垂线的定义和性质PPT
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
《认识垂线》课件
利用直角三角形的边作垂线
准备直角三角形：选择任意一个直角三角形
确定垂线位置：在直角三角形的任意一条边上确定垂线的位置
画垂线：从确定的位置垂直于直角三角形的边画一条并验证垂线的长度是否等于直角三角 形的斜边长度
利用勾股定理作垂线
准备工具：直尺、 圆规、铅笔
利用其他性质判定
利用平行线判定：两条直线平行，第三条直线垂直于其中一条，则第三条直线垂直于 另外一条。
利用三角形判定：三角形内角和为180度，如果其中一个角为90度，则另外两个角互为垂直。
利用四边形判定：四边形内角和为360度，如果其中一个角为90度，则另外三个角互为垂直。
利用圆判定：圆内任意一点到圆心的距离等于半径，如果圆心到圆周上任意一点的距 离等于半径，则该点与圆心连线垂直于圆周。
垂线具有方向性，即 垂直于平面的方向
垂线具有长度，即从 一点到另一点的距离
垂线具有位置，即相 对于平面的位置
垂线具有方向，即垂 直于平面的方向
垂线具有长度，即从 一点到另一点的距离
垂线具有位置，即相 对于平面的位置
垂线在生活中的应用
建筑设计：垂直线在建筑设计中的应用，如高楼大厦、桥梁等 服装设计：垂直线在服装设计中的应用，如西装、衬衫等 绘画艺术：垂直线在绘画艺术中的应用，如风景画、肖像画等 广告设计：垂直线在广告设计中的应用，如海报、广告牌等
垂线的性质
垂直于平面的直线 长度无限长 方向固定 两端无限延伸
垂线的判定方法
第三章
利用定义判定
垂线定义：从一点向另一点延伸的线
判定方法：通过两点确定一条直线，然后判断这条直线是否垂直于另一条直线
判定步骤：首先确定两点，然后连接两点形成一条直线，最后判断这条直线是否垂直于另一条 直线
人教版七年级数学下册《垂线》课件ppt
解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°， ∴∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
垂线的画法及基本事实
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
符号语言：
①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义）
A
D
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°.
O
符号语言：
C
B
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A.4
B.3
C. 2
D. 1
(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则m⊥n；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =___9_0_°_； (3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝_7_2_°_, ∠BOC的补角为 162°.
条? 一条
B
l
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
点到直线的距离
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ A ）个
＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°， ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
垂线的画法及基本事实
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
符号语言：
①判定：∵∠AOD=90°,（已知） ∴AB⊥CD.（垂直的定义）
A
D
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，则∠AOD=90°.
O
符号语言：
C
B
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
A.4
B.3
C. 2
D. 1
(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则m⊥n；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =___9_0_°_； (3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝_7_2_°_, ∠BOC的补角为 162°.
条? 一条
B
l
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
点到直线的距离
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ A ）个
初一数学《垂线》课件
垂线的定义及特点
1 定义
垂线是与一个直线或平面相交，并与其垂直的线段或射线。
2 特点
垂线与直线或平面的交点形成直角。它们在二维和三维空间中有着重要的几何性质。
垂线在日常生活中的应用
建筑设计
垂线被用于确保建筑结构的垂直性和水平性。
地图制作
垂线可以帮助我们确定地图上的位置和方向。
医学成像
垂线被用于测量和诊断人体内部的结构。
2
通过这个点，作直线的垂线。
3
步骤三
测量并标出垂线的长度。
点到平面的垂线
点到平面的距离
垂线是从一个点到一个平面的 最短距离。
平面的特性
平面上的所有垂线垂直于该平 面。
垂线的性质
垂线和平面相交时，形成相互 垂直的直线和平面。
