中考数学复习指导：构造直角三角形斜边上的中线解题
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拓展与延伸 (1)若将“猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF，其他条件不变，则 DM 和 ME 的关系为_______．
(2)如图 2 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF，使点 F 在边 CD 上，点 M 仍 为 AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．
例 2 如图 3，在边长为 6 2 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线 上一点，BE＝DG，连结 EG，CF⊥EG 于点 H，交 AD 于点 F，连结 CE、BH．若 BH＝8， 则 FG＝______．
解 连结 GC． ∵BE＝DG，BC＝CD， ∴Rt△BCE≌△DCG，
构造直角三角形斜边上的中线解题
“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半”，这个定理的重要性显然，这里举 例说明如何构造直角三角形斜边的中线来帮助我们解题．
例 1 猜想与证明：如图 1 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF， 使 B、C、G 三点在一条直线上，CE 在边 CD 上，连结 AF，若 M 为 AF 的中点，连结 DM、 ME，试猜想 DM 与 ME 的关系，并证明你的结论．
2
∴EC＝CG，∠BCE＝∠DCG， ∴∠ECG＝90°． 又 CF⊥EG，∴EH＝HG， 连结 AH，则 AH＝EH＝HC， 易知△BAH≌△BCH， ∠ABH＝∠HBC＝45°， ∴点 H 在 BD 上， ∵BD＝ 2 BC＝12，BH＝8， ∴HD＝4，易知△BCH∽△DFH， ∴ DF = DH = 4 ，∴DF＝3 2 ．
1
∵四边形 ABCD 和 CEFG 是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM＝LHAM． 又 ∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM， ∴△FME≌△AMH( ASA)， ∴HM＝EM． 在 Rt△HDE 中，HM＝EM， ∴DM＝HM＝ME．∴DM＝ME． (1)DM＝ME，证明同猜想（过程略）． (2)如图 2，连结 AE． ∵四边形 ABCD 和 ECGF 是正方形， ∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°， ∴AE 和 EC 在同一条直线上， 在 Rt△ADF 中，AM＝MF， ∴DM＝AM＝MF． 在 Rt△AEF 中，AM＝MF， ∴AM＝MF＝ME．∴DM＝ME． 点评 本题中的猜想的思路是：补斜边，并证 M 是斜边的中点，利用直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半找到等量关系；第(2)解题的关键是构造一条直角边，利用两直 角三角形共一条斜边，由定理而证．
BC BH 8 再过点 E 作 EM∥AD，且交 BD 于点 M，易知△DGH≌△MEH， ∴EM＝DG，DH＝HM，∴BM＝4． 而 DG＝EM＝ 2 BM＝2 2 ，
2 ∴FG＝FD＋DG＝3 2 ＋2 2 ＝5 2 ． 点评 本题是一道填空题的压轴题，有一定的难度．它蕴含着旋转变换，即连结 CG， 证明 CH 为 Rt△ECG 斜边上的中线，连结 AH，即 AG 为 Rt△AEG 斜边上的中线是解决 问题的关键．从而证△ABH≌△CBH 知 H 在 BD 上是解决问题的核心，再利用相似三角 形、等腰三角形的性质及构造三角形全等才能得到结果．
3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
分析 猜想：AD∥EF 且 M 为 AF 的中点，联想到构造三角形全等，延长 EM 交 AD 于点 H．易 知△FME≌△AMH，得出 HM＝EM，进而构造了 DM 为 Rt△HDE 的中线，再利用直角三 角形中斜边的中线等于斜边的一半证明． (1)延长 EM 交 AD 于点 H，利用△FME≌△AMH，得出 HM＝EM，再利用直角三角 形中，斜边的中线等于斜边的一半证明． (2)已知 DM 是 Rt△ADE 斜边上的中线，要证 ME＝DM，只需∠AEF＝90°，连接 AE，证 AE 和 EC 在同一条直线上即可． 猜想：DM＝ME． 证明 如图 1，延长 EM 交 AD 于点 H，
