高等数学上册第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

按指数函数求导公式
©
2) 对多因式函数用对数求导法求导很方便 例如,
两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
©
例5. 求
x2 y , 3 2 ( x 1) (4 x )
©
3
x 2x 2 x 1 2 ln x 2 3(2 x) 3(2 x) (2 x )

备用题 例1. 设
解: 方法1 求其反函数的导数 .
d dy b cot t d 2 y dt dx a dx a cost dx2 dt
b 2 ( csc t ) b a 2 3 a sin t a sin t
©
x t 2 2 t (0 1) 例8. 设由方程 2 t y sin y 1
©
例4 设 y x
解
x tan x
( x 0) ，求
y
等式两边取对数得
ln y x tan x ln x
两边再对
x
求导，注意到
y是 x
的函数，
1 2 y tan x ln x x sec x ln x tan x y
y x
x tan x
(tan x ln x x sec x ln x tan x )
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 R 3 3 1 R 2 h 1 r 2 (h x) [ h ( h x ) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r hx dV R 2 d V h 2 ( h x ) 2 dx , 而 25 (cm 3 s)R hx dt dt h dt r R 2 h dx 100 25h (cm s) , 故 2 2 2 dt R R (h x)
第四节
第二章
隐函数和由参数方程 所确定的函数的导数求导 相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
y sin x x
©
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
©
例9. 以初速度 v0 、仰角 发射炮弹，其运动方程为
x (v0 cos )t 1 2 y (v0 sin )t gt 2
求炮弹在时刻 t 的运动方向及速度大小 解 （1）先求运动方向 (即轨迹的切线方向):
1 2 [(v0 sin )t gt ] v sin gt dy 2 k 0 dx [(v0 cos )t ] v0 cos
解得
4 x3 y y' x 4 y3
当 x 0 时 y 1，代入 y 的表达式，所以
©
1 y(0) 4
x2 y 2 1 相切且平行于直线 例2 试求 与椭圆 4 1 y x 的切线方程。 2 2 x 2 y 1 两边对 x 求导，得 解 由 4 x 2x 2 yy 0 ，解出 y 4y 4 设点 ( x0 , y0 ) 在椭圆上，且过该点的切线与直线
y x (t ) (t ) (t ) (t ) x y 3 x (t ) 3
©
注意： 已知

?
x f (t ) d2 y 求 . f ( t ) 0 , , 且 2 y t f (t ) f (t ) dx
解得
上式两边再对 x 求导，仍然把 y 看作 x 的函数
y y' y e x
y(e y x) y(e y y 1) y y 2 (e x)
©
将
y 代入，化简得 y' y e x
y( y 2 y 2) y 2 3 x ( y 1)
2
2. 设 y (sin x)
tan x

x x
ln x
3
y2 , y2 . 提示: 分别用对数微分法求 y1
答案:
y1
2 x , 求 y . 2 (2 x)
y2 y y1
(sin x) tan x (sec 2 x ln sin x 1)
1 ln x x
( x 1)( x 2) 又如, y ( x 3)( x 4)
两边取对数
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
©
（2）再求速度的大小
dx 速度的水平分量为 vx dt dy ，垂直分量为 v y dt
dx vx v0 cos , dt
故炮弹速度大小：
dy vy v0 sin gt0 dt
2 2 v vx vy (v0 cos )2 (v0 sin gt0 )2

2
1)
即
y x a (2 ) 2

法线方程为 即
y a [ x a ( 1)] 2 a y x 2

©
x a cost d2y 例7. 已知椭圆的参数方程 y b sin t ，求 dx 2
解
dy (t ) b cos t b cot t dx (t ) a sin t a
故
dy dy dt a(1 cos t ) a sin t sin t dx dx a(t sin t ) a(1 cos t ) 1 cos t dt sin dy 2 1 dx t 2 1 cos 2 ©
所求切线方程为
y a x a(
1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. x r cos 解: 化为参数方程 y r sin dy dy sin cos d dx dx cos sin d
), M ( 0 , 当 时对应点 2 2
2 dy 斜率 k dx 2 2 ∴ 切线方程为 y x 2 ©
u ( ln u ) u



©
1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )
1 h 1 V h h3 , 3 2 12
2
dV 1 2 dh h dt 4 dt
dV 4（米3/分）， h 5（米）时， dt
dh 1 16 44 3/分） 2 （米 dt 5 25
©
例11. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
v 2v0 gt sin g t
2 0
©
2 2
三、相关变化率
为两可导函数 之间有联系
相关变化率问题解法: 之间也有联系 称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率
©
将水注入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器， 例10.
其速率每分钟4立方米，当水深为5米时，其表面上升 的速度是多少？ 解 则 当 设时刻 t 容器内水面高度为 h ，水的体积为 V
2
©
二.对数求导法
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
注意:
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u y u v ln u v vu v 1 u
按幂函数求导公式
确定函数 y y ( x) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
d2 y 1 f (t ) d x2
©
x a(t sin t ) 例6. 求 摆线 在 y a(1 cos t )
t

2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所对应的点的切线与法线方程 解: t

2
时，摆线上对应的点为
a( 1), a 2
隐函数求导方法:方程 把y看作x的函数。
©
可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 两边对 x 求导，把y
例1 设 x xy y 1 0 ，求 y, y(0)
4 4
解
在方程
x xy y 1 0
4 4
中把
y 看作 x
3
的函数， 两边对
3
x 求导，得
4x y xy 4 y y 0
两条切线方程分别是
2 1 y ( x 2) 和 2 2
即
2 1 y ( x 2) 2 2
1 1 y x 2 和 y x 2 2 2
©
y y f ( x ) 例3. 设 是由方程 e xy 0
确定的隐函数，求 解
y， y
方程两边对x 求导， e y y ' y xy ' 0
3
的导数。
解: 两边取对数 , 化为隐式
1 ln y ln x 2 3 ln x 1 2 ln 4 x 3
两边对求导得
y 1 3 2 y 3( x 2) x 1 4 x
y x2 ( x 1)3 (4 x )2
3
©
1 3 2 3( x 2) x 1 4 x
1 x 1 1 0 y x 平行，则 , y0 x0 2 2 4 y0 2 1 2 ( x , x ) x 于是点 0 0 在椭圆上，即 0 2 ©2
2 故 x0 2 ， y0 2 2 2 椭圆上有两个点 ( 2, ) 及 ( 2, ) 2 2 1 处切线与直线 y x 平行， 2
©
r
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 4. 相关变化率问题
列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
©
思考与练习