如何作出点到平面的垂线？
1
步骤一
选择一个平面上的点作为垂线的起点。
2
步骤二
已知一个直角三角形的两条边，求解第三条边的长度。
作直线垂直于该平面，并通过起点。
3
步骤三
标出垂线的终点。
垂线的斜率
1 定义
垂线的斜率是直角两条边之间的比值。
2 计算法
通过计算垂线的两个端点的坐标，可以求得垂线的斜率。
垂线方程的推导
1 定义
2 推导过程
垂线方程可以表达点到直线或平面的垂线。
根据垂线的性质和数学原理，可以推导出 垂线方程的一般形式。
如何求垂线方程？
1
步骤二
2
计算垂线的斜率。
3பைடு நூலகம்
步骤一
确定垂线的起点和终点的坐标。
步骤三
使用垂线的斜率和起点的坐标，写出 垂线方程。
垂线的交点
垂线及垂线段课件
几何问题中的应用
直角三角形
在几何学中，垂线与直角三角形密切相关。通过垂线可以 确定直角三角形的直角，并用于解决与直角三角形相关的 于计算图形的面积。例如，在 矩形、三角形等图形中，通过垂线将图形划分为多个小矩 形或小三角形，然后分别计算面积并相加。
空间几何
，然后画线段。
利用几何定理
03
利用勾股定理或类似三角形的性质来证明两条直线垂直，从而
确定垂足的位置。
05
垂线的历史与发展
古代的垂线概念
垂线概念起源
在古希腊和古埃及时代，人们开始认识到垂线在几何图形中 的重要性。
垂线的早期应用
古希腊数学家利用垂线解决了一些与直角三角形相关的问题 ，奠定了基础。
近代的垂线研究
垂线段的性质与计算
垂线段的性质
垂线段最短
在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的 。
垂直平分线与垂线段的关系
一条经过某点且垂直于此点与另一点的连线的线段，是该点的垂直 平分线。
垂线段的交点
两条直线相交形成的垂线段的交点是它们的公共垂足。
垂线段的计算
利用勾股定理计算
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，可以利用勾股定理计 算垂线段的长度。
在三维空间中，垂线用于描述物体的位置和方向，以及解 决与空间几何相关的问题。
物理学中的应用
重力作用
在物理学中，垂线被用来描述重 力的方向。地球上的重力加速度
总是垂直向下，与地面垂直。
力的合成与分解
在分析力的作用时，垂线用于确 定力的方向和大小。通过力的合 成与分解，可以解决各种物理问 题，如力的平衡、运动轨迹等。
运动学
在研究物体的运动轨迹时，垂线 用于描述速度和加速度的方向。 例如，在自由落体运动中，物体
5.1.2垂线ppt课件
THANKS
感谢观看
详细描述
首先，确定给定的点和平行线。然后，选择一个与该平面垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的直线，即为所求的垂线 。
过一点作已知直线的垂面
总结词
通过给定的点，使用三维几何的知识，可以作出已知直线的垂面。
详细描述
首先，确定给定的点和已知直线。然后，选择一个与该直线垂直的平面，并将给 定点包含在该平面内。最后，过该点作与该平面垂直的平面，即为所求的垂面。
总结词
通过给定的点，使用直角三角形的性质，可以作出已知直线 的垂线。
详细描述
首先，将给定的点和已知直线连接，形成一个直线段。然后 ，以该点为顶点，直角三角形的直角边与已知直线重合，构 造一个直角三角形。最后，沿着直角三角形的斜边进行延长 ，即可得到过该点的垂线。
过一点作已知平面的垂线
总结词
通过给定的点，使用空间几何的性质，可以作出已知平面的垂线。
机械制造应用
在机械制造中，垂线是确 定机器部件位置和方向的 重要依据。
数学应用
在数学中，垂线是解决几 何问题的重要工具，如求 点到直线的距离、确定直 线的位置等。
02
垂线的判定
直线与直线垂直的判定
判定定理
空间中的垂直关系
两条直线所成的角为直角，则这两条 直线垂直。
如果两条直线所成的角为直角，则它 们垂直。
这个平面垂直。
平面与平面垂直的判定
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
推论
如果一个平面内的无数条直线都与另一个平面垂 直，那么这两个平面垂直。
空间中的垂直关系
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面 垂直，那么这两个平面垂直。
七年级数学下册《-垂线》课件
l O
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点Ａ作l
的垂线.
B
问题：这样的垂
线能画几条？
A
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么， ∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直定义练习:
C
E
填空
⑴已知：AB⊥CD,∠1=∠2
求证：EF⊥AB 证明：∵CD⊥AB
与射线、线段、射线与直线垂直， 特指它们所在的直线互相垂直.
请你画图，
并用尺量一下，
看看哪一条线
段最短？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上 各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引
P
垂线，这点与垂足间的线段
叫做垂线段。
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，线 段PA叫做点P到直线l的垂线段.
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,直线a、b
bb b
所成的∠α也会发生变化.
当∠α =90°时,
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点Ａ作l
的垂线.
