lnx +J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
用这种方式表达的函数叫做显函数。
有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l = O表示一个函数，因为当变量％在（-oo, + oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。
例如，当兀=0时，y = l；当x = -l时，y =迈，等等。
这样的函数称为隐函数。
一般地，如果在方程F（x, y） = 0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x, y）= 0在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。
例如从方程x+/-l = 0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。
隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。
但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。
例1：求由方程e y+xy^-e = 0所确定的隐函数y的导数牛。
解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。
方程左边对x求导得dx V dx dx方程右边对求导得（0）' = 0。
由于等式两边对x的导数相等，所以4+y + Q = 0,dx dx从而—= ------ - （X + ￡ ' 工0）。
2.4隐函数及由参数方程确定的函数的导数
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
练习题
一、 填空题：
1、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确 定 了 y 是 x 的 函
数 ， 则 dy =________， d 2 y ________.
22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 1. 22
所求切线方程为
y 3 ( x 3) 即 x y 3 0.
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
例4
设
y 2 x ( x y) ln( x
y) ，
求
d2y dx 2
解
两边求导：
y'2 (1 y') ln( x y) ( x
dx 2
对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
,
y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导
方法求出导数. --------对数求导法
适用范围:
(1)幂指函数y u( x)v( x)的情形.
(2)多个函数相乘: y f1( x) f2 ( x) fn ( x)的情形.
dx
dx
解得
dy dx
ex y xey
,
由原方程知
x
0,
y
0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
1.
例2
设 arctan y ln
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数课件
一般地
f ( x) = u( x)v( x) (u( x) > 0)
Q ln f ( x) = v( x) ⋅ lnu( x)
d 1 d f ( x) 又Q ln f ( x) = ⋅ dx f ( x) dx
d ∴ f ′( x) = f ( x) ⋅ ln f ( x) dx
∴ f ′( x) = u( x)
解 方程两边对 求导, 3 x 2 + 3 y 2 y′ = 3 y + 3 xy′ 方程两边对x
y − x2 ∴ y′ 3 3 = 2 = − 1. ( , ) y −x 22 3 3 所求切线方程为 y − = − ( x − ) 即 x + y − 3 = 0. 2 2 3 3 法线方程为 y − = x − 即 y = x , 显然通过原点 显然通过原点. 2 2
′ − sec2 t d y d dy ( − tan t ) = = ( ) = 2 3 ′ − 3a cos 2 t sin t dx dx dx ( a cos t )
2
sec 4 t = 3a sin t
四、相关变化率
设 x = x ( t )及 y = y( t )都是可导函数 , 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
公里/ 七、在中午十二点正甲船的 6 公里/小时的速率向东行 公里， 公里/ 驶，乙船在甲船之北 16 公里，以 8 公里/小时的速 率向南行驶， 率向南行驶 ，问下午一点正两船相距的速率为多 少？ 米的正圆锥形容器中， 八、注入水深 8 米，上顶直径 8 米的正圆锥形容器中， 立方米， 米时， 其速率为每分钟 4 立方米，当水深为 5 米时，其表 面上升的速率为多少？ 面上升的速率为多少？
第四讲 隐函数及由参数方程所决定的函数的导数
第四讲 隐函数导数及由参数方程所确定的函数的导数一、简要复习上节内容1.函数的和、差、积、商的求导法则；2.反函数的求导法则；3.复合函数的求导法则.二、本节教学内容：1.隐函数的导数；2.由参数方程所确定的函数的导数；3.相关变化率【教学目的与要求】1. 熟练掌握隐函数与参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法；2. 掌握抽象形式的函数的一阶、二阶导数的求法；3. 熟练掌握对数求导法；4. 理解和会求相关变化率.【教学重点与难点】掌握隐函数与参数式所确定的函数的二阶导数的求法，相关变化率的计算.§2.4 隐函数导数及由参数方程所确定的函数的导数一、 隐函数的导数1 隐函数的定义：形如)(x f y =的函数为显函数.而由方程0),(=y x F 或),(),(y x g y x f = 所确定的函数为隐函数2 隐函数求导法：将方程两端对x 求导（y 看成x 的函数），然后解出y ' 例1 已知0=-+e xy e y，求d y d x.解：0y e y xy y ''++= 从而yex yy +-='. 