(2)如图 2 摆放正方形纸片 ABCD 与正方形纸片 ECGF，使点 F 在边 CD 上，点 M 仍 为 AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．
例 2 如图 3，在边长为 6 2 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线 上一点，BE＝DG，连结 EG，CF⊥EG 于点 H，交 AD 于点 F，连结 CE、BH．若 BH＝8， 则 FG＝______．
解 连结 GC． ∵BE＝DG，BC＝CD， ∴Rt△BCE≌△DCG，
构造直角三角形斜边上的中线解题
“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半”，这个定理的重要性显然，这里举 例说明如何构造直角三角形斜边的中线来帮助我们解题．
例 1 猜想与证明：如图 1 摆放矩形纸片 ABCD 与矩形纸片 ECGF， 使 B、C、G 三点在一条直线上，CE 在边 CD 上，连结 AF，若 M 为 AF 的中点，连结 DM、 ME，试猜想 DM 与 ME 的关系，并证明你的结论．
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∴EC＝CG，∠BCE＝∠DCG， ∴∠ECG＝90°． 又 CF⊥EG，∴EH＝HG， 连结 AH，则 AH＝EH＝HC， 易知△BAH≌△BCH， ∠ABH＝∠HBC＝45°， ∴点 H 在 BD 上， ∵BD＝ 2 BC＝12，BH＝8， ∴HD＝4，易知△BCH∽△DFH， ∴ DF = DH = 4 ，∴DF＝3 2 ．
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∵四边形 ABCD 和 CEFG 是矩形， ∴AD∥EF， ∴∠EFM＝LHAM． 又 ∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM， ∴△FME≌△AMH( ASA)， ∴HM＝EM． 在 Rt△HDE 中，HM＝EM， ∴DM＝HM＝ME．∴DM＝ME． (1)DM＝ME，证明同猜想（过程略）． (2)如图 2，连结 AE． ∵四边形 ABCD 和 ECGF 是正方形， ∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°， ∴AE 和 EC 在同一条直线上， 在 Rt△ADF 中，AM＝MF， ∴DM＝AM＝MF． 在 Rt△AEF 中，AM＝MF， ∴AM＝MF＝ME．∴DM＝ME． 点评 本题中的猜想的思路是：补斜边，并证 M 是斜边的中点，利用直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半找到等量关系；第(2)解题的关键是构造一条直角边，利用两直 角三角形共一条斜边，由定理而证．
BC BH 8 再过点 E 作 EM∥AD，且交 BD 于点 M，易知△DGH≌△MEH， ∴EM＝DG，DH＝HM，∴BM＝4． 而 DG＝EM＝ 2 BM＝2 2 ，
2 ∴FG＝FD＋DG＝3 2 ＋2 2 ＝5 2 ． 点评 本题是一道填空题的压轴题，有一定的难度．它蕴含着旋转变换，即连结 CG， 证明 CH 为 Rt△ECG 斜边上的中线，连结 AH，即 AG 为 Rt△AEG 斜边上的中线是解决 问题的关键．从而证△ABH≌△CBH 知 H 在 BD 上是解决问题的核心，再利用相似三角 形、等腰三角形的性质及构造三角形全等才能得到结果．
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
分析 猜想：AD∥EF 且 M 为 AF 的中点，联想到构造三角形全等，延长 EM 交 AD 于点 H．易 知△FME≌△AMH，得出 HM＝EM，进而构造了 DM 为 Rt△HDE 的中线，再利用直角三 角形中斜边的中线等于斜边的一半证明． (1)延长 EM 交 AD 于点 H，利用△FME≌△AMH，得出 HM＝EM，再利用直角三角 形中，斜边的中线等于斜边的一半证明． (2)已知 DM 是 Rt△ADE 斜边上的中线，要证 ME＝DM，只需∠AEF＝90°，连接 AE，证 AE 和 EC 在同一条直线上即可． 猜想：DM＝ME． 证明 如图 1，延长 EM 交 AD 于点 H，