B
问题：这样的垂
线能画几条？
A
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么， ∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直定义练习:
C
E
填空
⑴已知：AB⊥CD,∠1=∠2
求证：EF⊥AB 证明：∵CD⊥AB
与射线、线段、射线与直线垂直， 特指它们所在的直线互相垂直.
请你画图，
并用尺量一下，
看看哪一条线
段最短？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上 各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引
P
垂线，这点与垂足间的线段
叫做垂线段。
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，线 段PA叫做点P到直线l的垂线段.
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,直线a、b
bb b
所成的∠α也会发生变化.
当∠α =90°时,
《垂线定理及逆定理》课件
根据三角形面积的公式，我们知道三 角形的面积等于底边乘以高的一半。 这是证明过程中需要用到的一个重要 公式。
为了证明垂线定理，我们需要利用已 知的三角形性质和几何定理来推导。
证明的过程
01 02
第一步
根据三角形面积公式，我们知道三角形ABC的面积等于底边BC乘以高 AD的一半，即S△ABC=12BC⋅AD。S_{triangle ABC} = frac{1}{2} BC cdot AD
通过应用逆定理，可以快速找到证明 两条线垂直的方法，从而简化解题过 程。
04
逆定理的证明
证明的思路
引入已知条件
首先明确题目中给出的已 知条件，包括线段、点、 角度等。
逻辑推理
根据已知条件，通过逻辑 推理和数学公式的应用， 逐步推导出结论。
结论总结
在推导过程中，不断总结 和归纳，最终得出逆定理 的结论。
逆定理的应用实例
逆定理在几何证明中的应用
利用逆定理，可以证明一些与平行线和同位角、内错角有关的几何命题，例如平 行线的性质和判定。
逆定理在日常生活中的应用
逆定理在日常生活中也有广泛的应用，例如道路的平行线检测、建筑物的平行度 测量等。
综合应用实例
垂线定理与逆定理的综合应用
在解决一些复杂的几何问题时，需要综合运用垂线定理和逆定理，例如证明两个三角形相似的判定定 理。
逆定理的几何解释
在几何图形中，逆定理可以通过实际的图形来解释和证明。
如果一条直线与另外两条相交直线形成的同旁内角互补，那 么这条直线必定与那两条相交直线垂直。
逆定理的应用场景
逆定理在几何证明题中应用广泛，特 别是在解决与垂直线相关的问题时。
在实际生活中，逆定理也有很多应用 ，比如在建筑、机械等领域中，常常 需要用到逆定理来验证结构的稳定性 和安全性。
为了证明垂线定理，我们需要利用已 知的三角形性质和几何定理来推导。
证明的过程
01 02
第一步
根据三角形面积公式，我们知道三角形ABC的面积等于底边BC乘以高 AD的一半，即S△ABC=12BC⋅AD。S_{triangle ABC} = frac{1}{2} BC cdot AD
通过应用逆定理，可以快速找到证明 两条线垂直的方法，从而简化解题过 程。
04
逆定理的证明
证明的思路
引入已知条件
首先明确题目中给出的已 知条件，包括线段、点、 角度等。
逻辑推理
根据已知条件，通过逻辑 推理和数学公式的应用， 逐步推导出结论。
结论总结
在推导过程中，不断总结 和归纳，最终得出逆定理 的结论。
逆定理的应用实例
逆定理在几何证明中的应用
利用逆定理，可以证明一些与平行线和同位角、内错角有关的几何命题，例如平 行线的性质和判定。
逆定理在日常生活中的应用
逆定理在日常生活中也有广泛的应用，例如道路的平行线检测、建筑物的平行度 测量等。
综合应用实例
垂线定理与逆定理的综合应用
在解决一些复杂的几何问题时，需要综合运用垂线定理和逆定理，例如证明两个三角形相似的判定定 理。
逆定理的几何解释
在几何图形中，逆定理可以通过实际的图形来解释和证明。
如果一条直线与另外两条相交直线形成的同旁内角互补，那 么这条直线必定与那两条相交直线垂直。
逆定理的应用场景
逆定理在几何证明题中应用广泛，特 别是在解决与垂直线相关的问题时。
在实际生活中，逆定理也有很多应用 ，比如在建筑、机械等领域中，常常 需要用到逆定理来验证结构的稳定性 和安全性。
初一数学《垂线》课件
过一点作已知直线的平行线
总结词
通过给定的一个点，使用直尺和三角板，可以作出与给定直线平行的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将三角板的一条边放在该点上，另一条边与给定直线 重合，沿着这条边画一条线段，即为所求的平行线。
作平行四边形的垂线
总结词