例2 已知57230y y x x +--=，求x dy dx=.解：46521210y y y x ''+--= 则6421125x y y+'=+.将0=x 代入原方程里得0=y 所以=x dxdy 21=.例3 求1sin 02x y y -+=的二阶导数22dxy d解：0cos 211='⋅+'-y y y ，所以，yy cos 22-='，2)cos 2(sin 2y y y y -'⋅-=''代入y '有3)cos 2(sin 4y y y --=''.3. 对数求导法（多用于求幂指函数)()(x g x f 与多因式函数求导问题，两边取对数，变显函数为隐函数，再使用隐函数求导法求导） 例4 sin (tan )x y x =，求y ' 解：ln sin ln tan y x x =,211cos ln tan sin sec tan y x x xx yx'=+.所以sin 21(tan )[cos ln tan sin sec ]tan x y x x x xx x'=+法2：sin ln tan x x y e =，所以sin ln tan 21[cos ln tan sin sec ]tan xy ex x xx x'=+.例5 )4)(3()2)(1(----=x x x x y解：)]4ln()3ln()2ln()1[ln(21ln -----+-=x x x x y ,]41312111[211-----+-='x x x x y y所以 ]41312111[21-----+-='x x x x y )4)(3()2)(1(----x x x x .二、参数方程求导法：设参数方程为(),().x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，βα≤≤t , 显然若)(t x ϕ=存在反函数)(1x t -=ϕ则)]([1x y -=ϕψ为x 的复合函数，若)(t x ϕ=，)(t y ψ=可导，且0)(≠'t ϕ，则由复合函数求导法则有：dt dx dt dydx dtdt dy dx dy===)()(t t ϕψ''， 22dxy d =dxd （)()(t t ϕψ''）=dtd （)()(t t ϕψ''）dxdt =ϕϕϕψψϕ'''''-'''12.例6 已知椭圆参数方程为cos ,sin .x a t y b t =⎧⎨=⎩，求椭圆在4π=t 处的切线方程解： 先求4π=t 处所对应的椭圆上的点0M 的坐标为)22,22(b a ，在点0M 处切线的斜率ab ta tb dxdy k t t -=-====44sin cos ππ,所以所求的切线方程为)22(22a x ab b y --=-.例7 求三叶玫瑰线θ3sin a r =在3πθ=处的切线方程解：先将其化为参数方程sin 3cos ,sin 3sin .x a y a θθθθ=⎧⎨=⎩ 在3πθ=处对应点为)0,0(,3sin 3sin cos 3cos 3cos 3sin sin 3cos 333=-+====πθπθθθθθθθθθa a a a dxdy k所以所求的切线方程为x y 3=.例8 求摆线(sin ),(1cos ).x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的二阶导数22dx y d .解：dxdy )cos 1(sin t a t a -=tt cos 1sin -=,22dxy d )cos 1(1)cos 1(sincos )cos 1()cos 1sin (22t a t t t t dxdtt tdt d ----=-=2)cos 1(1t a --=.三、相关变化率设)(t x ϕ=，)(t y ψ=可导.于是dtdydt dx ,为相关变化率 例9 一汽球从离开观察点500米处离开地面竖直上升，其速率为140米/分，当气球高为500米时.观察员视线的仰角增加率为多少？ 解：设t 分钟后，气球高度为h ，则 tan 500h α=，h ,α均为t 的函数，求导 h '='⋅5001sec 2αα而h '为140米/分，所以当500=h 时，21cos =α所以14.0140500cos 2=⋅='αα例10 设31sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩证明)(x f 在0=x 有连续的导数，但)0(f ''不存在分析：证明分三个步骤完成1 .求)(x f ';2. 证)(x f '在0=x 连续;3. 证)0(f ''不存在.证 （1） 0≠x 时，xx xx x f 1cos1sin3)(2-='0=x 时，)0(f '=0()(0)limx f x f x→-==-→xx x x 01sinlim3所以)(x f '=2113sin cos ,0,0,0.x x x x xx ⎧-≠⎪⎨⎪=⎩（2）)1cos1sin3(lim )(lim 20xx xx x f x x -='→→)0(0f '==（3）)0(f ''=='-'→x f x f x )0()(limxx x xx x 1cos 1sin 3lim 2-→)1cos 1sin3(lim 0xxx x -=→ 不存在.小结1.隐函数的导数；2.由参数方程所确定的函数的导数；3.相关变化率作业作业: p55--56 习题 2－4: 1的奇数题 ，2的偶数题，3的奇数题，6，7 ； 预习：第二章§2.5 p55—62,。
隐函数与参数方程所确定的函数的导数
例3
求椭圆
x2 32
y2 42
1
在点（3，4）处
的切线斜率.
解 根据导数的几何意义，所求切线斜率就
是椭圆方程确定的隐函数在（3，4）点
处的导数值.
方程两边对x求导, 得
2x 32
2
y 42
y
0
y 16x 9y
4. 3
如
y
(x (
x
1) 3 x 4)2e x
1,
对数求导法
许多因子相乘除、乘方、开方的函数.
求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, y是x的函数, 方程中y的函数是x的复合函数, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 y 的方程. 从中解出来即可.
§2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数
例1求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数 y的导数 y, y x0 .
