空间中的垂直问题练习题(答案)

空间线线、线面、面面垂直关系练习题 一、填空题

1．给出下列三个命题：

①“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件是“直线a 、b 不相交”；

②“直线a 垂直于直线b ”的充分非必要条件是“直线a 垂直直线b 在平面β内的射影”； ③“直线a 垂直平面β” 的必要非充分条件是“直线a 垂直于平面β内的无数条直线” 其中所有真命题的序号是 ③

2．如图，正方形ABCD ，P 是正方形平面外的一点，且PA ⊥平面A BCD 则在△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PAD 、△PAC 及△PBD 中，为直角三角形有______5___个．

3．在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足 BM PC ⊥ 时，平面MBD ⊥平面PCD ．

4．已知三棱锥ABC S -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ∆的垂心，且SA 的长为定值，则下列关于此三棱锥的命题：①点B 在侧面SAC 上的射影是SAC ∆的垂心；②三棱锥ABC S -是一个正三棱锥；③三棱锥ABC S -的体积有最大值；④三棱锥ABC S -的体积有最小值.其中正确命题的序号为 ①②③ .

5．如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 与a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 与a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α与a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 与a , b 都平行，其中正确的结论有___（2）______．

6．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB ．CD 同时相交的两条直线AC ．BD 一定是异面直线②同时与

两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c ，直线a ⊥c ，则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是 ① ． 7．点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是

5

70

2 ． 8．正四面体

ABCD

的棱长为

1，棱

AB αα]2

1

,42[

l l l βα⊂⊂AC ,60120棱锥D ABCE -的底面是矩形，DE ⊥面ABCE ，3,1, 2.DE EC BC G =

==为DA 的中点，Q 为DC 上一点，且EQ ⊥面

GBC ，则

DQ QC ＝ 3

2

. 11．已知边长为23的正ABC ∆，点,D E 分别在边,AB AC 上，且//DE BC ，以DE 为折痕，把ADE ∆折

起至A DE '∆，使点A '在平面BCED 上的射影H 始终落在BC 边上，记2

ADE S A H ∆='的面积

，则S 的取

值范围为 ． 【答案】3(

,)3

+∞【解析】设A 到DE 的距离为x ，则DE 与BC 间距离为3x -，ADE ∴∆的面积为2

33x ()

2

2

2

369A H x x x '=--=- 2339232x S x x ⎛⎫∴=⋅> ⎪

-⎝⎭ S ∴的取值范围为3

(,)3

+∞． 12．三棱锥ABC P -中，︒=∠=∠=∠90CPA BPC APB ，点M 在△ABC 内，且

=∠MPA ︒=∠60MPB ，则MPC ∠的度数是___︒45______．

13.如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且

a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最

大值是 。【答案】

13

2

22--c a c 14．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥，CB α⊥，4AD =，8BC =，

6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则PAB

∆的面积的最大值是 12 . 二、解答题

15． 如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且

2AB AE =．

（1）求证：//AB 平面CDE ；

（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；

证明：（1）正方形ABCD 中，//AB CD ，又AB ⊄平面CDE ，

CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ． （2）因为AE CDE ⊥平面，且CD CDE ⊂平面， 所以AE CD ⊥， 又 ABCD CD AD ⊥正方形中，，

α β

P A B

D C

A

B

C

D

E

A

B

C C 1 B 1

A 1

F D

E

M

且AE AD A =AE AD ADE ⊂、平面， 所以CD ADE ⊥平面， 又CD ABCD ⊂平面， 所以ABCD ADE ⊥平面平面．

16.如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，EC ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．

求证：（1）平面BDM ⊥平面ECA （2）平面DEA ⊥平面ECA

17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，

PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．

(1)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (2)求四棱锥P ABCD -的体积．

(1) 证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =，

45AB =，所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD

平面ABCD AD =，

BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，

又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．

(2) 解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．因此

PO 为四棱锥P ABCD -的高，又PAD △是边长为4的等边三角形．因此3

4232

PO =

⨯=．在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB 边上的高为

85

45

=， 此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD 的面积为254585

2425

S +=

⨯=． 18.如图１，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，∠ABC =600

，E 是BC 的中点．如图2，将△ABE 沿AE 折起，使二面角B —AE —C 成直二面角，连结BC ，BD ，F 是CD 的中点，P 是棱BC 的中点．

(1)求证：AE ⊥BD ；

(2)求证：平面PEF ⊥平面

AECD ；

(3)判断DE 能否垂直于平

面ABC 并说明理由．

证明：(1)连接BD ，取AE 中点M ，连接,BM DM ．

在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD ，60ABC ︒∠=，E 是BC 的中点，

ABE ∴∆与ADE ∆都是等边三角形 ,BM AE DM AE ∴⊥⊥

,,BM DM M BM DM =⊂平面BDM ，AE ∴⊥平面BDM ．

BD ⊂平面BDM ，AE BD ∴⊥．

(2)连接CM 交EF 于点N ，连接PN

ME ∥FC ，且ME ＝FC ，∴四边形MECF 是平行四边形。∴N 是线段CM 的中点。

∵P 是线段BC 的中点，PN ∴∥BM BM ⊥平面AECD PN ∴⊥平面AECD ．

(3)DE 与平面ABC 不垂直．

假设DE ⊥平面ABC ，则DE AB ⊥．∵⊥BM 平面AECD ．BM DE ∴⊥．

AB BM M =，,AB BM ⊂平面ABE ，DE ∴⊥平面ABE ．

DE AE ∴⊥，这与60AED ∠=矛盾DE ∴与平面ABC 不垂直．

19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知

1,3,2AB AC AA BC CF ====.

(1)求证:1C E ∥平面ADF;

(2)若点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF 分析：（1）要证明ADF E C 平面//1,可通过线线平行和面面平行两

条路来证明线面平行. Ⅰ.要在平面ADF 中找到与E C 1平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过E C 1的平面与平面ADF 的交线OF ,这里注意O 为ABC ∆的重心，（

1

2

=OE CO ）,再利用比例关系证明OF E C //1从而证明结论. A

B

C

M

P

D

A

B

C

D

E

图1

B

D F

P

图2