在平行四边形中，可以通过连接 对角线上的两个端点来作出垂线 。
在地球科学中，垂线被用来测量地壳的倾斜度和地震的震源深度， 对于研究地球的运动和地震预测具有重要意义。
03 垂线的作法
过一点作已知直线的垂线
总结词
通过给定的一个点，使用直角三角板 或量角器，可以作出与给定直线垂直 的线段。
详细描述
首先确定给定的点，然后将直角三角 板的一条直角边放在该点上，另一条 直角边与给定直线重合，沿着这条直 角边画一条线段，即为所求的垂线。
01
如果一条线段与另一条直线相交 形成的角为直角，则该线段垂直 于另一条直线。
02
如果一条线段与另一条直线相交 ，且经过另一条直线上的一点， 则该线段垂直于另一条直线。
垂线定理的推论
垂线的斜率互为相反数
如果一条直线的斜率为k，则其垂线的斜率为-1/k。
垂线与原直线平行
如果一条直线平行于x轴，则其垂线与x轴垂直。
题目2
已知两条直线互相垂直，其中 一条直线的方程为y=2x+1，求 另一条直线的方程。
题目3
在直角坐标系中，点A的坐标为 (1,2)，点B的坐标为(3,4)，求线
段AB的垂直平分线的方程。
答案及解析
01 02
题目1答案及解析
垂线是两条直线相交成直角时，所形成的线段。生活中常见的例子有窗 户的边框、墙角等。解析：此题考察垂线的定义，理解垂线的概念是解 题的关键。
垂线ppt课件
角为90度。
垂线的性质
垂线与给定直线相交于一点，这 一点称为垂足。
垂线与给定直线的夹角为90度， 这是垂线的唯一性。
垂线具有传递性，即如果直线a 垂直于直线b，直线b垂直于直线 c，那么直线a也垂直于直线c。
垂线的应用
在几何学中，垂线是解决许多问题的基础，如求点到直线的距离、判断两条直线是 否平行等。
利用垂线定理
垂线定理是几何学中的重要定理之一，它告诉我们一个点 到一条直线的距离是最短的，这个性质在解决几何问题时 非常有用。
利用垂线的性质
垂线有很多重要的性质，如垂直平分线定理、等腰三角形 性质等，这些性质都可以用来解决几何问题。
利用垂线解决实际问题的方法
利用垂线解决高度测量问题
在测量高度时，我们可以利用垂线的性质来计算高度，例如在建筑、地形测量 等领域。
在一些复杂的几何问题中，我们可以利用垂线定理和勾股定理来解决问题，这些 定理可以帮助我们找到解决问题的关键点。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在工程学中，垂线也具有广泛的应用，如在建筑、道路、桥梁等工程中，需要用到 垂线来确定物体的位置和方向。
在物理学中，垂线也是非常重要的概念，如在重力学中，需要用到垂线来确定物体 的重心和平衡状态。
02 垂线的判定
直线与直线垂直的判定
01
02
03
判定定理
两条直线相交，所形成的 对角相等且互补，则这两 条直线互相垂直。
延长线段
将线段延长，使其与另一条线段 相交，形成垂足。
垂线的应用实例
建筑学
在建筑设计中，垂线用于确定建筑物的垂直方向 和垂直度。
工程学
在桥梁、隧道等工程设计中，垂线用于确定结构 的垂直度和稳定性。
垂线的性质
垂线与给定直线相交于一点，这 一点称为垂足。
垂线与给定直线的夹角为90度， 这是垂线的唯一性。
垂线具有传递性，即如果直线a 垂直于直线b，直线b垂直于直线 c，那么直线a也垂直于直线c。
垂线的应用
在几何学中，垂线是解决许多问题的基础，如求点到直线的距离、判断两条直线是 否平行等。
利用垂线定理
垂线定理是几何学中的重要定理之一，它告诉我们一个点 到一条直线的距离是最短的，这个性质在解决几何问题时 非常有用。
利用垂线的性质
垂线有很多重要的性质，如垂直平分线定理、等腰三角形 性质等，这些性质都可以用来解决几何问题。
利用垂线解决实际问题的方法
利用垂线解决高度测量问题
在测量高度时，我们可以利用垂线的性质来计算高度，例如在建筑、地形测量 等领域。
在一些复杂的几何问题中，我们可以利用垂线定理和勾股定理来解决问题，这些 定理可以帮助我们找到解决问题的关键点。
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在工程学中，垂线也具有广泛的应用，如在建筑、道路、桥梁等工程中，需要用到 垂线来确定物体的位置和方向。
在物理学中，垂线也是非常重要的概念，如在重力学中，需要用到垂线来确定物体 的重心和平衡状态。
02 垂线的判定
直线与直线垂直的判定
01
02
03
判定定理
两条直线相交，所形成的 对角相等且互补，则这两 条直线互相垂直。
延长线段
将线段延长，使其与另一条线段 相交，形成垂足。
垂线的应用实例
建筑学
在建筑设计中，垂线用于确定建筑物的垂直方向 和垂直度。
工程学
在桥梁、隧道等工程设计中，垂线用于确定结构 的垂直度和稳定性。
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
《垂线》教学课件(共18张ppt)
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段.