解 设方程 可确定函数为y = y(x) ，代入方程,
3.参数方程求导
实质上是利用复合函数及反函数的求导法则. 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;
1.隐函数的求导法则
2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数
2.对数求导法
直接对方程两边求导;
思考练习
下列求导过程正确吗？
2.4 隐函数与参数方程所确定的函 数的导数
添加标题
添加标题
解答
01
不正确
有些函数虽然是显函数，但直接求导比较困难，可以 利用对数性质使函数的求导变得更为简单. 例如形式 对数求导法——先在方程两边取对数,然后利用隐函 数的求导法求出导数. 2.4 隐函数与参数方程所确定的函数的导数
例4
解
等式两边取对数得
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故
dy dy dt a(1 cos t ) a sin t sin t dx dx a(t sin t ) a(1 cos t ) 1 cos t dt sin dy 2 1 dx t 2 1 cos 2 ©
所求切线方程为
y a x a(
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
©
例9. 以初速度 v0 、仰角 发射炮弹，其运动方程为
x (v0 cos )t 1 2 y (v0 sin )t gt 2
求炮弹在时刻 t 的运动方向及速度大小 解 （1）先求运动方向 (即轨迹的切线方向):
1 2 [(v0 sin )t gt ] v sin gt dy 2 k 0 dx [(v0 cos )t ] v0 cos
d dy b cot t d 2 y dt dx a dx a cost dx2 dt
b 2 ( csc t ) b a 2 3 a sin t a sin t
©
x t 2 2 t (0 1) 例8. 设由方程 2 t y sin y 1
2. 设 y (sin x)
tan x
x x
ln x
3
y2 , y2 . 提示: 分别用对数微分法求 y1
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 ln x x
第四节
第二章
隐函数和由参数方程 所确定的函数的导数求导 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
©
一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
y sin x x
1 x 1 1 0 y x 平行，则 , y0 x0 2 2 4 y0 2 1 2 ( x , x ) x 于是点 0 0 在椭圆上，即 0 2 ©2
2 故 x0 2 ， y0 2 2 2 椭圆上有两个点 ( 2, ) 及 ( 2, ) 2 2 1 处切线与直线 y x 平行， 2
2
1)
即
y x a (2 ) 2
法线方程为 即
y a [ x a ( 1)] 2 a y x 2
©
x a cost d2y 例7. 已知椭圆的参数方程 y b sin t ，求 dx 2
解
dy (t ) b cos t b cot t dx (t ) a sin t a
隐函数求导方法:方程 把y看作x的函数。
©
可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 两边对 x 求导，把y
例1 设 x xy y 1 0 ，求 y, y(0)
4 4
解
在方程
x xy y 1 0
4 4
中把
y 看作 x
3
的函数， 两边对
3
x 求导，得
4x y xy 4 y y 0
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin dy dy sin cos d dx dx cos sin d
), M ( 0 , 当 时对应点 2 2
2 dy 斜率 k dx 2 2 ∴ 切线方程为 y x 2 ©
解得
4 x3 y y' x 4 y3
当 x 0 时 y 1，代入 y 的表达式，所以
©
1 y(0) 4
x2 y 2 1 相切且平行于直线 例2 试求 与椭圆 4 1 y x 的切线方程。 2 2 x 2 y 1 两边对 x 求导，得 解 由 4 x 2x 2 yy 0 ，解出 y 4y 4 设点 ( x0 , y0 ) 在椭圆上，且过该点的切线与直线
2
©
二.对数求导法
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
v 2v0 gt sin g t
2 0
©
2 2
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
©
将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器， 例10.
其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升 的速度是多少？ 解 则 当 设时刻 t 容器内水面高度为 h ，水的体积为 V
©
3
x 2x 2 x 1 2 ln x 2 3(2 x) 3(2 x) (2 x )
备用题 例1. 设
解: 方法1 求其反函数的导数 .
3
的导数。
解: 两边取对数 , 化为隐式
1 ln y ln x 2 3 ln x 1 2 ln 4 x 3
两边对求导得
y 1 3 2 y 3( x 2) x 1 4 x
y x2 ( x 1)3 (4 x )2
3
©
1 3 2 3( x 2) x 1 4 x
©
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
1 h 1 V h h3 , 3 2 12
2
dV 1 2 dh h dt 4 dt
dV 4（米3/分）， h 5（米）时， dt
dh 1 16 44 3/分） 2 （米 dt 5 25
©
例11. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
解得
上式两边再对 x 求导，仍然把 y 看作 x 的函数
y y' y e x
y(e y x) y(e y y 1) y y 2 (e x)
©
将
y 代入，化简得 y' y e x
y( y 2 y 2) y 2 3 x ( y 1)
2
©
例4 设 y x
解
x tan x
( x 0) ，求
y
等式两边取对数得
ln y x tan x ln x
两边再对
x
求导，注意到
y是 x
的函数，
1 2 y tan x ln x x sec x ln x tan x y
y x
x tan x
(tan x ln x x sec x ln x tan x )
©
（2）再求速度的大小
dx 速度的水平分量为 vx dt dy ，垂直分量为 v y dt
dx vx v0 cos , dt
故炮弹速度大小：
dy vy v0 sin gt0 dt
2 2 v vx vy (v0 cos )2 (v0 sin gt0 )2
u ( ln u ) u
©
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
按指数函数求导公式
©
2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便 例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
©
例5. 求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 y , 3 2 ( x 1) (4 x )
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x (t ) 3