立体几何试题的创新动向

立体几何试题的创新动向
上虞中学 沈波
近几年高考立体几何试题在命题的立意和思路上注重对学生能力的考查，其中包括空间想象能力、逻辑思维能力、归纳推理能力、综合探究能力等等，试题看似平常，但创新知识层出不穷，以下结合试题的命题方向，对试题的创新动向做了归类和总结，希望能给读者带来一些启示。

一、
突现新增内容
例1．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ） A. 22
B. 32
C. 4
D. 52
解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。

如图
设长方体的高宽高分别为,,m n k ，由题意得
=1n ⇒=
a =
b =，所以22(1)(1)6a b -+-=
228a b ⇒+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴
4a b ⇒+≤当且仅当2a b ==时取等号。

故选出答案A.
例2．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M,N 分别是AF,BC 中点 （1） 求证：MN//平面CDEF; （2） 求 MN 与AC 所成角的余弦值。

正视图 侧视图
2
F
解析：（1）连接EC,BF ，则AF,BE 交于点M ，
在△ECB 中，M 、N 分别为BE 、BC 的中点，所以MN//EC, 又因为CE ⊆平面EFCD,MN ⊄平面EFCD,所以MN//平面EFCD (2)因为MN//EC ，所以MN 与AC 所成角就是EC 与AC 所成角。

由三视图可知：四边形ABFE,EFCD 为正方形，△ADE 为等腰直角三角形， 所以AE ⊥平面EFCD,故AE ⊥EC, 在△AEC 中，因为EC=22,AC=32 所以36cos ==
∠AC CE ACE ，故得MN 与AC 所成角的余弦值为3
6。

点评：在新课程实施的几个省市中，高考试题都涉及了空间几何体的三视图。

而空间几何体的三视图是培养学生的空间观察能力和想象能力的一个很好的载体，因此这方面的内容作为一个常见考点应引起我们的关注。

二、
类比归纳创新
例3：在平面几何里，有勾股定理；“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则
222BC AC AB =+.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC ，ACD ，ABD 两两垂直，则 .”
解析：如图，过C 作CE ⊥BD 于E ，连AE ，则AE ⊥BD ，从而
2
2
21⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯=CE BD S
BCD
A
B
D
C
E
()
()
2222222222222222224
1
414141
414
1
4141
AE BD AC AD AC AB AE BD AC AD AB AE BD AC BD AE AC BD ⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+=⨯+⨯=+=
2
22ABD ADC ABC S S S ++=
应填222ABD ADC ABC S S S ++=2BCD S
例 4：已知若从点O 所作的两条射线OM,ON 上分别有点M 1,M 2与点N 1,N 2，则三角形面积之比
2
1
212
211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅
=
.若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP,OQ 和OR 上,分别有点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，如图所示,则类似的结论为 .
解析：由正弦定理可得
11N OM S 1111sin 2
1
ON M ON OM ⋅⋅=
22N OM S 2222sin 2
1
ON M ON OM ⋅⋅=
两式相除可得
2
1
212
211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅
= 运用类比思想可得
2
121212
22111OR OR OQ OQ OP OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅=
-- 点评：通过归纳、猜想、推理，发现问题的规律，找到解决问题的方法，应用于新问题的解答的一类问题。

这类问题注重创造性思维和发散性思维的考查，对阅读能力、提取信息和进行信息加工处理的能力都有较高要求，也有一定的趣味性，是近几年高考的热点问题。

三、
知识交汇创新
例5．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数
O P
R
Q
P 1 P 2 ． ． Q 1 Q 2
． ． R 1
R 2
．
．
()y f x =的图象大致是（ ）
解析:取1AA 的中点E, 1CC 的中点F,连EF,则MN 在平面1BFD E 内平行移动且
//,MN EF 当P 移动到1BD 的中心时，MN 有唯一的最大值，排除答案A 、C ；当P 点移动时，由于总保持//,MN EF 所以x 与y 的关系是线性的(例如: 取11,AA =
当(0,
2
x ∈时
, 2,y x =⇒=同理,
当x ∈时,
=
2.y x ⇒= 2
2
2220,222,2<<<
<⎩⎨
⎧-=x x x x y ),排除答案D,故选B. 例6．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线
解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到直线AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，
则P 轨迹为以AB 为轴心的圆柱面，再用平面α的去斜截圆柱面，如图截得的轨
A
B
C D M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
P
迹为椭圆
点评：从动态角度分析立体几何中角度与距离的变化，可以将立体几何和解析几何、函数结合起来，体现出数形结合的思想，这类创新题要求学生能对所学的知识融会贯通，因此一方面应扎实掌握立体几何的知识和方法，另一方面也应训练学生对知识的整合和迁移。

四、综合探究创新
例7．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶
嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。

如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）。

有下列四个命题：
A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）．
解析：真命题的代号是：B ，D 。

易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D 正确，于是A 错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P ，故B 正确；C 的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P 将露出水面。

例8．如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为
P
P
图12
图
小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ） （A ）V 1=
2
V (B) V 2=
2
V （C ）V 1> V 2
（D ）V 1< V 2
解析：设大球半径为R ，小球半径为2
R 根据题意
331
2444()23324
V R V R V ππ==⋅-⨯+
所以
333124424()233232V R V
V R R πππ-
=-⋅==
于是1222
V V V -=即212V V V -=所以2120V V V V -=->，12V V <∴。

点评：探究型创新题形式多、难度大，在解答时要通过分析、探究，抓住有限的或隐含的条件，通过联想综合性的知识设计出解决问题的方法或探究出解决问题的数学思想，是考查学生应用能力的主要题型。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。