结论：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 比较线段PO，PA1，PA2，PA3的长短，这些线段中，哪一条最短？
P
l
… A3 A2 A1 O 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
思考 如图，直线AB与CD相交于点O，将CD绕点O顺时针旋转．
C
C
当直线AB与CD 的夹角∠BOC=90°时 ，
90°
这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？
A
B
O
D
D
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
合作探究 当两条直线AB、CD相交所成的四个角中有一个角是直角时， 就说直线AB、CD互相垂直. AB与CD的交点O叫做垂足.
A. AC B. BC C. CD D. 无法确定
C
A
D
B
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随堂练习 2. 如图，BO⊥AO，∠BOC=35°，那么∠COA＝__5_5_°__.
B
C
O
A
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
垂线：
当两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这 两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它 们的交点叫做垂足.
有且只有一条
lA
lA
垂线的画法： 一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上； 二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直角边上； 三画：沿着这条直角边画线.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
结论：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
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合作探究 比较线段PO，PA1，PA2，PA3的长短，这些线段中，哪一条最短？
P
l
… A3 A2 A1 O 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
思考 如图，直线AB与CD相交于点O，将CD绕点O顺时针旋转．
C
C
当直线AB与CD 的夹角∠BOC=90°时 ，
90°
这两条直线有怎样特殊的位置关系呢？
A
B
O
D
D
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合作探究 当两条直线AB、CD相交所成的四个角中有一个角是直角时， 就说直线AB、CD互相垂直. AB与CD的交点O叫做垂足.
A. AC B. BC C. CD D. 无法确定
C
A
D
B
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随堂练习 2. 如图，BO⊥AO，∠BOC=35°，那么∠COA＝__5_5_°__.
B
C
O
A
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垂线：
当两条直线相交形成的四个角中，有一个角是直角时，就说这 两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它 们的交点叫做垂足.
有且只有一条
lA
lA
垂线的画法： 一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上； 二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直角边上； 三画：沿着这条直角边画线.
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【北师大版教材适用】七年级数学下册《2.1.2--垂线的定义与性质》课件
知2－练
1 画一条直线l，在直线l，上取一点A，在直线l， 外取一点B，分别经过点A，B用三角尺或量角 器画直线l的垂线. 解：如图．
（来自《教材》）
知2－练
2 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放 法正确的是( C )
知2－练
3 过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足 在( D ) A．这条线段上 B．这条线段的端点处 C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能
DA⊥BE.
