《人教版八年级上册》数学三角形的外角课件
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第十一章 三角形
11.2.2 三角形的外角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
情境引入
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（重点）
导入新课
复习引入
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C=48 ° . 2.在△ABC中，已知∠A： ∠B：∠C= 2：3：5，则. △ABC是 直角 三角形 3.什么是三角形的内角？其和等于多少？ 三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角， 它们的和是180 °.
讲授新课
一 三角形的外角的概念
定义
A
如图，把△ABC的一边BC延长，
得到∠ACD，像这样，三角形的一
边与另一边的延长线组成的角，叫 B
CD
做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
画一画：画出△ABC的所有外角，请 指出来有哪几个.
有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
5 B2
A 14
3 6C
△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系和数量关系）
∠1和∠4, 是对顶角，相等； ∠2和∠5, 是对顶角，相等； ∠3和∠6, 是对顶角，相等.
二 三角形的外角的性质
探究交流
填一填：
（1）如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则
∠ACD= 130 °. (2)任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都
有（1）中这种关系呢？
A
∠ACD= ∠A+ ∠B.
B
CD
知识要点
A
三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的
两个内角的和. 应用格式：
B
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
注意 三角形外角与内角的关系： （1）位置关系：相邻和不相邻. （2）数量关系：外角与相邻内角互补， 外角大于不相邻的任何一个内角.
CD
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A 80 °
60 °
12
B
CD
(1)
∠1=40 °, ∠2=140 °
50 ° A
B
1
2 32
°
C
(2)
∠1=18 °, ∠2=130 °
三 三角形的外角和
如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它
们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2.
你还有其他 解法吗？
E A
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
B2
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
F
3
C
D
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
E
∠CBF +∠2=180 ° ②，
A
∠ACD +∠3=180 ° ③，
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得
B2
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD F
3
C
D
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
知识要点
三角形的外角和等于360°.
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
E
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
1
B2 F
3
C
D
典例精析
例 (一题多解）如图，计算∠BDC.
A 51 °
20 ° D
30 °
B CC
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解：（解法一）连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
A 51 °
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，
20 ° D
∠BAC=∠1+∠2，
B
E
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
30 ° C
=51° +20°+30°=101°.
（解法二）延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
A 51 °
E
所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
20 ° D B
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过
30 ° C
程同解法二）
重要发现： ∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
2 B
A 1
D 3 C
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.
（）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2.下面的推理题把小明难住了.他希望同学们能尽快的帮他解
决下面的问题. 根据下列线索推理出这个三角形有关的角.
A 100°
线索1：在△ABC中，∠B=∠C ；
线索2：它的一个外角是100º； B
问题：它的各个内角各是多少度？
答：它的各个内角分别为 50°，50°，80或°80°，80°，20°.
C A 100°
B
C
3.（1）如图，∠BDC是__△__A_D_C__的外角,
A
也是 △ADE 的外角.
D
E
(2)请指出∠BDC, ∠DEA， ∠ECA三者 B
C
的大小关系.
∠BDC> ∠DEA> ∠ECA (3)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°， ∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
70°
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
40°
80°
B
D
C
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
能力提升： 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿36＿0°＿.
B
A
1 N3
C
P
F
2M
D
E
课堂小结
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边 必须是三角形另一边的延长线
11.2.2 三角形的外角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
情境引入
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（重点）
导入新课
复习引入
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C=48 ° . 2.在△ABC中，已知∠A： ∠B：∠C= 2：3：5，则. △ABC是 直角 三角形 3.什么是三角形的内角？其和等于多少？ 三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角， 它们的和是180 °.
讲授新课
一 三角形的外角的概念
定义
A
如图，把△ABC的一边BC延长，
得到∠ACD，像这样，三角形的一
边与另一边的延长线组成的角，叫 B
CD
做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
画一画：画出△ABC的所有外角，请 指出来有哪几个.
有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
5 B2
A 14
3 6C
△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系和数量关系）
∠1和∠4, 是对顶角，相等； ∠2和∠5, 是对顶角，相等； ∠3和∠6, 是对顶角，相等.
二 三角形的外角的性质
探究交流
填一填：
（1）如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则
∠ACD= 130 °. (2)任意一个三角形的外角与它不相邻的两个内角是否都
有（1）中这种关系呢？
A
∠ACD= ∠A+ ∠B.
B
CD
知识要点
A
三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的
两个内角的和. 应用格式：
B
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
注意 三角形外角与内角的关系： （1）位置关系：相邻和不相邻. （2）数量关系：外角与相邻内角互补， 外角大于不相邻的任何一个内角.
CD
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A 80 °
60 °
12
B
CD
(1)
∠1=40 °, ∠2=140 °
50 ° A
B
1
2 32
°
C
(2)
∠1=18 °, ∠2=130 °
三 三角形的外角和
如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它
们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2.
你还有其他 解法吗？
E A
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
B2
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
F
3
C
D
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
E
∠CBF +∠2=180 ° ②，
A
∠ACD +∠3=180 ° ③，
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得
B2
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD F
3
C
D
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
知识要点
三角形的外角和等于360°.
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
E
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
1
B2 F
3
C
D
典例精析
例 (一题多解）如图，计算∠BDC.
A 51 °
20 ° D
30 °
B CC
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解：（解法一）连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
A 51 °
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，
20 ° D
∠BAC=∠1+∠2，
B
E
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
30 ° C
=51° +20°+30°=101°.
（解法二）延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
A 51 °
E
所以∠BDC =∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
20 ° D B
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过
30 ° C
程同解法二）
重要发现： ∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
2 B
A 1
D 3 C
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.
（）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2.下面的推理题把小明难住了.他希望同学们能尽快的帮他解
决下面的问题. 根据下列线索推理出这个三角形有关的角.
A 100°
线索1：在△ABC中，∠B=∠C ；
线索2：它的一个外角是100º； B
问题：它的各个内角各是多少度？
答：它的各个内角分别为 50°，50°，80或°80°，80°，20°.
C A 100°
B
C
3.（1）如图，∠BDC是__△__A_D_C__的外角,
A
也是 △ADE 的外角.
D
E
(2)请指出∠BDC, ∠DEA， ∠ECA三者 B
C
的大小关系.
∠BDC> ∠DEA> ∠ECA (3)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE, ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°， ∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
A
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
70°
又因为∠B=∠BAD，
所以B 80 1 40, 在△ABC中： 2
40°
80°
B
D
C
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
能力提升： 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿36＿0°＿.
B
A
1 N3
C
P
F
2M
D
E
课堂小结
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边 必须是三角形另一边的延长线