（来自《教材》）
知1－练
2 如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O， 若∠1＝145°，则∠3的度数为( C ) A．35° B．45° C．55° D．65°
知1－练
3 【中考·德宏州】如图，三条直线相交于点O， 若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于( B ) A．30° B．34° C．45° D．56°
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
第2课时 垂线的定义 与性质
1 课堂讲解 2 课时流程
垂直的定义 垂线的画法 垂线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复
习
回
顾
平面内，两条直线有哪些位置关系？
知识点 1 垂直的定义
当转动一木条 的位置时，什么也 随着发生了变化？
知1－导
在同一平面内，如
①②中，正确的有( D ) A．0个 B．1个 C．2个
D．3个
知识点 2 垂线的画法
知2－导
做一做 (1)你能借助三角尺在一张白纸上
画出两条互相垂直的直线吗？ (2)如果只有直尺，你能在右图方格
纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
认识垂线课件
认识垂线课件xx年xx月xx日•垂线的定义和性质•垂线的应用•垂线的作法目录•总结与思考01垂线的定义和性质垂线的定义是指对于两条相交直线，过其交点且垂直于这两条直线的直线称为垂线。
在平面几何中，垂线被定义为一条直线，它与给定的直线或线段相交，并且与该直线或线段的所有交点都满足直角90度的角度关系。
定义性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线性质1垂线性质2垂线性质3垂线性质4连接两点的线段中点所在的垂线与两点的距离相等。
平行公理推论，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直。
三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
02垂线的应用在建筑设计中，垂线被用来确定建筑物的垂直位置，保证建筑物的稳定性。
日常生活中的应用建筑物的垂直线在日常生活中，垂线被用来悬挂重物，保证物体能够稳定下垂。
悬挂物垂线被用来支撑物体，保证物体不会倾斜或倒塌。
支撑物三角函数垂线是三角函数中重要的概念之一，如在直角三角形中，tanx=垂直边的长度/水平边的长度。
几何学在几何学中，垂线是定义许多重要概念和定理的关键元素，如勾股定理、三角形全等等。
线性代数在向量代数中，单位向量和垂线有着密切的关系，可以通过向量积来定义和计算垂直向量。
数学中的应用03垂线的作法•直角三角形中垂线的作法有两种：一种是过直角三角形的一个顶点，作对边的高，再过高的中点作直角三角形底边的垂线；另一种是过直角三角形的一个顶点，作相邻的直角边，再过直角边中点作斜边的垂线直角三角形中垂线的作法•矩形中垂线的作法比较简单，可以通过以下步骤实现：首先在矩形ABCD中，取AD、BC两条边的中点E、F；然后分别以AE和BF为直径画圆弧，分别交CD和AB于点G和H；最后连接GH，则线段GH就是矩形的中垂线04总结与思考在建筑、桥梁、道路、机器、工具等方面，垂线都是非常重要的参照线。
例如，在桥梁设计中，主梁和横梁之间的交点与重力作用线重合，以确保桥梁的稳定性和受力均衡。
生活中垂线PPT课件
垂线将给定直线分为 两段，这两段线段长 度相等。
垂线与给定直线所形 成的角为直角，角度 大小为90度。
垂线的应用场景
01
02
03
建筑学
在建筑设计中，经常需要 用到垂线来确定墙面的垂 直度，以保证建筑物的稳 定性和美观性。
交通工程
在道路建设和维护中，垂 线也被广泛用于确定道路 边缘的垂直线，以确保道 路的平整和安全。
美感的重要元素。
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THANKS
如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
直线与平面垂直的性质
垂直于平面的直线与平面内的任意直线都垂直，且该直线与平面内 的任意两点连线的线段都相等。
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平 面垂直。
圆的垂直定理
圆的垂直定理定义
圆的垂直定理判定定理
筑物的外观和形象。
在建筑物的内部设计中，垂线 可以用于确定房间的布局和垂
直空间的使用。
道路规划中的垂线
01
在道路规划中，垂线用 于确定道路的走向和垂 直方向，以确保道路的 顺畅和安全。
02
垂线在道路设计中也用 于确定道路的坡度和排 水系统的设计。
03
在城市规划中，垂线可 以用于确定城市的空间 布局和垂直发展。
垂线还可以用来测量角度。例如，在 机械制造中，可以使用垂线来测量两 个平面之间的夹角，或者确定一个平 面与另一个平面之间的角度。
如何利用垂线进行定位
定位方向
利用垂线可以确定物体的方向。例如，在地图上，通过确定一个点所在平面的垂 线，可以确定该点的方向。
定位位置
在某些情况下，通过确定物体的垂线，可以确定物体的位置。例如，在地理学中 ，通过确定地球上某一点所在平面的垂线，可以确定该点的地理位置。
《垂线》课件
2.过一点作已知直线的垂线可以
作（ A.1条 ） B.2条
C.3条
D.无数条
探究新知（3）
点到直线的距离
看图回答 线段PA,PB,PC,PD谁最短？ 你能用一句话表示这个结论吗？
A B C D m P
结论
1.线段PB叫做点A到直线m的垂线段. 2.直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，垂 线段最短.（垂线的性质2） 3.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做 点到直线的距离.
两直线不垂直
两直线垂直
两直线垂直
垂直定义：
当两条相交直线所 成的四个角中，有 一个角是直角时， 称这两条直线互相 垂直，其中一条叫 做另一条的垂线。
D B
A
O
C
几何语言表达： 那么AB⊥CD。 如果∠BOD= 90°， “AB⊥CD” 读作：AB垂直于CD
1.如图，直线AB与直线CD相交于点O， E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB， ∠BOD=45°，则∠COE的度数是 ( ) B.135° D.155° A.125° C.145°
A C
E
D O B
2.如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若 ∠COA=36°，则∠DOB的大小为( A．36° B．5知（2）
画已知直线AB的垂线
D
A
O
B C
已知直线AB及一点P，试过 点P作直线AB的垂线。
A
.P
B
已知直线AB及一点P，试过点 P作直线AB的垂线。
练习2
1.体育课上是怎样测量跳远成绩的？ 你知道其中的原因吗？
2.一辆汽车在直线型公路AB 上由A向B行 驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄， 设汽车行驶到P位置时离村庄M最近；行 驶到Q位置时离村庄N最近，请在图中公 路AB上分别画出P、Q两点的位置
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90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝
∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题 转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
知1－讲
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下： 因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝9
导引：要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度尽可能
短．方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中PC，
第 5章
相交线与平行线
5.1
相交线
第 2 课时
垂线——垂线
的定义与性质
1
课堂讲解
垂直的定义 垂线的画法
垂线的基本事实
2
课时流程
逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升
知1－讲
知识点
1
垂直的定义
1.定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中有一个 为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线 AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，其中一条直
线的垂线 D．过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该 直线垂直
知3－讲
知识点
3
垂线的基本事实
关于垂线的基本事实： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直．
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已
知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点 到已知直线的垂线段)
3
如图，CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF.请说明理由
(补全解题过程)．
解：因为CD⊥EF， 所以∠1＝________(垂直的定义)． 因为∠2＝∠1，所以∠2＝________， 所以AB________EF(垂直的定义)．
知1－练
4
如图，已知OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOC＝27°，则 ∠BOD的度数是( )
知1－练
1
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___
时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫
做另一条直线的________，它们的交点叫做______．
2 垂直定义的应用格式：如图，
(1)因为∠AOC＝90°，所以______． (2)因为AB⊥CD，所以∠AOC＝_____°.
知1－练
线叫做另一条直线的垂线，它们
的交点 O叫做垂足．如图.
知1－讲
2.推理格式： 因为∠AOC＝90°(已知)， 所以AB⊥CD(垂直定义)．
反过来：因为AB⊥CD(已知)，
所以∠AOC＝90°(垂直定义)．
知1－讲
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由． 导引： 要判断OE，OF是什么位置关 系，其实质是说明OE，OF是 否垂直，即要看∠EOF是否为
A．117°
C．153°
B．127°
D．163°
知2－讲
知识点
2
垂线的画法
1.试一试： 经过直线AB外一点P，按图所示的两种方法，
画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画多少条呢？
如图,你能经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB 的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？
知2－讲
2.垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线， 步骤如下： (1)靠线：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合； (2)过点：沿直线移动，使直角
∠AOF的度数．
知1－讲
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝ 90°－50°＝40°. 因为OD平分∠BOF， 所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
知2－练
1 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法 正确的是( )
知2－练
2 下列说法正确的是(
)
A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线， 垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段 或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上
C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射
三角尺的另一条直角边经过
已知点； (3)画线：沿直角边画线，则这
条直线就是经过这个点的已
知直线的垂线．如图.
知2－讲
例3 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请 你按照下列要求画图： (1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
知2－讲
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画 已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知
直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”
的方法画图即可． 解：画出的直线m，n，p如上页图.
知2－讲
总 结
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知 点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角 是90°.
知1－讲
总 结
1.本题解题思路可概括为“顺藤摸瓜”，即由已知条 件 OE⊥CD入手，根据对顶角、邻补角、角平分线 的有关知识，逐步深入求得各角的度数． 2.已知两条直线垂直或已知一条直线的垂线时，能直 接得到90°的角，因此利用这个条件，并与角平分 线、余角、补角、邻补角、对顶角等知识相结合，
可求出图中其他未知各角的度数．
知3－讲
例4
如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引 到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别 为点 E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管 道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？ 为什么？(忽略河流的宽度)
知1－讲
总 结
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要
依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四
个角中有一个角是直角即可．
知1－讲
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，
OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝
50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数． 导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角， 且∠BOD与∠BOE互余，即可 求出∠AOC的度数；根据OD平 分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得